Çokgen çokgen bir şekil midir? Düzenli çokgen

§ 1 Üçgen kavramı

Bu derste üçgen ve çokgen gibi şekillere aşina olacaksınız.

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta doğru parçalarıyla birbirine bağlanırsa bir üçgen elde edilir. Bir üçgenin üç köşesi ve üç tarafı vardır.

Bir ABC üçgeni olmadan önce, üç köşesi (A noktası, B noktası ve C noktası) ve üç kenarı (AB, AC ve CB) vardır.

Bu arada, aynı taraflara farklı adlar verilebilir:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde üç açı oluşturur. Resimde A açısını, B açısını, C açısını görüyorsunuz.

Dolayısıyla üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birbirine bağlayan üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir.

§ 2 Çokgen kavramı ve türleri

Üçgenlere ek olarak dörtgenler, beşgenler, altıgenler vb. vardır. Tek kelimeyle çokgenler olarak adlandırılabilirler.

Şekilde dörtgen DMKE'yi görüyorsunuz.

D, M, K ve E noktaları dörtgenin köşeleridir.

DM, MK, KE, ED segmentleri bu dörtgenin kenarlarıdır. Tıpkı bir üçgende olduğu gibi, bir dörtgenin kenarları, tahmin ettiğiniz gibi, köşelerde dört açı oluşturur, dolayısıyla dörtgen adı da buradan gelir. Bu dörtgen için şekilde D açısı, M açısı, K açısı ve E açısı görüyorsunuz.

Hangi dörtgenleri zaten biliyorsunuz?

Kare ve dikdörtgen! Her birinin dört köşesi ve dört tarafı vardır.

Bir diğer çokgen türü ise beşgendir.

O, P, X, Y, T noktaları beşgenin köşeleridir ve TO, OP, PX, XY, YT parçaları bu beşgenin kenarlarıdır. Bir beşgenin sırasıyla beş açısı ve beş tarafı vardır.

Sizce altıgenin kaç açısı ve kaç kenarı vardır? Bu doğru, altı! Benzer şekilde akıl yürüterek belirli bir çokgenin kaç kenarı, köşesi veya açısı olduğunu söyleyebiliriz. Ve bir üçgenin aynı zamanda tam olarak üç açısı, üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Böylece bu derste üçgen ve çokgen gibi kavramlarla tanıştınız. Üçgenin 3 köşesi, 3 kenarı ve 3 açısı olduğunu, dörtgenin 4 köşesi, 4 kenarı ve 4 açısı olduğunu, bir beşgenin 5 kenarı, 5 köşesi, 5 açısı olduğunu vb. öğrendik.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri 31. baskı, silindi. - E: 2013.
2. Matematik 5. sınıf didaktik materyaller. Yazar - Popov M.A. - 2013 yılı
3. Hatasız hesaplıyoruz. Matematik 5-6. Sınıflarda kendi kendine test ile çalışın. Yazar - Minaeva S.S. - yıl 2014
4. Matematik 5. sınıf didaktik materyaller. Yazarlar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Matematik 5. sınıf testleri ve bağımsız çalışma. Yazarlar - Popov M.A. - yıl2012
6. Matematik. 5. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009

Çokgen türleri:

Dörtgenler

Dörtgenler sırasıyla 4 kenar ve açıdan oluşur.

Karşılıklı kenarlara ve açılara denir zıt.

Köşegenler dışbükey dörtgenleri üçgenlere böler (resme bakın).

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı 360°'dir ((4-2)*180° formülü kullanılarak).

Paralelkenarlar

Paralelkenar kenarları karşılıklı paralel olan dışbükey bir dörtgendir (şekilde 1 numara ile gösterilmiştir).

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar her zaman eşittir.

Ve kesişme noktasındaki köşegenler ikiye bölünür.

Trapez

Yamuk- bu aynı zamanda bir dörtgendir ve yamuklar Sadece iki kenar paraleldir, bunlara denir sebepler. Diğer taraflar ise taraflar.

