Definición de conjunto cerrado. Conjuntos cerrados y abiertos.

Una de las principales tareas de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades. varios tipos conjuntos de puntos. Conozcamos esta teoría usando dos ejemplos y estudiemos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.

El conjunto se llama cerrado , si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene un único punto límite, entonces también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. El conjunto se llama abierto , si cada uno de sus puntos es interno para él.

vamos a dar ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos .

Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo (a, b) es un conjunto abierto. Medios intervalos inadecuados y cerrado, y intervalos inadecuados y abierto. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito Los puntos de una recta son cerrados, ya que no tienen puntos límite.

Un conjunto formado por puntos:

cerrado; este conjunto tiene un punto límite único x=0, que pertenece al conjunto.

La tarea principal es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.

1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.
2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.

Sea E un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamamos complemento del conjunto E y denotamos por CE el conjunto de todos los puntos de la recta no perteneciente a muchos E. Está claro que si x es un punto externo a E, entonces es un punto interno al conjunto CE y viceversa.

4. Si un conjunto F es cerrado, entonces su complemento CF es abierto y viceversa.

La proposición 4 muestra que existe una gran diferencia entre conjuntos cerrados y abiertos. conexión cercana: algunos son complementos de otros. Por ello, basta estudiar algunas cerradas o algunas conjuntos abiertos. Conocer las propiedades de conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algunos conjunto cerrado.

Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea F un conjunto cerrado. Un intervalo (a, b) que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto F, pero los puntos a y b pertenecen a F, se llama intervalo adyacente del conjunto F.

También incluiremos intervalos impropios entre intervalos adyacentes, o si el punto a o el punto b pertenecen al conjunto F, y los intervalos en sí no se cruzan con F. Demostremos que si un punto x no pertenece a un conjunto cerrado F, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denotemos por la parte del conjunto F ubicada a la derecha del punto x. Dado que el punto x en sí no pertenece al conjunto F, se puede representar en forma de intersección:

Cada uno de los conjuntos es F y cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces todo el semiintervalo no pertenece al conjunto F. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en un medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos su límite inferior por b. Según la Proposición 3, lo que significa. Además, dado que b es borde inferior conjunto, entonces el medio intervalo (x, b) que se encuentra a la izquierda del punto b no contiene puntos del conjunto y, por lo tanto, no contiene puntos del conjunto F. Entonces, hemos construido un medio intervalo ( x, b) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera o el punto b pertenece al conjunto F. De manera similar, se construye un medio intervalo (a, x) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera de los dos. Ahora está claro que el intervalo (a, b) contiene el punto x y es un intervalo adyacente del conjunto F. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto F, entonces estos intervalos coinciden o no no cruzarse.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado en una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto F. Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional, y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales de la recta, es fácil asegurarse de que el número de todos los intervalos adyacentes sea como máximo contable. De aquí llegamos a la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

En virtud de la Proposición 4, se sigue inmediatamente que todo conjunto abierto sobre una recta no es más que una suma contable de intervalos disjuntos. En virtud de las Proposiciones 1 y 2, también está claro que cualquier conjunto dispuesto como se indicó anteriormente es, en efecto, cerrado (abierto).

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Sea dado un espacio topológico $(X,\mathcal(T))$ . Un montón de $V\subconjunto X$ llamado cerrado con respecto a la topología $\mathcal(T)$ , si hay un conjunto abierto $U\in\mathcal(T)$ tal que $U = X\setmenos V$ .

Cierre

Cerrando el set $Ud.$ espacio topológico $X$ se llama conjunto mínimo cerrado con respecto a la inclusión $z$ que contiene $Ud.$ .

Cierre de un set $U\subconjunto X$ generalmente denotado $\bar U$ , $\matop(\rm Cl)U$ o $\mathrm(Cl)_X U$ ; la última designación se utiliza si es necesario enfatizar que $\bar U$ considerado como un conjunto en el espacio $X$ .

Propiedades

Un montón de $Ud.$ cerrado si y sólo si $\bar U=U$ .

Ejemplos

Conjunto vacio $\varnada$ siempre cerrado (y, al mismo tiempo, abierto).
Segmento de línea $\subconjunto \mathbb(R)$ está cerrado en la topología estándar en la línea real, ya que su complemento es abierto.
Un montón de $\mathbb(Q) \cap$ cerrado en el espacio de los números racionales $\mathbb(Q)$ , pero no cerrado en el espacio de todos numeros reales $\mathbb(R)$ .

Variaciones y generalizaciones.

