Cómo encontrar el valor más grande de una función en un intervalo. Extremos de la función

pequeña y bonita Tarea simple de la categoría de los que sirven como salvavidas para un estudiante flotante. Estamos a mediados de julio en la naturaleza, por lo que es hora de instalarse con su computadora portátil en la playa. Temprano en la mañana empezó a jugar conejito soleado teoría para pronto centrarse en la práctica, que, a pesar de su pretendida facilidad, contiene fragmentos de vidrio en la arena. En este sentido, te recomiendo que consideres concienzudamente los pocos ejemplos de esta página. Para soluciones tareas practicas debe ser capaz de encontrar derivadas y comprender el material del artículo. Intervalos de monotonicidad y extremos de la función..

Primero, brevemente sobre lo principal. En la lección sobre continuidad de la función Di la definición de continuidad en un punto y continuidad en un intervalo. El comportamiento ejemplar de una función en un segmento se formula de manera similar. Una función es continua en un intervalo si:

1) es continua en el intervalo;
2) continuo en un punto a la derecha y en el punto izquierda.

En el segundo párrafo hablamos de los llamados continuidad unilateral funciones en un punto. Hay varios enfoques para definirlo, pero me ceñiré a la línea que comencé antes:

La función es continua en el punto a la derecha, si está definida en un punto dado y su límite derecho coincide con el valor de la función en un punto dado: . es continua en el punto izquierda, si se define en un punto dado y su límite por la izquierda igual al valor en este punto:

Imagina eso puntos verdes- estos son los clavos sobre los que se fija la banda elástica mágica:

Toma mentalmente la línea roja en tus manos. Obviamente, no importa cuánto estiremos la gráfica hacia arriba y hacia abajo (a lo largo del eje), la función seguirá siendo limitado– una valla arriba, una valla abajo y nuestro producto pasta en el prado. De este modo, una función continua en un intervalo está acotada en él. En el curso del análisis matemático, este hecho aparentemente simple se afirma y se demuestra estrictamente. El primer teorema de Weierstrass.... A muchas personas les molesta que en matemáticas se fundamenten tediosamente enunciados elementales, pero esto tiene un significado importante. Supongamos que cierto habitante de la Alta Edad Media arrastrara un gráfico hacia el cielo más allá de los límites de visibilidad, este se insertaría. ¡Antes de la invención del telescopio, la función limitada en el espacio no era nada obvia! De verdad, ¿cómo sabes lo que nos espera en el horizonte? Después de todo, la Tierra alguna vez se consideró plana, por lo que hoy incluso la teletransportación ordinaria requiere pruebas =)

De acuerdo a El segundo teorema de Weierstrass, continuo en un segmentola función alcanza su preciso borde superior y el tuyo borde inferior exacto .

El número también se llama el valor máximo de la función en el segmento y se denotan por , y el número es el valor mínimo de la función en el segmento marcado.

En nuestro caso:

Nota : en teoría, las grabaciones son comunes .

Mas o menos, valor más alto está ubicado donde más punto álgido gráficos, y el más pequeño – ¿dónde está más? punto bajo.

¡Importante! Como ya se destacó en el artículo sobre extremos de la función, mayor valor de función Y valor de función más pequeño – NO ES EL MÍSMO, Qué función máxima Y función mínima. Entonces, en el ejemplo considerado, el número es el mínimo de la función, pero no el valor mínimo.

Por cierto, ¿qué pasa fuera del segmento? Sí, incluso una inundación, en el contexto del problema que estamos considerando, no nos interesa en absoluto. La tarea sólo consiste en encontrar dos números. ¡y eso es!

Además, la solución es puramente analítica, por lo tanto no es necesario hacer un dibujo!

El algoritmo se encuentra en la superficie y se sugiere a partir de la figura anterior:

1) Encuentra los valores de la función en puntos críticos, que pertenecen este segmento .

