Números n en una línea de coordenadas. Recta de coordenadas (recta numérica), rayo de coordenadas

Línea de coordenadas.

Tomemos una línea recta ordinaria. Llamémosla línea recta x (Fig. 1). Seleccionemos un punto de referencia O en esta recta, y también indiquemos con una flecha la dirección positiva de esta recta (Fig. 2). Así, tendremos números positivos a la derecha del punto O, y números negativos a la izquierda. Elijamos una escala, es decir, el tamaño de un segmento de línea recta, igual a uno. Lo hicimos línea de coordenadas(Fig. 3). Cada número corresponde a un único punto específico en esta línea. Además, este número se llama coordenada de este punto. Por eso la línea se llama línea de coordenadas. Y el punto de referencia O se llama origen.

Por ejemplo, en la Fig. 4 el punto B se encuentra a una distancia de 2 a la derecha del origen. El punto D se encuentra a una distancia de 4 a la izquierda del origen. En consecuencia, el punto B tiene la coordenada 2 y el punto D tiene la coordenada -4. El propio punto O, al ser un punto de referencia, tiene la coordenada 0 (cero). Generalmente se escribe así: O(0), B(2), D(-4). Y para no decir constantemente "punto D con tal o cual coordenada", dicen más simplemente: "punto 0, punto 2, punto -4". Y en este caso basta con designar el propio punto por sus coordenadas (Fig. 5).

Conociendo las coordenadas de dos puntos en una recta de coordenadas, siempre podemos calcular la distancia entre ellos. Digamos que tenemos dos puntos A y B con coordenadas a y b, respectivamente. Entonces la distancia entre ellos será |a - b|. Notación |a - b| se lee como "módulo a menos b" o "módulo de la diferencia entre los números a y b".

¿Qué es un módulo?

Algebraicamente, el módulo de un número x no es un numero negativo. Denotado por |x|. Además, si x > 0, entonces |x| =x. si x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geométricamente, el módulo de un número x es la distancia entre un punto y el origen. Y si hay dos puntos con coordenadas x1 y x2, entonces |x1 - x2| es la distancia entre estos puntos.

El módulo también se llama valor absoluto.

¿Qué más podemos decir cuando estamos hablando acerca de sobre la línea de coordenadas? Por supuesto sobre intervalos numéricos.

Tipos de intervalos numéricos.

Digamos que tenemos dos números a y b. Además, b > a (b es mayor que a). En una línea de coordenadas, esto significa que el punto b está a la derecha del punto a. Reemplacemos b en nuestra desigualdad con la variable x. Esto es x > a. Entonces x son todos los números mayores que a. En la línea de coordenadas, estos son, respectivamente, todos los puntos a la derecha del punto a. Esta parte de la línea está sombreada (Fig. 6). A este conjunto de puntos se le llama haz abierto , y esto intervalo numérico denota (a; +∞), donde el signo +∞ se lee como “más infinito”. Tenga en cuenta que el punto a en sí no está incluido en este intervalo y está indicado por un círculo claro.

Consideremos también el caso en el que x ≥ a. Entonces x son todos los números mayores o iguales a a. En la línea de coordenadas, estos son todos los puntos a la derecha de a, así como el propio punto a (en la Fig. 7, el punto a ya está indicado con un círculo oscuro). A este conjunto de puntos se le llama haz cerrado (o simplemente una viga), y este intervalo numérico se designa.

La línea de coordenadas también se llama eje de coordenadas . O simplemente el eje x.

Tema: “Coordenadas en línea recta”.

• Dar ideas completas sobre nuevos números.
• Aprenda a leer y escribir números positivos y negativos y representarlos como puntos en una línea.
• Determinar las coordenadas de puntos, encontrar la coordenada de un punto, marcar un punto en una línea de coordenadas por su coordenada.
• Desarrollar habilidades actividad mental, atención, cultura de lectura, cultura discurso matemático, desarrollar la actividad estudiantil.

Equipo: línea de coordenadas de demostración, termómetro de demostración, mesas, herramientas (regla con divisiones), tarjetas.

2. Conteo oral."Método de aterrizaje suave".

¿Dunno resolvió los ejemplos correctamente?

¿Qué rayo se llama rayo de coordenadas?

¿El rayo de coordenadas tiene un final? ¿Comenzar?

¿Qué números corresponden a los puntos A, E, C, D del rayo de coordenadas?

¿Qué puntos del rayo de coordenadas corresponden a los números 2, 4, 5, 8?

