Triángulo rectángulo - este es un triángulo en el que uno de los ángulos es recto, es decir, igual a 90 grados.

• El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (en la figura se indica como C o AB)
• El lado adyacente al ángulo recto se llama cateto. Cada triángulo rectángulo tiene dos catetos (en la figura se designan como a y b o AC y BC)

Fórmulas y propiedades de un triángulo rectángulo.

(ver imagen arriba)

a, b- catetos de un triángulo rectángulo

C- hipotenusa

α, β - ángulos agudos de un triángulo

S- cuadrado

h- altura caída desde arriba ángulo recto a la hipotenusa

m un a desde la esquina opuesta ( α )

mb- mediana dibujada hacia un lado b desde la esquina opuesta ( β )

m c- mediana dibujada hacia un lado C desde la esquina opuesta ( γ )

EN triángulo rectángulo cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa(Fórmula 1 y 2). Esta propiedad es una consecuencia del teorema de Pitágoras.

Coseno de cualquiera de los ángulos agudos. menos de uno (Fórmula 3 y 4). Esta propiedad se deriva de la anterior. Dado que cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa, la relación entre el cateto y la hipotenusa es siempre menor que uno.

Cuadrado de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de catetos (teorema de Pitágoras). (Fórmula 5). Esta propiedad se utiliza constantemente al resolver problemas.

Área de un triángulo rectángulo igual a la mitad del producto de las piernas (Fórmula 6)

Suma de medianas al cuadrado a los catetos es igual a cinco cuadrados de la mediana a la hipotenusa y cinco cuadrados de la hipotenusa divididos por cuatro (Fórmula 7). Además de lo anterior, existe 5 fórmulas más, por lo tanto, se recomienda leer también la lección “Mediana de un triángulo rectángulo”, que describe las propiedades de la mediana con más detalle.

Altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa (Fórmula 8)

Los cuadrados de los catetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la altura bajada a la hipotenusa (Fórmula 9). Esta identidad es también una de las consecuencias del teorema de Pitágoras.

longitud de la hipotenusa igual al diámetro (dos radios) del círculo circunscrito (Fórmula 10). hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro del círculo circunstante. Esta propiedad se utiliza a menudo en la resolución de problemas.

Radio inscrito V triángulo rectángulo círculo se puede encontrar como la mitad de la expresión incluyendo la suma de los catetos de este triángulo menos la longitud de la hipotenusa. O como el producto de los catetos dividido por la suma de todos los lados (perímetro) triángulo dado. (Fórmula 11)
Seno de ángulo relación con el opuesto este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 12). Esta propiedad se utiliza al resolver problemas. Conociendo los tamaños de los lados, puedes encontrar el ángulo que forman.

El coseno del ángulo A (α, alfa) en un triángulo rectángulo será igual a actitud adyacente este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 13)

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Pitágoras lo demostró completamente. tiempos inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes la conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y veámoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de haberlo hecho. redacción simple Teorema de pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

Bueno, aquí está, lo más. teorema principal discutido sobre el triángulo rectángulo. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande?

Bien, .

¿Qué pasa con un área más pequeña?

Ciertamente, .

Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas.

¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Convirtamos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

Seno de un ángulo agudo igual a la proporción lado opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón. pierna adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos?

Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados.

Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

Pero triangulos semejantes¡Todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente.

Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente y cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas:
• a través de la pierna y esquina filosa: .

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

Ahora lo más importante.

Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.

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Triángulo - Esta es una de las figuras geométricas más famosas. Se utiliza en todas partes, no solo en dibujos, sino también en elementos de interior, partes de diversas estructuras y edificios. Hay varios tipos de esta figura; la rectangular es uno de ellos. Su rasgo distintivo es la presencia de un ángulo recto igual a 90°. Para encontrar dos de las tres alturas, basta con medir las patas. El tercero es el valor entre el vértice del ángulo recto y la mitad de la hipotenusa. A menudo en geometría la pregunta es cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo. Resolvamos este sencillo problema.