Coge otro bollo: aquí no hace falta comprobar condición suficiente extremo, ya que, como se acaba de mostrar, la presencia de un mínimo o máximo no garantiza todavía, ¿cuál es el mínimo o valor máximo. La función de demostración alcanza un máximo y, por voluntad del destino, el mismo número es el valor más grande de la función en el segmento. Pero, por supuesto, tal coincidencia no siempre se produce.

Así, en el primer paso, es más rápido y sencillo calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes al segmento, sin preocuparse si hay extremos en ellos o no.

2) Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento.

3) Entre los valores de función que se encuentran en los párrafos 1 y 2, seleccione el más pequeño y el más Número grande, escribe la respuesta.

Nos sentamos en la orilla mar azul y golpear el agua poco profunda con los talones:

Ejemplo 1

Encuentra el mayor y valor más pequeño funciones en un intervalo

Solución:
1) Calculemos los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes a este segmento:

Calculemos el valor de la función en el segundo. punto crítico:

2) Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento:

3) Se obtuvieron resultados “negritos” con exponentes y logaritmos, lo que complica significativamente su comparación. Por eso armémonos de una calculadora o Excel y calculemos valores aproximados, sin olvidar que:

Ahora todo está claro.

Respuesta:

Instancia racional fraccionaria para decisión independiente:

Ejemplo 6

Encuentre el máximo y valor mínimo funciones en un intervalo

Estudio de tal objeto. Análisis matemático como función tiene gran significado y en otras áreas de la ciencia. Por ejemplo, en análisis Economico Es necesario evaluar constantemente el comportamiento. funciones beneficio, es decir, determinar su mayor significado y desarrollar una estrategia para lograrlo.

Instrucciones

El estudio de cualquier comportamiento siempre debe comenzar con la búsqueda del dominio de definición. Generalmente por condición tarea específica es necesario determinar el mayor significado funciones ya sea en toda esta área, o en un intervalo específico de la misma con fronteras abiertas o cerradas.

Basado en , el más grande es significado funciones y(x0), en el que para cualquier punto en el dominio de definición se cumple la desigualdad y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Gráficamente, este punto será el más alto si los valores de los argumentos se colocan a lo largo del eje de abscisas y la función misma a lo largo del eje de ordenadas.

Para determinar el mayor significado funciones, siga el algoritmo de tres pasos. Tenga en cuenta que debe poder trabajar con unilateral y , así como calcular la derivada. Entonces, dejemos que se dé alguna función y(x) y necesitemos encontrar su mayor significado en un cierto intervalo con valores límite A y B.

Descubra si este intervalo está dentro del alcance de la definición. funciones. Para hacer esto, debe encontrarlo considerando todas las restricciones posibles: la presencia de una fracción en la expresión, raíz cuadrada etc. El dominio de definición es el conjunto de valores de argumentos para los cuales la función tiene sentido. Determine si el intervalo dado es un subconjunto del mismo. En caso afirmativo, continúe con el siguiente paso.

Encuentra la derivada funciones y resuelve la ecuación resultante igualando la derivada a cero. De esta forma obtendrás los valores de los llamados puntos estacionarios. Evaluar si al menos uno de ellos pertenece al intervalo A, B.

En la tercera etapa, considere estos puntos y sustituya sus valores en la función. Dependiendo del tipo de intervalo, realice los siguientes pasos adicionales. Si hay un segmento de la forma [A, B], los puntos límite se incluyen en el intervalo; esto se indica entre paréntesis. Calcular valores funciones para x = A y x = B. Si el intervalo es abierto (A, B), los valores límite se perforan, es decir no están incluidos en el mismo. Resuelva límites unilaterales para x→A y x→B. Un intervalo combinado de la forma [A, B) o (A, B), uno de cuyos límites le pertenece, el otro no. Encuentre el límite unilateral cuando x tiende al valor perforado y sustitúyalo por el otro. la función Intervalo infinito de dos lados (-∞, +∞) o intervalos infinitos de un lado de la forma: , (-∞, B). Para los límites reales A y B, proceda de acuerdo con los principios ya descritos, y para los límites reales A y B. infinitos, busque límites para x→-∞ y x→+∞, respectivamente.

