Basit yineleme yöntemi için hesaplama formülünün türetilmesi. Basit yineleme yöntemi

(2.1)'e benzer şekilde, sistem (5.1) aşağıdaki eşdeğer formda temsil edilebilir:

burada g(x), vektör argümanının yinelemeli bir vektör fonksiyonudur. Doğrusal olmayan denklem sistemleri sıklıkla doğrudan (5.2) biçiminde ortaya çıkar (örneğin, diferansiyel denklemlerin sayısal şemalarında), bu durumda denklemleri (5.1) sisteme (5.2) dönüştürmek için ek bir çabaya gerek yoktur. Analojiye bir denklem için basit yineleme yöntemiyle devam edersek, denklem (5.2)'ye dayalı yineleme süreci şu şekilde organize edilebilir:

1) bazı başlangıç vektörleri x ((,) e 5 o (x 0, A)(x* e 5(x 0, A));
2) sonraki yaklaşımlar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

daha sonra yineleme işlemi tamamlanır ve

Daha önce olduğu gibi hangi koşullar altında olduğunu bulmamız gerekiyor.

Basit bir analiz yaparak bu konuyu tartışalım. İlk önce i'inci yaklaşımın hatasını e(i) = x(i) - x* olarak tanıtıyoruz. Daha sonra yazabiliriz.

Bu ifadeleri (5.3)'te yerine koyalım ve g(x* + e (/i))'yi kuvvetlerle genişletelim. e(k> vektör argümanının bir fonksiyonu olarak x* komşuluğunda (g(x) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerinin sürekli olduğu varsayılarak). Ayrıca x* = g(x*) olduğunu da hesaba katarsak, şunu elde ederiz:

veya matris formunda

B = (bnm)= I (x*)1 - yineleme matrisi.

Hata oranı ||е®|| yeterince küçükse, ifadenin (5.4) sağ tarafındaki ikinci terim ihmal edilebilir ve bu durumda ifade (2.16) ile çakışır. Sonuç olarak, yinelemeli sürecin (5.3) tam çözüme yakınlaşmasının koşulu Teorem 3.1'de tanımlanmaktadır.

Basit yineleme yönteminin yakınsaması. İteratif sürecin (5.3) yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul:

ve yeterli bir koşul:

Bu koşullar pratikten ziyade teorik öneme sahiptir, çünkü x''i bilmiyoruz. (1.11)'e benzetme yaparak yararlı olabilecek bir koşul elde ederiz. x* e 5 o (x 0, A) ve g(x) fonksiyonu için Jacobian matrisi

tüm x e için var S n (x 0, a) (C(x*) = B olduğuna dikkat edin). C(x) matrisinin elemanları eşitsizliği sağlıyorsa

tüm x e 5“(x 0, A), bu durumda yeterli koşul (5.5) herhangi bir matris normu için de sağlanır.

Örnek 5.1 (basit yineleme yöntemi) Aşağıdaki denklem sistemini düşünün:

Bu sistemi eşdeğer formda (5.2) temsil etmenin bir olasılığı, X ilk denklemden ve x 2 ikinci denklemden:

Daha sonra yineleme şeması şu şekildedir:

Kesin çözüm x* e 5™((2, 2), 1)'dir. Başlangıç vektörü x (0) = (2,2)'yi seçelim ve ? p = BT 5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.1.

Tablo 5.1

		\|\|X - X (i_1 > \| 2 / X (A) 2
	1.50000 1.73205

	1.69258 1.34646

	1.71914 1.40036

	1.71642 1.39483

	1.71669 1.39536

	1.71667 1.39532

Bu sonuçlar yakınsamanın oldukça yavaş olduğunu göstermektedir. Yakınsamanın niceliksel bir özelliğini elde etmek için, x (1/)'nin kesin bir çözüm olduğunu düşünerek basit bir analiz yapıyoruz. Yinelemeli fonksiyonumuzun Jacobian matrisi C(x) şu şekildedir:

bu durumda B matrisi yaklaşık olarak şu şekilde tahmin edilir:

Ne (5.5) ne de (5.6) koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır ancak 5(B) ~ 0.8 olduğundan yakınsama gerçekleşir.

Hesaplama sürecini biraz değiştirerek basit yineleme yönteminin yakınsamasını hızlandırmak çoğu zaman mümkündür. Bu değişikliğin fikri çok basit: hesaplamak P inci vektör bileşenleri x (A+1) sadece kullanılamaz (t = n,..., N), aynı zamanda bir sonraki yaklaşım vektörünün önceden hesaplanmış bileşenleri xk^ (/= 1,P - 1). Böylece, değiştirilmiş basit yineleme yöntemi aşağıdaki yineleme şemasıyla temsil edilebilir:

Eğer yinelemeli süreç (5.3) tarafından oluşturulan yaklaşımlar yakınsarsa, o zaman yinelemeli süreç (5.8) bilginin daha tam kullanımı nedeniyle daha hızlı yakınsama eğilimindedir.