2. Preparación para estudiar material nuevo.

Problema 1. La ardilla ha salido del hueco y corre de arriba a abajo por el tronco del árbol.

¿Qué necesitas saber para determinar la posición de una ardilla en un árbol? ¿Es suficiente saber sólo la distancia de la ardilla al hueco?

Problema 2. El meteorito salió de la localidad de Gornopravdinsk y se mueve a una velocidad de 40 km/h.

¿Dónde estará Meteor en 2 horas?

¿Es suficiente saber sólo la distancia? ( Respuesta: no, también necesitas saber la dirección).

3. Presentación de material nuevo.

Trabajo práctico con la clase.. (Trabajo del alumno en el pizarrón y trabajo de clase en un cuaderno).

Dibuja una línea horizontal.

Marque el punto O en él (origen).

Seleccione un solo segmento y muévalo hacia la derecha y hacia la izquierda desde el origen una, dos, tres, etc. una vez.

Debajo de cada punto, etiquete el número correspondiente.

¿Por qué esta escala es inconveniente? (El mismo número aparece debajo de dos puntos diferentes).

¿Cómo salir de esta dificultad?

En matemáticas se acostumbra escribir los números que van a la izquierda del origen con un signo menos “-”.

Introducción del concepto de números positivos y negativos.

La dirección hacia la derecha desde el origen se llama positiva y la dirección en línea recta se indica con una flecha. Los números ubicados a la derecha del punto O se llaman positivo.

A la izquierda del punto O se encuentra números negativos, y la dirección a la izquierda del punto O se llama negativa (la dirección negativa no está indicada).

Los números negativos se escriben con un signo "-".

Leen: “Menos uno”, “Menos dos”, “Menos tres”, etc.

El número 0 – el origen no es un número positivo ni negativo. Separa los números positivos de los negativos.

Línea de coordenadas.

Definición: una línea recta con un punto de referencia, un segmento unitario y una dirección seleccionada en él se llama línea de coordenadas.

Tarea: nombra una línea entre estas líneas que sea una línea de coordenadas.

Coordenada del punto.

Definición: un número que indica la posición de un punto en una línea se llama coordenada de este punto.

Trabajar según el libro de texto. Repita la definición de la línea de coordenadas; coordenadas del punto.

Introduzca el concepto de línea de coordenadas vertical.

Trabajar según la tabla.

Dicen: “El punto A tiene la coordenada 2”; "El punto C tiene coordenadas - 4".

Escriben: A (2); V (3,5); C (-4); D(-2).

Se lee: “Punto A con coordenada 2”; “Punto C con coordenada – 4”, etc.

Alivio psicológico:(Suena la banda sonora “sonido del mar”).

En el contexto del "ruido de las olas", suena un fragmento de la obra de M. Gorky "La canción del halcón":

“... El enorme mar, suspirando perezosamente cerca de la orilla, se quedó dormido e inmóvil en la distancia, bañado por el resplandor azul de la luna. Suave y plateado, se funde allí con el cielo azul y tierno y duerme profundamente, reflejando el tejido transparente de los cirros, inmóviles y sin ocultar los patrones dorados de las estrellas. Parece que el cielo se inclina cada vez más sobre el mar, queriendo entender qué susurran las olas inquietas, deslizándose soñolientas hacia la orilla…”

4. Consolidación de nuevo material.

Momento del juego.(Tablero de demostración con una línea de coordenadas).

El profesor refuerza el punto. Los estudiantes nombran su coordenada.

El profesor llama al número. Los estudiantes fortalecen un punto con una coordenada dada.

Trabajo practico:(En las mesas hay tarjetas con una línea de coordenadas en la que se marcan los puntos).

Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, K, O, M.

Momento del juego:"Encuentra el error."

Los puntos A, B, C, D están marcados en la línea de coordenadas.

Dunno anotó las coordenadas de los puntos de esta manera: A (2), B (- 3), C (- 2), D (- 4). ¿Lo escribió correctamente?

5. Resumen de la lección.

Los estudiantes responden las preguntas del profesor:

¿Qué línea se llama línea de coordenadas?

¿Qué números son las coordenadas de los puntos en la línea de coordenadas a la derecha del origen? ¿A la izquierda del origen?

¿Cuál es la coordenada del origen?

