Se muestra la gráfica de su derivada. Derivada de una función

La derivada de una función es una de temas dificiles V plan de estudios escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.

Este artículo explica de forma sencilla y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. Ahora no nos esforzaremos por lograr un rigor matemático en la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordemos la definición:

La derivada es la tasa de cambio de una función.

La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que está creciendo más rápido?

La respuesta es obvia: la tercera. Tiene la tasa de cambio más alta, es decir, la derivada más grande.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:

El gráfico muestra todo a la vez, ¿no? Los ingresos de Kostya se duplicaron con creces en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero sólo un poco. Y los ingresos de Matvey disminuyeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, su derivada de ingresos es en general negativa.

Intuitivamente, estimamos fácilmente la tasa de cambio de una función. ¿Pero cómo hacemos esto?

Lo que realmente estamos viendo es qué tan pronunciado sube (o baja) la gráfica de una función. En otras palabras, ¿con qué rapidez cambia y cuando cambia x? Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener significado diferente derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lentamente.

La derivada de una función se denota.

Le mostraremos cómo encontrarlo usando un gráfico.

Se ha dibujado una gráfica de alguna función. Tomemos un punto con una abscisa. Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos estimar qué tan pronunciado sube la gráfica de la función. Un valor conveniente para esto es tangente del ángulo tangente.

La derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en ese punto.

Tenga en cuenta que como ángulo de inclinación de la tangente tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces los estudiantes preguntan qué es una tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta que tiene sólo una punto común con una gráfica, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.

Encontrémoslo. Recordemos que la tangente de un ángulo agudo en triangulo rectángulo igual a la proporción pierna opuesta al adyacente. Del triángulo:

Encontramos la derivada usando una gráfica sin siquiera conocer la fórmula de la función. Estos problemas se encuentran a menudo en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas bajo el número.

Hay otra relación importante. Recordemos que la recta viene dada por la ecuación

La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.

.

lo entendemos

Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

En otras palabras, la derivada es igual a la tangente del ángulo tangente.

Ya hemos dicho que una misma función puede tener distintas derivadas en distintos puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.

Dibujemos una gráfica de alguna función. Dejemos que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y con a diferentes velocidades. Y dejemos que esta función tenga puntos máximos y mínimos.

En un punto la función aumenta. La tangente a la gráfica trazada en el punto se forma ángulo agudo; con dirección de eje positiva. Esto significa que la derivada en el punto es positiva.

En ese momento nuestra función disminuye. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positiva. desde tangente ángulo obtuso es negativo, en el punto la derivada es negativa.

Esto es lo que sucede:

Si una función es creciente, su derivada es positiva.

Si disminuye, su derivada es negativa.

¿Qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por tanto, la tangente del ángulo tangente en estos puntos. igual a cero, y la derivada también es cero.

Punto - punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de “más” a “menos”.

En el punto, el punto mínimo, la derivada también es cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".

Conclusión: utilizando la derivada podemos conocer todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de una función.

Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.

En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de “más” a “menos”.

En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de menos a más.

Escribamos estas conclusiones en forma de tabla:

Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos para resolver el problema. Otro, en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.

Es posible que la derivada de una función en algún punto sea igual a cero, pero la función no tiene ni máximo ni mínimo en ese punto. Este es el llamado :

En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto la función aumentó y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia: sigue siendo positivo como antes.

También sucede que en el punto de máximo o mínimo la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.

¿Cómo encontrar la derivada si la función no viene dada por una gráfica, sino por una fórmula? En este caso se aplica

El problema B9 muestra una gráfica de una función o derivada a partir de la cual es necesario determinar una de las siguientes cantidades:

1. El valor de la derivada en algún punto x 0,
2. Puntos máximos o mínimos (puntos extremos),
3. Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).

Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que facilita mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección análisis matemático, está dentro de las capacidades incluso de los estudiantes más débiles, ya que no hay conocimiento teórico No es necesario aquí.

Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se analizarán a continuación.

Lee atentamente las condiciones del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces te encuentras con textos bastante extensos, pero condiciones importantes, que influyen en el curso de la decisión, son pocos.

