Coeficiente angular de rectas paralelas. Coeficiente angular de una tangente como tangente del ángulo de inclinación

La recta y=f(x) será tangente a la gráfica de la figura en el punto x0 si pasa por el punto de coordenadas (x0; f(x0)) y tiene pendiente f"(x0). Encontrar dicho coeficiente, conociendo las características de la tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemática;
• - un simple lápiz;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - bolígrafo.

Instrucciones

Si el valor f'(x0) no existe, entonces no hay tangente o corre verticalmente. En vista de esto, la presencia de una derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical a la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a f "(x0). Por tanto, queda claro significado geométrico derivada – cálculo de la pendiente de la tangente.

Dibuja tangentes adicionales que estarían en contacto con la gráfica de la función en los puntos x1, x2 y x3, y también marca los ángulos formados por estas tangentes con el eje x (este ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta el linea tangente). Por ejemplo, el ángulo, es decir α1, será agudo, el segundo (α2) será obtuso y el tercero (α3) igual a cero, ya que la recta tangente es paralela al eje OX. En este caso, tangente ángulo obtuso– negativo, la tangente del ángulo agudo es positiva y en tg0 el resultado es cero.

nota

Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.

Consejo útil

Dos rectas inclinadas serán paralelas si sus coeficientes angulares son iguales; perpendicular si el producto de los coeficientes angulares de estas tangentes es igual a -1.

Fuentes:

• Tangente a la gráfica de una función.

El coseno, al igual que el seno, se clasifica como una función trigonométrica "directa". La tangente (junto con la cotangente) se clasifica como otro par llamado “derivados”. Existen varias definiciones de estas funciones que permiten encontrar la tangente dada por valor conocido coseno del mismo valor.

Instrucciones

Resta el cociente de uno por el valor del coseno ángulo dado, y extrae la raíz cuadrada del resultado; este será el valor tangente del ángulo, expresado por su coseno: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Tenga en cuenta que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero impide el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como para aquellos que difieren de este valor por números que sean múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Existe una forma alternativa de calcular la tangente a partir de un valor de coseno conocido. Se puede utilizar si no hay restricciones para el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir de un valor de coseno conocido; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcula la tangente del ángulo del valor resultante. EN vista general este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

También existe una opción exótica que utiliza la definición de coseno y tangente a través de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. En esta definición, el coseno corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes seleccionar las longitudes correspondientes de estos dos lados. Por ejemplo, si cos(α) = 0,5, entonces el adyacente se puede tomar igual a 10 cm y la hipotenusa a 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá los mismos números correctos con cualquier valor que tenga el mismo valor. Luego, usando el teorema de Pitágoras, determina la longitud del lado que falta: pierna opuesta. sera igual raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y pierna famosa: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación entre las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlala y obtén el valor de tangente encontrado usando definición clásica coseno.

Fuentes:

• coseno a través de la fórmula tangente

Uno de funciones trigonométricas, indicado con mayor frecuencia por las letras tg, aunque también se encuentran las designaciones tan. La forma más sencilla de representar la tangente es como una razón seno. ángulo a su coseno. Es extraño periódico y no función continua, cada ciclo del cual igual al numero Pi, y el punto de ruptura corresponde a la mitad de este número.

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La derivada de una función es una de temas dificiles V currículum escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.

Este artículo explica de forma sencilla y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. Ahora no nos esforzaremos por lograr un rigor matemático en la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordemos la definición:

La derivada es la tasa de cambio de una función.

La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que está creciendo más rápido?

La respuesta es obvia: la tercera. Tiene la tasa de cambio más alta, es decir, la derivada más grande.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:

El gráfico muestra todo a la vez, ¿no? Los ingresos de Kostya se duplicaron con creces en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero sólo un poco. Y los ingresos de Matvey disminuyeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, su derivada de ingresos es en general negativa.

Intuitivamente, estimamos fácilmente la tasa de cambio de una función. ¿Pero cómo hacemos esto?

Lo que realmente estamos viendo es qué tan pronunciado sube (o baja) la gráfica de una función. En otras palabras, ¿con qué rapidez cambia y cuando cambia x? Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener significado diferente derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lentamente.

La derivada de una función se denota.

