Integración de fcp. Funciones integradoras de una variable compleja

1. Conceptos básicos

2. Cálculo de integrales de funciones de una variable compleja.

3. Ejemplos de cálculo de integrales de funciones de una variable compleja

4. Teorema principal de Cauchy para un contorno simple

5. Teorema de Cauchy para un contorno complejo

6. Fórmula integral cauchy

7. Cálculo de integrales en circuito cerrado.

8. Ejemplos de cálculo de integrales en un circuito cerrado

Conceptos básicos

1. Se introduce el concepto de integral de una función de una variable compleja (al igual que en la región real) como el límite de una secuencia de sumas integrales; la función se define en alguna curva l, se supone que la curva es suave o suave por partes:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

donde x_k es un punto seleccionado en el arco \Delta l_k de la partición de la curva; \Delta z_k - incremento del argumento de la función en esta sección de partición, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- paso de partición, |\Delta z_k| - longitud de la cuerda que conecta los extremos del arco \Delta l_k ; la curva l se divide arbitrariamente en n partes \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. La dirección elegida en la curva, es decir Se indican los puntos de inicio y fin. En el caso de una curva cerrada \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) la integración se produce en la dirección positiva, es decir en una dirección que deja un área finita a la izquierda, delimitada por un contorno.

La fórmula (2.43) determina Integral de línea de una función de una variable compleja.. Si separamos las partes real e imaginaria de la función f(z), es decir escríbelo en el formulario

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quadv=v(x,y),

entonces la suma integral se puede escribir en forma de dos términos, que serán las sumas integrales de integrales curvilíneas del segundo tipo de funciones de dos variables reales. Si se supone que f(z) es continua en l, entonces u(x,y),~ v(x,y) también será continua en l y, por tanto, habrá límites en las correspondientes sumas integrales. Por lo tanto, si la función f(z) es continua en l, entonces existe el límite en la igualdad (2.43), es decir hay una integral curvilínea de la función f(z) a lo largo de la curva l y la fórmula se cumple

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Utilizando la definición de integral o fórmula (2.44) y las propiedades de las integrales curvilíneas de segundo tipo, es fácil verificar la validez de siguientes propiedades Integral curvilínea de funciones de una variable compleja (propiedades conocidas del análisis real).

\begin(alineado)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(alineado)

En particular, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), si la función está limitada en magnitud en la curva AB, es decir |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Esta propiedad se llama propiedad de estimar el módulo de la integral.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

La fórmula (2.44) puede considerarse tanto como una definición de una integral curvilínea de una función de una variable compleja como una fórmula para calcularla a través de integrales curvilíneas del segundo tipo de funciones de dos variables reales.

Para utilizar y recordar la fórmula de cálculo, observemos que la igualdad (2.44) corresponde a la ejecución formal en el lado izquierdo bajo el signo integral de las acciones de separar las partes real e imaginaria de la función f(z), multiplicando por dz= dx+i\,dy y escribiendo el producto resultante en forma algebraica:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Ejemplo 2.79. Calcular integrales y \int\limits_(OA)z\,dz, donde la línea OA

a) una línea recta que conecta los puntos z_1=0 y z_2=1+i,
b) línea discontinua OBA, donde O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Solución

1. Calcula la integral \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Aquí f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Escribimos la integral en términos de integrales curvilíneas de segundo tipo:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

que corresponde a la fórmula (2.44). Calculamos las integrales:

a) el camino de integración es un segmento de línea recta, por lo tanto \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) el camino de la integración es una línea discontinua que consta de dos segmentos OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) Y BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Por tanto, dividiendo la integral en dos y realizando cálculos, obtenemos

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ límites_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

La integral de la función f(z)=\overline(z) depende de la elección del camino de integración que conecta los puntos O y A.

2. Calcula la integral \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) aquí f(z)=z=x+iy . Escribimos la integral en términos de integrales curvilíneas de segundo tipo.

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Los integrandos de las integrales obtenidas de segundo tipo son diferenciales completos(ver condición (2.30)), por lo que basta con considerar un caso de la ruta de integración. Entonces, en el caso “a”, donde la ecuación del segmento y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, obtenemos la respuesta

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Debido a la independencia de la integral de la forma del camino de integración, la tarea en en este caso se puede formular en más vista general: calcular la integral

\int\limits_(l)z\,dz desde el punto z_1=0 hasta el punto z_2=1+i.

En el siguiente párrafo veremos con más detalle casos similares integración.

2. Deje que la integral de una función continua en una determinada región no dependa del tipo de curva que conecta dos puntos en esta región. vamos a arreglarlo punto de partida, que denota z_0. punto final- variable, denotémosla z. Entonces el valor de la integral dependerá únicamente del punto z, es decir, determina alguna función en el área especificada.

A continuación fundamentaremos la afirmación de que en el caso de un dominio simplemente conexo, la integral define una función univaluada en este dominio. Introduzcamos la notación

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Función F(z) - integral con variable limite superior.

Usando la definición de derivada, es decir considerando \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), es fácil verificar que F(z) tiene una derivada en cualquier punto del dominio de definición y, por tanto, es analítica en él. En este caso, para la derivada obtenemos la fórmula

F"(z)=f(z).

La derivada de una integral con límite superior variable es igual al valor del integrando en el límite superior.

De la igualdad (2.46), en particular, se deduce que la función integrando f(z) en (2.45) es una función analítica, ya que la derivada F"(z) de la función analítica F(z) por la propiedad de tales funciones (ver Declaración 2.28) - función analítica.

3. La función F(z) para la cual se cumple la igualdad (2.46) se llama antiderivada de la función f(z) en un dominio simplemente conexo, y el conjunto de antiderivadas \Phi(z)=F(z)+c, donde c=\text(const), - integral indefinida de la función f(z) .

De los puntos 2 y 3 obtenemos la siguiente afirmación.

Declaración 2.25

1. Integral con límite superior variable \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) de una función analítica en un dominio simplemente conexo es una función analítica en este dominio; esta función es una antiderivada del integrando.

2. Cualquier función analítica en un dominio simplemente conectado tiene una primitiva (la existencia de una primitiva).

Antiderivadas funciones analíticas en dominios simplemente conexos se encuentran, como en el caso del análisis real: se utilizan las propiedades de las integrales, la tabla de integrales y las reglas de integración.

