Cómo demostrar que un conjunto está cerrado. Conjuntos cerrados y abiertos.

Una de las principales tareas de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades. varios tipos conjuntos de puntos. Conozcamos esta teoría usando dos ejemplos y estudiemos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.

Un conjunto se dice cerrado si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene un único punto límite, entonces también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. Un conjunto se dice abierto si cada uno de sus puntos es interno a él.

Pongamos ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos. Cada segmento  es un conjunto cerrado y cada intervalo $(a,b)$ es un conjunto abierto. Semiintervalos inadecuados $(-\infty,b]$ y  , que no contienen puntos del conjunto $F$ , y $a=-\infty$ o $a\in F$ Ahora está claro que el intervalo $(a,b)$ contiene el punto $x$ y es un intervalo adyacente del conjunto $F$ Es fácil ver que si $ (a_1,b_1)$ y $ (a_2,b_2)$ son dos intervalos adyacentes del conjunto $F$, entonces estos intervalos coinciden o no se cruzan.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado en una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto $F$ . Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales en una línea, es fácil verificar que el número de todos los intervalos adyacentes es como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

En virtud de la Proposición 4, se sigue inmediatamente que todo conjunto abierto sobre una recta no es más que una suma contable de intervalos disjuntos. En virtud de las Proposiciones 1 y 2, también está claro que cualquier conjunto dispuesto como se indicó anteriormente es, en efecto, cerrado (abierto).

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Conjunto perfecto de Cantor

Construyamos un conjunto cerrado especial con la serie propiedades notables. En primer lugar, eliminemos los intervalos impropios $(-\infty,0)$ y $(1,+\infty)$ de la línea. Luego de esta operación nos quedará el segmento  . A continuación, elimine el intervalo de este segmento. $\left(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\right)$, constituyendo su tercio medio. De cada uno de los dos segmentos restantes $\izquierda$ Y $\izquierda[\frac(2)(3),1\derecha]$ Eliminemos su tercio medio. Continuaremos este proceso de eliminar los tercios medios de los segmentos restantes de forma indefinida. El conjunto de puntos de la recta que quedan después de eliminar todos estos intervalos se llama conjunto perfecto de Cantor; lo denotaremos con la letra $P$.

Consideremos algunas propiedades de este conjunto. El conjunto $P$ es cerrado, ya que se forma quitando de la recta un cierto conjunto de intervalos disjuntos. El conjunto $P$ no está vacío; en cualquier caso, contiene los finales de todos los intervalos descartados.

El conjunto cerrado $P$ se llama perfecto, si no contiene puntos aislados, es decir, si cada uno de sus puntos es un punto límite. Demostremos que el conjunto $P$ es perfecto. De hecho, si algún punto $x$ fuera punto aislado conjunto $P$, entonces serviría como extremo común de dos intervalos adyacentes de este conjunto. Pero, según la construcción, los intervalos adyacentes del conjunto $P$ no tienen extremos comunes.

El conjunto $P$ no contiene un solo intervalo. De hecho, supongamos que algún intervalo $\delta$ pertenece enteramente al conjunto $P$ . Entonces pertenece por completo a uno de los segmentos obtenidos en el $n$ -ésimo paso de la construcción del conjunto $P$ . Pero esto es imposible, ya que en $n\to\infty$ las longitudes de estos segmentos tienden a cero.

Se puede demostrar que el conjunto $P$ tiene cardinalidad de un continuo. En particular, se deduce que el conjunto perfecto de Cantor contiene, además de los extremos de intervalos adyacentes, otros puntos. De hecho, los extremos de intervalos adyacentes forman sólo un conjunto contable.

En diversas ramas de las matemáticas se encuentran constantemente varios tipos de conjuntos de puntos, y el conocimiento de sus propiedades es absolutamente necesario al estudiar muchos problemas matemáticos. Especialmente gran importancia tiene teoría de conjuntos de puntos para Análisis matemático y topología.

Demos varios ejemplos de la aparición de conjuntos de puntos en secciones clásicas de análisis. Sea $f(x)$ una función continua definida en el intervalo  . Fijemos el número $\alpha$ y consideremos el conjunto de aquellos puntos $x$ para los cuales $f(x)\geqslant\alpha$ . Es fácil demostrar que este conjunto puede ser arbitrario. conjunto cerrado, ubicado en el segmento  . De la misma manera, el conjunto de puntos $x$ para los cuales $f(x)>\alpha$ puede ser cualquier conjunto abierto $G\subset$ . Si $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots$ hay una secuencia funciones continuas, dado sobre el segmento , entonces el conjunto de aquellos puntos $x$ donde converge esta secuencia no puede ser arbitrario, sino que pertenece a un tipo muy específico.

La disciplina matemática que estudia la estructura de conjuntos de puntos se llama teoría descriptiva de conjuntos. Grandes logros en el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos pertenecen a matemáticos soviéticos- N. N. Luzin y sus alumnos P. S. Alexandrov, M. Ya. Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov, etc.