Le mostraremos cómo encontrarlo usando un gráfico.

Se ha dibujado una gráfica de alguna función. Tomemos un punto con una abscisa. Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos estimar qué tan pronunciado sube la gráfica de la función. Un valor conveniente para esto es tangente del ángulo tangente.

La derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en ese punto.

Tenga en cuenta que como ángulo de inclinación de la tangente tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces los estudiantes preguntan qué es una tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta que tiene sólo una punto común con una gráfica, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.

Encontrémoslo. Recordemos que la tangente de un ángulo agudo en triángulo rectángulo igual a la proporción el lado opuesto al adyacente. Del triángulo:

Encontramos la derivada usando una gráfica sin siquiera conocer la fórmula de la función. Estos problemas se encuentran a menudo en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas bajo el número.

Hay otra relación importante. Recordemos que la recta viene dada por la ecuación

La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.

.

lo entendemos

Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

En otras palabras, la derivada es igual a la tangente del ángulo tangente.

Ya hemos dicho que una misma función puede tener distintas derivadas en distintos puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.

Dibujemos una gráfica de alguna función. Dejemos que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y con a diferentes velocidades. Y dejemos que esta función tenga puntos máximos y mínimos.

En un punto la función aumenta. La tangente a la gráfica trazada en el punto se forma esquina filosa; con dirección de eje positiva. Esto significa que la derivada en el punto es positiva.

En ese momento nuestra función disminuye. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positiva. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.

Esto es lo que sucede:

Si una función es creciente, su derivada es positiva.

Si disminuye, su derivada es negativa.

¿Qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por tanto, la tangente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.

Punto - punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de “más” a “menos”.

En el punto, el punto mínimo, la derivada también es cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".

Conclusión: utilizando la derivada podemos averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de una función.

Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.

En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de “más” a “menos”.

En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de “menos” a “más”.

Escribamos estas conclusiones en forma de tabla:

Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos para resolver el problema. Otro, en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.

Es posible que la derivada de una función en algún punto sea igual a cero, pero la función no tiene ni máximo ni mínimo en ese punto. Este es el llamado :

En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto la función aumentó y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia: sigue siendo positivo como antes.

También sucede que en el punto de máximo o mínimo la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.

¿Cómo encontrar la derivada si la función no viene dada por una gráfica, sino por una fórmula? En este caso se aplica

Al tema "El coeficiente angular de una tangente como tangente del ángulo de inclinación" se le asignan varias tareas en el examen de certificación. Dependiendo de su condición, es posible que se le solicite al graduado que proporcione una respuesta completa o una respuesta breve. En preparación para aprobar el examen estatal unificado En matemáticas, el estudiante definitivamente debe repetir problemas en los que es necesario calcular el coeficiente angular de una tangente.

Te ayudará a hacer esto portal educativo"Shkolkovo". Nuestros expertos prepararon y presentaron teorías y material practico lo más accesible posible. Una vez familiarizado con él, los titulados de cualquier nivel de formación podrán resolver con éxito problemas relacionados con derivadas en los que es necesario encontrar la tangente del ángulo tangente.

Momentos básicos

Para encontrar el correcto y decision racional Deben recordarse tareas similares en el Examen Estatal Unificado. definición básica: La derivada representa la tasa de cambio de una función; es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en un punto determinado. Es igualmente importante completar el dibujo. Te permitirá encontrar solución correcta Problemas con el examen estatal unificado sobre la derivada, en la que es necesario calcular la tangente del ángulo tangente. Para mayor claridad, es mejor trazar el gráfico en el plano OXY.

Si ya has leído material de base sobre el tema de las derivadas y están listos para comenzar a resolver problemas sobre el cálculo de la tangente del ángulo tangente, similar Asignaciones del examen estatal unificado, Puedes hacer esto en línea. Para cada tarea, por ejemplo, problemas sobre el tema "Relación de una derivada con la velocidad y aceleración de un cuerpo", escribimos la respuesta correcta y el algoritmo de solución. Al mismo tiempo, los estudiantes pueden practicar completando tareas. varios niveles dificultades. Si es necesario, el ejercicio se puede guardar en la sección “Favoritos” para poder discutir la solución con el profesor más adelante.