Düz bir çizginin konumu ile bir daire arasındaki etkileşim. Ders "Bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu"

Didaktik amaç: yeni bilginin oluşumu.

Dersin Hedefleri.

Eğitici:

• matematiksel kavramlar oluşturmak: bir daireye teğet, bir doğrunun ve bir dairenin göreceli konumu, öğrencilerin bu kavramları anlamalarını ve pratik araştırma çalışmaları yoluyla yeniden üretmelerini sağlamak.

Sağlık tasarrufu:

• sınıfta olumlu bir psikolojik iklim yaratmak;

Eğitici:

• Öğrencilerde bilişsel ilgi, elde edilen sonuçları açıklama, özetleme, karşılaştırma, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerisi gelişir.

Eğitici:

• Matematik yoluyla kişisel kültürün eğitimi.

Eğitim formları:

• içerik - konuşma, pratik çalışma;
• faaliyetlerin organizasyonunda – bireysel, ön.

Ders planı

Teçhizat:

• bilgisayar, ekran, projektör;
• Bildiri.

Eğitim kaynakları:

1. Matematik. Genel eğitim kurumlarının 6. sınıflarına yönelik ders kitabı; / G.V.Dorofeev, M., Eğitim, 2009

2. Markova V.I. Devlet eğitim standardının uygulanması bağlamında geometri öğretiminin özellikleri: metodolojik öneriler, Kirov, 2010.

3. Atanasyan L.S. Ders Kitabı “Geometri 7-9”.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı. Bilginin güncellenmesi.

Öğretmen dersin konusunu duyurur. “Çember” kelimesiyle hangi çağrışımların ortaya çıktığını öğrenir.

Yarıçapı 2,4 cm ise dairenin çapı ne kadardır?

Çap 6,8 cm ise yarıçap nedir?

2. Hedef belirleme.

Öğrenciler derse yönelik hedeflerini belirler, öğretmen bunları özetler ve derse ilişkin hedefleri belirler.

Ders için bir etkinlik programı hazırlanır.

3. Yeni materyale aşinalık.

1) Modellerle çalışmak: "Düz bir çizginin ve dairenin bir düzlemde nasıl konumlandırılabileceğini modeller üzerinde gösterin."

Kaç ortak noktaları var?

2) Uygulamalı araştırma çalışmaları yürütmek.

Hedef. Bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumunun özelliğini belirleyin.

Ekipman: Bir kağıda çizilen bir daire ve düz bir çizgi olarak bir çubuk, bir cetvel.

1. Çizimde (bir kağıt üzerinde) dairenin ve düz çizginin göreceli konumunu belirleyin.
2. R çemberinin yarıçapını ve çemberin merkezinden d düz çizgisine olan mesafeyi ölçün.
3. Araştırmanın sonuçlarını bir tabloya kaydedin.

4. R ve d oranına bağlı olarak doğrunun ve dairenin göreceli konumu hakkında bir sonuç çıkarın.

Sonuç: Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık yarıçapa eşitse, düz çizgi çembere temas eder ve çemberle bir ortak noktası vardır. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık yarıçaptan büyükse çember ve düz çizginin ortak noktaları yoktur. Çemberin merkezinden doğruya olan uzaklık yarıçaptan küçükse doğru çemberi keser ve onunla ortak iki noktaya sahiptir.

5. Temel kavrama, problem çözme yoluyla pekiştirme.

1) Ders kitabı ödevleri: Sayı 498, Sayı 499.

2) Aşağıdaki durumlarda çizginin ve dairenin göreceli konumunu belirleyin:

• 1.K=16cm, d=12cm
• 2. R=5cm, d=4.2cm
• 3.R=7,2dm, d=3,7dm
• 4. R=8cm, d=1.2dm
• 5. R=5cm, d=50mm

a) düz bir çizgi ile bir dairenin ortak noktaları yoktur;

b) çizgi daireye teğettir;

c) Düz bir çizgi bir daireyle kesişiyor.

• d, dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafedir, R, dairenin yarıçapıdır.