Por ejemplo, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Entre integral curvilínea a partir de una función analítica y su primitiva en un dominio simplemente conexo existe una fórmula similar a la fórmula de Newton-Leibniz del análisis real:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Como en el análisis real, en el dominio complejo consideramos, además de las integrales que contienen un parámetro dentro de los límites de integración (la fórmula (2.45) da ejemplo más simple tales integrales), integrales que dependen del parámetro contenido en el integrando: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Entre tales integrales lugar importante en teoria y practica integración compleja y aplicaciones toma una integral de la forma \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Suponiendo que f(z) es continua en la recta l, obtenemos que para cualquier punto z que no pertenezca a l, la integral existe y define una determinada función en cualquier dominio que no contenga a l.

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

La integral (2.48) se denomina integral de tipo Cauchy; el factor \frac(1)(2\pi\,i) se introduce para facilitar el uso de la función construida.

Para esta función, como para la función definida por la igualdad (2.45), se demuestra que es analítica en todo el dominio de definición. Además, a diferencia de la integral (2.45), aquí no se requiere que la función generadora f(z) sea analítica, es decir, según la fórmula (2.48) en la clase funciones continuas variable compleja, se construye una clase de funciones analíticas. La derivada de la integral (2.48) está determinada por la fórmula

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Para probar la fórmula (2.49) y, por tanto, el enunciado sobre la analiticidad de la integral de tipo Cauchy, basta, según la definición de derivada, establecer la validez de la desigualdad

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

para cualquier \varepsilon>0 y para cualquier z del dominio de definición de la función F(z) .

Usando el mismo método, se puede demostrar que existe una derivada de la función definida por la igualdad (2.49), es decir F""(z) y la fórmula es válida

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

El procedimiento puede continuar y probarse por inducción la fórmula para la derivada de cualquier orden de la función F(z)\dos puntos

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analizando las fórmulas (2.48) y (2.49), es fácil verificar que la derivada F(z) se puede obtener formalmente derivando con respecto al parámetro bajo el signo integral en (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\ (\xi))(\! xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^ 2)\,d\xi\,.

Aplicando formalmente la regla para derivar la integral en función del parámetro n veces, obtenemos la fórmula (2.50).

Los resultados obtenidos en este apartado los escribimos en forma de enunciado.

Declaración 2.26. Integral \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi de una función f(z) continua sobre una curva l es una función analítica en cualquier dominio D que no contenga a l; Las derivadas de esta función se pueden obtener derivando con respecto al parámetro bajo el signo integral.

Cálculo de integrales de funciones de una variable compleja.

Arriba obtuvimos fórmulas para calcular integrales de funciones de una variable compleja: fórmulas (2.44) y (2.47).

Si la curva l en la fórmula (2.44) se especifica paramétricamente: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta o, que corresponde a la forma actual: \begin(casos) x=x(t),\\ y=y(t),\end(casos)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, entonces, usando las reglas para calcular integrales de segundo tipo en el caso de una definición paramétrica de una curva, podemos transformar la fórmula (2.44) a la forma

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Anotaremos el resultado obtenido y los resultados obtenidos en la lección anterior como una secuencia de acciones.

Métodos para calcular integrales. \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Primera manera. Cálculo de integrales \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) de una función continua por reducción a integrales curvilíneas de funciones de variables reales - aplicación de la fórmula (2.44).

1. Encuentra \nombredeloperador(Re)f(z)=u,~ \nombredeloperador(Im)f(z)=v.

2. Escribe la expresión integrando f(z)dz como producto (u+iv)(dx+i\,dy) o, multiplicando, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Calcular integrales curvilíneas de la forma. \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Dónde P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) de acuerdo con las reglas para calcular integrales curvilíneas de segundo tipo.

Segunda vía. Cálculo de integrales \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) de una función continua por reducción a una integral definida en el caso de una definición paramétrica de la ruta de integración - aplicación de la fórmula (2.51).

1. Escriba la ecuación paramétrica de la curva z=z(t) y a partir de ella determine los límites de integración: t=\alpha corresponde al punto inicial del camino de integración, t=\beta - el punto final.

2. Encuentra el diferencial de una función de valores complejos. z(t)\dos puntos\, dz=z"(t)dt.
3. Sustituye z(t) en el integrando y transforma la integral.

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Calcule la integral definida de la función de valores complejos de una variable real obtenida en el paso 3.

Tenga en cuenta que integrar una función de valor complejo de una variable real no es diferente de integrar una función de valor real; la única diferencia es la presencia en el primer caso de un factor i, acciones con las que, naturalmente, se consideran constantes. Por ejemplo,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Tercera vía. Cálculo de integrales de funciones analíticas en dominios simplemente conexos: aplicación de la fórmula (2.47).

1. Encuentre la primitiva F(z) utilizando las propiedades de integrales, integrales de tabla y métodos conocidos del análisis real.

2. Aplicar la fórmula (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Notas 2.10

1. En el caso de una región conexa múltiple, se hacen cortes para poder obtener una función F(z) de un solo valor.

2. Al integrar ramas univaluadas de funciones multivaluadas, la rama se distingue especificando el valor de la función en un punto determinado de la curva de integración. Si la curva es cerrada, entonces se considera que el punto inicial de la trayectoria de integración es aquel en el que se da el valor del integrando. El valor de la integral puede depender de la elección de este punto.

▼ Ejemplos 2.80-2.86 de cálculo de integrales de funciones de una variable compleja

Ejemplo 2.80. Calcular \int\limits_(l)\nombreoperador(Re)z\,dz, donde l es la línea que conecta el punto z_1=0 con el punto z_2=1+i\colon

a) l - recto; b) l - línea discontinua OBA, donde O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Solución

a) Aplicamos el primer método - (fórmula (2.44)).

1.2. El integrando tiene la forma \nombredeloperador(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Es por eso

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Calcula las integrales en y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(ecuación del segmento OA que conecta los puntos z_1 y z_2). Obtenemos

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Dado que la trayectoria de integración consta de dos segmentos, escribimos la integral como la suma de dos integrales:

\int\limits_(l)\nombreoperador(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\nombreoperador(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\nombreoperador(Re)z\,dz

y calculamos cada uno como en el párrafo anterior. Además, para el segmento OB tenemos

\begin(casos)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(casos) y para el segmento BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Hacemos cálculos:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Tenga en cuenta que el integrando en este ejemplo no es una función analítica, por lo que las integrales a lo largo de dos curvas diferentes que conectan dos puntos dados pueden tener valores diferentes, como se ilustra en este ejemplo.