La investigación realizada por N. N. Luzin y sus estudiantes demostró que existe una conexión profunda entre la teoría descriptiva de conjuntos y lógica matemática. Las dificultades que surgen al considerar una serie de problemas de la teoría descriptiva de conjuntos (en particular, los problemas de determinar la cardinalidad de ciertos conjuntos) son dificultades de naturaleza lógica. Por el contrario, los métodos lógica matemática nos permitirán profundizar más en algunas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos.

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Conjuntos abiertos y cerrados.

Anexo 1 . Conjuntos abiertos y cerrados.

Un montón de METRO en línea recta se llama abierto, si cada uno de sus puntos está contenido en este conjunto junto con un intervalo determinado. Cerrado Se llama un conjunto que contiene todos sus puntos límite (es decir, tal que cualquier intervalo que contenga este punto interseca el conjunto al menos en un punto más). Por ejemplo, un segmento es un conjunto cerrado, pero no abierto, y un intervalo, por el contrario, es un conjunto abierto, pero no cerrado. Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (por ejemplo, medio intervalo). Hay dos conjuntos que están cerrados y abiertos: este está vacío y eso es todo. z(demuestre que no hay otros). Es fácil ver que si METRO abierto, luego [` METRO] (o z \ METRO- adición al conjunto METRO antes z) está cerrado. De hecho, si [` METRO] no está cerrado, entonces no contiene ningún punto límite propio metro. Pero entonces metro ACERCA DE METRO, y cada intervalo que contiene metro, se cruza con el conjunto [` METRO], es decir, tiene sentido no mentir en METRO, y esto contradice el hecho de que METRO- abierto. De manera similar, también directamente de la definición, se demuestra que si METRO está cerrado, entonces [` METRO] abierto (¡compruébalo!).

Ahora demostraremos el siguiente teorema importante.

Teorema. Cualquier conjunto abierto METRO se puede representar como una unión de intervalos con extremos racionales (es decir, con extremos en puntos racionales).

Prueba . Considere la unión Ud. todos los intervalos con extremos racionales que son subconjuntos de nuestro conjunto. Demostremos que esta unión coincide con todo el conjunto. De hecho, si metro- algún punto desde METRO, entonces hay un intervalo ( metro 1 , metro 2) M METRO que contiene metro(esto se desprende del hecho de que METRO- abierto). En cualquier intervalo puedes encontrar un punto racional. Dejar en ( metro 1 , metro) - Este metro 3, en ( metro, metro 2) – esto es metro 4 . Entonces señala metro cubierto por la unión Ud., es decir, el intervalo ( metro 3 , metro 4). Así, hemos demostrado que cada punto metro de METRO cubierto por el sindicato Ud.. Además, como se desprende claramente de la construcción Ud., ningún punto no contenido en METRO, descubierto Ud.. Medio, Ud. Y METRO emparejar.

Una consecuencia importante de este teorema es el hecho de que cualquier conjunto abierto es contable combinando intervalos.

En ninguna parte hay conjuntos densos y conjuntos de medida cero. Conjunto de cantores>

Apéndice 2 . En ninguna parte hay conjuntos densos y conjuntos de medida cero. conjunto de cantantes

Un montón de A llamado en ninguna parte densa, si por algún punto diferente a Y b hay un segmento [ C, d] M [ a, b], sin cruzarse con A. Por ejemplo, el conjunto de puntos de la secuencia a norte = [ 1/(norte)] no es denso en ninguna parte, sino un conjunto numeros racionales- No.

Teorema de Baire. Un segmento no se puede representar como una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte.

Prueba . Supongamos que hay una secuencia A k en ninguna parte conjuntos densos tales que Y i A i = [a, b]. Construyamos la siguiente secuencia de segmentos. Dejar I 1 – algún segmento incrustado en [ a, b] y no se cruza con A 1 . Por definición, un conjunto no denso en ningún lugar en un intervalo I 1 hay un segmento que no se cruza con el conjunto A 2. llamémoslo I 2. Además, en el segmento I 2, de manera similar tome el segmento I 3, sin cruzarse con A 3, etc. Secuencia I k hay segmentos anidados punto común(esta es una de las principales propiedades numeros reales). Por construcción, este punto no se encuentra en ninguno de los conjuntos. A k, lo que significa que estos conjuntos no cubren todo el segmento [ a, b].

Llamemos al conjunto METRO teniendo medida cero, si para cualquier e positivo hay una secuencia I k intervalos con una longitud total menor que e, que cubren METRO. Obviamente, cualquier conjunto contable tiene medida cero. Sin embargo, también hay innumerables conjuntos que tienen medida cero. Construyamos uno, muy famoso, llamado Cantor's.