3) Çemberin çapı 10,3 cm ve çemberin merkezinden çizgiye olan mesafe 4,15 cm ise, çizginin ve çemberin göreceli konumu hakkında ne söylenebilir; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) O merkezli ve A noktası olan bir daire veriliyor. Dairenin yarıçapı 7 cm ve OA doğru parçasının uzunluğu: a) 4 cm ise A noktası nerede bulunur? b) 10 cm; c) 70 mm.

6. Yansıma

Derste ne öğrendin?

Hangi model oluşturuldu?

Kartlarda aşağıdaki görevi tamamlayın:

Her iki noktadan geçen düz çizgiler çizin. Her bir doğrunun bir çemberle kaç ortak noktası vardır?

______ düz çizgisi ile dairenin ortak noktaları yoktur.

Bir doğrunun ______ ve bir dairenin yalnızca bir ___________ noktası vardır.

______, _______, _________, _______ düz çizgileri ve dairenin iki ortak noktası vardır.

7. Özetleme. Ev ödevi ayarlama:

1) dersin başında derlenen kümeyi analiz edin, edinilen bilgileri dikkate alarak değiştirin;

2) ders kitabı: No. 500;

3) tabloyu doldurun (kartlarda).

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreli konumu Bir düz çizgi ile bir dairenin, göreceli konumlarına bağlı olarak kaç tane ortak noktası olabileceğini bulalım. Düz bir çizginin bir dairenin merkezinden geçmesi durumunda, daireyi üzerinde bulunan çapın iki ucunda kestiği açıktır. bu prima.

Düz olmasına izin ver R yarıçap dairesinin merkezinden geçmiyor R. Bir dik çizelim O düz bir çizgiye R ve harfle belirtmek D bu dikin uzunluğu, yani bu dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe (Şekil 1) ). Arasındaki ilişkiye bağlı olarak bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumunu araştırıyoruz. D Ve R.Üç olası durum var.

1) d R noktadan N iki bölümü bir kenara bırakın AÇIK Ve NV, eşit uzunluklar (Şekil 1) Pisagor teoremine göre ÖA=,

0 B= Bu nedenle puan A Ve İÇİNDEçemberin üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğrunun ortak noktalarıdır R ve verilen daire.

Doğrunun olduğunu kanıtlayalım R ve bu çemberin başka hiçbir ortak noktası yoktur. Diyelim ki bir ortak C noktası daha var. O halde medyan Aşırı doz ikizkenar üçgen OAS. üsse taşındı AC, bu üçgenin yüksekliği yani HAKKINDADP. Segmentler Aşırı doz Ve O eşleşmiyor

ortasından beri D bölüm AC bir noktaya sığmıyor N - segmentin orta noktası , AB. O noktasından iki dik çizginin çizildiğini bulduk: O Ve OD- düz bir çizgiye R, ki bu imkansızdır. Bu yüzden Eğer mesafe Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapından küçüktür (D< р), O düz çizgi ve daireİki ortak nokta var. Bu durumda hat çağrılır sekantçemberle ilgili olarak.

2) d=R. Bu durumda OH=R, yani nokta Nçemberin üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğru ile çemberin ortak noktasıdır (Şekil 1, B). Dümdüz R ve dairenin başka hiçbir ortak noktası yoktur, çünkü herhangi bir nokta için M dümdüz R. Noktadan farklı N, OM>OH= R(eğik OM daha dik O), ve bu nedenle , M noktası çember üzerinde yer almıyor. Yani eğer yarışlarÇemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapa eşittir, bu durumda düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır.

3) d>R Bu durumda -OH> R Bu yüzden . herhangi bir nokta için M dümdüz p 0MON.>R( pirinç . 1,A) Bu nedenle M noktası çemberin üzerinde değildir. Bu yüzden, .eğer dairenin merkezinden olan mesafeDüz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ile çemberin ortak noktaları yoktur.