Örnek 5.2 (değiştirilmiş basit yineleme yöntemi) Sistem (5.7) için değiştirilmiş basit yineleme şu şekilde temsil edilir:

Daha önce olduğu gibi, başlangıç vektörü x (0) = (2, 2)'yi seçiyoruz ve gr = = 10-5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.2.

Tablo 5.2


	1.50000 1.11803

	1.72076 1.40036

	1.71671 1.39538

	1.71667 1.39533

I Hesaplamaların sırasındaki büyük değişiklik, yineleme sayısının yarıya inmesine ve dolayısıyla işlem sayısının da yarı yarıya azalmasına yol açtı.

Orijinal denklemi eşdeğeriyle değiştirelim ve kurala göre yinelemeler oluşturalım . Dolayısıyla basit yineleme yöntemi tek adımlı yinelemeli bir süreçtir. Bu işlemi başlatmak için ilk yaklaşımı bilmeniz gerekir. Yöntemin yakınsaması ve ilk yaklaşımın seçimi için koşulları bulalım.

Bilet#29

Seidel yöntemi

Seidel yöntemi (bazen Gauss-Seidel yöntemi olarak da adlandırılır), basit yineleme yönteminin bir modifikasyonudur; bu, bir sonraki x (k+1) yaklaşımını hesaplarken (bkz. formüller (1.13), (1.14)) halihazırda elde edilen bileşenler x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) hemen x i (k+1)'i hesaplamak için kullanılır.

Koordinat gösterimi formunda Seidel yöntemi şu forma sahiptir:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
burada x (0) çözüme yönelik bir başlangıç yaklaşımıdır.

Böylece (k+1)-th yaklaşımının i-th bileşeni aşağıdaki formülle hesaplanır:

x ben (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d ben , ben = 1, ..., n

(1.20)

Basitleştirilmiş bir formda ε doğruluğuna ulaşıldığında Seidel yinelemeli sürecinin sonu için koşul şu şekildedir:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Bilet#30

Geçiş yöntemi

A x = b sistemlerini üç köşegen matrisle çözmek için, Gauss yönteminin bu duruma uyarlanması olan tarama yöntemi en sık kullanılır.

Denklem sistemini yazalım

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

matris formunda: A x = b burada

bir=

Süpürme yönteminin formüllerini uygulanma sırasına göre yazalım.

1. Süpürme yönteminin doğrudan vuruşu (yardımcı miktarların hesaplanması):

a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c ben b ben + b ben ] / , i=2, ..., n-1

(1.9)

2. Süpürme yöntemini tersine çevirin (bir çözüm bulmak):

x n = [-c n b n + b n ] / x ben = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1

Bilet#31

Basit yineleme yöntemi

Basit yineleme yönteminin özü denklemden hareket etmektir.

f(x)= 0 (*)

eşdeğer denklem

X=φ(x). (**)

Bu geçiş, türe bağlı olarak farklı şekillerde gerçekleştirilebilir. f(x). Örneğin, koyabilirsiniz

φ(x) = X+erkek arkadaş(x),(***)

Nerede B= const, orijinal denklemin kökleri değişmeyecek.

Kökün ilk yaklaşımı biliniyorsa x 0, o zaman yeni yaklaşım

x 1=φx(0),

onlar. yinelemeli sürecin genel şeması:

xk+1=φ(xk).(****)

Süreci sonlandırmak için en basit kriter

|x k +1 -x k |<ε.

Yakınsama kriteri basit yineleme yöntemi:

kökün yakınındaysa | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, daha sonra yinelemeler herhangi bir başlangıç yaklaşımı için birleşir.

Sabit seçimini keşfedelim B Maksimum yakınsama hızının sağlanması açısından. Yakınsama kriterine göre en yüksek yakınsama hızı şu durumlarda sağlanır: |φ / (x)| = 0. Aynı zamanda (***) esas alınarak, b = –1/f / (x), ve yineleme formülü (****) giriyor x ben =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- onlar. Newton yönteminin formülüne. Dolayısıyla Newton yöntemi, basit yineleme yönteminin özel bir durumudur ve bir fonksiyonun seçimi için tüm olası seçenekler arasında en yüksek yakınsama hızını sağlar. φ(x).