La tarea en esta etapa

Y para solucionarlo necesitarás conocimientos mínimos del tema. El siguiente termina año académico, todo el mundo quiere irse de vacaciones, y para acercar este momento, voy directo al grano:

Empecemos por la zona. El área a que se refiere la condición es limitado cerrado conjunto de puntos en un plano. Por ejemplo, el conjunto de puntos delimitados por un triángulo, incluido TODO el triángulo (si de fronteras“pincha” al menos un punto, entonces la región ya no estará cerrada). En la práctica, también hay áreas rectangulares, circulares y un poco más grandes. formas complejas. Cabe señalar que en la teoría del análisis matemático se dan definiciones estrictas. limitaciones, aislamiento, límites, etc., pero creo que todo el mundo conoce estos conceptos a nivel intuitivo y ahora no hace falta nada más.

Una región plana se denota estándar con la letra y, por regla general, se especifica analíticamente, mediante varias ecuaciones. (no necesariamente lineal); menos frecuentemente desigualdades. Típico giro de frase: "área cerrada, delimitado por líneas ».

Una parte integral de la tarea en cuestión es la construcción de un área en el dibujo. ¿Cómo hacerlo? Debe dibujar todas las líneas enumeradas (en en este caso 3 derecho) y analizar lo sucedido. El área buscada suele estar ligeramente sombreada y su borde está marcado con una línea gruesa:


La misma área también se puede configurar desigualdades lineales: , que por alguna razón a menudo se escriben como una lista enumerada en lugar de sistema.
Dado que el límite pertenece a la región, entonces todas las desigualdades, por supuesto, flojo.

Y ahora la esencia de la tarea. Imagina que el eje sale recto hacia ti desde el origen. Considere una función que continuo en cada punto de área. La gráfica de esta función representa algunos superficie, Y un poco de felicidad es que para resolver el problema actual no necesitamos saber cómo es esta superficie. Se puede ubicar más arriba, más abajo, cruzar el plano; todo esto no importa. Y lo siguiente es importante: según Teoremas de Weierstrass, continuo V limitado cerradoÁrea donde la función alcanza su mayor valor. (el más alto") y lo menos (el más bajo") valores que es necesario encontrar. Estos valores se logran. o V puntos estacionarios, perteneciente a la regiónD , o en los puntos que se encuentran en el límite de esta área. Esto conduce a un algoritmo de solución simple y transparente:

Ejemplo 1

En limitado zona cerrada

Solución: En primer lugar, es necesario representar el área en el dibujo. Lamentablemente, técnicamente me resulta difícil hacerlo. modelo interactivo tarea, por lo que presentaré inmediatamente la ilustración final, que muestra todos los puntos "sospechosos" encontrados durante el estudio. Por lo general, se enumeran uno tras otro a medida que se descubren:

Teniendo en cuenta el preámbulo, la decisión puede dividirse convenientemente en dos puntos:

I) Encuentra puntos estacionarios. Esta es una acción estándar que realizamos repetidamente en clase. sobre los extremos de varias variables:

Punto estacionario encontrado perteneceáreas: (márcalo en el dibujo), lo que significa que debemos calcular el valor de la función en un punto dado:

- como en el artículo Los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento., resultados importantes Lo pondré en negrita. Conviene calcarlos en una libreta con un lápiz.

Prestemos atención a nuestra segunda felicidad: no tiene sentido comprobarlo. condición suficiente para un extremo. ¿Por qué? Incluso si en un punto la función alcanza, por ejemplo, mínimo local , entonces esto NO SIGNIFICA que el valor resultante será mínimo en toda la región (ver el comienzo de la lección sobre extremos incondicionales) .