Arroz. once

Tomemos un segmento. Dividámoslo en tres partes iguales. Desechemos el segmento medio (Fig.11, A). Habrá dos segmentos de longitud total [2/3]. Realizaremos exactamente la misma operación con cada uno de ellos (Fig. 11, b). Quedarán cuatro segmentos con longitud total [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Siguiendo así (Fig. 11, V–mi) hasta el infinito, obtenemos un conjunto que tiene una medida menor que cualquier medida positiva predeterminada, es decir, medida cero. Es posible establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de este conjunto y secuencias infinitas de ceros y unos. Si durante el primer "lanzamiento" nuestro punto cae en el segmento derecho, al comienzo de la secuencia pondremos 1, si en el izquierdo - 0 (Fig.11, A). Luego, después del primer "desechamiento", obtenemos una copia pequeña del segmento grande, con el que hacemos lo mismo: si nuestro punto después del lanzamiento cae en el segmento derecho, ponemos 1, si está en el izquierdo - 0, etc. (verifique la relación uno a uno), arroz. once, b, V. Dado que el conjunto de secuencias de ceros y unos tiene un continuo de cardinalidad, el conjunto de Cantor también tiene un continuo de cardinalidad. Además, es fácil demostrar que no es denso en ninguna parte. Sin embargo, no es cierto que tenga medida estricta cero (ver definición de medida estricta). La idea de probar este hecho es la siguiente: tomar la secuencia a norte, tendiendo a cero muy rápidamente. Por ejemplo, la secuencia a norte = [ 1/(2 2 norte)]. Luego demostraremos que esta secuencia no puede cubrir el conjunto de Cantor (¡hazlo!).

Apéndice 3 . Tareas

Establecer operaciones

Conjuntos A Y B son llamados igual, si cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto B, y viceversa. Designación: A = B.

Un montón de A llamado subconjunto conjuntos B, si cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto B. Designación: A METRO B.

1. Para cada dos de los siguientes conjuntos, indique si uno es un subconjunto del otro:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Demuestre que el conjunto A si y solo si es un subconjunto del conjunto B, cuando todo elemento que no pertenece a B, no pertenece A.

3. Demuestre que para conjuntos arbitrarios A, B Y C

A) A METRO A; b) si A METRO B Y B METRO C, Eso A METRO C;

V) A = B, si y solo si A METRO B Y B METRO A.

El conjunto se llama vacío, si no contiene ningún elemento. Designación: F.

4. Cuantos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. ¿Cuantos subconjuntos tiene un conjunto de tres elementos?

6. ¿Puede un conjunto tener exactamente a) 0; b*) 7; c) 16 subconjuntos?

Asociación conjuntos A Y B X, Qué X ACERCA DE A o X ACERCA DE B. Designación: A Y B.

Al cruzar conjuntos A Y B se llama un conjunto formado por tales X, Qué X ACERCA DE A Y X ACERCA DE B. Designación: A z B.

Por diferencia conjuntos A Y B se llama un conjunto formado por tales X, Qué X ACERCA DE A Y X PAG B. Designación: A \ B.

7. Conjuntos dados A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Encuentra los conjuntos:

A) A Y B;	b) A z B;	V) ( A z B)Y D;
GRAMO) C Z ( D z B);	d) ( A Y B)Z ( C Y D);	mi) ( A Y ( B z C))Z D;
y) ( C z A)Y (( A Y ( C z D))Z B);	h) ( A Y B) \ (C z D);	Y) A \ (B \ (C \ D));
A) (( A \ (B Y D)) \ C)Y B.

8. Dejar A es el conjunto de los números pares, y B– conjunto de números divisibles por 3. Encontrar A z B.

9. Demuestre eso para cualquier conjunto A, B, C

A) A Y B = B Y A, A z B = B z A;

b) A Y ( B Y C) = (A Y B)Y C, A Z ( B z C) = (A z B)Z C;

V) A Z ( B Y C) = (A z B)Y ( A z C), A Y ( B z C) = (A Y B)Z ( A Y C);

GRAMO) A \ (B Y C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B z C) = (A \ B)Y ( A \ C).

10. ¿Es cierto que para cualquier conjunto A, B, C

A) A Z ZH = F, A SI = A;	b) A Y A = A, A z A = A;	V) A z B = A Y A METRO B;
GRAMO) ( A \ B)Y B = A; 7 re) A \ (A \ B) = A z B;	mi) A \ (B \ C) = (A \ B)Y ( A z C);
y) ( A \ B)Y ( B \ A) = A Y B?

Establecer asignaciones

Si cada elemento X conjuntos X exactamente un elemento coincide F(X) conjuntos Y, entonces dicen que se da mostrar F desde muchos X en la multitud Y. Al mismo tiempo, si F(X) = y, entonces el elemento y llamado forma elemento X cuando se muestra F, y el elemento X llamado prototipo elemento y cuando se muestra F. Designación: F: X ® Y.