Ejemplo 2.81. Calcular \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, donde l es el semicírculo superior |z|=1, atravesando la curva l en sentido antihorario.

▼ Solución

La curva tiene una ecuación paramétrica simple. z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, por lo que es conveniente utilizar el segundo método (fórmula (2.51)). El integrando aquí es una función continua y no analítica.

1.2. Para z=e^(it) encontramos \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Sustituir en el integrando. Calcular la integral

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Ejemplo 2.82. Calcular integrales de funciones analíticas:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), el camino de integración no pasa por el punto i.

▼ Solución

a) Aplicar la fórmula (2.47) (tercera regla); encontramos la primitiva utilizando métodos de integración de análisis real:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \nombredeloperador(sh)2).

b) El integrando es analítico en todas partes excepto en el punto i. Al cortar el plano a lo largo del rayo desde el punto i hasta \infty, obtenemos una región simplemente conexa en la que la función es analítica y la integral se puede calcular usando la fórmula (2.47). Por tanto, para cualquier curva que no pase por el punto i, puedes calcular la integral mediante la fórmula (2.47), y para dos puntos dados tendrá el mismo valor.

En la Fig. La figura 2.44 muestra dos casos de realización de cortes. La dirección de atravesar el límite de regiones simplemente conectadas donde el integrando es analítico se indica mediante flechas. Calculamos la integral:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Ejemplo 2.83. calcular integrales \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Solución

El integrando es analítico en todas partes de \mathbb(C) . Usamos el tercer método, fórmula (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Este resultado se obtuvo en el ejemplo 2.78 según el primer método.

Ejemplo 2.84. calcular integrales \punto\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), donde C es el círculo |z-a|=R.

▼ Solución

Usemos el segundo método.

1. Escribimos la ecuación del círculo en forma paramétrica: z-a=R\,e^(it) , o z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Encuentra el diferencial dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Sustituye z=a+R\,e^(it) y dz en el integrando:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Calculamos la integral definida resultante. Para n\ne1 obtenemos

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \Gran R).

Porque e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Es por eso \punto\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 en n\ne1 . Para n=1 obtenemos \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Escribamos el resultado como una fórmula:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

En particular, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Tenga en cuenta que si el círculo C\colon |z-a|=R es atravesado por un punto k veces, entonces el argumento (parámetro) cambia de 0 a 2\pi k ( k>0 si el recorrido es en dirección positiva, es decir, en sentido antihorario , y k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Ejemplo 2.85. Calcular la integral de una función de una variable compleja. \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) el camino de integración no pasa por el punto z=0 y no lo rodea, -\Pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) el camino de integración no pasa por el punto z=0, sino que lo rodea n veces alrededor del círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj.

▼ Solución

a) Esta integral, una integral con un límite superior variable, define una función analítica de un solo valor en cualquier dominio simplemente conexo (ver 2.45)). Encontremos una expresión analítica para esta función: la antiderivada de f(z)=\frac(1)(z) . Separando las partes real e imaginaria de la integral. \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(usando la fórmula (2.44)), es fácil verificar que los integrandos de integrales de segunda clase son diferenciales completos y, por tanto, la integral \frac(d\xi)(\xi) no depende del tipo de curva conectando los puntos z_1=1 y z. Elijamos un camino que consta de un segmento del eje Ox desde el punto z_1=1 hasta el punto z_2=r, donde r=|z| , y arcos l de un círculo. conectando z_2 con z (Fig. 2.45, a).

Escribimos la integral como una suma: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Para calcular la integral sobre un arco circular usamos la fórmula (2.51), el arco tiene la ecuación \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Obtenemos \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; como resultado

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

El lado derecho de la igualdad define una función de un solo valor \ln z - el valor principal del logaritmo. Obtenemos la respuesta en el formulario.

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Tenga en cuenta que la igualdad resultante se puede tomar como la definición de una función de un solo valor \ln z en un dominio simplemente conexo: un plano con un corte a lo largo del semieje real negativo (-\infty;0] .

b) La integral se puede escribir como una suma: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), donde c es un círculo |z|=1 atravesado n veces en sentido antihorario, y l es una curva que conecta los puntos z_1 yz y no cubre el punto z=0 (figura 2.45,b).

El primer término es igual a 2n\pi i (ver ejemplo 2.84), el segundo es \ln(z) - fórmula (2.53). Obtenemos el resultado \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Ejemplo 2.86. calcular integrales \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) a lo largo del arco superior del círculo |z|=1 siempre que: a) \sqrt(1)=1 ; b)\sqrt(1)=-1.

▼ Solución

Establecer los valores de la función \sqrt(z) en un punto del contorno de integración le permite seleccionar ramas inequívocas de la expresión \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(ver ejemplo 2.6). El corte se puede realizar, por ejemplo, a lo largo de un semieje negativo imaginario. Como para z=1 tenemos \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, entonces en el primer caso se selecciona la rama con k=0, en el segundo - con k=1. El integrando en el contorno de integración es continuo. Para resolver usamos la fórmula (2.51), definimos la curva mediante la ecuación z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) La rama se determina en k=0, es decir de z=e^(it) para el integrando obtenemos \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Calculamos la integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) La rama se determina en k=1, es decir de z=e^(it) para el integrando tenemos \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Calculamos la integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

En teoría y práctica, en aplicaciones de cálculo integral de funciones de una variable compleja, al estudiar el comportamiento de funciones en áreas delimitadas o en las proximidades de puntos individuales, las integrales se consideran sobre curvas cerradas: los límites de áreas, en particular las vecindades de puntos. Consideraremos las integrales. \punto\limits_(C)f(z)dz, donde f(z) es analítica en alguna región c, con excepción de puntos individuales, C es el límite de la región o el contorno interno en esta región.

Teorema básico de Cauchy para un contorno simple

Teorema 2.1 (teorema de Cauchy para un contorno simple). Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo, entonces para cualquier contorno C que pertenezca a este dominio se cumple la siguiente igualdad:

\punto\limits_(C)f(z)dz=0.

La demostración del teorema es fácil de obtener basándose en la propiedad de las funciones analíticas, según la cual una función analítica tiene derivadas de cualquier orden (ver enunciado 2.28). Esta propiedad asegura la continuidad de las derivadas parciales de \nombredeloperador(Re)f(z) Y \nombredeloperador(Im)f(z), por lo tanto, si usamos la fórmula (2.44), entonces es fácil ver que para cada uno de los integrandos en integrales curvilíneas de segundo tipo, se satisfacen las condiciones del diferencial total, como las condiciones de Cauchy-Riemann de las funciones analíticas. Y las integrales sobre curvas cerradas a partir de diferenciales totales son iguales a cero.