6. Calificación.

7. Tarea: párrafo 26, núm. 902 - oral, núm. 903, núm. 904.

Así, un segmento unitario y sus partes décima, centésima, etc. nos permiten llegar a los puntos de la recta de coordenadas, que corresponderán a las fracciones decimales finales (como en el ejemplo anterior). Sin embargo, hay puntos en la línea de coordenadas a los que no podemos llegar, pero a los que podemos acercarnos tanto como queramos, usando puntos cada vez más pequeños hasta una fracción infinitesimal de un segmento unitario. Estos puntos corresponden a infinitas fracciones decimales periódicas y no periódicas. Pongamos algunos ejemplos. Uno de estos puntos en la línea de coordenadas corresponde al número 3.711711711...=3,(711) . Para llegar a este punto, es necesario reservar 3 segmentos unitarios, 7 décimos, 1 centésima, 1 milésima, 7 diezmilésimas, 1 cienmilésima, 1 millonésima de un segmento unitario, etc. Y otro punto de la recta de coordenadas corresponde a pi (π=3,141592...).

Dado que los elementos del conjunto de los números reales son todos números que se pueden escribir en forma finita e infinita. decimales, entonces toda la información presentada anteriormente en este párrafo nos permite afirmar que hemos asignado cada punto de la línea de coordenadas a un específico Número Real, y está claro que diferentes puntos corresponden a diferentes números reales.

También es bastante obvio que esta correspondencia es uno a uno. Es decir, podemos asignar un número real a un punto específico en una línea de coordenadas, pero también podemos indicar para un número real dado punto específico en la recta de coordenadas a la que corresponde el número real dado. Para ello, tendremos que posponer desde el inicio de la cuenta atrás en en la dirección correcta Una cierta cantidad de segmentos individuales, así como décimas, centésimas, etc. de fracciones de un segmento unitario. Por ejemplo, el número 703.405 corresponde a un punto en la línea de coordenadas, al que se puede llegar desde el origen trazando en dirección positiva 703 segmentos unitarios, 4 segmentos que constituyen una décima parte de una unidad y 5 segmentos que constituyen una milésima de una unidad. .

Entonces, a cada punto de la recta de coordenadas hay un número real, y cada número real tiene su lugar en forma de punto en la recta de coordenadas. Es por eso que la línea de coordenadas a menudo se llama numero de linea.

Coordenadas de puntos en una línea de coordenadas.

El número correspondiente a un punto sobre una recta de coordenadas se llama coordenada de este punto.

En el párrafo anterior dijimos que cada número real corresponde a un único punto en la recta de coordenadas, por lo tanto, la coordenada de un punto determina de forma única la posición de este punto en la recta de coordenadas. En otras palabras, la coordenada de un punto define de forma única este punto en la línea de coordenadas. Por otro lado, cada punto de la línea de coordenadas corresponde a un único número real: la coordenada de este punto.

Todo lo que queda por decir es sobre notaciones aceptadas. La coordenada del punto se escribe en paréntesis a la derecha de la letra que representa el punto. Por ejemplo, si el punto M tiene coordenadas -6, entonces puedes escribir M(-6), y la notación de la forma significa que el punto M en la línea de coordenadas tiene coordenadas.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemáticas: libro de texto para 5to grado. Instituciones educacionales.
• Vilenkin N.Ya. y otros. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.

Es imposible afirmar que sabes matemáticas si no sabes construir gráficas, representar desigualdades en una línea de coordenadas y trabajar con ejes de coordenadas. El componente visual en la ciencia es vital, porque sin ejemplos ilustrativos A veces puedes confundirte mucho con las fórmulas y los cálculos. En este artículo veremos cómo trabajar con ejes de coordenadas y aprenderemos a construir gráficas simples de funciones.

Solicitud

La línea de coordenadas es la base de los tipos de gráficos más simples que encuentra un escolar en su camino educativo. Se utiliza en casi todos tema de matematicas: al calcular velocidad y tiempo, proyectar las dimensiones de objetos y calcular su área, en trigonometría al trabajar con senos y cosenos.

El principal valor de una línea tan directa es la claridad. Dado que las matemáticas son una ciencia que requiere nivel alto pensamiento abstracto, los gráficos ayudan a representar un objeto en mundo real. ¿Cómo se comporta? ¿En qué punto del espacio estarás dentro de unos segundos, minutos, horas? ¿Qué se puede decir al respecto en comparación con otros objetos? ¿Qué velocidad tiene en un momento seleccionado al azar? ¿Cómo caracterizar su movimiento?

Y estamos hablando de velocidad por una razón: esto es lo que a menudo muestran los gráficos de funciones. También pueden mostrar cambios de temperatura o presión dentro de un objeto, su tamaño y orientación con respecto al horizonte. Por lo tanto, en física a menudo es necesario construir una línea de coordenadas.

Trama unidimensional

Existe un concepto de multidimensionalidad. Un solo número es suficiente para determinar la ubicación de un punto. Este es exactamente el caso con el uso de una línea de coordenadas. Si el espacio es bidimensional, entonces se requieren dos números. Los gráficos de este tipo se utilizan con mucha más frecuencia y definitivamente los veremos un poco más adelante en este artículo.

¿Qué puedes ver usando puntos en el eje si solo hay uno? Se puede ver el tamaño del objeto, su posición en el espacio con respecto a algún “cero”, es decir, el punto elegido como origen.

No será posible ver los cambios en los parámetros a lo largo del tiempo, ya que todas las lecturas se mostrarán para un momento específico. Sin embargo, ¡tienes que empezar por algún lado! Entonces empecemos.

Cómo construir un eje de coordenadas

Primero necesitas dibujar una línea horizontal: este será nuestro eje. CON lado derecho“Afílelo” para que parezca una flecha. De esta forma indicamos la dirección en la que aumentarán los números. Por lo general, la flecha no se coloca en la dirección decreciente. Tradicionalmente, el eje apunta hacia la derecha, así que seguiremos esta regla.

Pongamos una marca cero, que mostrará el origen de las coordenadas. Este es precisamente el lugar desde donde se realiza la cuenta atrás, ya sea tamaño, peso, velocidad o cualquier otra cosa. Además de cero, debemos indicar el llamado valor de división, es decir, introducir una unidad estándar, según la cual trazaremos determinadas cantidades en el eje. Esto debe hacerse para poder encontrar la longitud de un segmento en una línea de coordenadas.

A través de igual distancia separados unos de otros colocaremos puntos o “muescas” en la línea, y debajo de ellos escribiremos 1,2,3, respectivamente, y así sucesivamente. Y ahora, todo está listo. Pero aún necesita aprender a trabajar con el cronograma resultante.

Tipos de puntos en una línea de coordenadas

A primera vista, los dibujos propuestos en los libros de texto quedan claro: los puntos en el eje pueden estar sombreados o no. ¿Crees que esto es un accidente? ¡De nada! Se utiliza un punto "sólido" para una desigualdad no estricta, una que dice "mayor o igual a". Si necesitamos limitar estrictamente el intervalo (por ejemplo, "x" puede tomar valores de cero a uno, pero no lo incluye), usaremos un punto "hueco", es decir, de hecho, un círculo pequeño. en el eje. Cabe señalar que a los estudiantes realmente no les gusta desigualdades estrictas, porque es más difícil trabajar con ellos.

Dependiendo de los puntos que utilice en el gráfico, se nombrarán los intervalos construidos. Si la desigualdad en ambos lados no es estricta, entonces obtenemos un segmento. Si por un lado resulta “abierto”, se le llamará medio intervalo. Finalmente, si parte de una recta está limitada en ambos lados por puntos huecos, se llamará intervalo.

Avión

Al construir dos rectas, ya podemos considerar las gráficas de funciones. Digamos linea horizontal será el eje del tiempo, y el eje vertical será la distancia. Y ahora podemos determinar qué distancia recorrerá el objeto en un minuto o una hora de viaje. Así, trabajar con un avión permite seguir los cambios en el estado de un objeto. Esto es mucho más interesante que estudiar un estado estático.

La gráfica más simple en dicho plano es una línea recta que refleja la función Y(X) = aX + b. ¿Se está doblando la línea? Esto significa que el objeto cambia sus características durante el proceso de investigación.

Imagínese que está parado en el tejado de un edificio y sosteniendo una piedra en la mano extendida. Cuando lo sueltes, volará hacia abajo, comenzando su movimiento desde velocidad cero. Pero en un segundo recorrerá 36 kilómetros por hora. La piedra seguirá acelerándose y, para graficar su movimiento, necesitarás medir su velocidad en varios puntos en el tiempo, colocando puntos en el eje en los lugares apropiados.

Las marcas en la línea de coordenadas horizontales se denominan X1, X2,X3 de forma predeterminada, y en la línea de coordenadas verticales, Y1, Y2,Y3, respectivamente. Al proyectarlos sobre un plano y encontrar intersecciones, encontramos fragmentos del dibujo resultante. Al conectarlos con una línea, obtenemos una gráfica de la función. En el caso de una piedra que cae función cuadrática tendrá la forma: Y(X) = aX * X + bX + c.

Escala

Por supuesto, no es necesario colocar valores enteros al lado de las divisiones en la línea. Si está considerando el movimiento de un caracol que se arrastra a una velocidad de 0,03 metros por minuto, establezca los valores en la línea de coordenadas en fracciones. EN en este caso establezca el valor de división en 0,01 metros.

Es especialmente conveniente hacer estos dibujos en un cuaderno cuadrado: aquí puede ver de inmediato si hay suficiente espacio en la hoja para su horario y si no irá más allá de los márgenes. Es fácil calcular su fuerza, porque el ancho de la celda en un cuaderno de este tipo es de 0,5 centímetros. Era necesario reducir el dibujo. Cambiar la escala del gráfico no hará que pierda ni cambie sus propiedades.

Coordenadas de un punto y un segmento.

Cuando se da en clase problema de matemáticas, puede contener parámetros de varios formas geométricas tanto en forma de longitudes de lados, perímetro, área y en forma de coordenadas. En este caso, es posible que necesite construir la figura y obtener algunos datos asociados a ella. Surge la pregunta: ¿cómo encontrar la información requerida en la línea de coordenadas? ¿Y cómo construir una figura?

Por ejemplo, estamos hablando de un punto. Entonces el enunciado del problema incluirá letra mayúscula, y entre paréntesis habrá varios números, normalmente dos (esto significa que contaremos en un espacio bidimensional). Si hay tres números entre paréntesis, escritos separados por punto y coma o coma, entonces esto es espacio tridimensional. Cada valor es una coordenada en el eje correspondiente: primero a lo largo de la horizontal (X), luego a lo largo de la vertical (Y).

¿Recuerdas cómo construir un segmento? Tomaste esto en geometría. Si hay dos puntos, entonces puedes trazar una línea recta entre ellos. Son sus coordenadas las que se indican entre paréntesis si aparece un segmento en el problema. Por ejemplo: A(15, 13) - B(1, 4). Para construir una línea tan recta, necesitas Plano coordinado Encuentra y marca los puntos, y luego conéctalos. ¡Eso es todo!

Y cualquier polígono, como sabes, se puede dibujar mediante segmentos. El problema esta resuelto.

Cálculos

Digamos que hay algún objeto cuya posición a lo largo del eje X se caracteriza por dos números: comienza en un punto con coordenadas (-3) y termina en (+2). Si queremos saber la longitud de este objeto, debemos restarle más menos. Tenga en cuenta que un número negativo absorbe el signo de resta porque "menos multiplicado por menos da más". Entonces, sumamos (2+3) y obtenemos 5. Este es el resultado requerido.

Otro ejemplo: nos dan punto final y la longitud del objeto, pero no se proporciona el inicial (y es necesario encontrarlo). Deja que la situación punto conocido será (6), y el tamaño del tema en estudio será (4). Restando la longitud de la coordenada final, obtenemos la respuesta. Total: (6 - 4) = 2.

Números negativos

En la práctica, a menudo es necesario trabajar con valores negativos. En este caso, nos moveremos a lo largo del eje de coordenadas hacia la izquierda. Por ejemplo, un objeto de 3 centímetros de altura flota en el agua. Un tercio está sumergido en líquido y dos tercios en aire. Luego, eligiendo la superficie del agua como eje, nosotros, usando el método más simple cálculos aritméticos obtenemos dos números: el punto superior del objeto tiene una coordenada (+2) y el punto inferior tiene (-1) centímetro.

Es fácil ver que en el caso de un avión tenemos cuatro cuartos de línea de coordenadas. Cada uno de ellos tiene su propio número. En la primera parte (arriba a la derecha) habrá puntos que tendrán dos coordenadas positivas, en la segunda, en la parte superior izquierda, los valores en el eje "x" serán negativos y en el eje "y". - positivo. El tercero y el cuarto se cuentan en sentido antihorario.

Propiedad importante

¿Sabes que una línea recta se puede representar como conjunto infinito puntos. Podemos observar con tanto cuidado como queramos cualquier número de valores a cada lado del eje, pero no encontraremos duplicados. Esto parece ingenuo y comprensible, pero esa afirmación surge de hecho importante: cada número corresponde a un y sólo un punto de la línea de coordenadas.

Conclusión

Recuerde que los ejes, figuras y, si es posible, gráficas deben construirse con una regla. Las unidades de medida no fueron inventadas por el hombre por casualidad: si comete un error al dibujar, corre el riesgo de ver una imagen que no es la que debería haberse obtenido.

Tenga cuidado y cuidado al construir gráficos y cálculos. Como cualquier ciencia que se estudia en la escuela, a las matemáticas les encanta la precisión. Pon un poco de esfuerzo y buenas calificaciones no te hará esperar mucho.