Definimos la vecindad de este punto como el exterior de círculos centrados en el origen: Ud.
(∞, ε
) = {z
∈ | |z
| > ε). Punto z
= ∞ es un punto singular aislado función analítica w
= F
(z
), si en alguna vecindad de este punto no existen otros puntos singulares de esta función. Para determinar el tipo de este punto singular, hacemos un cambio de variable, y el punto z
= ∞ va al punto z
1 = 0, función w
= F
(z
) tomará la forma 
. Tipo de punto singular z
= ∞ funciones w
= F
(z
) llamaremos al tipo de punto singular z
1 = 0 funciones w
= φ
(z
1). Si la expansión de la función w
= F
(z
) por grados z
en las proximidades de un punto z
= ∞, es decir con valores de módulo suficientemente grandes z
, tiene la forma , entonces, reemplazando z
encendido, lo recibiremos. Así, con tal cambio de variable, las partes principal y regular de la serie de Laurent cambian de lugar, y el tipo de punto singular z
= ∞ está determinado por el número de términos en la parte correcta del desarrollo de la función en la serie de Laurent en potencias z
en las proximidades de un punto z
= 0. Por lo tanto
1 punto z
= ∞ - extraíble punto singular, si en esta ampliación falta la parte correcta (con la posible excepción del término A
0);
2. Punto z
= ∞ - polo norte
-ésimo orden si la parte derecha termina con un término Un
· zn
;
3. Punto z
= ∞ es un punto esencialmente singular si la parte regular contiene infinitos términos.
En este caso, siguen siendo válidos los criterios para los tipos de puntos singulares por valor: si z= ∞ es un punto singular removible, entonces este límite existe y es finito si z= ∞ es un polo, entonces este límite es infinito si z= ∞ es un punto esencialmente singular, entonces este límite no existe (ni finito ni infinito).
Ejemplos: 1. F
(z
) = -5 + 3z
2 - z
6. La función ya es un polinomio en potencias. z
, el grado más alto es el sexto, por lo tanto z
El mismo resultado se puede obtener de otra forma. reemplazaremos z
encendido, entonces 
. Para función φ
(z
1 punto z
1 = 0 es un polo de sexto orden, por lo tanto para F
(z
) punto z
= ∞ - polo de sexto orden.
2. . Para esta función, obtenga una expansión de potencia. z
difícil, entonces encontremos: 
; el límite existe y es finito, por lo que el punto z
3. . Parte correcta de la expansión de potencia. z
contiene infinitos términos, por lo que z
= ∞ es un punto esencialmente singular. De lo contrario, este hecho puede establecerse basándose en el hecho de que no existe.
Residuo de una función en un punto singular infinitamente distante.
Para el último punto singular a
, Dónde γ
- un circuito que no contiene otros excepto a
, puntos singulares, atravesados de tal manera que el área delimitada por él y que contiene el punto singular permanece a la izquierda (en sentido antihorario).
Definamos de manera similar: 
, donde Γ − es el contorno que limita dicha vecindad Ud.
(∞, r
) puntos z
= ∞, que no contiene otros puntos singulares, y transitable de modo que esta vecindad permanezca a la izquierda (es decir, en el sentido de las agujas del reloj). Por lo tanto, todos los demás puntos singulares (finales) de la función deben ubicarse dentro del contorno Γ − . Cambiemos la dirección de recorrido del contorno Γ − : 
. Por el teorema principal de los residuos. 
, donde la suma se realiza sobre todos los puntos singulares finitos. Por lo tanto, finalmente
,
aquellos. residuo en un punto singular infinitamente distante igual a la suma residuos sobre todos los puntos singulares finitos, tomados con el signo opuesto.
Como consecuencia, hay teorema de la suma total: si función w = F (z ) es analítico en todas partes del avión CON , excepto por un número finito de puntos singulares z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , entonces la suma de los residuos en todos los puntos singulares finitos y el residuo en el infinito es cero.
Tenga en cuenta que si z
= ∞ es un punto singular removible, entonces el residuo en él puede ser diferente de cero. Entonces, para la función, obviamente, ; z
= 0 es el único punto singular finito de esta función, entonces 
, a pesar de que, es decir z
= ∞ es un punto singular removible.