Bilet#32

Newton'un yöntemi

Yöntemin ana fikri şu şekildedir: varsayımsal kökün yakınında bir başlangıç yaklaşımı belirlenir, ardından apsis ekseni ile kesişimin bulunduğu yaklaşım noktasında incelenen fonksiyona bir teğet oluşturulur. Bu nokta bir sonraki yaklaşım olarak alınır. Ve bu, gerekli doğruluk elde edilene kadar devam eder.

Bir aralıkta tanımlanan ve bu aralıkta türevlendirilebilen gerçek değerli bir fonksiyon olsun. Daha sonra yinelemeli yaklaşım hesabının formülü şu şekilde türetilebilir:

burada α, noktadaki teğetin eğim açısıdır.

Bu nedenle, için gerekli ifade şu şekildedir:

Bilet#33

Altın oran yöntemi
Altın oran yöntemi, her yinelemede yalnızca bir fonksiyon değeri hesaplayarak aralıkları ortadan kaldırmanıza olanak tanır. Fonksiyonun dikkate alınan iki değeri sonucunda gelecekte kullanılması gereken aralık belirlenir. Bu aralık, önceki noktalardan birini ve ona simetrik olarak yerleştirilen bir sonraki noktayı içerecektir. Nokta, aralığı iki parçaya böler, böylece bütünün büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçüğe oranına, yani "altın oran" olarak adlandırılana eşit olur.

Aralığı eşit olmayan parçalara bölmek, daha da etkili bir yöntem bulmanızı sağlar. Parçanın uçlarındaki fonksiyonu hesaplayalım [ A,B] ve koy A=X 1 , B=X 2. Fonksiyonu iki iç noktada da hesaplayalım. X 3 , X 4. Fonksiyonun dört değerini de karşılaştıralım ve aralarından en küçüğünü seçelim. Örneğin en küçüğünün şu olduğu ortaya çıksın F(x 3). Açıkçası, minimumun kendisine bitişik bölümlerden birinde olması gerekir. Bu nedenle segment [ X 4 ,B] atılabilir ve segmentten ayrılabilir.

İlk adım atıldı. Segment üzerinde yine iki dahili nokta seçmeniz, bunların ve uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamanız ve bir sonraki adıma geçmeniz gerekir. Ancak hesaplamaların önceki adımında, fonksiyonu zaten yeni parçanın uçlarında ve iç noktalarından birinde bulduk. X 4. Bu nedenle içeride bir nokta daha seçmek yeterlidir x 5İçindeki fonksiyonun değerini belirleyip gerekli karşılaştırmaları yapın. Bu, işlem adımı başına gereken hesaplama miktarını dört katına çıkarır. Puan yerleştirmenin en iyi yolu nedir? Her defasında kalan kısım üç parçaya bölünür ve dış kısımlardan biri atılır.
Başlangıçtaki belirsizlik aralığını şu şekilde gösterelim: D.

Genel durumda herhangi bir parça atılabileceği için X 1, X 3 veya X 4, X 2 ardından noktaları seçin X 3 Ve X 4 böylece bu bölümlerin uzunlukları aynı olur:

x 3 -x 1 =x 4 -x 2.

Attıktan sonra yeni bir uzunluk belirsizlik aralığı elde ederiz D'.
ilişkiyi belirtelim D/D'φ harfiyle:

yani bir sonraki belirsizlik aralığının nerede olduğunu belirleyelim. Ancak

önceki aşamada atılan parçanın uzunluğuna eşit, yani

Bu nedenle şunu elde ederiz:

.
Bu denkleme yol açar veya eşdeğer olarak
.

Bu denklemin pozitif kökü şunu verir:

Bilet#34

fonksiyonların enterpolasyonu, yani Belirli bir fonksiyonu kullanarak, değerleri belirli sayıda noktada verilen fonksiyonun değerleriyle örtüşen başka (genellikle daha basit) bir fonksiyon oluşturmak. Ayrıca enterpolasyonun hem pratik hem de teorik önemi vardır.

Denklemlerin sayısal çözümü ve sistemleri bir denklemin veya denklem sisteminin köklerinin yaklaşık olarak belirlenmesinden oluşur ve kesin çözüm yönteminin bilinmediği veya emek yoğun olduğu durumlarda kullanılır.

Sorunun formülasyonu[ | ]

Denklemleri ve denklem sistemlerini sayısal olarak çözme yöntemlerini ele alalım:

f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))=0)

( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(dizi)(lcr)f_(1 )(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_( n))&=&0\end(array))\right.)