Tenga en cuenta que todas las posiciones teóricas que se presentan a continuación se basan en última instancia en este importante teorema, incluida la propiedad de las funciones analíticas antes mencionada. Para que no haya dudas sobre la exactitud de la presentación, observamos que el teorema puede demostrarse sin hacer referencia a la existencia de sus derivadas sólo sobre la base de la definición de función analítica.

Corolarios del teorema 2.1

1. El teorema también es válido si C es la frontera del dominio D, y la función f(z) es analítica en el dominio y en la frontera, es decir en \overline(D) ya que, por definición, analiticidad en \overline(D) implica analiticidad de la función en algún dominio B que contiene D~(B\supset\overline(D)), y C será el contorno interior en B.

2. Las integrales sobre varias curvas que se encuentran en un dominio de analiticidad simplemente conectado de una función y que conectan dos puntos de este dominio son iguales entre sí, es decir \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, donde l_1 y l_2 son curvas arbitrarias que conectan los puntos z_1 y z_2 (figura 2.46).

Para demostrarlo basta considerar el contorno C, formado por la curva l_1 (del punto z_1 al punto z_2) y la curva l_2 (del punto z_2 al punto z_1). La propiedad se puede formular de la siguiente manera. La integral de una función analítica no depende del tipo de curva de integración que conecta dos puntos en el dominio de analiticidad de la función y no sale de este dominio.

Esto proporciona una justificación para el enunciado 2.25 anterior sobre las propiedades de la integral \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi y sobre la existencia de una función analítica primitiva.

Teorema de Cauchy para un contorno complejo

Teorema 2.2 (teorema de Cauchy para un contorno complejo). Si la función f(z) es analítica en un dominio múltiplemente conexo delimitado por un contorno complejo, y en este contorno, entonces la integral de la función sobre el límite del dominio es igual a cero, es decir, si C es un contorno complejo - el límite del dominio, entonces la fórmula (2.54) es válida).

Un contorno complejo C para una región conectada (n+1) consta de un contorno exterior \Gamma y un contorno interno - C_i,~i=1,2,\ldots,n; los contornos no se cruzan en pares, el desvío del borde es positivo (en la Fig. 2.47, n=3).

Para demostrar el Teorema 2.2, basta con hacer cortes en la región (línea de puntos en la figura 2.47) de modo que se obtengan dos regiones simplemente conectadas y utilizar el Teorema 2.1.

Corolarios del teorema 2.2

1. Cuando se cumplen las condiciones del Teorema 2.2, la integral sobre el contorno exterior es igual a la suma de las integrales sobre los contornos interiores; bypass en todos los circuitos en una dirección (en la Fig. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Si f(z) es analítica en un dominio D simplemente conexo y en el límite del dominio, con la posible excepción del punto a de este dominio, entonces las integrales sobre varias curvas cerradas que se encuentran en el dominio D y limitan el Los dominios que contienen el punto a son iguales entre sí (figura 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

La prueba es obvia, ya que cada uno de estos contornos puede considerarse como el límite interno de una región doblemente conexa, cuyo límite externo es el límite de la región D. De acuerdo con la fórmula (2.55) para n=1, cualquier integral de este tipo es igual a la integral sobre la frontera D.

La comparación de las formulaciones del Teorema 2.2 y el Corolario 1 del Teorema 2.1 nos permite hacer una generalización, que escribimos en la forma del siguiente enunciado.

Declaración 2.27. Si f(z) es analítica en D, entonces , donde C es el límite del dominio D (contorno simple o complejo).

Fórmula integral de Cauchy

El siguiente teorema, a diferencia de los dos anteriores, considera la integral de una función que, si bien no es analítica en la región limitada por el contorno de integración, tiene una forma especial.

Teorema 2.3. Si la función f(z) es analítica en el dominio D y en su frontera C, entonces para cualquier punto interno a del dominio (a\en D) se cumple la igualdad

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

La región D puede ser simplemente conexa o múltiplemente conexa, y el límite de la región puede ser un contorno simple o complejo.

La prueba para el caso de un dominio simplemente conexo se basa en el resultado del Teorema 2.1, y para un dominio múltiples conexos se reduce al caso de dominios simplemente conexos (como en la prueba del Teorema 2.2) haciendo cortes que no pasa por el punto a.

Cabe señalar que el punto a no pertenece al límite de la región y por lo tanto el integrando es continuo en C y la integral existe.

El teorema es de importante interés aplicado, es decir, de acuerdo con la fórmula (2.57), se resuelve el llamado problema de valores en la frontera de la teoría de funciones: a partir de los valores de la función en la frontera del dominio, su valor en cualquier interno El punto está determinado.

Observación 2.11. Bajo las condiciones del teorema, la integral \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi define una función analítica en cualquier punto z que no pertenece al contorno C, y en puntos de la región finita D delimitada por el contorno, es igual a f(z) (según la fórmula (2.57)), y fuera de \overline( D) es igual a cero debido al teorema de Cauchy. Esta integral, llamada integral de Cauchy, es un caso especial de la integral de tipo Cauchy (2.48). Aquí el contorno es cerrado, en contraste con el arbitrario en (2.48), y la función f(z) es analítica, en contraste con la continua en l en (2.48). Para la integral de Cauchy, por tanto, es válido el enunciado 2.26 sobre la existencia de derivadas, formulado para una integral de tipo Cauchy. En base a esto se puede formular la siguiente afirmación.

Declaración 2.28

1. La función analítica en cualquier punto de analiticidad se puede escribir como una integral.

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Una función analítica tiene derivadas de cualquier orden, para las cuales la fórmula es válida.

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

La fórmula (2.59) da una representación integral de las derivadas de la función analítica.

Calcular integrales de circuito cerrado

Consideraremos integrales de la forma \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, donde la función \varphi(z) es analítica en D, y \psi(z) es un polinomio que no tiene ceros en el contorno C. Para calcular integrales se utilizan los teoremas de la lección anterior y sus corolarios.

Regla 2.6. Al calcular integrales de la forma \punto\limits_(C)f(z)\,dz Dependiendo de la naturaleza (multiplicidad) de los ceros del polinomio \psi(z) y su ubicación con respecto al contorno C, se pueden distinguir cuatro casos.