11. Dibuje todas las asignaciones posibles del conjunto (7,8,9) al conjunto (0,1).

Dejar F: X ® Y, y ACERCA DE Y, A METRO X, B METRO Y. Prototipo completo del elemento. y cuando se muestra F se llama conjunto ( X ACERCA DE X | F(X) = y). Designación: F - 1 (y). A imagen de la multitud A METRO X cuando se muestra F se llama conjunto ( F(X) | X ACERCA DE A). Designación: F(A). El prototipo del conjunto. B METRO Y se llama conjunto ( X ACERCA DE X | F(X) ACERCA DE B). Designación: F - 1 (B).

12. para mostrar F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), dado por la imagen, encuentre F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).

a B C)

13. Dejar F: X ® Y, A 1 , A 2M X, B 1 , B 2M Y. ¿Es siempre cierto que

A) F(X) = Y;

b) F - 1 (Y) = X;

V) F(A 1 yo A 2) = F(A 1)Y F(A 2);

GRAMO) F(A 1W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);

d) F - 1 (B 1 yo B 2) = F - 1 (B 1)Y F - 1 (B 2);

mi) F - 1 (B 1W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);

g) si F(A 1M F(A 2), entonces A 1M A 2 ;

h) si F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), entonces B 1M B 2 ?

Composición mapeos F: X ® Y Y gramo: Y ® z Se llama mapeo que asocia un elemento. X conjuntos X elemento gramo(F(X)) conjuntos z. Designación: gramo° F.

14. Demuestre que para asignaciones arbitrarias F: X ® Y, gramo: Y ® z Y h: z ® W. se hace lo siguiente: h° ( gramo° F) = (h° gramo)° F.

15. Dejar F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), gramo: (0,1,2)® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – asignaciones que se muestran en la figura:

F: gramo: h:

Haz dibujos para las siguientes exhibiciones:

A) gramo° F; b) h° gramo; V) F° h° gramo; GRAMO) gramo° h° F.

Mostrar F: X ® Y llamado biyectivo, si para cada y ACERCA DE Y hay exactamente uno X ACERCA DE X tal que F(X) = y.

16. Dejar F: X ® Y, gramo: Y ® z. ¿Es cierto que si F Y gramo son biyectivos, entonces gramo° F biyectivamente?

17. Dejar F: (1,2,3) ® (1,2,3), gramo: (1,2,3) ® (1,2,3), – asignaciones que se muestran en la figura:

18. Para cada dos de los siguientes conjuntos, averigüe si existe una biyección del primero al segundo (asumiendo que cero es un número natural):

a) muchos números naturales;

b) el conjunto de los números pares naturales;

c) el conjunto de los números naturales sin el número 3.

Espacio métrico llamado un conjunto X con un dado métrico r: X× X ® z

1) " X,y ACERCA DE X r( X,y) i 0, y r ( X,y) = 0 si y sólo si X = y (no negatividad ); 2) " X,y ACERCA DE X r( X,y) = r ( y,X) (simetría ); 3) " X,y,z ACERCA DE X r( X,y) + r ( y,z) yo r ( X,z) (desigualdad triangular ). 19 19. X

A) X = z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,ba,b] funciones,

Dónde D

Abierto(respectivamente, cerrado) bola de radio r en el espacio X centrado en un punto X llamado un conjunto Ud. r (X) = {y ACERCA DE X:r( X,y) < r) (respectivamente, B r (X) = {y ACERCA DE X:r( X,y) Ј r}).

Punto interno conjuntos Ud. METRO X Ud.

abierto alrededores este punto.

punto límite conjuntos F METRO X F.

cerrado

20. Pruebalo

21. Pruebalo

b) unión de un conjunto A cortocircuito A

Mostrar F: X ® Y llamado continuo

22.

23. Pruebalo

F (X) = inf y ACERCA DE F r( X,y

24. Dejar F: X ® Y– . ¿Es cierto que su inversa es continua?

Mapeo continuo uno a uno F: X ® Y homeomorfismo. Espacios X, Yhomeomórfico.

25.

26. ¿Para qué parejas? X, Y F: X ® Y, cual no se mantiene unido puntos (es decir F(X) № F(y) en X № y inversiones)?

27*. homeomorfismo local(es decir, en cada punto X avión y F(X) toro hay tales barrios Ud. Y V, Qué F mapas homeomórficos Ud. en V).

Espacios métricos y mapeos continuos.

Espacio métrico llamado un conjunto X con un dado métrico r: X× X ® z, satisfaciendo los siguientes axiomas:

A) X = z, r ( X,y) = | X - y| ;

b) X = z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,b] – conjunto de continuo en [ a,b] funciones,

Dónde D– un círculo de radio unitario con centro en el origen.

Punto interno conjuntos Ud. METRO X es un punto que está contenido en Ud. junto con alguna bola de radio distinto de cero.