¿Qué hacer si el punto estacionario NO pertenece a la región? ¡Casi nada! Cabe señalar eso y pasar al siguiente punto.

II) Exploramos la frontera de la región.

Dado que el borde está formado por los lados de un triángulo, conviene dividir el estudio en 3 subsecciones. Pero es mejor no hacerlo de todos modos. Desde mi punto de vista, es más ventajoso considerar primero los segmentos paralelos ejes de coordenadas, y en primer lugar, los que yacen sobre los propios ejes. Para comprender toda la secuencia y la lógica de las acciones, intente estudiar el final "de una vez":

1) Tratemos con el lado inferior del triángulo. Para hacer esto, sustituya directamente en la función:

Alternativamente, puedes hacerlo así:

Geométricamente esto significa que Plano coordinado (que también está dado por la ecuación)"talla" de superficies una parábola "espacial", cuya parte superior inmediatamente resulta sospechosa. Vamos a averiguar donde esta ubicada:

– el valor resultante “cayó” en el área, y bien puede resultar que en el punto (marcado en el dibujo) la función alcanza el valor más grande o más pequeño en toda la región. De una forma u otra, hagamos los cálculos:

Los otros “candidatos” son, por supuesto, los extremos del segmento. Calculemos los valores de la función en puntos. (marcado en el dibujo):

Aquí, por cierto, puede realizar un minicontrol oral utilizando una versión "simplificada":

2) Para investigación lado derecho sustituimos el triángulo en la función y “ponemos las cosas en orden”:

Aquí realizaremos inmediatamente una verificación aproximada, "haciendo sonar" el final del segmento ya procesado:
, Excelente.

La situación geométrica está relacionada con el punto anterior:

– el valor resultante también “entró en la esfera de nuestros intereses”, lo que significa que debemos calcular a qué es igual la función en el punto que aparece:

Examinemos el segundo extremo del segmento:

Usando la función , realicemos una verificación de control:

3) Probablemente todos puedan adivinar cómo explorar el lado restante. Lo sustituimos en la función y realizamos simplificaciones:

Extremos del segmento Ya se han investigado, pero en el borrador todavía comprobamos si hemos encontrado la función correctamente. :
– coincidió con el resultado del párrafo primero;
– coincidió con el resultado del párrafo segundo.

Queda por saber si hay algo interesante dentro del segmento:

- ¡Hay! Sustituyendo la línea recta en la ecuación, obtenemos la ordenada de este "interés":

Marcamos un punto en el dibujo y encontramos el valor correspondiente de la función:

Comprobemos los cálculos utilizando la versión "presupuesto" :
, orden.

Y el paso final: Revisamos CUIDADOSAMENTE todos los números en "negrita", recomiendo a los principiantes incluso hacer una lista única:

del cual seleccionamos los valores más grandes y más pequeños. Respuesta Anotemos al estilo del problema de encontrar. los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento:

Por si acaso vuelvo a comentar. significado geométrico resultado:
– aquí se encuentra el punto más alto de la superficie de la región;
– aquí está el punto más bajo de la superficie de la zona.

En la tarea analizada, identificamos 7 puntos "sospechosos", pero su número varía de una tarea a otra. Para una región triangular, el "conjunto de investigación" mínimo consta de Tres puntos. Esto sucede cuando la función, por ejemplo, especifica avión– está completamente claro que no hay puntos estacionarios, y la función puede alcanzar sus valores máximo/menor sólo en los vértices del triángulo. Pero sólo hay uno o dos ejemplos similares; por lo general, hay que lidiar con algunos superficie de segundo orden.

Si intentas resolver un poco este tipo de tareas, entonces los triángulos pueden hacerte girar la cabeza, y es por eso que lo preparé para ti. ejemplos inusuales para que quede cuadrado :))

Ejemplo 2

Encuentra los valores mayor y menor de una función. en un área cerrada delimitada por líneas

Ejemplo 3

Encuentre los valores mayor y menor de una función en un área cerrada limitada.