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Set cerrado"

Notas

Literatura

Závalo S.T. Elementos de análisis. Álgebra de polinomios. - Kiev: escuela Radyanskaya, 1972.
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - M.: Fizmatlit, 2004. - 575 p. - ISBN 5-9221-0266-4.
Fikhtengolts G. M. Lo esencial Análisis matemático. - M.: Ciencia, 1954.

Un extracto que caracteriza el Conjunto Cerrado

Natasha fue una de las primeras en conocerlo. Llevaba un vestido de casa azul, con el que al príncipe Andrés le parecía incluso mejor que con el vestido de fiesta. Ella y toda la familia Rostov recibieron al príncipe Andrés como a un viejo amigo, con sencillez y cordialidad. Toda la familia, a la que el príncipe Andrés hasta entonces había juzgado estrictamente, ahora le parecía formada por personas maravillosas, sencillas y amables. La hospitalidad y el buen carácter del viejo conde, que llamaron especialmente la atención en San Petersburgo, fueron tales que el príncipe Andrés no pudo rechazar la cena. “Sí, son personas amables y simpáticas”, pensó Bolkonsky, quien, por supuesto, no comprende en absoluto el tesoro que guarda en Natasha; Pero buena gente, que constituyen el mejor telón de fondo para que esta muchacha especialmente poética, rebosante de vida y encantadora se destaque en el fondo!”
El príncipe Andrei sintió en Natasha la presencia de un mundo especial completamente ajeno a él, lleno de alegrías desconocidas, ese mundo extraño que ya entonces, en el callejón Otradnensky y en la ventana, en una noche de luna, tanto lo molestaba. Ahora este mundo ya no lo molestaba, ya no era un mundo extraño; pero él mismo, al entrar en él, encontró en él un nuevo placer para sí mismo.
Después de la cena, Natasha, a petición del príncipe Andrés, se acercó al clavicordio y empezó a cantar. El príncipe Andrés estaba junto a la ventana, hablaba con las damas y la escuchaba. En medio de la frase, el príncipe Andrei se quedó en silencio y de repente sintió que le subían a la garganta lágrimas, cuya posibilidad no conocía en su interior. Miró a Natasha cantando y algo nuevo y feliz sucedió en su alma. Estaba feliz y al mismo tiempo triste. No tenía absolutamente nada por qué llorar, pero estaba dispuesto a llorar. ¿Acerca de? ACERCA DE viejo amor? ¿Sobre la princesita? ¿De tus decepciones?... ¿De tus esperanzas para el futuro?... Sí y no. Lo principal por lo que quería llorar era por la terrible oposición que de pronto comprendió claramente entre algo infinitamente grande e indefinible que había en él y algo estrecho y corpóreo que él mismo era y también ella. Este opuesto lo atormentaba y deleitaba mientras cantaba.
Tan pronto como Natasha terminó de cantar, se le acercó y le preguntó si le gustaba su voz. Ella preguntó esto y se avergonzó después de decirlo, al darse cuenta de que no debería haber preguntado esto. Él sonrió mirándola y dijo que le gustaba que cantara tanto como todo lo que hacía.
El príncipe Andrés salió de Rostov a última hora de la tarde. Se acostó por costumbre, pero pronto vio que no podía dormir. Encendió una vela y se sentó en la cama, luego se levantó, luego se volvió a acostar, para nada agobiado por el insomnio: su alma estaba tan alegre y nueva, como si hubiera salido de una habitación mal ventilada a la luz libre de Dios. Nunca se le ocurrió que estaba enamorado de Rostova; él no pensó en ella; él sólo la imaginaba y, como resultado, toda su vida le parecía bajo una nueva luz. “¿Por qué lucho, por qué me quejo en este marco estrecho y cerrado, cuando la vida, toda la vida con todas sus alegrías, está abierta para mí?” se dijo a sí mismo. Y por primera vez después de mucho tiempo, empezó a hacer planes felices para el futuro. Decidió por su cuenta que necesitaba empezar a criar a su hijo, buscándole un maestro y confiándoselo; luego tienes que jubilarte e irte al extranjero, ver Inglaterra, Suiza, Italia. “Necesito usar mi libertad mientras siento tanta fuerza y juventud en mí mismo”, se dijo. Pierre tenía razón cuando dijo que hay que creer en la posibilidad de la felicidad para poder ser feliz, y ahora yo creo en él. Dejemos a los muertos para enterrar a los muertos, pero mientras estés vivo, debes vivir y ser feliz”, pensó.

Una de las principales tareas de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades de varios tipos de conjuntos de puntos. Conozcamos esta teoría usando dos ejemplos y estudiemos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.