Şekildeki yamuk 2 ve 7 ile numaralandırılmıştır.

Bir üçgende olduğu gibi:

Kenarlar eşitse yamuk ikizkenar;

Açılardan biri doğru ise yamuk dikdörtgen.

Yamuğun orta çizgisi tabanların toplamının yarısına eşit ve onlara paraleldir.

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır.

Paralelkenarın özelliklerine ek olarak, eşkenar dörtgenlerin kendi özel özellikleri vardır: Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir birbirimiz ve eşkenar dörtgenin köşelerini ikiye böl.

Resimde 5 numaralı eşkenar dörtgen bulunmaktadır.

Dikdörtgenler

Dikdörtgen her açının dik olduğu bir paralelkenardır (bkz. Şekil 8).

Paralelkenarın özelliklerine ek olarak dikdörtgenlerin kendi özel özellikleri de vardır: Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.

Kareler

Kare tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir (No. 4).

Bir dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir (çünkü tüm kenarlar eşittir).

Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Konu: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.

Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.

Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.

Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'deki bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.

Çokgenlerin özelliklerini tanımlamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?

Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.

Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon'u gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.

Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon

Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

Kaynakça

1. Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Ev ödevi

Çokgenlerin Özellikleri

Bir çokgen, genellikle kendi kendine kesişmeyen kapalı bir kesikli çizgi olarak tanımlanan geometrik bir şekildir (basit bir çokgen (Şekil 1a)), ancak bazen kendi kendine kesişmelere izin verilir (bu durumda çokgen basit değildir).

Çokgenin köşelerine çokgenin köşeleri, parçalarına da çokgenin kenarları denir. Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçları ise bitişik olarak adlandırılır. Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren parçalara köşegenler denir.

Belirli bir tepe noktasındaki dışbükey bir çokgenin açısı (veya iç açısı), kenarlarının bu tepe noktasında yakınlaşmasıyla oluşan açıdır ve açı, çokgenin kenarından hesaplanır. Özellikle çokgen dışbükey değilse açı 180°'yi aşabilir.

Belirli bir tepe noktasındaki bir dışbükey çokgenin dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç açısına bitişik açıdır. Genel olarak bir dış açı, 180° ile bir iç açı arasındaki farktır. > 3 için -gon'un her köşesinin 3 köşegeni vardır, dolayısıyla -gon'un toplam köşegen sayısı eşittir.

Üç köşeli bir çokgene üçgen, dört köşeli bir dörtgen, beş köşeli bir beşgen vb. denir.

Çokgen ile N köşeler denir N- kare.

Düz çokgen, bir çokgen ve onunla sınırlı alanın sonlu bir kısmından oluşan bir şekildir.

Aşağıdaki (eşdeğer) koşullardan biri karşılanırsa bir çokgene dışbükey denir:

• 1. Komşu köşelerini birleştiren herhangi bir düz çizginin bir tarafında yer alır. (yani çokgenin kenarlarının uzantıları diğer kenarlarıyla kesişmez);
• 2. birkaç yarım düzlemin kesişimidir (yani ortak kısım);
• 3. Çokgene ait noktalarda uçları olan herhangi bir parça tamamen ona aittir.

Tüm kenarlar eşitse ve tüm açılar eşitse, örneğin bir eşkenar üçgen, kare ve beşgen gibi dışbükey bir çokgene normal denir.

Bir dışbükey çokgenin tüm kenarları bir daireye değiyorsa, bu çokgenin bir daire etrafında çevrelendiği söylenir.

Düzenli bir çokgen, tüm açıların ve tüm kenarların eşit olduğu bir çokgendir.

Çokgenlerin özellikleri:

1 Dışbükey bir -gon'un her köşegeni (>3) onu iki dışbükey çokgene ayırır.

2 Dışbükey bir üçgenin tüm açılarının toplamı eşittir.

D-vo: Teoremi matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlayacağız. = 3'te açıktır. Teoremin bir -gon için doğru olduğunu varsayalım; <, ve bunu -gon için kanıtlayın.