Cálculo del valor de la derivada. Método de dos puntos

Si al problema se le da una gráfica de una función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0, y se requiere encontrar el valor de la derivada en este punto, se aplica el siguiente algoritmo:

1. Encuentra dos puntos “adecuados” en la gráfica tangente: sus coordenadas deben ser números enteros. Denotemos estos puntos como A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: esto es punto clave soluciones, y cualquier error aquí resulta en una respuesta incorrecta.
2. Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1.
3. Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debes dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.

Notemos una vez más: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ocurrir. La recta tangente necesariamente contendrá al menos dos de estos puntos; de lo contrario, el problema no se formulará correctamente.

Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre los incrementos:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a ella en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre los incrementos:
Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

De último ejemplo podemos formular una regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de tangencia es cero. En este caso, ni siquiera es necesario contar nada, basta con mirar el gráfico.

Cálculo de puntos máximos y mínimos.

A veces, en lugar de una gráfica de una función, el problema B9 da una gráfica de la derivada y requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En esta situación, el método de los dos puntos es inútil, pero existe otro algoritmo aún más sencillo. Primero, definamos la terminología:

1. El punto x 0 se llama punto máximo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≥ f(x).
2. El punto x 0 se llama punto mínimo de la función f(x) si en alguna vecindad de este punto se cumple la siguiente desigualdad: f(x 0) ≤ f(x).

Para encontrar los puntos máximo y mínimo en el gráfico de la derivada, simplemente sigue estos pasos:

1. Vuelva a dibujar el gráfico de derivadas, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos innecesarios sólo interfieren con la decisión. Por lo tanto, tomamos nota en eje de coordenadas ceros de la derivada, eso es todo.
2. Descubre los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces sólo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si la gráfica derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Y viceversa, si la gráfica derivada se encuentra debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
3. Volvemos a comprobar los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más es el punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.

Este esquema sólo funciona para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−5; 5]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.

Deshagámonos de la información innecesaria y dejemos solo los límites [−5; 5] y ceros de la derivada x = −3 y x = 2,5. También notamos las señales:

Obviamente, en el punto x = −3 el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.

Volvamos a dibujar la gráfica, dejando solo los límites [−3; 7] y ceros de la derivada x = −1,7 y x = 5. Observemos los signos de la derivada en la gráfica resultante. Tenemos:

Obviamente, en el punto x = 5 el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x), definida en el intervalo [−6; 4]. Encuentre el número de puntos máximos de la función f(x) pertenecientes al segmento [−4; 3].

De las condiciones del problema se deduce que basta con considerar solo la parte del gráfico limitada por el segmento [−4; 3]. Por eso estamos construyendo nuevo horario, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y ceros de la derivada dentro de él. Es decir, puntos x = −3,5 y x = 2. Obtenemos:

En esta gráfica solo hay un punto máximo x = 2. Es en este punto donde el signo de la derivada cambia de más a menos.

Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en última tarea Se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo éxito podemos tomar x = −3,4. Si el problema se redacta correctamente, dichos cambios no deberían afectar la respuesta, ya que no se aceptan puntos "sin lugar de residencia fijo". participación directa en la solución del problema. Por supuesto, este truco no funcionará con puntos enteros.

Encontrar intervalos de función creciente y decreciente.

En un problema como el de los puntos máximo y mínimo, se propone utilizar la gráfica derivada para encontrar áreas en las que la función misma aumenta o disminuye. Primero, definamos qué son crecientes y decrecientes:

1. Se dice que una función f(x) es creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
2. Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento se cumple la siguiente afirmación: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aquellos. valor más alto coincidencias de argumentos valor más bajo funciones.

formulemos condiciones suficientes ascendente y descendente:

1. Con el fin de función continua f(x) aumenta en el segmento , basta con que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f'(x) ≥ 0.
2. Para que una función continua f(x) disminuya en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.

Aceptemos estas declaraciones sin pruebas. Por lo tanto, obtenemos un esquema para encontrar intervalos crecientes y decrecientes, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:

1. Elimina toda la información innecesaria. En la gráfica original de la derivada, nos interesan principalmente los ceros de la función, por lo que los dejaremos solo.
2. Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función aumenta, y donde f'(x) ≤ 0, disminuye. Si el problema impone restricciones a la variable x, además las marcamos en una nueva gráfica.
3. Ahora que conocemos el comportamiento de la función y las restricciones, queda calcular la cantidad requerida en el problema.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de disminución de la función f(x). En tu respuesta, indica la suma de los números enteros incluidos en estos intervalos.