1. No hay ceros en el polinomio \psi(z) en el dominio D. Entonces f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) la función es analítica y, aplicando el teorema fundamental de Cauchy, tenemos el resultado \punto\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. En la región D hay un cero simple z=a del polinomio \psi(z) . Luego escribimos la fracción en la forma \frac(f(z))(z-a) , donde f(z) es una función analítica en \overline(D) . Aplicando la fórmula integral obtenemos el resultado:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. En la región D hay un cero múltiplo z=a del polinomio \psi(z) (de múltiplo n). Luego escribimos la fracción en la forma \frac(f(z))((za)^n), donde f(z) es una función analítica en \overline(D) . Aplicando la fórmula (2.59), obtenemos el resultado

\unto\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. La región D contiene dos ceros del polinomio. \psi(z)\dos puntos\,z_1=a y z_2=b. Luego, usando el Corolario 1 del Teorema 2.2, escribimos la integral en la forma \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , donde C es un contorno arbitrario que limita la región que contiene el punto a.

▼ Solución

Considere una región doblemente conexa, uno de cuyos límites es el contorno C y el otro es el círculo |z-a|=R. Por el Corolario 2 del Teorema 2.2 (ver (2.56)) tenemos

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Teniendo en cuenta el resultado de resolver el ejemplo 2.84 (fórmula (2.52)), obtenemos la respuesta \punto\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Tenga en cuenta que la solución se puede obtener aplicando la fórmula integral de Cauchy con f(z)=1. En particular, obtenemos \punto\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, ya que el contorno C da la vuelta al punto z=0 una vez. Si el contorno C rodea el punto z=0 k veces en dirección positiva (k>0) o negativa (k<0) , то \punto\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Ejemplo 2.88. Calcular \punto\limits_(l)\frac(dz)(z), donde l es una curva que conecta los puntos 1 y z, dando la vuelta al origen una vez.

▼ Solución

El integrando es continuo en la curva: la integral existe. Para el cálculo utilizamos los resultados del ejemplo anterior y del ejemplo 2.85. Para hacer esto, considere un circuito cerrado que conecte, por ejemplo, el punto A con el punto 1 (figura 2.50). La ruta de integración desde el punto 1 al punto z pasando por el punto A ahora se puede representar como si consta de dos curvas: un contorno cerrado C (curva BDEFAB) y una curva l_0 que conecta los puntos 1 y z pasando por el punto A\dos puntos

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Usando los resultados de los ejemplos 2.85 y 2.87, obtenemos la respuesta:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Sin cambiar la imagen geométrica, podemos considerar el caso en el que la curva da la vuelta al origen n veces. obtengamos el resultado

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

La expresión resultante define una función multivalor \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), el camino de integración no pasa por el origen. La elección de la rama de una expresión multivalor se determina especificando el valor de la función en algún momento.

Ejemplo 2.89. Encontrar \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), si \ln1=4\pi i .

▼ Solución

Encontramos los ceros del denominador: los puntos singulares del integrando. Estos son los puntos z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. A continuación, debe determinar la ubicación de los puntos en relación con el contorno de integración. En ambos casos, ninguno de los puntos está incluido en el área limitada por el contorno. Puedes verificar esto usando el dibujo. Ambos contornos son círculos, el centro del primero es z_0=2+i y el radio R=2; centro del segundo z_0=-2i y R=1. Puedes determinar si un punto pertenece a una región de diferentes maneras, es decir, determinar su distancia desde el centro del círculo y compararla con el valor del radio. Por ejemplo, para el punto z_2=4i esta distancia es igual a |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), que es mayor que el radio (\sqrt(13)>2) , por lo que z_2=4i no pertenece al círculo |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Ejemplo 2.91. Calcule en los siguientes casos las especificaciones del contorno C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ Solución

Razonando como en el ejemplo anterior, encontramos que en ambos casos sólo uno de los puntos singulares z_1=0 se encuentra dentro de los círculos. Por lo tanto, usando el párrafo 2 de las reglas 2.6 (fórmula integral de Cauchy), escribimos la función integrando como una fracción \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), donde el numerador f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)- una función que es analítica en los círculos especificados. La respuesta es la misma para ambos casos:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.

Ejemplo 2.92. Calcular \unto\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz en los siguientes casos de especificación del contorno C\colon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2 .

▼ Solución

Los contornos de integración son círculos, como arriba, y en el caso “a” el centro está en el punto z_0=-4i,~R=2, en el caso “b” - en el punto z_0=1-3i,~R=2.nIn En ambos casos, un punto z_0=-4i cae dentro de los círculos correspondientes. Aplicando la cláusula 2 de las reglas 2.6, escribimos la función integrando en la forma \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), donde el numerador f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) es una función analítica en las áreas bajo consideración. Aplicando la fórmula integral obtenemos la respuesta:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \nombreoperador(sh)1)(16)\,.

Ejemplo 2.93. Calcule la integral en los siguientes casos de especificación del contorno: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ Solución

Encontramos los puntos singulares del integrando: los ceros del denominador z_1=i,~z_2=-2. Determinamos que los puntos pertenecen a las áreas correspondientes. En el caso de "a" en el círculo |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

En el caso "b" en el círculo |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), Dónde f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- función analítica en el círculo |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Ejemplo 2.94. calcular integrales \punto\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) en los siguientes casos de especificación de un contorno: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3 .

▼ Solución

a) En el círculo |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) y aplicar la cláusula 3 de las reglas 2.6 con m=2 y a=i. Calculamos la integral:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) En el círculo |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

donde cada uno de los contornos C_1 y C_2 cubre sólo uno de los puntos. En particular, se puede tomar como contorno C_1 el círculo del caso anterior “a”; C_2 - círculo del ejemplo 2.93 "b", es decir Puedes utilizar los resultados obtenidos. Anotamos la respuesta:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigr).