Denklemleri çözmek için sayısal yöntemler[ | ]

Optimizasyon yöntemlerine başvurmadan orijinal denklem sistemini nasıl çözebileceğinizi gösterelim. Sistemimiz bir SLAE ise Gauss yöntemi veya Richardson yöntemi gibi yöntemlere başvurulması tavsiye edilir. Ancak yine de fonksiyonun formunun bizim için bilinmediği varsayımından yola çıkacağız ve yinelemeli sayısal çözüm yöntemlerinden birini kullanacağız. Bunların çok çeşitli arasından en ünlüsünden birini seçeceğiz: Newton'un yöntemi. Bu yöntem de sıkıştırılmış haritalama ilkesine dayanmaktadır. Bu nedenle, ilk olarak ikincisinin özü ana hatlarıyla belirtilecektir.

Sıkıştırılmış haritalama[ | ]

Terminolojiyi tanımlayalım:

Fonksiyonun gerçekleştirildiği söyleniyor sıkıştırılmış haritalama eğer

O halde aşağıdaki ana teorem geçerlidir:

Banach teoremi (büzülme eşlemelerinin ilkesi).
Eğer φ (\displaystyle \varphi)- sıkıştırılmış ekran açık [ a , b ] (\displaystyle), O:

Teoremin son noktasından, daralma haritalamalarına dayanan herhangi bir yöntemin yakınsama oranının doğrusaldan daha az olmadığı sonucu çıkmaktadır.

Parametrenin anlamını açıklayalım α (\displaystyle \alpha ) tek değişkenli durum için. Lagrange teoremine göre elimizde:

φ (x) ∈ C 1 [ a , b ] . ∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}

Ardışık yaklaşımlar için genel algoritma[ | ]

Operatör denklemlerinin genel durumuna uygulandığında bu yönteme denir. ardışık yaklaşımlar yöntemi veya basit yineleme yöntemiyle. Ancak denklem farklı şekillerde aynı köke sahip daralma haritasına dönüştürülebilir. Bu, hem doğrusal hem de daha yüksek yakınsama oranlarına sahip bir dizi özel yöntemin ortaya çıkmasına neden olur.

SLAU ile ilgili olarak[ | ]

Sistemi düşünün:

( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(array))\right.)

Bunun için yinelemeli hesaplama şöyle görünecektir:

(x 1 x 2 ⋮ x n) ben + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2 ⋮ x n) ben − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (dizi))\right)^(i+1)=\left((\begin(dizi)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\right )\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left( (\begin(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(array))\right))

Yöntem aşağıdaki durumlarda doğrusal hızla yakınsayacaktır: ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ an n 1 … an n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

Çift dikey çubuklar matrisin bazı normlarını gösterir.

f(x)=0 denkleminin Newton yöntemini kullanarak çözümü, ilk yaklaşım: x 1 =a.

Newton yöntemi (teğet yöntemi)[ | ]

Tek boyutlu durum[ | ]

Orijinal denklemin dönüşümünü optimize etme f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) sıkıştırılmış bir ekrana x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) ikinci dereceden yakınsama oranına sahip bir yöntem elde etmemizi sağlar.

Eşlemenin en etkili olabilmesi için bir sonraki yineleme noktasında gereklidir. x ∗ (\displaystyle x^(*)) gerçekleştirillen φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Bu denklemin çözümünü formda arayacağız. φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), Daha sonra:

φ ′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alpha (x^(*))f"(x^(*))=0)

Şu gerçeği kullanalım f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) ve son formülü elde ederiz α (x) (\displaystyle \alpha (x)):

α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))

Bunu dikkate alarak sıkıştırma işlevi şu şekli alacaktır:

φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))

Daha sonra denklemin sayısal çözümünü bulmak için algoritma f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) yinelemeli bir hesaplama prosedürüne indirgenir:

x ben + 1 = x ben − f (x ben) f ′ (x ben) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i))))(f"(x_(i) ))))

1. f(x) = 0 denkleminin bir kökünü içeren bir parça bilinsin. f fonksiyonu bu parça (f(x)ОC 1 ) üzerinde sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu koşullar yerine getirilirse basit yineleme yöntemi kullanılabilir.

2. f(x) fonksiyonunu kullanarak, üç koşulu karşılayan bir j(x) fonksiyonu oluşturulur: sürekli türevlenebilir olmalıdır (j(x)ОC 1), öyle ki x denklemi = j(x), f(x)=0 denklemine eşdeğerdir; ayrıca olmalı bir bölümü tercüme et kendi içine.

j fonksiyonunun olduğunu söyleyeceğiz ( X ) segmenti çevirir [ A , B ] eğer herhangi biri içinse, kendi içine X Î [ A , B ], sen = J ( X ) aynı zamanda ait[ A , B ] ( sen Î [ A , B ]).