Como de costumbre, volvamos a dibujar el gráfico y marquemos los límites [−3; 7.5], así como ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego observamos los signos de la derivada. Tenemos:

Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1,5), este es el intervalo de función decreciente. Queda por sumar todos los números enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−10; 4]. Encuentra los intervalos de aumento de la función f(x). En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Deshagámonos de la información innecesaria. Dejemos sólo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, de los cuales esta vez eran cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Marquemos los signos de la derivada y obtengamos la siguiente imagen:

Nos interesan los intervalos de función creciente, es decir tal donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en la gráfica: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Como necesitamos encontrar la longitud del mayor de los intervalos, anotamos el valor l 2 = 5 como respuesta.

La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x), definida en el intervalo [–5; 6]. Encuentre el número de puntos en la gráfica de f(x), en cada uno de los cuales la tangente trazada a la gráfica de la función coincide o es paralela al eje x

La figura muestra una gráfica de la derivada de la función diferenciable y = f(x).

Encuentre el número de puntos en la gráfica de la función que pertenecen al segmento [–7; 7], en el que la tangente a la gráfica de la función es paralela a la recta especificada por la ecuación y = –3x.

punto material M comienza a moverse desde el punto A y se mueve en línea recta durante 12 segundos. El gráfico muestra cómo la distancia del punto A al punto M cambió con el tiempo. El eje de abscisas muestra el tiempo t en segundos y el eje de ordenadas muestra la distancia s en metros. Determine cuántas veces durante el movimiento la velocidad del punto M llegó a cero (no tenga en cuenta el principio y el final del movimiento).

La figura muestra secciones de la gráfica de la función y=f(x) y la tangente a ella en el punto con la abscisa x = 0. Se sabe que esta tangente es paralela a la recta que pasa por los puntos de la gráfica. con la abscisa x = -2 y x = 3. Usando esto, encuentre el valor de la derivada f"(o).

La figura muestra una gráfica de y = f’(x) - la derivada de la función f(x), definida en el segmento (−11; 2). Encuentra la abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de la función y = f(x) es paralela o coincide con la abscisa.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) su rapidez fue igual a 2 m/s?

Un punto material se mueve en línea recta desde la posición inicial hasta la final. La figura muestra una gráfica de su movimiento. El eje de abscisas muestra el tiempo en segundos, el eje de ordenadas muestra la distancia desde posición inicial puntos (en metros). Encontrar velocidad promedio movimiento puntual. Da tu respuesta en metros por segundo.

La función y = f (x) se define en el intervalo [-4; 4]. La figura muestra una gráfica de su derivada. Encuentre el número de puntos en la gráfica de la función y = f (x), cuya tangente forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje Ox.

La función y = f (x) se define en el intervalo [-2; 4]. La figura muestra una gráfica de su derivada. Encuentra la abscisa del punto en la gráfica de la función y = f (x), en el que toma valor más pequeño en el segmento [-2; -0,001].

La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a esta gráfica dibujada en el punto x0. La tangente viene dada por la ecuación y = -2x + 15. Encuentra el valor de la derivada de la función y = -(1/4)f(x) + 5 en el punto x0.

En la gráfica de la función diferenciable y = f (x) están marcados siete puntos: x1,.., x7. Encuentre todos los puntos marcados en los que la derivada de la función f(x) mayor que cero. En tu respuesta, indica el número de estos puntos.

La figura muestra una gráfica y = f"(x) de la derivada de la función f(x), definida en el intervalo (-10; 2). Encuentre el número de puntos en los que es tangente a la gráfica de la función f (x) es paralela a la recta y = -2x-11 o coincide con ella.

La figura muestra una gráfica de y=f"(x) - la derivada de la función f(x). Hay nueve puntos marcados en el eje de abscisas: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
¿Cuántos de estos puntos pertenecen a los intervalos de la función decreciente f(x)?