Bir doğrunun ve bir dairenin bir veya iki ortak noktası olabileceğini ve hiçbir ortak noktasının olmayabileceğini kanıtladık. Bir daire ile düz bir çizgi sadece bir ortak noktaya çemberin teğeti denir, ve onların ortak noktaya doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.Şekil 2'de düz bir çizgi var R- O merkezli bir daireye teğet, A- bağlantı noktası.

Teğet özelliğe ilişkin teoremi kanıtlayalım.

Teorem. Bir daireye teğet diktirİle temas noktasına çizilen yarıçap.

Kanıt. İzin vermek R- O merkezli bir daireye teğet. A- temas noktası (bkz. Şekil 2). Hadi kanıtlayalım. teğet nedir R yarıçapa dik OA.

Durumun böyle olmadığını varsayalım. Daha sonra yarıçap: OA düz bir çizgiye eğimlidir R. noktasından çizilen dikme nedeniyle HAKKINDA düz bir çizgiye R, daha az eğimli OA, ardından merkeze olan mesafeler HAKKINDA düz çizgiye daire R yarıçapından daha azdır. Bu nedenle düz çizgi R ve çemberin iki ortak noktası var. Ancak bu durumla çelişiyor; dümdüz R- teğet. Böylece düz R yarıçapa dik OA. Teorem kanıtlandı.

Merkezi olan bir daireye iki teğet düşünün HAKKINDA, noktadan geçerek A ve daireye bazı noktalarda dokunmak İÇİNDE ve C (Şekil 3). Segmentler AB Ve AC Hadi arayalım teğet bölümlernykh, A noktasından çizilir. Kanıtlanmış teoremden çıkan aşağıdaki özelliğe sahiptirler:

Bir noktadan çizilen bir daireye teğet olan parçalar eşittir ve bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen bir doğru ile eşit açılar yapar.

Bu ifadeyi kanıtlamak için Şekil 3'e dönelim. Teğet özelliği ile ilgili teoreme göre 1 ve 2 numaralı açılar dik açıdır, dolayısıyla üçgendir ASG Ve ASO dikdörtgen. Hipotenüsleri ortak olduğundan eşittirler OA ve eşit bacaklar doğum günü Ve İŞLETİM SİSTEMİ. Buradan, AB=AC ve 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Pirinç. 2 Şek. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" genişlik = "101" yükseklik = "19 src = ">.

Çapın temas noktasından çizilmesi BEN, sahip olacak: ; Bu yüzden

Pirinç. 1 Şek. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" genişlik = "191 yükseklik=177" yükseklik = "177">.jpg" genişlik = "227 yükseklik = 197" yükseklik = "197" >

Yaylar, akorlar ve akorların merkezden uzaklıkları arasındaki bağımlılık.

Teoremler. Bir daire içinde veya V eşit daireler :

1) yaylar eşitse, onları oluşturan kirişler eşit ve merkezden eşit uzaklıkta demektir;

2) yarım daireden daha küçük olan iki yay eşit değilse, bunlardan daha büyük olanı daha büyük olan akor tarafından desteklenir ve her iki akordan daha büyüğü merkeze daha yakın yerleştirilir. .

1) Yay olsun AB yaya eşit CD(Şekil 1), AB ve akorlarının kanıtlanması gerekmektedir. CD eşit ve aynı zamanda eşit ve dik OE Ve İLE İLGİLİ, merkezden akorlara indirildi.

Sektörü döndürelim OAJB merkezin etrafında HAKKINDA yarıçapı olacak kadar okla gösterilen yönde HAKKINDA ile çakıştı İŞLETİM SİSTEMİ. Sonra yay VA. bir yay şeklinde gidecek CD ve eşitlikleri nedeniyle bu yaylar örtüşecektir. Bu, AS akorunun akorla çakıştığı anlamına gelir CD ve dik OE ile örtüşecek İLE İLGİLİ(bir noktadan yalnızca bir dik açı düz bir çizgiye indirilebilir), yani. AB=CD Ve OE=İLE İLGİLİ.