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Mínimo teórico
A menudo hay casos en los que el cálculo de integrales definidas mediante métodos de análisis complejo es preferible a los métodos
análisis de materiales. Las razones pueden ser muy diferentes. Los métodos TFCT pueden, en algunos casos, permitir reducir considerablemente los cálculos.
A veces no se puede utilizar la fórmula de Newton-Leibniz porque la integral indefinida no se expresa en funciones elementales.
Los métodos de diferenciación e integración con respecto a un parámetro requieren una justificación muy cuidadosa de su aplicabilidad y, a veces, el parámetro
debe introducirse artificialmente.
Por lo general, utilizando métodos de análisis complejos, se calculan integrales impropias, en un intervalo infinito o a partir de integrales ilimitadas en un intervalo.
integración de funciones. La idea general es la siguiente. Se compila una integral de contorno. La integral sobre algunas partes del contorno debe
coincidir con la integral definida deseada, al menos hasta un factor constante. Integrales sobre otras partes del contorno.
debe ser calculado. Luego se aplica el teorema fundamental del residuo, que establece que
,
¿Dónde están los puntos singulares de la función ubicados dentro del contorno de integración? Así, un contorno integral con uno
lado resulta expresarse a través de la integral definida deseada, y en el otro lado se calcula usando residuos (que generalmente es
no presenta dificultades graves).
La principal dificultad es la elección del contorno de integración. En principio, lo sugiere la función integrando. Sin embargo, sin suficiente
Es difícil dominar este método en la práctica y, por lo tanto, se darán muchos ejemplos. Los contornos más utilizados se componen de
elementos según los cuales conviene realizar la integración (líneas rectas, arcos circulares).

integración en el plano complejo
Ejemplo 1. Integrales de Fresnel.
Calculemos las integrales. , .
Es fácil adivinar que el primer paso es pasar a la forma exponencial, lo que implica considerar la integral.
Sólo necesitas seleccionar el contorno de integración. Está claro que el semieje debe entrar en el contorno. reales y
las partes imaginarias de la integral sobre esta parte del contorno son integrales de Fresnel. A continuación, la integral de contorno calculada sobre la estructura.
el integrando se parece a la integral de Euler-Poisson, cuyo valor se conoce. Pero para obtener esta integral, necesitamos poner
, Entonces . Y esta representación de una variable es la integración a lo largo de una recta que pasa por un punto
en ángulo con el eje real.
Entonces, hay dos elementos de contorno. Para que el contorno se cierre, asumiremos que las dos secciones seleccionadas del contorno tienen una longitud finita y se cierran
contorno de un arco de círculo de radio. Posteriormente dirigiremos este radio al infinito. El resultado se muestra en la figura. 1 circuito.

(1)
Dentro del contorno de integración, el integrando no tiene puntos singulares, por lo que la integral a lo largo de todo el contorno es igual a cero.

.
En el límite, esta integral es igual a cero.
En el sitio puedes escribir , luego
.
Sustituimos los resultados obtenidos en (1) y vamos al límite:

Separando las partes real e imaginaria, encontramos, teniendo en cuenta el valor de la integral de Euler-Poisson
,
.
Ejemplo 2. Seleccionar un contorno de integración que contenga dentro del punto singular del integrando.
Calculemos una integral similar a la considerada en el primer ejemplo: , donde .
Calcularemos la integral. Elijamos un contorno similar al utilizado en el primer ejemplo. Solo que ahora no hay meta.
reduzca el cálculo a la integral de Euler-Poisson. Tenga en cuenta aquí que al reemplazar el integrando no cambiará.
Esta consideración nos lleva a elegir la recta inclinada del contorno de integración de manera que forme un ángulo con el eje real.

Al escribir la integral de contorno.
(2)
la integral sobre el arco de un círculo tiende a cero en el límite. En el sitio puedes escribir. :
.
Así, de (2) al pasar al límite encontramos
.
Aquí se tiene en cuenta que dentro del contorno de integración el integrando tiene un polo simple.

Desde aquí encontramos la integral requerida:
.
Ejemplo 3. Cerrar el bucle de integración a través del semiplano superior o inferior.?
Utilizando la siguiente integral bastante simple, demostramos un detalle característico de la elección del contorno de integración. calculemos
integral
De hecho, la integral requerida de la función se calcula a lo largo del eje real, en el que el integrando no tiene
características. Lo único que queda es cerrar el círculo de la integración. Dado que la función bajo la integral tiene solo dos puntos singulares finitos, entonces
Puedes cerrar el contorno con un semicírculo, cuyo radio debe tender al infinito. Y aquí surge la pregunta de ¿cómo debería
se debe seleccionar un semicírculo: en el semiplano superior o inferior (ver Fig. 3 a, b). Para entender esto, escribamos la integral sobre el semicírculo.
en ambos casos:

A)
b)
Como se puede observar, el comportamiento de la integral en el límite está determinado por el factor .
En el caso de "a", y por tanto el límite será finito bajo la condición .
En el caso “b” - por el contrario -, y por tanto el límite será finito bajo la condición .
Esto sugiere que la forma en que se cierra el bucle está determinada por el signo del parámetro. Si es positivo entonces
el contorno se cierra a través del semiplano superior, de lo contrario, a través del inferior. Consideremos estos casos por separado.
A)
La integral sobre un semicírculo en el límite, como hemos visto, tiende a cero. Dentro del circuito (ver Fig. 3a) hay
punto especial, por lo tanto

b)
Encontramos algo similar usando la integración a lo largo del contorno mostrado en la Fig. 3b,

Nota. Puede parecer extraño que la integral de una función compleja resulte real. Sin embargo, esto es fácil de entender si en el original
en la integral, separe las partes real e imaginaria. En la parte imaginaria, debajo de la integral habrá una función impar, y la integral se calcula en simétrica.
límites. Aquellos. la parte imaginaria irá a cero, que es lo que sucedió en nuestro cálculo.
Ejemplo 4. Evitar puntos singulares del integrando al construir un contorno de integración.
En los ejemplos considerados, el integrando no tenía puntos singulares o estaban dentro del contorno de integración. Sin embargo
Puede resultar conveniente elegir un contorno para que sobre él recaigan los puntos singulares de la función. Hay que evitar estos puntos. Se realiza el bypass.
a lo largo de un círculo de radio pequeño, que luego simplemente tiende a cero. Como ejemplo, calculemos la integral. .
Puede parecer que el integrando no tiene puntos singulares finitos, ya que un punto es una singularidad removible.
Pero para calcular la integral, debes componer una integral de contorno a partir de otra función (para asegurar que la integral llegue a cero en
cerrando semicírculo en el límite de radio infinito): . Aquí el integrando tiene una singularidad polar.
en el punto .