Definición
Barrio de un punto real x 0
Cualquier intervalo abierto que contenga este punto se llama:
.
Aquí ε 1
y ε 2
- números positivos arbitrarios.
Epsilon - vecindad del punto x 0
es el conjunto de puntos a cuya distancia se encuentra el punto x 0
menor que ε:
.
Una vecindad perforada del punto x 0
es la vecindad de este punto de la cual el propio punto x está excluido 0
:
.
Barrios de puntos finales
Al principio se dio una definición de la vecindad de un punto. Está designado como . Pero puedes indicar explícitamente que la vecindad depende de dos números usando los argumentos apropiados:
(1)
.
Es decir, una vecindad es un conjunto de puntos que pertenecen a un intervalo abierto.
Igualando ε 1
a ε 2
, obtenemos épsilon - vecindad:
(2)
.
Una vecindad épsilon es un conjunto de puntos pertenecientes a un intervalo abierto con extremos equidistantes.
Por supuesto, la letra épsilon se puede reemplazar por cualquier otra y considerar δ - vecindad, σ - vecindad, etc.
En teoría de límites, se puede utilizar una definición de vecindad basada tanto en el conjunto (1) como en el conjunto (2). El uso de cualquiera de estos vecindarios da resultados equivalentes (ver). Pero la definición (2) es más simple, por lo que a menudo se usa épsilon: la vecindad de un punto determinada a partir de (2).
También se utilizan ampliamente los conceptos de barrios de izquierdas, de derechas y pinchados. puntos finales. Aquí están sus definiciones.
Vecindad izquierda de un punto real x 0
es un intervalo medio abierto ubicado en eje real a la izquierda del punto x 0
, incluido el punto en sí:
;
.
Vecindad por el lado derecho de un punto real x 0
es un intervalo medio abierto ubicado a la derecha del punto x 0
, incluido el punto en sí:
;
.
Vecindades perforadas de puntos finales
Barrios perforados del punto x 0 - estos son los mismos barrios de los que el propio punto está excluido. Están indicados con un círculo encima de la letra. Aquí están sus definiciones.
Vecindad perforada del punto x 0
:
.
Épsilon perforado - vecindad del punto x 0
:
;
.
Barrio del lado izquierdo perforado:
;
.
Zona del lado derecho pinchada:
;
.
Barrios de puntos en el infinito.
Junto con los puntos finales, también se introducen vecindades de puntos en el infinito. Todos están perforados porque no existe un número real en el infinito (el punto en el infinito se define como el límite de una secuencia infinitamente grande).
.
;
;
.
Fue posible determinar las vecindades de puntos en el infinito así:
.
Pero en lugar de M, usamos , de modo que la vecindad con ε más pequeño sea un subconjunto de la vecindad con ε más grande, como para las vecindades de puntos finales.
Propiedad de barrio
A continuación, utilizamos la propiedad obvia de la vecindad de un punto (finito o en el infinito). Consiste en que las vecindades de puntos con valores más pequeñosε son subconjuntos de vecindades con valores grandes de ε. Aquí hay formulaciones más estrictas.
Que haya un punto final o infinitamente distante. Déjalo ir .
Entonces
;
;
;
;
;
;
;
.
Lo contrario también es cierto.
Equivalencia de definiciones del límite de una función según Cauchy
Ahora mostraremos que para determinar el límite de una función según Cauchy, se pueden utilizar tanto una vecindad arbitraria como una vecindad con extremos equidistantes.
Teorema
Las definiciones de Cauchy del límite de una función que utilizan vecindades arbitrarias y vecindades con extremos equidistantes son equivalentes.
Prueba
formulemos primera definición del límite de una función.
Un número a es el límite de una función en un punto (finito o infinito), si para algunos números positivos hay números que dependen de y que para todos pertenecen a la vecindad correspondiente del punto a:
.
formulemos segunda definición del límite de una función.
El número a es el límite de la función en el punto si para cualquier numero positivo hay un número dependiendo de eso para todos:
.
Prueba 1 ⇒ 2
Demostremos que si un número a es el límite de una función según la primera definición, entonces también es un límite según la segunda definición.