Un conjunto se dice cerrado si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene un único punto límite, entonces también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. Un conjunto se dice abierto si cada uno de sus puntos es interno a él.

Pongamos ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos. Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo es un conjunto abierto. Los semiintervalos inadecuados también están cerrados y los intervalos inadecuados están abiertos. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito de puntos de una recta es cerrado, ya que no tiene puntos límite. Un conjunto formado por puntos.

cerrado; este conjunto tiene un punto límite único, que pertenece al conjunto.

Nuestra tarea es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.

1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.

2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.

Sea un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamémoslo complemento de un conjunto y denotaremos por el conjunto de todos los puntos de la recta que no pertenecen al conjunto. Está claro que si hay un punto externo para , entonces es un punto interno para el conjunto y viceversa.

4. Si un conjunto es cerrado, entonces su complemento es abierto y viceversa.

La proposición 4 muestra que existe una conexión muy estrecha entre conjuntos cerrados y abiertos: algunos son complementos de otros. Por esta razón, es suficiente estudiar sólo conjuntos cerrados o sólo abiertos. Conocer las propiedades de conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algún conjunto cerrado de una línea.

Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea un conjunto cerrado. Un intervalo que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto, pero los puntos sí pertenecen, se llama intervalo adyacente del conjunto. También incluiremos intervalos impropios o entre intervalos adyacentes si el punto o punto pertenece al conjunto y los intervalos en sí no se cruzan. Demostremos que si un punto no pertenece a un conjunto cerrado, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.

Denotemos por la parte del conjunto ubicada a la derecha del punto. Dado que el punto en sí no pertenece al conjunto, se puede representar en forma de intersección.

Cada uno de los conjuntos está cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces el medio intervalo completo no pertenece al conjunto. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en el medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos por su borde inferior. Según la Proposición 3, , y por tanto . Además, dado que hay un mínimo del conjunto, el medio intervalo que se encuentra a la izquierda del punto no contiene puntos del conjunto y, por tanto, no contiene puntos del conjunto. Entonces, hemos construido un medio intervalo que no contiene puntos del conjunto y que o el punto pertenece al conjunto. De manera similar, se construye un medio intervalo que no contiene puntos del conjunto, ni , ni . Ahora está claro que el intervalo contiene un punto y es un intervalo adyacente del conjunto. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto, entonces estos intervalos coinciden o no se cruzan.

De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado sobre una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto. Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales en una línea, es fácil verificar que el número de todos los intervalos adyacentes es como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.

Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.

Conjunto perfecto de Cantor

Construyamos un conjunto cerrado especial con la serie propiedades notables. En primer lugar, eliminemos los intervalos inadecuados y de la línea. Tras esta operación nos quedaremos con un segmento. A continuación, eliminemos de este segmento el intervalo que constituye su tercio medio. De cada uno de los dos segmentos restantes, retire su tercio medio. Continuaremos este proceso de eliminar los tercios medios de los segmentos restantes de forma indefinida. El conjunto de puntos de la recta que quedan después de eliminar todos estos intervalos se llama conjunto perfecto de Cantor; lo denotaremos por la letra.

Consideremos algunas propiedades de este conjunto. El conjunto es cerrado, ya que se forma quitando de una recta un determinado conjunto de intervalos disjuntos. El conjunto no está vacío; en cualquier caso, contiene los finales de todos los intervalos descartados.

Un conjunto cerrado se llama perfecto, si no contiene puntos aislados, es decir, si cada uno de sus puntos es un punto límite. Demostremos que el conjunto es perfecto. De hecho, si algún punto fuera un punto aislado del conjunto, entonces serviría como extremo común de dos intervalos adyacentes de este conjunto. Pero, según la construcción, los intervalos adyacentes del conjunto no tienen extremos comunes.

El conjunto no contiene un solo intervalo. De hecho, supongamos que un determinado intervalo pertenece enteramente al conjunto. Entonces pertenece por completo a uno de los segmentos obtenidos en el paso 1 de la construcción del conjunto. Pero esto es imposible, ya que las longitudes de estos segmentos tienden a cero.

Se puede demostrar que el conjunto tiene cardinalidad de un continuo. En particular, se deduce que la teoría de Cantor conjunto perfecto contiene, además de los extremos de intervalos adyacentes, también otros puntos. De hecho, los extremos de intervalos adyacentes forman sólo un conjunto contable.

En diversas ramas de las matemáticas se encuentran constantemente varios tipos de conjuntos de puntos, y el conocimiento de sus propiedades es absolutamente necesario al estudiar muchos problemas matemáticos. Especialmente gran importancia Tiene teoría de conjuntos de puntos para análisis matemático y topología.