La figura muestra una gráfica de la función y = f(x) y una tangente a esta gráfica dibujada en el punto x0. La tangente viene dada por la ecuación y = 1,5x + 3,5. Encuentra el valor de la derivada de la función y = 2f(x) - 1 en el punto x0.

La figura muestra la gráfica y=F(x) de uno de funciones antiderivadas f(x). Hay seis puntos marcados en el gráfico con abscisas x1, x2, ..., x6. ¿En cuántos de estos puntos la función y=f(x) toma valores negativos?

La figura muestra una gráfica del automóvil que se mueve a lo largo de la ruta. El eje de abscisas muestra el tiempo (en horas) y el eje de ordenadas muestra la distancia recorrida (en kilómetros). Encuentre la velocidad promedio del automóvil en esta ruta. Da tu respuesta en km/h

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, donde x es la distancia desde el punto de referencia (en metros), t es el tiempo de movimiento (en segundos). Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t=6 s

La figura muestra una gráfica de la antiderivada y = F(x) de alguna función y = f(x), definida en el intervalo (-6; 7). Usando la figura, determine el número de ceros de la función f(x) en este intervalo.

La figura muestra una gráfica de y = F(x) de una de las primitivas de alguna función f(x), definida en el intervalo (-7; 5). Usando la figura, determine el número de soluciones de la ecuación f(x) = 0 en el intervalo [- 5; 2].

La figura muestra la gráfica de la función diferenciable y=f(x). Hay nueve puntos marcados en el eje x: x1, x2,... x9. Encuentre todos los puntos marcados en los que la derivada de la función f(x) es negativa. En tu respuesta, indica el número de estos puntos.

Un punto material se mueve rectilíneamente según la ley x(t)=12t^3−3t^2+2t, donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t=6 s.

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x) y una tangente a esta gráfica dibujada en el punto x0. La ecuación tangente se muestra en la figura. encuentre el valor de la derivada de la función y=4*f(x)-3 en el punto x0.

¡Hola! ¡¡¡Afrontemos el próximo Examen Estatal Unificado con una preparación sistemática de alta calidad y perseverancia en moler el granito de la ciencia!!! ENHay una tarea de competencia al final de la publicación, ¡sé el primero! En uno de los artículos de esta sección tú y yo, en el que se dio la gráfica de la función, y pusimos varias preguntas relativos a extremos, intervalos de aumento (disminución) y otros.

En este artículo consideraremos los problemas incluidos en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, en los que se da una gráfica de la derivada de una función y se plantean las siguientes preguntas:

1. ¿En qué punto de un segmento dado la función toma el valor más grande (o más pequeño)?

2. Encuentre el número de puntos máximos (o mínimos) de la función que pertenecen a un segmento determinado.

3. Encuentra el número de puntos extremos de la función que pertenecen a un segmento dado.

4. Encuentra el punto extremo de la función perteneciente al segmento dado.

5. Encuentre los intervalos de una función creciente (o decreciente) y en la respuesta indique la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

6. Encuentra los intervalos de aumento (o disminución) de la función. En tu respuesta, indica la longitud del mayor de estos intervalos.

7. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con una recta de la forma y = kx + b.

8. Encuentra la abscisa del punto en el que la tangente a la gráfica de la función es paralela al eje de abscisas o coincide con él.

Puede haber otras preguntas, pero no te causarán ninguna dificultad si las comprendes y (se proporcionan enlaces a artículos que brindan la información necesaria para la solución, recomiendo repetirlos).

Información básica (brevemente):

1. La derivada a intervalos crecientes tiene signo positivo.

Si la derivada en un cierto punto de un cierto intervalo tiene valor positivo, entonces la gráfica de la función aumenta en este intervalo.

2. En intervalos decrecientes, la derivada tiene signo negativo.

Si la derivada en un cierto punto de un cierto intervalo tiene valor negativo, entonces la gráfica de la función disminuye en este intervalo.

3. La derivada en el punto x es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en el mismo punto.

4. En los puntos del extremo (máximo-mínimo) de la función, la derivada es igual a cero. La tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela al eje x.

¡¡¡Esto debe entenderse y recordarse claramente!!!