Que se cumpla la primera definición. Esto significa que hay funciones y , por lo que para cualquier número positivo se cumple lo siguiente:
en donde .
Como los números son arbitrarios, los igualamos:
.
Luego existen tales funciones y , por lo que para cualquiera se cumple lo siguiente:
en donde .
Darse cuenta de .
Sea el menor de los números positivos y . Luego, de acuerdo con lo señalado anteriormente,
.
Si entonces.
Es decir, encontramos dicha función, por lo que para cualquiera se cumple lo siguiente:
en donde .
Esto significa que el número a es el límite de la función según la segunda definición.
Prueba 2 ⇒ 1
Demostremos que si un número a es el límite de una función según la segunda definición, entonces también es un límite según la primera definición.
Dejemos que se cumpla la segunda definición. Tomemos dos números positivos y . Y que sea el menor de ellos. Entonces, según la segunda definición, existe tal función , de modo que para cualquier número positivo y para todos , se sigue que
.
Pero según , . Por lo tanto, de lo que sigue que
.
Luego, para cualquier número positivo y encontramos dos números, así que para todos:
.
Esto significa que el número a es un límite según la primera definición.
El teorema está demostrado.
Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Bien Análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.
Definición. Punto al infinito plano complejo llamado punto singular aislado función analítica única F(z), Si afuera círculo de algún radio R,
aquellos. porque no existe un punto singular finito de la función F(z).
Para estudiar la función en un punto del infinito, hacemos la sustitución 
Función
tendrá una singularidad en el punto ζ
= 0, y este punto estará aislado, ya que
dentro del circulo 
No existen otros puntos singulares según la condición. Ser analítico en esto
círculo (excepto los llamados ζ
= 0), función 
se puede ampliar en una serie de Laurent en potencias ζ
. La clasificación descrita en el párrafo anterior se mantiene completamente inalterada.
Sin embargo, si volvemos a la variable original z, luego series en potencias positivas y negativas z'Cambiar lugares. Aquellos. La clasificación de puntos en el infinito quedará así:
Ejemplos. 1.
. Punto z =
i
− polo de 3er orden.
2.
. Punto z =
∞
− un punto esencialmente singular.
§18. Residuo de una función analítica en un punto singular aislado.
deja el punto z 0 es un punto singular aislado de una función analítica de un solo valor
F(z). Según lo anterior, en las proximidades de este punto F(z) puede estar representado únicamente por la serie Laurent: 
Dónde 
Definición.Deducción función analítica F(z) en un punto singular aislado z 0
llamado Número complejo, igual al valor de la integral 
, tomado en la dirección positiva a lo largo de cualquier contorno cerrado que se encuentre en el dominio de analiticidad de la función y que contenga dentro de sí un único punto singular z 0 .
La deducción se indica con el símbolo Res [F(z),z 0 ].
Es fácil ver que el residuo se encuentra en un punto singular regular o removible. igual a cero.
En un polo o punto esencialmente singular, el residuo es igual al coeficiente Con-1 fila Laurent:
.
Ejemplo. Encuentra el residuo de una función. 
.
(Que sea fácil ver que
coeficiente Con-1 se obtiene al multiplicar los términos con norte= 0:Res[ F(z),i
]
=
}
A menudo es posible calcular residuos de funciones sobre de una manera sencilla. Deja que la función F(z) tiene incl. z 0 polos de primer orden. En este caso, el desarrollo de la función en una serie de Laurent tiene la forma (§16):. Multipliquemos esta igualdad por (z−z 0) y vayamos al límite en 
. Como resultado obtenemos: Res[ F(z),z 0 ] =
Entonces, en
En el último ejemplo tenemos Res[ F(z),i
]
=
.
Para calcular los residuos en polos de orden superior, multiplique la función
en 
(metro− orden de los polos) y diferenciar la serie resultante ( metro −
1 vez.
En este caso tenemos: Res[ F(z),z 0 ]
Ejemplo. Encuentra el residuo de una función. 
en z= −1.
{
res[ F(z),
−1]
}
Si alguna secuencia converge a Número finito a, luego escriben
.