Necesario:

- gobernante;
– un libro sobre geometría;
- triángulo rectángulo.

Instrucciones:

• Dibuja un triángulo con un ángulo recto. A B C, ¿dónde está el ángulo? A B C es igual 90 ° , es decir, es directo. bajar la altura h desde un ángulo recto hasta la hipotenusa - un segmento COMO. Marque el lugar donde se tocan los segmentos con un punto. D.
• Ahora deberías tener otro triángulo. A.D.B.. Tenga en cuenta que es similar al existente. A B C, desde los ángulos abdominales Y BAsD = 90°, entonces son iguales entre sí y el ángulo MALO es común a ambas figuras geométricas. Correlacionándolos, podemos concluir que las partes AD/AB = BD/BS = AB/AS. De las relaciones resultantes se puede concluir que AD es igual AB²/AS.
• Dado que el triángulo resultante A.D.B. tiene un ángulo recto, al medir sus lados y su hipotenusa, puedes usar el teorema de Pitágoras. Así es como se ve: AB² = AD² + BD². Para resolverlo, usa la igualdad resultante. ANUNCIO. Deberías obtener lo siguiente: BD² = AB² - (AB²/AC)². Desde que se mide el triángulo abdominales es rectangular, entonces BS² es igual AS² — AB². Por lo tanto, el lado BD² es igual AB²BC²/AC², que con la extracción de la raíz será igual a BD = AB*BS/AS.
• De manera similar, la solución se puede derivar usando otro triángulo resultante:
  BDS. EN en este caso, también es similar al original. A B C, gracias a dos ángulos - abdominales Y BDS = 90°, y el ángulo OSD Es común. Además, como en el ejemplo anterior, la proporción se muestra en la relación de aspecto, donde BD/AB = DS/BS = BS/AS. De ahí el valor D.S. se deriva de la igualdad BS²/AS. Porque, AB² = AD*AS , Eso BS² = DS*AS. De esto concluimos que BD² = (AB*BS/AS)² o AD*AS*DS*AS/AS², que es igual AD*DS. Para encontrar la altura en este caso, basta con quitar la raíz del producto. D.S. Y ANUNCIO.

No importa qué plan de estudios escolar contenga una materia como la geometría. Cada uno de nosotros, como estudiante, estudió esta disciplina y resolvió ciertos problemas. Pero para muchas personas años escolares quedaron atrás y parte de los conocimientos adquiridos fueron borrados de la memoria.

¿Qué hacer si de repente necesitas encontrar la respuesta a una determinada pregunta? libro de texto escolar, por ejemplo, ¿cómo encontrar la altura en un triángulo rectángulo? En este caso, un usuario de computadora moderno y avanzado primero abrirá Internet y encontrará la información que le interese.

Información básica sobre triángulos.

Este figura geométrica consta de 3 segmentos conectados entre sí en puntos finales, y los lugares de contacto de estos puntos no están en la misma línea recta. Los segmentos que forman un triángulo se llaman lados. Las uniones de los lados forman la parte superior de la figura, así como sus esquinas.

Tipos de triángulos según sus ángulos.

Esta figura puede tener 3 tipos de ángulos: agudo, obtuso y recto. Dependiendo de esto, entre los triángulos se distinguen las siguientes variedades:

Tipos de triángulos según la longitud de los lados

Como se mencionó anteriormente, esta figura surge de 3 segmentos. Según su tamaño se distinguen los siguientes tipos de triángulos:

Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo

Dos lados semejantes de un triángulo rectángulo que forman un ángulo recto en el punto de contacto se llaman catetos. El segmento que los conecta se llama “hipotenusa”. Para encontrar la altura en una figura geométrica determinada, debes trazar una línea desde la parte superior del ángulo recto hasta la hipotenusa. con todo esto esta línea¿Se debe dividir el ángulo por 90? exactamente a la mitad. Tal segmento se llama bisectriz.