2) Yay olsun AB(Şekil 2) daha az ark CD, ve ayrıca her iki yay da yarım daireden daha küçüktür; akorun olduğunu kanıtlamak gerekiyor AB daha az akor CD, ve dik OE daha dik İLE İLGİLİ. Hadi onu yayın üzerine koyalım CD yay SK, eşittir AB, ve yardımcı bir akor çizin SK Kanıtlanmış olana göre akora eşittir AB ve merkeze eşit uzaklıkta. Üçgenlerde MORİNA. Ve MEYVE SUYU birinin iki kenarı diğerinin iki kenarına eşittir (yarıçaplar gibi), ancak bu kenarlar arasındaki açılar eşit değildir; bu durumda, bildiğimiz gibi, açılardan daha büyük olana karşı, yani. ICOD, daha büyük olan taraf yalan söylemeli, yani CD>CK, ve bu yüzden CD>AB.

Bunu kanıtlamak için OE>İLE İLGİLİ, biz yöneteceğiz OLXCK ve kanıtlanmış olanlara göre şunu dikkate alın: OE=OL; bu nedenle karşılaştırmamız yeterli İLE İLGİLİİle OL. Bir dik üçgende 0 FM(şekilde kısa çizgilerle gösterilmiştir) hipotenüs OM daha fazla bacak İLE İLGİLİ; Ancak OL>OM; bu daha da fazlası anlamına geliyor OL>İLE İLGİLİ. ve bu yüzden OE>İLE İLGİLİ.

Bir çember için kanıtladığımız teorem eşit çemberler için de geçerlidir, çünkü bu tür çemberler birbirlerinden yalnızca konum bakımından farklılık gösterir.

Ters teoremler. Önceki paragrafta, aynı yarıçaptaki iki yayın karşılaştırmalı boyutuyla ilgili her türlü birbirini dışlayan durumlar dikkate alındığından ve kirişlerin karşılaştırmalı boyutu ve bunların merkezden uzaklıkları konusunda birbirini dışlayan sonuçlar elde edildiğinden, bunun tersi önermeler olmalıdır. doğru, ç. Kesinlikle:

İÇİNDE bir daire veya eşit daireler:

1) eşit akorlar merkezden eşit derecede uzaktadır ve eşit yaylara karşılık gelir;

2) merkezden eşit uzaklıktaki akorlar eşittir ve eşit yaylara karşılık gelir;

3) iki eşit olmayan akordan büyük olanı merkeze daha yakındır ve daha büyük olan yayın karşısındadır;

4) merkezden eşit olmayan uzaklıktaki iki akorun merkeze daha yakın olan daha büyüktür ve daha büyük bir yaya karşılık gelir.

Bu önermeler çelişkiyle kolayca kanıtlanabilir. Örneğin, bunlardan ilkini kanıtlamak için şu şekilde akıl yürütüyoruz: eğer bu akorlar eşit olmayan yaylar içeriyorsa, o zaman doğrudan teoreme göre eşit olmazlar, bu da koşulla çelişir; Bu, eşit akorların eşit yayları karşılaması gerektiği anlamına gelir; ve eğer yaylar eşitse, o zaman direkt teoreme göre, onları çevreleyen kirişler merkezden eşit derecede uzaktadır.

Teorem. Çap akorların en büyüğüdür .

Merkeze bağlanırsak HAKKINDA merkezden geçmeyen bir akorun uçları, örneğin bir akor AB(Şekil 3) sonra bir üçgen elde ederiz AOB, bir tarafın bu akor olduğu ve diğer ikisinin yarıçap olduğu, Ancak bir üçgende her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür; bu nedenle akor AB iki yarıçapın toplamından daha az; oysa her çap CD iki yarıçapın toplamına eşittir. Bu, çapın merkezden geçmeyen herhangi bir kirişten daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak çap aynı zamanda bir akor olduğu için çapın akorların en büyüğü olduğunu söyleyebiliriz.

Pirinç. 1 Şek. 2

Teğet teoremi.