Anteriormente introdujimos en consideración secuencias infinitamente largas. Supusimos que eran convergentes y denotamos sus límites con los símbolos y . Estos símbolos representan puntos en el infinito. No pertenecen a la multitud. numeros reales. Pero el concepto de límite nos permite introducir dichos puntos y proporciona una herramienta para estudiar sus propiedades utilizando números reales.
Definición
Punto al infinito, o infinito sin signo, es el límite hacia el que tiende una secuencia infinitamente grande.
Punto en infinito más infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos positivos.
Punto en infinito menos infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos negativos.
Para cualquier número real a se cumplen las siguientes desigualdades:
;
.
Usando números reales, introdujimos el concepto. vecindad de un punto en el infinito.
La vecindad de un punto es el conjunto.
Finalmente, la vecindad de un punto es el conjunto.
Aquí M es un número real arbitrario y arbitrariamente grande.
Así, hemos ampliado el conjunto de números reales introduciendo en él nuevos elementos. En este sentido, hay siguiente definición:
recta numérica extendida o conjunto extendido de números reales es el conjunto de los números reales complementados por los elementos y :
.
Primero, escribiremos las propiedades que tienen los puntos y . A continuación consideramos la cuestión de la estricta definición matemática operaciones para estos puntos y pruebas de estas propiedades.
Propiedades de los puntos en el infinito.
suma y diferencia.
;
;
;
;
Producto y cociente.
;
;
;
;
;
;
;
.
Relación con números reales.
Sea a un número real arbitrario. Entonces
;
;
;
;
;
.
deja un > 0
. Entonces
;
;
.
deja un < 0
. Entonces
;
.
Operaciones indefinidas.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Pruebas de las propiedades de los puntos en el infinito.
Definición de operaciones matemáticas
Ya hemos dado definiciones para puntos en el infinito. Ahora necesitamos definir operaciones matemáticas para ellos. Dado que definimos estos puntos usando secuencias, las operaciones con estos puntos también deberían definirse usando secuencias.
Entonces, suma de dos puntos
c = a + b,
perteneciente al conjunto ampliado de números reales,
,
llamaremos al límite
,
donde y son secuencias arbitrarias que tienen límites
Y .
Las operaciones de resta, multiplicación y división se definen de forma similar. Sólo que, en el caso de la división, los elementos del denominador de la fracción no deben ser iguales a cero.
Entonces la diferencia de dos puntos:
- Este es el límite: .
Producto de puntos:
- Este es el límite: .
Privado:
- Este es el límite: .
Aquí y son secuencias arbitrarias cuyos límites son a y b, respectivamente. EN el último caso, .
Pruebas de propiedades
Para probar las propiedades de los puntos en el infinito, necesitamos usar las propiedades de secuencias infinitamente grandes.
Considere la propiedad:
.
Para demostrarlo debemos demostrar que
,
En otras palabras, necesitamos demostrar que la suma de dos secuencias que convergen a más infinito converge a más infinito.
1
se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .
Otras propiedades se pueden demostrar de manera similar. Como ejemplo, damos una prueba más.
Demostremos que:
.
Para ello debemos demostrar que
,
donde y son secuencias arbitrarias, con límites y .
Es decir, necesitamos demostrar que el producto de dos secuencias infinitamente grandes es infinito. gran secuencia.
Demostrémoslo. Dado que y , entonces existen algunas funciones y , por lo que para cualquier número positivo M 1
se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .
Operaciones indefinidas
Parte Operaciones matemáticas s infinitamente puntos remotos no definida. Para mostrar su incertidumbre, es necesario citar un par de casos especiales en los que el resultado de la operación depende de la elección de las secuencias incluidas en ellos.
Considere esta operación:
.
Es fácil demostrar que si y , entonces el límite de la suma de secuencias depende de la elección de secuencias y .
De hecho, tomémoslo. Los límites de estas secuencias son. límite de cantidad
es igual al infinito.
Ahora tomemos. Los límites de estas secuencias también son iguales. Pero el límite de su cantidad.
igual a cero.
Es decir, siempre que y , el valor del límite de importe pueda tomar diferentes significados. Por tanto la operación no está definida.
De manera similar, puede mostrar la incertidumbre del resto de operaciones presentadas anteriormente.