Por tanto, se requiere otro circuito de integración (ver Fig. 4). Es diferente de la Fig. 3a sólo por el hecho de que el punto singular gira alrededor de un semicírculo,
cuyo radio se espera que tienda a cero en el futuro.
. (3)
Observemos de inmediato que la integral sobre un gran semicírculo en el límite de su radio infinitamente grande tiende a cero, y dentro del contorno
no hay puntos singulares, por lo que toda la integral a lo largo del contorno es cero. A continuación, considere el primer y tercer término en (3):

.
Ahora escribamos la integral sobre un pequeño semicírculo, teniendo en cuenta lo que hay en él. También tendremos en cuenta inmediatamente la pequeñez del radio del semicírculo:

Los términos que tienden a cero en el límite no están escritos.
Recopilamos los términos en (3), excepto el término relacionado con el gran semicírculo.

Como se puede observar, los términos que llegan al infinito se aniquilan entre sí. Dirigiendo y tenemos
.
Nota. Por ejemplo, la integral de Dirichlet se calcula de forma completamente similar (recordemos que se diferencia de lo que se acaba de considerar por la ausencia
cuadrados en el numerador y denominador).
Ejemplos de cálculo de integrales definidas usando contorno.
integración en el plano complejo (continuación)
Ejemplo 5. El integrando tiene innumerables puntos singulares..
En muchos casos, la elección del contorno se complica por el hecho de que el integrando tiene un número infinito de puntos singulares. En este caso puede
resulta que la suma de los residuos será realmente cercana, cuya convergencia aún tendrá que demostrarse si la sumamos
no funciona (y sumar series es generalmente una tarea separada y bastante complicada). Como ejemplo, calculemos la integral.
Está claro que parte del contorno es el eje real. La función no tiene características especiales. Analicemos cómo cerrar el ciclo. No debes seleccionar un semicírculo.
El caso es que el coseno hiperbólico tiene una familia de ceros simples. . Por tanto, dentro del contorno cerrado por un semicírculo.
en el límite de un radio infinitamente grande, habrá infinitos puntos singulares. ¿De qué otra manera puedes cerrar el círculo? Darse cuenta de .
De ello se deduce que se puede intentar incluir en el contorno de integración un segmento paralelo al eje real. El circuito se cerrará con dos
segmentos verticales, en el límite ubicado infinitamente lejos del eje imaginario (ver Fig. 5).

En secciones verticales del contorno. . El coseno hiperbólico crece exponencialmente al aumentar el argumento (en valor absoluto), por lo tanto
en el límite, las integrales sobre las secciones verticales tienden a cero.

Entonces, en el límite
.
Por otro lado, dentro del contorno de integración existen dos puntos singulares del integrando. Deducciones en ellos
,
.
Por eso,
.
Ejemplo 6. El integrando de las integrales definida y de contorno son diferentes.
Existe un caso muy importante de calcular integrales definidas utilizando el método de integración de contornos. todavía integrando
la función integral de contorno simplemente coincidió con el integrando de una determinada integral o pasó a ella por separación
parte real o imaginaria. Pero las cosas no siempre resultan tan sencillas. Calculemos la integral.
A la hora de elegir un circuito, no hay ningún problema especial. Aunque la función bajo la integral tiene infinitos polos simples, ya sabemos
Según la experiencia del ejemplo anterior, se necesita un contorno rectangular, ya que . La única diferencia con el ejemplo 5 es que
que el polo del integrando cae sobre la línea recta que es necesario evitar. Por tanto, elegimos el que se muestra.
en la Fig. 6 circuito.

Considere la integral de contorno. No lo pintaremos en cada tramo del contorno, limitándonos a los horizontales.
en secciones. La integral a lo largo del eje real tiende al valor deseado en el límite. Escribamos las integrales sobre las secciones restantes:
.
En el límite, las dos primeras integrales darán , luego entrarán en la integral de contorno en suma
con el deseado, que difiere en signo. Como resultado, la integral definida deseada saldrá de la integral de contorno. Esto significa que
el integrando fue elegido incorrectamente. Consideremos otra integral: . Dejamos el esquema igual.

Para empezar, consideremos nuevamente integrales sobre secciones horizontales. La integral a lo largo del eje real se transformará en .
Esta integral es igual a cero como integral de una función impar dentro de límites simétricos.

En el límite, los dos primeros corchetes desaparecerán, formando nuevamente integrales de funciones impares.
dentro de límites simétricos. Pero el último paréntesis, hasta un factor, dará la integral requerida. Tiene sentido continuar con el cálculo.
De manera similar al ejemplo 5, las integrales sobre las secciones verticales del contorno tienden a cero en . Falta encontrar la integral
a lo largo de un semicírculo, donde . Como en el ejemplo 4, calculamos la integral, teniendo en cuenta la pequeñez de:
.
Entonces, tenemos todo para escribir la integral de contorno en el límite:

Por otro lado, dentro del contorno de integración había un polo de la función integrando

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Resolver integrales indefinidas

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Resolver integrales definidas

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Ingrese la expresión integrando (función integral)
Introduzca un límite inferior para la integral
Introduzca un límite superior para la integral

Resolver integrales dobles

Ingrese la expresión integrando (función integral)

Resolver integrales impropias

Ingrese la expresión integrando (función integral)
Ingrese la región superior de integración (o + infinito)
Ingrese a la región inferior de integración (o - infinito)

Resolver integrales triples

Ingrese la expresión integrando (función integral)
Introduzca los límites inferior y superior para la primera región de integración
Ingrese el límite inferior y superior para la segunda región de integración
Ingrese el límite inferior y superior para la tercera región de integración

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Posibilidades

Soporta todas las funciones matemáticas posibles: seno, coseno, exponente, tangente, cotangente, raíces cuadradas y cúbicas, potencias, exponenciales y otras.
Hay ejemplos de entrada, tanto para integrales indefinidas como para impropias y definidas.
Corrige errores en las expresiones que ingresa y ofrece sus propias opciones de entrada.
Solución numérica para integrales definidas e impropias (incluidas integrales dobles y triples).
Soporte para números complejos, así como varios parámetros (puede especificar no solo la variable de integración, sino también otras variables de parámetros en la expresión del integrando)

1. Conceptos y declaraciones básicos

Teorema 5.1(una condición suficiente para la existencia de una integral de una función de una variable compleja). Dejar l– una curva simple y suave, F(z)=tu(X;y)+i×v(X;y) es continuo en l. Entonces existe , y se cumple la siguiente igualdad:

Teorema 5.2. Dejar l– una curva suave simple, definida paramétricamente: l:z(t)=X(t)+i×y(t), a£ t£ b, función F(z) es continuo en l. Entonces la igualdad es verdadera:

(Dónde ). (5.2)

Teorema 5.3. Si F(z) analítico en el campo D función, entonces - función analítica y F"(z)=F(z), donde la integral se toma sobre cualquier curva suave por tramos que conecte los puntos z 0 y z.