Demos varios ejemplos de la aparición de conjuntos de puntos en secciones clásicas de análisis. Sea una función continua definida en el segmento. Fijemos el número y consideremos el conjunto de aquellos puntos para los cuales . Es fácil demostrar que este conjunto puede ser un conjunto cerrado arbitrario ubicado en el segmento. De la misma forma, el conjunto de puntos para los cuales , puede ser cualquier conjunto abierto. Si hay una secuencia funciones continuas, dado en el segmento , entonces el conjunto de aquellos puntos donde converge esta secuencia no puede ser arbitrario, sino que pertenece a un tipo muy específico.

La disciplina matemática que estudia la estructura de conjuntos de puntos se llama teoría descriptiva de conjuntos. Grandes logros en el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos pertenecen a matemáticos soviéticos- N.N. Luzin y sus alumnos P.D. Alexandrov, M.Ya. Suslin, A.N. Kolmogorov, MA. Lavrentiev, P.S. Novikov, L.V. Keldysh, A.A. Lyapunova y otros.

Investigación de N.N. Luzin y sus estudiantes demostraron que existe una conexión profunda entre la teoría descriptiva de conjuntos y lógica matemática. Las dificultades que surgen al considerar una serie de problemas en la teoría descriptiva de conjuntos (en particular, problemas sobre la determinación de la cardinalidad de ciertos conjuntos) son dificultades de naturaleza lógica. Por el contrario, los métodos lógica matemática nos permitirán profundizar más en algunas cuestiones de la teoría descriptiva de conjuntos.

DEFINICIÓN 5. Sea X un espacio métrico, ММ Х, аОХ. Un punto a se llama punto límite de M si en cualquier vecindad de a hay puntos del conjunto M\(a). Esto último significa que en cualquier vecindad de a existen puntos del conjunto M diferentes de a.

Notas. 1. Un punto límite puede pertenecer o no al conjunto. Por ejemplo, 0 y 1 son puntos límite del conjunto (0,2), pero el primero no pertenece a él y el segundo sí.

2. Un punto de un conjunto M no puede ser su punto límite. En este caso, se llama punto aislado M. Por ejemplo, 1 - punto aislado establece (-1,0)È(1).

3. Si el punto límite a no pertenece al conjunto M, entonces hay una secuencia de puntos x n ОM que convergen a a en este espacio métrico. Para demostrarlo, basta con tomar bolas abiertas en este punto de radios 1/n y seleccionar de cada bola un punto que pertenezca a M. Lo contrario también es cierto, si para a existe tal secuencia, entonces el punto es a punto límite.

DEFINICIÓN 6. La clausura de un conjunto M es la unión de M con el conjunto de sus puntos límite. Designación

Tenga en cuenta que el cierre de una bola no tiene por qué coincidir con una bola cerrada del mismo radio. Por ejemplo, en un espacio discreto, el cierre de la bola B(a,1) es igual a la bola misma (consta de un punto a) mientras que la bola cerrada (a,1) coincide con todo el espacio.

Describamos algunas propiedades de la clausura de conjuntos.

1. MÌ. Esto se deriva directamente de la definición de cierre.

2. Si M M N, entonces M . De hecho, si a О , a ПМ, entonces en cualquier vecindad de a hay puntos del conjunto M. También son puntos de N. Por lo tanto aО . Para puntos de M esto está claro por definición.

4. .

5. El cierre de un conjunto vacío está vacío. Este acuerdo no se deriva de definición general, pero es natural.

DEFINICIÓN 7. Un conjunto M М X se llama cerrado si = M.

Un conjunto M М X se llama abierto si el conjunto X\M es cerrado.

Se dice que un conjunto M М X es denso en todas partes de X si = X.

DEFINICIÓN 8. Un punto a se llama punto interior del conjunto M si B(a,r)МM para algún r positivo, es decir, punto interno Se incluye en el set junto con algún barrio. Un punto a se llama punto exterior del conjunto M si la bola B(a,r)МХ/M para algún r positivo, es decir, el punto interior no está incluido en el conjunto junto con alguna vecindad. Los puntos que no son ni interiores ni exteriores del conjunto M se llaman puntos límite.

Así, los puntos límite se caracterizan por el hecho de que en cada una de sus vecindades hay puntos tanto incluidos como no incluidos en M.

PROPUESTA 4. Para que un conjunto sea abierto es necesario y suficiente que todos sus puntos sean interiores.

Ejemplos de conjuntos cerrados sobre una recta son , )