Atención especial Preste atención al orden racional y a la técnica de estudiar los límites de la región, así como a la cadena de comprobaciones intermedias, lo que evitará casi por completo errores de cálculo. En general, puedes resolverlo como quieras, pero en algunos problemas, por ejemplo, en el Ejemplo 2, hay muchas posibilidades de hacerte la vida mucho más difícil. muestra aproximada terminar las tareas al final de la lección.

Sistematicemos el algoritmo de solución; de lo contrario, con mi diligencia como araña, de alguna manera se perdió en el largo hilo de comentarios del primer ejemplo:

– En el primer paso construimos un área, es recomendable sombrearla y resaltar el borde con una línea en negrita. Durante la solución aparecerán puntos que deberán marcarse en el dibujo.

– Encuentra puntos estacionarios y calcula los valores de la función. solo en esos de ellos que pertenecen a la región. Resaltamos los valores resultantes en el texto (por ejemplo, los rodeamos con un lápiz). Si un punto estacionario NO pertenece a la región, marcamos este hecho con un icono o verbalmente. Si no hay ningún punto estacionario, llegamos a la conclusión escrita de que están ausentes. En cualquier caso, ¡este punto no se puede saltar!

– Estamos explorando la frontera de la región. Primero, es beneficioso comprender las líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. (si es que hay alguno). También destacamos los valores de la función calculados en puntos “sospechosos”. Se ha dicho mucho anteriormente sobre la técnica de solución y se dirá algo más a continuación: ¡léalo, reléalo, profundice en él!

– De los números seleccionados, seleccione los valores mayor y menor y dé la respuesta. A veces sucede que una función alcanza tales valores en varios puntos a la vez; en este caso, todos estos puntos deben reflejarse en la respuesta. Dejemos, por ejemplo, y resultó que este es el valor más pequeño. Luego escribimos eso

Los ejemplos finales están dedicados a otros. ideas útiles que será útil en la práctica:

Ejemplo 4

Encuentra los valores mayor y menor de una función en una región cerrada .

He conservado la formulación del autor, en la que el área se da en forma de doble desigualdad. Esta condición se puede escribir sistema equivalente o en una forma más tradicional para esta tarea:

te recuerdo que con no lineal encontramos desigualdades y, si no comprende el significado geométrico de la notación, no se demore y aclare la situación ahora mismo;-)

Solución, como siempre, comienza con la construcción de un área que representa una especie de “suela”:

Mmm, a veces hay que masticar no sólo el granito de la ciencia...

I) Encuentra puntos estacionarios:

El sistema es el sueño de un idiota :)

Un punto estacionario pertenece a la región, es decir, se encuentra en su límite.

Y entonces, está bien... la lección fue bien: esto es lo que significa beber el té adecuado =)

II) Exploramos la frontera de la región. Sin más preámbulos, comencemos con el eje x:

1) Si, entonces

Encontremos dónde está el vértice de la parábola:
– valora esos momentos – has “dado” justo en el punto en el que ya todo está claro. Pero todavía no nos olvidamos de comprobar:

Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento:

2) Tratemos la parte inferior de la "suela" "de una sola vez" - sin ningún complejo la sustituimos en la función, y solo nos interesará el segmento:

Control:

Esto ya aporta algo de emoción a la conducción monótona por la pista estriada. Encontremos puntos críticos:

Vamos a decidir ecuación cuadrática¿Recuerdas algo más sobre esto? ...Sin embargo, recuerda, por supuesto, que de lo contrario no estarías leyendo estas líneas =) Si en los dos ejemplos anteriores los cálculos en decimales(que, por cierto, es raro), entonces aquí nos esperan los habituales fracciones comunes. Encontramos las raíces "X" y usamos la ecuación para determinar las coordenadas de "juego" correspondientes de los puntos "candidatos":


Calculemos los valores de la función en los puntos encontrados:

Compruebe usted mismo la función.