La gráfica derivada “confunde” a mucha gente. Algunas personas, sin darse cuenta, lo confunden con la gráfica de la función misma. Por lo tanto, en tales edificios, donde ve que se da una gráfica, centre inmediatamente su atención en la condición en lo que se da: ¿la gráfica de la función o la gráfica de la derivada de la función?

Si es una gráfica de la derivada de una función, trátela como un "reflejo" de la función misma, que simplemente le brinda información sobre esa función.

Considere la tarea:

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–2;21).

Responderemos las siguientes preguntas:

1. ¿En qué punto del segmento está la función? F(INCÓGNITA) acepta valor más alto.

En un intervalo dado, la derivada de una función es negativa, lo que significa que la función en este intervalo disminuye (disminuye desde el límite izquierdo del intervalo hacia la derecha). Por tanto, el mayor valor de la función se alcanza en el borde izquierdo del segmento, es decir, en el punto 7.

Respuesta: 7

2. ¿En qué punto del segmento está la función? F(INCÓGNITA)

Por este horario derivada podemos decir lo siguiente. En un intervalo dado, la derivada de la función es positiva, lo que significa que la función en este intervalo aumenta (aumenta desde el límite izquierdo del intervalo hacia la derecha). Así, el valor más pequeño de la función se consigue en el borde izquierdo del segmento, es decir, en el punto x = 3.

Respuesta: 3

3. Encuentra el número de puntos máximos de la función. F(INCÓGNITA)

Los puntos máximos corresponden a los puntos donde el signo de la derivada cambia de positivo a negativo. Consideremos dónde cambia el signo de esta manera.

En el segmento (3;6) la derivada es positiva, en el segmento (6;16) es negativa.

En el segmento (16;18) la derivada es positiva, en el segmento (18;20) es negativa.

Así, en un segmento dado la función tiene dos puntos máximos x = 6 y x = 18.

Respuesta: 2

4. Encuentra el número de puntos mínimos de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento.

Los puntos mínimos corresponden a puntos donde el signo de la derivada cambia de negativo a positivo. Nuestra derivada es negativa en el intervalo (0;3) y positiva en el intervalo (3;4).

Por tanto, en el segmento la función tiene solo un punto mínimo x = 3.

*Tenga cuidado al escribir la respuesta: se registra el número de puntos, no el valor de x. Este error se puede cometer por falta de atención.

Respuesta: 1

5. Encuentra el número de puntos extremos de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento.

Tenga en cuenta lo que necesita encontrar cantidad puntos extremos (estos son puntos máximos y mínimos).

Los puntos extremos corresponden a puntos donde cambia el signo de la derivada (de positivo a negativo o viceversa). En la gráfica dada en la condición, estos son los ceros de la función. La derivada desaparece en los puntos 3, 6, 16, 18.

Por tanto, la función tiene 4 puntos extremos en el segmento.

Respuesta: 4

6. Encuentra los intervalos de función creciente. F(INCÓGNITA)

Intervalos de aumento de esta función. F(INCÓGNITA) corresponden a los intervalos en los que su derivada es positiva, es decir, los intervalos (3;6) y (16;18). Tenga en cuenta que los límites del intervalo no están incluidos en él ( paréntesis– los bordes no están incluidos en el intervalo, los cuadrados sí están incluidos). Estos intervalos contienen puntos enteros 4, 5, 17. Su suma es: 4 + 5 + 17 = 26

Respuesta: 26

7. Encuentra los intervalos de la función decreciente. F(INCÓGNITA) en un intervalo dado. En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Intervalos decrecientes de una función. F(INCÓGNITA) corresponden a intervalos en los que la derivada de la función es negativa. En este problema estos son los intervalos (–2;3), (6;16), (18:21).

Estos intervalos contienen los siguientes puntos enteros: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Su suma es:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Respuesta: 140

*Preste atención a la condición: si los límites están incluidos en el intervalo o no. Si se incluyen límites, entonces en los intervalos considerados en el proceso de solución estos límites también deben tenerse en cuenta.