Daha önce de belirtildiği gibi, bir noktadan bir daireye çizilen teğet doğru parçaları aynı uzunluğa sahiptir. Bu uzunluğa denir teğet mesafe bir noktadan bir daireye.

Teğet teoremi olmadan, içi yazılı çemberlerle, yani bir çokgenin kenarlarına değen çemberlerle ilgili birden fazla problemi çözmek mümkün değildir.

Bir üçgende teğet uzaklıklar.

Üçgenin kenarlarının eşit olduğu bölümlerin uzunluklarını bulun ABC içine bir daire yazılan teğet noktalara bölünür (Şekil 1,a), örneğin teğet mesafe ta noktadan Açembere. Kenarları ekleyelim B Ve C ve ardından tarafı toplamdan çıkarın A. Bir köşeden çizilen teğetlerin eşitliğini dikkate alarak 2 elde ederiz. ta. Bu yüzden,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Nerede p=(a+b+C)/ 2 bu üçgenin yarı çevresidir. Köşelere bitişik yan bölümlerin uzunluğu İÇİNDE Ve İLE, sırasıyla eşittir P-B Ve P-C.

Benzer şekilde, kenara (dışa) teğet olan bir üçgenin dış çemberi için A(Şekil 1, b), teğet mesafeler İÇİNDE Ve İLE sırasıyla eşittir P-C Ve P-B ve üstten A- Sadece P.

Bu formüllerin ters yönde de kullanılabileceğini unutmayın.

Bırak gitsin köşeye SEN bir daire yazılmıştır ve açının tepe noktasından daireye olan teğet mesafesi eşittirP veyaP- A, NeredeP– bir üçgenin yarı çevresi ABC, A a=BC. Sonra daire çizgiye dokunuyor Güneş(sırasıyla üçgenin dışında veya içinde).

Aslında örneğin teğet mesafesi eşit olsun P-A. Daha sonra dairelerimiz üçgenin iç çemberiyle aynı noktalarda açının kenarlarına değiyor ABC yani onunla örtüşüyor demektir. Bu nedenle çizgiye dokunuyor Güneş.

Çevrelenmiş dörtgen. Teğetlerin eşitliği teoreminden hemen şu sonuç çıkar (Şekil 2a):

Bir daire bir dörtgene yazılabilirse, karşıt kenarlarının toplamı eşittir:

AD+ BC= AB+ CD

Tanımlanan dörtgenin mutlaka dışbükey olduğuna dikkat edin. Bunun tersi de doğrudur:

Dörtgen dışbükeyse ve karşıt kenarlarının toplamları eşitse, içine bir daire yazılabilir.

Bunu paralelkenar dışındaki bir dörtgen için kanıtlayalım. Örneğin bir dörtgenin karşılıklı iki kenarı olsun AB Ve DC, devam edildiğinde bir noktada kesişecekler e(Şekil 2, b). Bir üçgenin içine bir daire çizelim ADE. Teğet mesafesi te diyeceğim şey şu ki e formülle ifade edilir

te=½ (AE+ED-AD).

Ancak şarta göre bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamı eşittir, yani AD+BC=AB+CD, veya reklam=AB+CD-M.Ö.. Bu değeri ifadede yerine koymak te, alıyoruz

te=½ ((AE...AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE +EC+M.Ö),

ve bu üçgenin yarı çevresi M.Ö.. Yukarıda kanıtlanan teğetlik koşulundan dairemizin birbirine değdiği sonucu çıkar M.Ö..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width = "336" height = "198 src = ">

Dairenin dışındaki bir noktadan daireye çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan düz çizgi ile eşit açılar oluşturur; bu, AOB ve AOB1 dik üçgenlerinin eşitliğinden kaynaklanır.