Ahora estudiamos detenidamente los trofeos ganados y anotamos. respuesta:

¡Estos son “candidatos”, estos son “candidatos”!

Para resolverlo usted mismo:

Ejemplo 5

Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en un área cerrada

Grabación de llaves dice así: "un conjunto de puntos tales que".

A veces en ejemplos similares usar Método del multiplicador de Lagrange, pero es poco probable que exista una necesidad real de utilizarlo. Así, por ejemplo, si se da una función con la misma área “de”, luego de sustituirla – con la derivada sin dificultades; Además, todo está redactado en “una línea” (con signos) sin necesidad de considerar por separado los semicírculos superior e inferior. Pero, por supuesto, hay más casos complejos, donde sin la función de Lagrange (donde, por ejemplo, está la misma ecuación de un círculo) Es difícil sobrevivir, ¡como es difícil sobrevivir sin un buen descanso!

¡Que lo paséis bien a todos y nos vemos pronto la próxima temporada!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Solución: Representemos el área en el dibujo:

El valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado de la ordenada en el intervalo considerado.

Para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función necesitas:

1. Compruebe qué puntos estacionarios están incluidos en un segmento determinado.
2. Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en puntos estacionarios desde el punto 3
3. Seleccione el valor mayor o menor de los resultados obtenidos.

Para encontrar los puntos máximos o mínimos necesitas:

1. Encuentra la derivada de la función $f"(x)$
2. Encuentra puntos estacionarios resolviendo la ecuación $f"(x)=0$
3. Factorizar la derivada de una función.
4. Dibuja una línea de coordenadas, coloca puntos estacionarios en ella y determina los signos de la derivada en los intervalos resultantes, usando la notación del paso 3.
5. Encuentre los puntos máximos o mínimos de acuerdo con la regla: si en un punto la derivada cambia de signo de más a menos, entonces este será el punto máximo (si de menos a más, entonces este será el punto mínimo). En la práctica, es conveniente utilizar la imagen de flechas en los intervalos: en el intervalo donde la derivada es positiva, la flecha se dibuja hacia arriba y viceversa.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales:

Reglas básicas de diferenciación.

1. La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Encuentra la derivada de la función $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término.

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+senx-(1)/(x^2)$

2. Derivado del producto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Encuentra la derivada $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙senx$

3. Derivada del cociente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Encuentra la derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivado función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa por la derivada de la función interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Encuentra el punto mínimo de la función $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Busquemos funciones ODZ: $x+11>0; x>-11$

2. Encuentra la derivada de la función $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Encuentre puntos estacionarios igualando la derivada a cero.

$(2x+21)/(x+11)=0$

Una fracción es igual a cero si el numerador igual a cero, y el denominador no es cero

$2x+21=0; x≠-11$

4. Dibujemos una línea de coordenadas, coloquemos puntos estacionarios sobre ella y determinemos los signos de la derivada en los intervalos resultantes. Para hacer esto, sustituya cualquier número de la región más a la derecha en la derivada, por ejemplo, cero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. En el punto mínimo, la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, el punto $-10,5$ es el punto mínimo.

Respuesta: $-10,5$

Encuentre el mayor valor de la función $y=6x^5-90x^3-5$ en el segmento $[-5;1]$

1. Encuentra la derivada de la función $y′=30x^4-270x^2$

2. Iguala la derivada a cero y encuentra puntos estacionarios.

$30x^4-270x^2=0$

lo sacaremos multiplicador común$30x^2$ entre paréntesis

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Igualemos cada factor a cero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Seleccione puntos estacionarios que pertenezcan al segmento dado $[-5;1]$

Los puntos estacionarios $x=0$ y $x=-3$ nos convienen

4. Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos estacionarios del paso 3.