- Fórmula de Newton-Leibniz.

2. Métodos para calcular la integral.

Primera manera. Cálculo de integrales de una función continua por reducción a integrales curvilíneas de funciones de variables reales (aplicación de la fórmula (5.1)).

1. Encuentra Re F=tu, Soy F=v.

2. Escribe el integrando F(z)dz en forma de producto ( tu+IV)(dx+idi)=udx-vdy+i(udy+vdx).

3. Calcular integrales curvilíneas de la forma. de acuerdo con las reglas para calcular integrales curvilíneas de segundo tipo.

Ejemplo 5.1 . Calcular por parábola y=x 2 desde el punto z 1 =0 al punto z 2 =1+i.

■ Encontremos las partes real e imaginaria del integrando. Para hacer esto, sustituyamos en la expresión por F(z) z=x+iy:

Porque y=x 2, entonces dy= 2X, . Es por eso

Segunda vía. Cálculo de integrales de una función continua por reducción a integral definida en el caso de una definición paramétrica de la ruta de integración (aplicación de la fórmula (5.2)).

1. Escribe la ecuación paramétrica de la curva. z=z(t) y determinar los límites de integración: t=a corresponde al punto de partida del camino de integración, t=b-final.

2. Encuentra el diferencial de una función de valores complejos. z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Sustituto z(t) en un integrando, transforma la integral a la forma: .

4. Calcule la integral definida resultante.

Ejemplo 5.2 . Calcular donde CON- arco de círculo, .

■ Ecuación paramétrica de esta curva: , 0 £ j£ pag. Entonces . Obtenemos

Ejemplo 5.3 . Calcular donde CON– el arco superior del círculo proporcionaba: a) , b) .

■ Especificar valores de función en el bucle de integración le permite seleccionar ramas inequívocas de la expresión , k= 0,1. Desde cuando tenemos, k= 0.1, luego en el primer caso seleccionamos la rama con k= 0, y en el segundo – desde k= 1.

El integrando en el contorno de integración es continuo. Ecuación paramétrica de esta curva: , 0 £ j£ pag. Entonces .

a) La sucursal se determina cuando k= 0, es decir, de obtenemos .

b) La rama se determina cuando k=1, es decir, de obtenemos .

Tercera vía. Cálculo de integrales de funciones analíticas en dominios simplemente conexos (aplicación de la fórmula (5.3)).

Encuentra la antiderivada F(z), utilizando las propiedades de integrales, integrales tabuladas y métodos conocidos del análisis real. Aplicar la fórmula de Newton-Leibniz: .

Ejemplo 5.4 . Calcular , Dónde CON- derecho AB, z A=1-i,zV=2+yo.

■ Dado que la función integrando - analítica en todo el plano complejo, luego aplicamos la fórmula de Newton-Leibniz

3. Teoremas básicos del cálculo integral

funciones de una variable compleja

Teorema 5.4 (Cauchy). Si F(z GRAMO función, entonces donde l- cualquier contorno cerrado que se encuentre en GRAMO.

El teorema de Cauchy también es válido para una región multiconexa.

Teorema 5.5. Deja que la función F(z) analítico en un dominio simplemente conectado D, l-contorno liso por partes cerrado arbitrario que se encuentra en D. Entonces para cualquier punto z 0 dentro del contorno l, la fórmula es correcta:

, (5.4)

Dónde l avanza en una dirección positiva.

La fórmula (5.4) se llama Fórmula integral de Cauchy . Expresa los valores de una función analítica dentro de un contorno a través de sus valores en el contorno.

Teorema 5.6. cada función F(z), analítico en el campo D, tiene derivados de todos los pedidos en este dominio, y para " z 0 Î D la fórmula es correcta:

, (5.5)

Dónde l– un contorno cerrado, suave y arbitrario que se encuentra enteramente en D y que contiene un punto dentro z 0 .

4.Cálculo de integrales en circuito cerrado.

de funciones de una variable compleja

Consideremos integrales de la forma , donde la función j(z) analítica en , y y(z) – un polinomio que no tiene ceros en un contorno cerrado CON.

Regla. Al calcular integrales de la forma dependiendo de la multiplicidad de ceros del polinomio y(z) y su ubicación relativa al contorno CON Se pueden distinguir 4 casos.

1. En la zona D sin ceros polinomiales y(z). Entonces la función es analítica y por el teorema de Cauchy.

2. En la zona D hay un cero simple z=z 0 polinomio y(z). Luego escribimos la fracción en la forma donde F(z) es una función analítica en Aplicando la fórmula integral de Cauchy (5.4), obtenemos

. (5.6)

3. En la zona D se encuentra un cero múltiplo z=z 0 polinomio y(z) (multiplicidades norte). Luego escribimos la fracción en la forma donde F(z) es una función analítica en Aplicando la fórmula (5.5), obtenemos

4. En la zona D se ubican dos ceros del polinomio y(z) z=z 1 y z=z 2. Luego representamos el integrando como la suma de dos fracciones y la integral como la suma de dos integrales, cada una de las cuales se calcula de acuerdo con el párrafo 2 o el párrafo 3.

Ejemplo 5.5 . Calcular donde CON- círculo.

■ Encontrar los ceros del denominador – puntos singulares del integrando . Estos son los puntos. A continuación, determinamos la ubicación de los puntos con respecto al contorno de integración: ninguno de los puntos está incluido en el área delimitada por un círculo con centro en el punto y radio 2 (es decir, tenemos el primer caso). Puedes verificar esto dibujando o determinando la distancia desde cada punto al centro del círculo y comparándola con el radio. Por ejemplo, para , por lo tanto no pertenece al círculo.

Entonces la función analítica en el círculo, y por el teorema de Cauchy .

Tenga en cuenta que la integral dada también es igual a cero para cualquier otro contorno que limite la región que no incluya ninguno de los ceros del denominador. ■

Ejemplo 5.6 . Calcular donde CON- círculo.

■ Razonando como en el ejemplo 5.5, encontramos que sólo uno de los ceros del denominador está ubicado en el círculo (segundo caso). Por lo tanto, escribimos la función integrando en la forma, función analítico en círculo. Luego según la fórmula (5.6)

.■

Ejemplo 5.7 . Calcular , Dónde CON- círculo.