Un conjunto cuyos puntos son todos interiores se llama abierto. Un conjunto abierto que contiene este punto, llamado alrededores este punto.

punto límite conjuntos F METRO X es un punto tal que cualquier vecindad del cual contiene infinitos puntos del conjunto F.

Un conjunto que contiene todos sus puntos límite se llama cerrado(compare esta definición con la que figura en el Apéndice 1).

29. Pruebalo

a) un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado;

b) la unión finita y la intersección contable de conjuntos cerrados son cerradas;

c) la unión contable y la intersección finita de conjuntos abiertos son abiertas.

30. Pruebalo

a) el conjunto de puntos límite de cualquier conjunto es un conjunto cerrado;

b) unión de un conjunto A y el conjunto de sus puntos límite ( cortocircuito A) es un conjunto cerrado.

Mostrar F: X ® Y llamado continuo, si la imagen inversa de todo conjunto abierto es abierta.

31. Demuestre que esta definición es consistente con la definición de continuidad de funciones en una línea.

32. Pruebalo

a) distancia para establecer r F (X) = inf y ACERCA DE F r( X,y) es una función continua;

b) el conjunto de ceros de la función del punto a) coincide con el cierre F.

33. Dejar F: X ® Y

Mapeo continuo uno a uno F: X ® Y, cuya inversa también es continua se llama homeomorfismo. Espacios X, Y, para los cuales existe tal mapeo, se llaman homeomórfico.

34. Para cada par de los siguientes conjuntos, determine si son homeomórficos:

35. ¿Para qué parejas? X, Y Existen espacios del problema anterior. visualización continua F: X ® Y, cual no se mantiene unido puntos (es decir F(X) № F(y) en X № y– tales asignaciones se llaman inversiones)?

36*. Crea un mapeo continuo desde un plano hasta un toro que sería homeomorfismo local(es decir, en cada punto X avión y F(X) toro hay tales barrios Ud. Y V, Qué F mapas homeomórficos Ud. en V).

Lo completo. teorema de baire

Dejar X – espacio métrico. Subsecuencia X norte sus elementos se llaman fundamental, Si

" mi > 0 $ norte " k,metro > norte r( X k ,X metro) < e .

37. Demuestre que la secuencia convergente es fundamental. ¿Es cierto lo contrario?

El espacio métrico se llama completo, Si alguna secuencia fundamental converge.

38. ¿Es cierto que un espacio homeomorfo a uno completo es completo?

39. Demuestre que un subespacio cerrado de un espacio completo es en sí mismo completo; en él está cerrado el subespacio completo de un espacio arbitrario.

40. Demuestre que en un espacio métrico completo una secuencia de bolas cerradas anidadas con radios que tienden a cero tiene un elemento común.

41. ¿Es posible en tarea anterior¿eliminar la condición de integridad del espacio o la tendencia de los radios de las bolas a cero?

Mostrar F espacio métrico X llamado dentro de uno mismo compresivo, Si

$ C (0 Ј C < 1): " X,y ACERCA DE X r( F(X),F(y)) < C r( X,y).

42. Demuestre que el mapa de contracción es continuo.

43. a) Demostrar que una contracción de un espacio métrico completo sobre sí mismo tiene exactamente un punto fijo.

b) Colocar un mapa de Rusia a escala 1:20.000.000 sobre un mapa de Rusia a escala 1:5.000.000 Demuestra que hay un punto cuyas imágenes en ambos mapas coinciden.

44*. ¿Existe un espacio métrico incompleto en el que el enunciado del problema sea verdadero?

Un subconjunto de un espacio métrico se llama denso en todas partes, si su cierre coincide con todo el espacio; en ninguna parte densa– si su cierre no tiene subconjuntos abiertos no vacíos (compárese esta definición con la que figura en el Apéndice 2).

45. a) dejar a, b, a , b O z Y a < a < b < b. Demuestre que el conjunto de funciones continuas en [ a,b], monótono en , en ninguna parte denso en el espacio de todas las funciones continuas en [ a,b] con métrica uniforme.

b) dejar a, b, C, y O z Y a < b, C> 0, e > 0. Entonces el conjunto de funciones continuas en [ a,b], tal que

$ X ACERCA DE [ a,b]: " y (0 < | X - y| < e ) Ю

| F(X) - F(y)| | X - y|

Ј C,

en ningún lugar denso en el espacio de todas las funciones continuas en [ a,b] con métrica uniforme.

46. (Teorema de Baire generalizado .) Demuestre que un espacio métrico completo no puede representarse como la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte.

47. Demuestre que el conjunto de funciones continuas, no monótonas en cualquier intervalo no vacío y en ninguna parte diferenciable definidas en el intervalo es denso en todas partes en el espacio de todas las funciones continuas con una métrica uniforme.