Üçüncü koşul j(x) fonksiyonuna uygulanır:

Yöntem formülü: x n +1 = j(xn).

3. Herhangi bir x başlangıç yaklaşımı için bu üç koşul karşılanırsa 0 О yineleme dizisi x n +1 = j(x n) denklemin köküne yakınsar: () parçasında x = j(x).

Kural olarak x 0 olarak uçlardan biri seçilir.

burada e belirtilen doğruluktur

Sayı x n +1 yinelemeli süreci durdurma koşulu karşılandığında, denklemin kökünün yaklaşık değeri segmentinde f(x) = 0, basit yineleme yöntemiyle doğrulukla bulundu e .

Denklemin kökünü açıklığa kavuşturmak için bir algoritma oluşturun: e doğruluğu ile basit yineleme yöntemini kullanarak bir parça üzerinde x 3 + 5x – 1 = 0 .

1. Fonksiyon f(x) = x 3 +5x-1 denklemin bir kökünü içeren aralıkta sürekli türevlenebilir.

2. Basit yineleme yöntemindeki en büyük zorluk, tüm koşulları karşılayan bir j(x) fonksiyonunun oluşturulmasıdır:

Dikkate almak: .

Denklem x = j 1 (x) f(x) = 0 denklemine eşdeğerdir, ancak j 1 (x) fonksiyonu aralıkta sürekli olarak türevlenebilir değildir.

Pirinç. 2.4. j fonksiyonunun grafiği 2(x)

Öte yandan bu nedenle . Dolayısıyla: sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Denklemin x = j 2 (x) f(x) = 0 denklemine eşdeğer olduğuna dikkat edin. . Grafikten (Şekil 2.4) j 2 (x) fonksiyonunun parçayı kendisine dönüştürdüğü açıktır.

j(x) fonksiyonunun parçayı içine alması koşulu şu şekilde yeniden formüle edilebilir: j(x) fonksiyonunun tanım bölgesi ve j(x)'in değişim bölgesi olsun.

Eğer parça parçaya aitse j(x) fonksiyonu parçayı kendine alır.

, .

j(x) fonksiyonu için tüm koşullar sağlanmıştır.

Yinelemeli süreç formülü: x n +1 = J 2(xn).

3. İlk yaklaşım: x 0 = 0.

4. Yinelemeli süreci durdurma koşulu:

Pirinç. 2.5. Basit yineleme yönteminin geometrik anlamı

Bu koşul karşılanırsa x n +1 – segmentteki kökün yaklaşık değeri, doğrulukla basit yinelemeyle bulundu e. İncirde. 2.5. Basit yineleme yönteminin uygulaması gösterilmiştir.

Yakınsama teoremi ve hata tahmini

Bölüme izin ver denklemin bir kökünü içerir x = j(x), işlev j(x ) aralıkta sürekli türevlenebilir , bölümü çevirir kendi içine ve koşul karşılanır:

Daha sonra herhangi bir ilk yaklaşım için x 0 О alt dizi denklemin köküne yakınsar sen = j(x ) segmentte ve hata tahmini adil:

Basit yineleme yönteminin kararlılığı. Yakınsama teoreminin koşulları karşılandığında basit yineleme yönteminin algoritması kararlıdır.

Basit yineleme yönteminin karmaşıklığı. Basit yineleme yöntemini uygulamak için gereken bilgisayar belleği miktarı önemsizdir. Her adımda x n'yi saklamanız gerekir , x n +1 , Q Ve e.

Basit yineleme yöntemini uygulamak için gereken aritmetik işlem sayısını tahmin edelim. Tüm n ³ n 0 için eşitsizlik geçerli olacak şekilde n 0 = n 0 (e) sayısı için bir tahmin yazalım:

Bu tahminden, q bire ne kadar yakınsa yöntemin yakınsaması o kadar yavaş olur.

Yorum. Yakınsama teoreminin tüm koşulları karşılanacak şekilde f(x)'ten j(x)'i oluşturmanın genel bir kuralı yoktur. Genellikle aşağıdaki yaklaşım kullanılır: j(x) = x + k× f(x) fonksiyonu j fonksiyonu olarak seçilir, burada k – devamlı.

Basit yineleme yöntemini programlarken, yinelemeli süreci durdurmak genellikle iki koşulun eşzamanlı olarak yerine getirilmesini gerektirir:

Ve .

Dikkate alacağımız diğer tüm yinelemeli yöntemler, basit yineleme yönteminin özel durumlarıdır. Örneğin, ne zaman Newton yöntemi, basit yineleme yönteminin özel bir durumudur.