Verilen bir çokgen olsun. Bu çokgenin köşegenini çizelim. Teorem 3'e göre çokgen bir üçgene ve bir dışbükey üçgene ayrıştırılır (Şekil 5). Tümevarım hipoteziyle. Diğer tarafta, . Bu eşitlikleri toplamak ve dikkate almak (- iç açılı ışın ) Ve (- iç açılı ışın ), aldığımızda: .

3 Herhangi bir normal çokgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.

D-vo: Düzgün bir çokgen olsun ve açıların açıortayları olsun (Şekil 150). O zamandan bu yana, bu nedenle, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке HAKKINDA. Hadi bunu kanıtlayalım Ö = OA 2 = HAKKINDA =… = OA P . Üçgen HAKKINDA ikizkenar bu nedenle HAKKINDA= HAKKINDA. Dolayısıyla üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere göre, HAKKINDA = HAKKINDA. Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki HAKKINDA = HAKKINDA vesaire. Yani asıl nokta HAKKINDAçokgenin tüm köşelerine eşit uzaklıkta olduğundan merkezi olan bir daire HAKKINDA yarıçap HAKKINDAçokgen etrafında sınırlandırılmıştır.

Şimdi sadece tek bir sınırlı çemberin olduğunu kanıtlayalım. Örneğin bir çokgenin üç köşesini düşünün, A 2 , . Bu noktalardan sadece bir daire geçtiği için çokgenin etrafında … Birden fazla daire tanımlayamazsınız.

• 4 Herhangi bir normal çokgenin içine yalnızca bir tane daire yazabilirsiniz.
• 5 Düzgün bir çokgenin içine yazılan bir daire, çokgenin kenarlarına orta noktalarından dokunuyor.
• 6 Düzgün bir çokgenin çevrelediği bir dairenin merkezi, aynı çokgenin içine yazılan bir dairenin merkezi ile çakışmaktadır.
• 7 Simetri:

Bu şekli kendine çeviren (özdeş olmayan) bir hareket varsa, şeklin simetriye (simetrik) sahip olduğunu söylerler.

• 7.1. Genel bir üçgenin ekseni veya simetri merkezi yoktur; asimetriktir. Bir ikizkenar (ancak eşkenar değil) üçgenin bir simetri ekseni vardır: tabana dik açıortay.
• 7.2. Eşkenar üçgenin üç simetri ekseni (kenarlara dik açıortaylar) ve merkez etrafında 120° dönme açısıyla dönme simetrisi vardır.

7.3 Herhangi bir düzgün n-gon'un n tane simetri ekseni vardır ve bunların tümü onun merkezinden geçer. Ayrıca merkez etrafında dönme açısına sahip dönme simetrisine sahiptir.

Ne zaman bile N Bazı simetri eksenleri karşıt köşelerden, bazıları ise karşıt kenarların orta noktalarından geçer.

Tek için N her eksen karşı tarafın üstünden ve ortasından geçer.

Kenar sayısı çift olan düzgün bir çokgenin merkezi simetri merkezidir. Kenar sayısı tek olan düzgün bir çokgenin simetri merkezi yoktur.

8 Benzerlik:

Benzerlik ve -gon -gon'a, yarı düzlem yarı düzleme gider, bu nedenle dışbükey N-açı dışbükey olur N-gon.

Teorem: Dışbükey çokgenlerin kenarları ve açıları eşitlikleri sağlıyorsa:

podyum katsayısı nerede

o zaman bu çokgenler benzerdir.

• 8.1 İki benzer çokgenin çevrelerinin oranı benzerlik katsayısına eşittir.
• 8.2. İki dışbükey benzer çokgenin alanlarının oranı benzerlik katsayısının karesine eşittir.

çokgen üçgen çevre teoremi

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı gösterme

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.