48*. Dejar F– función diferenciable en el intervalo. Demuestre que su derivada es continua en todas partes. conjunto denso puntos. esta es la definicion Lebesgue medidas cero. Si reemplazamos el número contable de intervalos por uno finito, obtenemos la definición Jordanova

medidas cero.

El conjunto se llama cerrado , si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene un único punto límite, entonces también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. El conjunto se llama abierto , si cada uno de sus puntos es interno para él.

vamos a dar ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos .

Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo (a, b) es un conjunto abierto. Medios intervalos inadecuados y cerrado, y intervalos inadecuados y abierto. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito Los puntos de una recta son cerrados, ya que no tienen puntos límite.

Un conjunto formado por puntos:

cerrado; este conjunto tiene un punto límite único x=0, que pertenece al conjunto.

La tarea principal es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.

1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.
2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.

Sea E un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamamos complemento del conjunto E y denotamos por CE el conjunto de todos los puntos de la recta no perteneciente a muchos E. Está claro que si x es un punto externo a E, entonces es punto interno para el conjunto de CE y viceversa.

4. Si un conjunto F es cerrado, entonces su complemento CF es abierto y viceversa.

La proposición 4 muestra que existe una gran diferencia entre conjuntos cerrados y abiertos. conexión cercana: algunos son complementos de otros. Por ello, basta estudiar algunas cerradas o algunas conjuntos abiertos. Conocer las propiedades de conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algún conjunto cerrado de una línea.

Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea F un conjunto cerrado. Un intervalo (a, b) que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto F, pero los puntos a y b pertenecen a F, se llama intervalo adyacente del conjunto F.

También incluiremos intervalos impropios entre intervalos adyacentes, o si el punto a o el punto b pertenecen al conjunto F, y los intervalos en sí no se cruzan con F. Demostremos que si un punto x no pertenece a un conjunto cerrado F, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denotemos por la parte del conjunto F ubicada a la derecha del punto x. Dado que el punto x en sí no pertenece al conjunto F, se puede representar en forma de intersección:

Cada uno de los conjuntos es F y cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces todo el semiintervalo no pertenece al conjunto F. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en un medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos su límite inferior por b. Según la Proposición 3, lo que significa. Además, dado que b es borde inferior conjunto, entonces el medio intervalo (x, b) que se encuentra a la izquierda del punto b no contiene puntos del conjunto y, por lo tanto, no contiene puntos del conjunto F. Entonces, hemos construido un medio intervalo ( x, b) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera o el punto b pertenece al conjunto F. De manera similar, se construye un medio intervalo (a, x) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera de los dos. Ahora está claro que el intervalo (a, b) contiene el punto x y es un intervalo adyacente del conjunto F. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto F, entonces estos intervalos coinciden o no no cruzarse.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado en una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto F. Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional, y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales de la recta, es fácil asegurarse de que el número de todos los intervalos adyacentes sea como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Una de las principales tareas de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades de varios tipos de conjuntos de puntos. Introduciremos al lector en esta teoría utilizando dos ejemplos. Es decir, aquí estudiaremos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.

Pongamos ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos. Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo es un conjunto abierto. Medios intervalos inadecuados

están cerrados y los intervalos inadecuados están abiertos. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito de puntos de una recta es cerrado, ya que no tiene puntos límite. Un conjunto formado por puntos.

cerrado; este conjunto tiene un único punto límite que pertenece al conjunto.

Nuestra tarea es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.

1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.

2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.

Sea E un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamémoslo complemento del conjunto E y denotémoslo por el conjunto de todos los puntos de la recta que no pertenecen al conjunto E. Está claro que si x es un punto externo a E, entonces es un punto interno a conjunto y viceversa.

4. Si un conjunto F es cerrado, entonces su complemento es abierto y viceversa.

La proposición 4 muestra que existe una conexión muy estrecha entre conjuntos cerrados y abiertos: algunos son complementos de otros. Por esta razón, es suficiente estudiar sólo conjuntos cerrados o sólo abiertos. Conocer las propiedades de conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algún conjunto cerrado de una línea.

Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea F un conjunto cerrado. Un intervalo que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto a y al que pertenecen los puntos a se llama intervalo adyacente del conjunto. También incluiremos intervalos impropios como intervalos adyacentes, o si el punto a o el punto pertenece al conjunto a, los intervalos en sí no se cruzan con F. Demostremos que si un punto x no pertenece a un conjunto cerrado, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denotemos por la parte del conjunto ubicada a la derecha del punto x. Dado que el punto x en sí no pertenece al conjunto, se puede representar en forma de intersección.