Bir düzlem üzerinde bir daire ve bir düz çizgi verilsin. Bu düz çizgiye C çemberinin merkezinden bir dikme bırakalım; bu dikmenin tabanını gösterelim. Bir nokta çembere göre üç olası konumu işgal edebilir: a) çemberin dışındadır, b) çemberin üzerindedir, c) çemberin içindedir. Buna bağlı olarak düz çizgi, aşağıda açıklanan daireye göre olası üç farklı konumdan birini işgal edecektir.

a) Çemberin C merkezinden düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanının çemberin dışında kalmasına izin verin (Şekil 197). O zaman düz çizgi daireyi kesmez; tüm noktaları dış bölgededir. Aslında, belirtilen durumda, koşul gereği merkezden yarıçaptan daha büyük bir mesafede çıkarılır). Dahası, sahip olduğumuz bir düz çizgi üzerindeki herhangi bir M noktası için, yani belirli bir düz çizgi üzerindeki her nokta çemberin dışında yer alır.

b) Dikliğin tabanının dairenin üzerine düşmesine izin verin (Şek. 198). O halde a düz çizgisinin çemberle tam olarak bir ortak noktası vardır. Aslında, eğer M doğrunun herhangi bir başka noktası ise, o zaman (eğimli olanlar dikeyden daha uzundur) M noktası dış bölgede yer alır. Çemberle tek ortak noktası olan böyle bir doğruya bu noktada çembere teğet denir. Tersine, eğer bir doğrunun bir daire ile tek bir ortak noktası varsa, o zaman bu noktaya çizilen yarıçapın bu düz çizgiye dik olduğunu gösterelim. Aslında bu doğrunun üzerine merkezden bir dikme bırakalım. Eğer tabanı çemberin içindeyse, c)'de gösterildiği gibi düz çizginin onunla iki ortak noktası olacaktır. Eğer dairenin dışında yer alıyorsa, o zaman a) nedeniyle düz çizginin daire ile ortak noktaları olmayacaktır.

Bu nedenle, dikey çizginin çizginin ve dairenin ortak noktasına - teğet oldukları noktaya düştüğünü varsaymak kalır. Önemli olduğu kanıtlanmış

Teorem. Bir daire üzerindeki bir noktadan geçen düz bir çizgi, ancak ve ancak o noktaya çizilen yarıçapa dik olması durumunda daireye dokunur.

Burada verilen bir daireye teğet tanımının diğer eğrilere taşınmadığına dikkat edin. Düz bir çizginin eğri bir çizgiye teğetinin daha genel bir tanımı, limitler teorisi kavramlarıyla ilişkilidir ve yüksek matematik dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Burada bununla ilgili sadece genel bir kavram vereceğiz. Bir daire ve onun üzerinde bir A noktası verilsin (Şekil 199).

Çember üzerinde başka bir A noktası alalım ve AA düz çizgisinin her iki noktasını birleştirelim. Bir daire boyunca hareket eden A noktasının bir dizi yeni konum işgal etmesine ve A noktasına giderek daha fazla yaklaşmasına izin verin. A'nın etrafında dönen AA düz çizgisi bir dizi konum alır: bu durumda, hareket eden nokta A noktasına yaklaşırken , düz çizgi AT teğeti ile çakışma eğilimindedir. Bu nedenle, bir teğetten, belirli bir noktadan geçen bir kesenin ve ona sınırsızca yaklaşan bir eğri üzerindeki bir noktanın sınırlayıcı konumu olarak bahsedebiliriz. Bu formda, bir teğetin tanımı çok genel bir formdaki eğrilere uygulanabilir (Şekil 200).

c) Son olarak noktanın dairenin içinde kalmasına izin verin (Şek. 201). Daha sonra . Tabanları bu noktadan iki olası yönden herhangi birinde uzaklaşan, C merkezinden a düz çizgisine çizilen eğik daireleri ele alacağız. Tabanı noktadan uzaklaştıkça eğimin uzunluğu monoton bir şekilde artacaktır; eğimin uzunluğundaki bu artış, keyfi olarak büyük değerlere yakın değerlerden kademeli olarak ("sürekli") meydana gelir, bu nedenle şu açıktır: eğimli tabanların belirli bir konumunda uzunlukları, daire üzerinde yer alacak doğrunun karşılık gelen K ve L noktalarına tam olarak eşit olacaktır.