8. Encuentra los intervalos de función creciente. F(INCÓGNITA)

Intervalos de función creciente. F(INCÓGNITA) corresponden a intervalos en los que la derivada de la función es positiva. Ya los hemos indicado: (3;6) y (16:18). El mayor de ellos es el intervalo (3;6), su longitud es 3.

Respuesta: 3

9. Encuentra los intervalos de la función decreciente. F(INCÓGNITA). En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Intervalos decrecientes de una función. F(INCÓGNITA) corresponden a intervalos en los que la derivada de la función es negativa. Ya los hemos indicado; estos son los intervalos (–2;3), (6;16), (18;21), sus longitudes son respectivamente 5, 10, 3.

La longitud del más grande es 10.

Respuesta: 10

10. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función. F(INCÓGNITA) paralela o coincide con la recta y = 2x + 3.

El valor de la derivada en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la tangente. Dado que la tangente es paralela a la recta y = 2x + 3 o coincide con ella, sus coeficientes angulares son iguales a 2. Esto significa que es necesario encontrar el número de puntos en los que y′(x 0) = 2. Geométricamente, esto corresponde al número de puntos de intersección de la gráfica derivada con la línea recta y = 2. Hay 4 puntos de este tipo en este intervalo.

Respuesta: 4

11. Encuentra el punto extremo de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento.

El punto extremo de una función es el punto en el que su derivada es igual a cero, y en las proximidades de este punto la derivada cambia de signo (de positivo a negativo o viceversa). En el segmento, la gráfica de la derivada intersecta el eje x, la derivada cambia de signo de negativo a positivo. Por tanto, el punto x = 3 es un punto extremo.

Respuesta: 3

12. Encuentra las abscisas de los puntos en los que las tangentes a la gráfica y = f (x) son paralelas al eje de abscisas o coinciden con él. En tu respuesta, indica el mayor de ellos.

La tangente a la gráfica y = f (x) puede ser paralela al eje x o coincidir con él, solo en los puntos donde la derivada es igual a cero (estos pueden ser puntos extremos o puntos estacionarios, en cuya proximidad la derivada no cambia de signo). Este gráfico muestra que la derivada es cero en los puntos 3, 6, 16,18. El más grande es 18.

Puedes construir tu razonamiento de esta manera:

El valor de la derivada en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la tangente. Dado que la tangente es paralela o coincide con el eje x, su pendiente es igual a 0 (de hecho, la tangente de un ángulo de cero grados es igual a cero). Por tanto, buscamos el punto en el que la pendiente es igual a cero y, por tanto, la derivada es igual a cero. La derivada es igual a cero en el punto en el que su gráfica intersecta el eje x, y estos son los puntos 3, 6, 16,18.

Respuesta: 18

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–8;4). ¿En qué punto del segmento [–7;–3] está la función F(INCÓGNITA) toma el valor más pequeño.

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–7;14). Encuentra el número de puntos máximos de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento [–6;9].

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–18;6). Encuentra el número de puntos mínimos de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento [–13;1].

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–11; –11). Encuentra el número de puntos extremos de la función. F(INCÓGNITA), perteneciente al segmento [–10; –10].

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–7;4). Encuentra los intervalos de función creciente. F(INCÓGNITA). En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–5;7). Encuentra los intervalos de la función decreciente. F(INCÓGNITA). En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

La figura muestra un gráfico. y =F'(INCÓGNITA)- derivada de una función F(INCÓGNITA), definido en el intervalo (–11;3). Encuentra los intervalos de función creciente. F(INCÓGNITA). En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

F La figura muestra un gráfico

Las condiciones del problema son las mismas (que consideramos). Encuentra la suma de tres números:

1. La suma de los cuadrados de los extremos de la función f (x).

2. La diferencia entre los cuadrados de la suma de los puntos máximos y la suma de los puntos mínimos de la función f (x).

3. El número de tangentes a f (x) paralelas a la recta y = –3x + 5.

El primero que dé la respuesta correcta recibirá un premio de incentivo de 150 rublos. Escribe tus respuestas en los comentarios. Si este es tu primer comentario en el blog, no aparecerá inmediatamente, sino un poco más tarde (no te preocupes, se registra la hora en que se escribió el comentario).

¡Buena suerte para ti!

Saludos cordiales, Alexander Krutitsikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.