Cada uno de los conjuntos F es cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces todo el semiintervalo pertenece al conjunto. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en un medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos por su borde inferior. Según la propuesta, y por tanto. Además, dado que hay un mínimo del conjunto, el medio intervalo que se encuentra a la izquierda del punto no contiene puntos del conjunto y, por lo tanto, no contiene puntos del conjunto. Entonces, hemos construido un medio intervalo. que no contiene puntos del conjunto y o el punto pertenece al conjunto De manera similar, un medio intervalo que no contiene puntos del conjunto y o o a Ahora está claro que el intervalo contiene el punto x y es un intervalo adyacente del. conjunto Es fácil ver que si - dos intervalos adyacentes del conjunto, entonces estos intervalos coinciden o no se cruzan.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado en una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto, ya que cada intervalo contiene al menos un punto racional, y todos los puntos racionales de la recta lo son. En un conjunto contable, es fácil verificar que el número de todos los intervalos adyacentes es más que contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Conjunto perfecto de Cantor. Construyamos un conjunto cerrado especial que tenga varias propiedades notables. En primer lugar, eliminemos los intervalos inadecuados y de la línea. Tras esta operación nos quedaremos con un segmento. A continuación, eliminemos de este segmento el intervalo que constituye su tercio medio.

De cada uno de los dos segmentos restantes, retire su tercio medio. Continuaremos este proceso de eliminar los tercios medios de los segmentos restantes de forma indefinida. El conjunto de puntos de la recta que quedan después de eliminar todos estos intervalos se llama conjunto perfecto de Cantor; lo denotaremos con la letra R.

Consideremos algunas propiedades de este conjunto. El conjunto P es cerrado, ya que se forma quitando de una recta un determinado conjunto de intervalos disjuntos. El conjunto P no está vacío; en cualquier caso, contiene los extremos de todos los intervalos descartados.

Un conjunto cerrado F se dice perfecto si no contiene puntos aislados, es decir, si cada uno de sus puntos es un punto límite. Demostremos que el conjunto P es perfecto. De hecho, si algún punto x fuera un punto aislado del conjunto P, entonces serviría como extremo común de dos intervalos adyacentes de este conjunto. Pero, según la construcción, los intervalos adyacentes del conjunto P no tienen extremos comunes.

El conjunto P no contiene un solo intervalo. De hecho, supongamos que un cierto intervalo pertenece por completo al conjunto P. Entonces pertenece por completo a uno de los segmentos obtenidos en el paso de construir el conjunto P. Pero esto es imposible, ya que las longitudes de estos segmentos tienden a bala.

Se puede demostrar que el conjunto P tiene la cardinalidad de un continuo. En particular, se deduce que el conjunto perfecto de Cantor contiene, además de los extremos de intervalos adyacentes, otros puntos. De hecho, los extremos de intervalos adyacentes forman sólo un conjunto contable.

En diversas ramas de las matemáticas se encuentran constantemente varios tipos de conjuntos de puntos, y el conocimiento de sus propiedades es absolutamente necesario al estudiar muchos problemas matemáticos. La teoría de conjuntos de puntos es especialmente importante para el análisis matemático y la topología.

Demos varios ejemplos de la aparición de conjuntos de puntos en secciones clásicas de análisis. Sea una función continua definida en el segmento. Fijemos el número a y consideremos el conjunto de aquellos puntos x para los cuales es fácil demostrar que este conjunto puede ser un conjunto cerrado arbitrario ubicado en el segmento. el conjunto de puntos x para los cuales puede ser cualquier conjunto abierto. Si hay una secuencia de funciones continuas definidas en un intervalo, entonces el conjunto de esos puntos x donde converge esta secuencia no puede ser arbitrario, sino que pertenece a un tipo muy específico.

La disciplina matemática que estudia la estructura de conjuntos de puntos se llama teoría descriptiva de conjuntos. Grandes logros en el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos pertenecen a los matemáticos soviéticos: N. N. Luzin y sus alumnos P. S. Aleksandrov, M. Ya. Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov, etc.

La investigación de N. N. Luzin y sus alumnos demostró que existe una conexión profunda entre la teoría descriptiva de conjuntos y la lógica matemática. Las dificultades que surgen al considerar una serie de problemas de la teoría descriptiva de conjuntos (en particular, los problemas de determinar la cardinalidad de ciertos conjuntos) son dificultades de naturaleza lógica. Por el contrario, los métodos de la lógica matemática nos permiten profundizar en algunas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos.

medidas cero.

Pongamos ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos. Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo es un conjunto abierto. Los semiintervalos inadecuados están cerrados y los intervalos inadecuados están abiertos. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito de puntos de una recta es cerrado, ya que no tiene puntos límite. Un conjunto formado por puntos.

cerrado; este conjunto tiene un punto límite único, que pertenece al conjunto.

Nuestra tarea es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.

1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.

2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.

Sea un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamémoslo complemento de un conjunto y denotaremos por el conjunto de todos los puntos de la recta que no pertenecen al conjunto. Está claro que si hay un punto externo para , entonces es un punto interno para el conjunto y viceversa.

