Significado geométrico de la diferencia entre los valores de la función antiderivada. Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x) si F`(x)=f(x) o dF(x)=f(x)dx

El surgimiento del concepto de integral se debió a la necesidad de encontrar una función primitiva a partir de su derivada, así como de determinar la cantidad de trabajo, el área de figuras complejas, la distancia recorrida, con parámetros delineados por las curvas descritas. mediante fórmulas no lineales.

y ese trabajo es igual al producto de la fuerza y ​​la distancia. Si todo movimiento ocurre con velocidad constante o la distancia se supera con la aplicación de la misma fuerza, entonces todo está claro, solo hay que multiplicarlos. ¿Cuál es la integral de una constante? de la forma y=kx+c.

Pero la fuerza puede cambiar a lo largo del trabajo, y en algún tipo de dependencia natural. La misma situación se presenta con el cálculo de la distancia recorrida si la velocidad no es constante.

Entonces, está claro por qué se necesita la integral. Definirlo como la suma de los productos de los valores de una función por un incremento infinitesimal del argumento describe completamente significado principal este concepto como el área de una figura, delimitada en la parte superior por la línea de la función y en los bordes por los límites de la definición.

Jean Gastón Darboux matemático francés, en la segunda mitad del siglo XIX, explicó muy claramente qué es una integral. Dejó tan claro que, en general, no sería difícil ni siquiera para un escolar entender este tema. clases junior escuela secundaria.

Digamos que hay una función de cualquier Forma compleja. El eje de ordenadas sobre el que se trazan los valores del argumento se divide en pequeños intervalos, idealmente son infinitesimales, pero como el concepto de infinito es bastante abstracto, basta con imaginar simplemente pequeños segmentos, cuyo valor suele ser denotado letra griegaΔ (delta).

La función resultó estar “cortada” en pequeños ladrillos.

Cada valor de argumento corresponde a un punto en el eje de ordenadas, en el que se trazan los valores de función correspondientes. Pero como el área seleccionada tiene dos límites, también habrá dos valores de función, mayor y menor.

La suma de productos de valores mayores por el incremento Δ se llama una gran suma Darboux, y se denota como S. En consecuencia, los valores más pequeños en un área limitada, multiplicados por Δ, forman todos juntos una pequeña suma de Darboux s. El sitio en sí se parece trapezoide rectangular, ya que se puede despreciar la curvatura de la línea funcional con un incremento infinitesimal. La forma más fácil de encontrar el área es así. figura geométrica- es sumar los productos de uno mayor y valor menor funciona por Δ-incremento y divide por dos, es decir, se define como la media aritmética.

Esto es lo que es la integral de Darboux:

s=Σf(x) Δ - pequeña cantidad;

S= Σf(x+Δ)Δ es una cantidad grande.

Entonces, ¿qué es una integral? Cuadrado, delimitado por una línea Los límites de función y definición serán iguales a:

∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c

Es decir, la media aritmética de sumas de Darboux grandes y pequeñas es un valor constante que se restablece durante la diferenciación.

A partir de la expresión geométrica de este concepto, queda claro significado fisico integral. delineada por la función de velocidad y limitada por el intervalo de tiempo a lo largo del eje x, será la longitud de la distancia recorrida.

L = ∫f(x)dx en el intervalo de t1 a t2,

f(x) es función de la velocidad, es decir, la fórmula por la cual cambia con el tiempo;

L - longitud del camino;

t1 - hora de inicio del viaje;

t2 es la hora de finalización del viaje.

Se utiliza exactamente el mismo principio para determinar la cantidad de trabajo, solo que la distancia se trazará a lo largo de la abscisa y la cantidad de fuerza aplicada en cada punto específico se trazará a lo largo de la ordenada.

Por cada acción matemática existe una acción inversa. Para la acción de diferenciación (encontrar derivadas de funciones), también existe una acción inversa: la integración. Mediante la integración, una función se encuentra (reconstruye) a partir de su derivada o diferencial dada. La función encontrada se llama antiderivada.

Definición. función diferenciable F(x) se llama antiderivada de la función f(x) en un intervalo dado, si para todos X a partir de este intervalo se cumple la siguiente igualdad: F′(x)=f (x).

Ejemplos. Encuentre antiderivadas para las funciones: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Dado que (x²)′=2x, entonces, por definición, la función F (x)=x² será una antiderivada de la función f (x)=2x.

2) (sen3x)′=3cos3x. Si denotamos f (x)=3cos3x y F (x)=sin3x, entonces, por definición de primitiva, tenemos: F′(x)=f (x), y, por tanto, F (x)=sin3x es una antiderivada para f (x)=3cos3x.

Tenga en cuenta que (sen3x +5 )′= 3cos3x, y (sen3x -8,2 )′= 3cos3x, ... en forma general podemos escribir: (sin3x +C)′= 3cos3x, Dónde CON- alguno constante. Estos ejemplos indican la ambigüedad de la acción de integración, en contraste con la acción de diferenciación, cuando cualquier función diferenciable tiene una única derivada.

Definición. Si la función F(x) es una antiderivada de la función f(x) en un cierto intervalo, entonces el conjunto de todas las primitivas de esta función tiene la forma:

F(x)+C, donde C es cualquier número real.

El conjunto de todas las primitivas F (x)+C de la función f (x) en el intervalo considerado se llama integral indefinida y está indicado por el símbolo ∫ (signo integral). Anote: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Expresión ∫f(x)dx léase: “ef integral de x a de x”.

f(x)dx- expresión integrando,

f(x)— función integrando,

X — variable de integración.

F(x)- antiderivada de una función f(x),

CON- algún valor constante.

Ahora los ejemplos considerados se pueden escribir de la siguiente manera:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

¿Qué significa el signo d?

d- signo diferencial: tiene un doble propósito: en primer lugar, este signo separa el integrando de la variable de integración; en segundo lugar, todo lo que viene después de este signo se diferencia por defecto y se multiplica por el integrando.

Ejemplos. Encuentra las integrales: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Después del icono diferencial d costos XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Comparar con el ejemplo 1).

Hagamos un control. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Después del icono diferencial d costos R. Esto significa que la variable de integración R, y el multiplicador X debe considerarse un valor constante.

∫ 2хрдр=р²х+С. Comparar con ejemplos 1) Y 3).

Hagamos un control. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Consideremos el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. deja que tome tiempo t desde el inicio del movimiento el punto ha recorrido una distancia calle). Entonces velocidad instantanea Vermont) igual a la derivada de la función calle), eso es v(t) = s"(t).

En la práctica ocurre problema inverso: a una velocidad dada de movimiento del punto Vermont) encontrar el camino que ella tomó calle), es decir, encontrar tal función calle), cuya derivada es igual a Vermont). Función calle), tal que s"(t) = v(t), se llama antiderivada de la función. Vermont).

Por ejemplo, si v(t) = en, Dónde A– numero dado, entonces la función
s(t) = (en 2) / 2Vermont), porque
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Función F(x) llamada antiderivada de la función f(x) en algún intervalo, si para todos X de esta brecha F"(x) = f(x).

Por ejemplo, la función F(x) = sen x es la antiderivada de la función f(x) = porque x, porque (sen x)" = cos x; función F(x) = x4/4 es la antiderivada de la función f(x) = x 3, porque (x 4/4)" = x 3.

Consideremos el problema.

Tarea.

Demuestre que las funciones x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 son antiderivadas de la misma función f(x) = x 2.

Solución.

1) Denotemos F 1 (x) = x 3 /3, luego F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

En general, cualquier función x 3 /3 + C, donde C es una constante, es una antiderivada de la función x 2. Esto se desprende del hecho de que la derivada de la constante es cero. Este ejemplo muestra que para función dada su antiderivada se determina de forma ambigua.

Sean F 1 (x) y F 2 (x) dos primitivas de la misma función f(x).

Entonces F 1 "(x) = f(x) y F" 2 (x) = f(x).

La derivada de su diferencia g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) es igual a cero, ya que g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Si g"(x) = 0 en un cierto intervalo, entonces la tangente a la gráfica de la función y = g(x) en cada punto de este intervalo es paralela al eje Ox. Por lo tanto, la gráfica de la función y = g(x) es una línea recta paralela al eje Ox, es decir, g(x) = C, donde C es una constante De las igualdades g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) se deduce que F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Entonces, si la función F(x) es una antiderivada de la función f(x) en un cierto intervalo, entonces todas las antiderivadas de la función f(x) se escriben en la forma F(x) + C, donde C es una Constante arbitraria.

Consideremos las gráficas de todas las primitivas de una función dada f(x). Si F(x) es una de las primitivas de la función f(x), entonces cualquier primitiva de esta función se obtiene sumando a F(x) alguna constante: F(x) + C. Gráficas de funciones y = F( x) + C se obtienen de la gráfica y = F(x) desplazando a lo largo del eje Oy. Al elegir C, puedes asegurarte de que la gráfica de la antiderivada pase por un punto determinado.

Prestemos atención a las reglas para encontrar antiderivadas.

Recuerde que la operación de encontrar la derivada de una función dada se llama diferenciación. Operación inversa encontrar la primitiva de una función dada se llama integración(de palabra latina "restaurar").

Tabla de antiderivadas para algunas funciones se puede compilar utilizando una tabla de derivadas. Por ejemplo, sabiendo que (cos x)" = -sen x, obtenemos (-cos x)" = sen x, de lo que se deduce que todas las funciones antiderivadas pecado x están escritos en la forma -cos x + C, Dónde CON- constante.

Veamos algunos de los significados de las antiderivadas.

1) Función: x p, p ≠ -1. Antiderivada: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Función: 1/x, x > 0. Antiderivada: En x + C.

3) Función: x p, p ≠ -1. Antiderivada: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Función: ex. Antiderivada: e x + C.

5) Función: pecado x. Antiderivada: -cos x + C.

6) Función: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivada: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Función: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivada: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Función: mi kx + b, k ≠ 0. Antiderivada: (1/k) e kx + b + C.

9) Función: pecado (kx + b), k ≠ 0. Antiderivada: (-1/k) cos (kx + b).

10) Función: porque (kx + b), k ≠ 0. Antiderivada: (1/k) sen (kx + b).

Reglas de integración se puede obtener usando reglas de diferenciación. Veamos algunas reglas.

Dejar F(x) Y G(x)– antiderivadas de funciones respectivamente f(x) Y gramo(x) en algún intervalo. Entonces:

1) función F(x) ± G(x) es la antiderivada de la función f(x) ± g(x);

2) función AF(x) es la antiderivada de la función f(x).

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