La imagen de arriba muestra un triángulo rectángulo, cuya altura tendremos que calcular. Esto se puede hacer de varias maneras:

Si dibujas un círculo alrededor de un triángulo y dibujas un radio, su valor será la mitad del tamaño de la hipotenusa. En base a esto, la altura de un triángulo rectángulo se puede calcular mediante la fórmula:

En primer lugar, un triángulo es una figura geométrica que está formada por tres puntos que no se encuentran en la misma recta y están conectados por tres segmentos. Para encontrar la altura de un triángulo, primero debes determinar su tipo. Los triángulos se diferencian por el tamaño de los ángulos y el número. ángulos iguales. Según el tamaño de los ángulos, un triángulo puede ser agudo, obtuso y rectangular. Según el número de lados iguales, los triángulos se distinguen en isósceles, equiláteros y escalenos. La altura es una perpendicular que se baja a el lado opuesto triángulo desde su vértice. ¿Cómo encontrar la altura de un triángulo?

Cómo encontrar la altura de un triángulo isósceles

Para triángulo isósceles La característica es la igualdad de los lados y ángulos en su base, por lo tanto, las alturas de un triángulo isósceles dibujado en los lados laterales son siempre iguales entre sí. Además, la altura de este triángulo es a la vez mediana y bisectriz. En consecuencia, la altura divide la base por la mitad. Consideramos el triángulo rectángulo resultante y encontramos el lado, es decir, la altura del triángulo isósceles, usando el teorema de Pitágoras. Usando la siguiente fórmula, calculamos la altura: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, donde: a - lado de un triángulo isósceles dado, b es la base de un triángulo isósceles dado.

Cómo encontrar la altura de un triángulo equilátero

Triángulo con lados iguales llamado equilátero. La altura de dicho triángulo se deriva de la fórmula para la altura de un triángulo isósceles. Resulta: H = √3/2*a, donde a es el lado de este triángulo equilátero.

Cómo encontrar la altura de un triángulo escaleno

Un escaleno es un triángulo en el que dos lados cualesquiera no son iguales entre sí. En tal triángulo, las tres alturas serán diferentes. Puedes calcular las longitudes de las alturas usando la fórmula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, donde a es el lado del triángulo o primero calcula el área de un triángulo particular usando la fórmula de Heron, que se ve así: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, donde a, b, c son lados triángulo escaleno, y p es su semiperímetro. Cada altura = 2*área/lado

Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. La altura que llega a una de las patas es a la vez la segunda pata. Por lo tanto, para encontrar las alturas que se encuentran en los catetos, es necesario utilizar la fórmula pitagórica modificada: a = √(c 2 − b 2), donde a, b son los catetos (a es el cateto que se debe encontrar), c es la longitud de la hipotenusa. Para encontrar la segunda altura, debes poner el valor resultante a en lugar de b. Para encontrar la tercera altitud que se encuentra dentro del triángulo, use siguiente fórmula: h = 2s/a, donde h es la altura de un triángulo rectángulo, s es su área, a es la longitud del lado al que la altura será perpendicular.

Un triángulo se llama agudo si todos sus ángulos son agudos. En este caso, las tres alturas se sitúan en el interior. triángulo agudo. Un triángulo se llama obtuso si tiene uno. ángulo obtuso. Dos alturas triángulo obtuso están fuera del triángulo y caen en la continuación de los lados. El tercer lado está dentro del triángulo. La altura se determina utilizando el mismo teorema de Pitágoras.

Fórmulas generales para calcular la altura de un triángulo.

• Fórmula para encontrar la altura de un triángulo a través de los lados: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), donde h es la altura a encontrar, a, b y c son los lados de un triángulo dado, p es su semiperímetro, .
• Fórmula para encontrar la altura de un triángulo usando un ángulo y un lado: H=b sen y = c sen ß
• La fórmula para encontrar la altura de un triángulo a través del área y el lado: h = 2S/a, donde a es el lado del triángulo y h es la altura construida hasta el lado a.
• La fórmula para encontrar la altura de un triángulo usando el radio y los lados: H= bc/2R.