4. Si un conjunto es cerrado, entonces su complemento es abierto y viceversa.

Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea un conjunto cerrado. Un intervalo que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto, pero los puntos sí pertenecen, se llama intervalo adyacente del conjunto. También incluiremos intervalos impropios o entre intervalos adyacentes si el punto o punto pertenece al conjunto y los intervalos en sí no se cruzan. Demostremos que si un punto no pertenece a un conjunto cerrado, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denotemos por la parte del conjunto ubicada a la derecha del punto. Dado que el punto en sí no pertenece al conjunto, se puede representar en forma de intersección.

Cada uno de los conjuntos está cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces el medio intervalo completo no pertenece al conjunto. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en el medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos por su borde inferior. Según la Proposición 3, , y por tanto . Además, dado que hay un mínimo del conjunto, el medio intervalo que se encuentra a la izquierda del punto no contiene puntos del conjunto y, por tanto, no contiene puntos del conjunto. Entonces, hemos construido un medio intervalo que no contiene puntos del conjunto y que o el punto pertenece al conjunto. De manera similar, se construye un medio intervalo que no contiene puntos del conjunto, ni , ni . Ahora está claro que el intervalo contiene un punto y es un intervalo adyacente del conjunto. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto, entonces estos intervalos coinciden o no se cruzan.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado sobre una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto. Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales en una línea, es fácil verificar que el número de todos los intervalos adyacentes es como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Conjunto perfecto de Cantor

Construyamos un conjunto cerrado especial que tenga varias propiedades notables. En primer lugar, eliminemos los intervalos inadecuados y de la línea. Tras esta operación nos quedaremos con un segmento. A continuación, eliminemos de este segmento el intervalo que constituye su tercio medio. De cada uno de los dos segmentos restantes, retire su tercio medio. Continuaremos este proceso de eliminar los tercios medios de los segmentos restantes de forma indefinida. El conjunto de puntos de la recta que quedan después de eliminar todos estos intervalos se llama conjunto perfecto de Cantor; lo denotaremos por la letra.

Consideremos algunas propiedades de este conjunto. El conjunto es cerrado, ya que se forma quitando de una recta un determinado conjunto de intervalos disjuntos. El conjunto no está vacío; en cualquier caso, contiene los finales de todos los intervalos descartados.

Un conjunto cerrado se llama perfecto, si no contiene puntos aislados, es decir, si cada uno de sus puntos es un punto límite. Demostremos que el conjunto es perfecto. De hecho, si algún punto fuera un punto aislado del conjunto, entonces serviría como extremo común de dos intervalos adyacentes de este conjunto. Pero, según la construcción, los intervalos adyacentes del conjunto no tienen extremos comunes.

El conjunto no contiene un solo intervalo. De hecho, supongamos que un determinado intervalo pertenece enteramente al conjunto. Entonces pertenece por completo a uno de los segmentos obtenidos en el paso 1 de la construcción del conjunto. Pero esto es imposible, ya que las longitudes de estos segmentos tienden a cero.

Se puede demostrar que el conjunto tiene cardinalidad de un continuo. En particular, se deduce que el conjunto perfecto de Cantor contiene, además de los extremos de intervalos adyacentes, otros puntos. De hecho, los extremos de intervalos adyacentes forman sólo un conjunto contable.

En diversas ramas de las matemáticas se encuentran constantemente varios tipos de conjuntos de puntos, y el conocimiento de sus propiedades es absolutamente necesario al estudiar muchos problemas matemáticos. La teoría de conjuntos de puntos es especialmente importante para el análisis matemático y la topología.

Demos varios ejemplos de la aparición de conjuntos de puntos en secciones clásicas de análisis. Sea una función continua definida en el segmento. Fijemos el número y consideremos el conjunto de aquellos puntos para los cuales . Es fácil demostrar que este conjunto puede ser un conjunto cerrado arbitrario ubicado en el segmento. De la misma forma, el conjunto de puntos para los cuales , puede ser cualquier conjunto abierto. Si hay una secuencia de funciones continuas definidas en el segmento, entonces el conjunto de puntos donde converge esta secuencia no puede ser arbitrario, sino que pertenece a un tipo muy específico.

La disciplina matemática que estudia la estructura de conjuntos de puntos se llama teoría descriptiva de conjuntos. Grandes logros en el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos pertenecen a los matemáticos soviéticos: N.N. Luzin y sus alumnos P.D. Alexandrov, M.Ya. Suslin, A.N. Kolmogorov, MA. Lavrentiev, P.S. Novikov, L.V. Keldysh, A.A. Lyapunova y otros.

Investigación de N.N. Luzin y sus alumnos demostraron que existe una conexión profunda entre la teoría descriptiva de conjuntos y la lógica matemática. Las dificultades que surgen al considerar una serie de problemas de la teoría descriptiva de conjuntos (en particular, los problemas de determinar la cardinalidad de ciertos conjuntos) son dificultades de naturaleza lógica. Por el contrario, los métodos de la lógica matemática nos permiten profundizar en algunas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos.