Para que un solo plano pueda pasar por tres puntos cualesquiera en el espacio, es necesario que estos puntos no se encuentren en la misma línea recta.

Considere los puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en general. sistema cartesiano coordenadas

Para que un punto arbitrario M(x, y, z) esté en el mismo plano que los puntos M 1, M 2, M 3, es necesario que los vectores sean coplanares.

(
) = 0

De este modo,

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Ecuación de un plano dados dos puntos y un vector colineal al plano.

Sean dados los puntos M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) y el vector
.

Creemos una ecuación para un avión que pasa por estos puntos M 1 y M 2 y punto arbitrario M(x, y, z) paralela al vector .

Vectores
y vector
debe ser coplanar, es decir

(
) = 0

Ecuación plana:

Ecuación de un plano usando un punto y dos vectores,

colineal al plano.

Sean dos vectores
Y
, planos colineales. Entonces, para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, los vectores
debe ser coplanar.

Ecuación plana:

Ecuación de un plano por punto y vector normal. .

Teorema. Si se da un punto M en el espacio 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), entonces la ecuación del plano que pasa por el punto M 0 perpendicular al vector normal (A, B, C) tiene la forma:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prueba. Para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, componemos un vector. Porque vector es el vector normal, entonces es perpendicular al plano y, por tanto, perpendicular al vector
. Entonces el producto escalar

= 0

Así, obtenemos la ecuación del plano.

El teorema está demostrado.

Ecuación de un plano en segmentos.

Si en la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0 dividimos ambos lados por (-D)

,

reemplazando
, obtenemos la ecuación del plano en segmentos:

Los números a, b, c son los puntos de intersección del plano con los ejes x, y, z, respectivamente.

Ecuación de un plano en forma vectorial.

Dónde

- vector de radio del punto actual M(x, y, z),

Un vector unitario que tiene la dirección de una perpendicular que cae sobre un plano desde el origen.

,  y  son los ángulos que forma este vector con los ejes x, y, z.

p es la longitud de esta perpendicular.

En coordenadas, esta ecuación se ve así:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distancia desde un punto a un plano.

La distancia desde un punto arbitrario M 0 (x 0, y 0, z 0) al plano Ax+By+Cz+D=0 es:

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4; -3; 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Entonces A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, usamos la fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Ejemplo. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por dos puntos P(2; 0; -1) y

Q(1; -1; 3) perpendicular al plano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal al plano 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelo al plano deseado.

Obtenemos:

Ejemplo. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, -1, 4) y

B(3, 2, -1) perpendicular al plano X + en + 2z – 3 = 0.

La ecuación requerida del avión tiene la forma: A X+B y+C z+ D = 0, vector normal a este plano (A B C). Vector
(1, 3, -5) pertenece al plano. El plano que nos dan, perpendicular al deseado, tiene un vector normal (1, 1, 2). Porque Los puntos A y B pertenecen a ambos planos, y los planos son mutuamente perpendiculares, entonces

Entonces el vector normal (11, -7, -2). Porque El punto A pertenece al plano deseado, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de este plano, es decir. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

En total obtenemos la ecuación del avión: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4, -3, 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Encontrar las coordenadas del vector normal.
= (4, -3, 12). La ecuación requerida del avión tiene la forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar el coeficiente D, sustituimos las coordenadas del punto P en la ecuación:

16 + 9 + 144 + D = 0

En total, obtenemos la ecuación requerida: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Ejemplo. Se dan las coordenadas de los vértices de la pirámide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encuentra la longitud del borde A 1 A 2.

Encuentre el ángulo entre los bordes A 1 A 2 y A 1 A 4.

Encuentre el ángulo entre el borde A 1 A 4 y la cara A 1 A 2 A 3.

Primero encontramos el vector normal a la cara A 1 A 2 A 3 como producto cruzado de vectores
Y
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontremos el ángulo entre el vector normal y el vector.
.

-4 – 4 = -8.

El ángulo deseado  entre el vector y el plano será igual a  = 90 0 - .

Encuentra el área de la cara A 1 A 2 A 3.

Encuentra el volumen de la pirámide.

Encuentra la ecuación del plano A 1 A 2 A 3.

Usemos la fórmula para la ecuación de un plano que pasa por tres puntos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Cuando se utiliza la versión para computadora “ curso superior de matematicas”Puedes ejecutar un programa que resolverá el ejemplo anterior para cualquier coordenada de los vértices de la pirámide.

Para iniciar el programa, haga doble clic en el icono:

En la ventana del programa que se abre, ingrese las coordenadas de los vértices de la pirámide y presione Enter. De esta forma, se pueden obtener todos los puntos de decisión uno por uno.

Nota: Para ejecutar el programa, debe estar instalado en su computadora el programa Maple ( Waterloo Maple Inc.) de cualquier versión, comenzando con MapleV Release 4.

En esta lección veremos cómo usar el determinante para crear ecuación plana. Si no sabe qué es un determinante, vaya a la primera parte de la lección: "Matrices y determinantes". De lo contrario, corre el riesgo de no entender nada del material de hoy.

Ecuación de un plano usando tres puntos.

¿Por qué necesitamos una ecuación plana? Es simple: sabiéndolo, podemos calcular fácilmente ángulos, distancias y otras tonterías en el problema C2. En general, no puedes prescindir de esta ecuación. Por tanto, formulamos el problema:

Tarea. Se dan tres puntos en el espacio que no se encuentran en la misma recta. Sus coordenadas:

M = (x 1, y 1, z 1);
norte = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Necesitas crear una ecuación para el avión que pasa por estos tres puntos. Además, la ecuación debería verse así:

Hacha + Por + Cz + D = 0

donde los números A, B, C y D son los coeficientes que, de hecho, es necesario encontrar.

Bueno, ¿cómo obtener la ecuación de un plano si sólo se conocen las coordenadas de los puntos? La forma más sencilla es sustituir las coordenadas en la ecuación Ax + By + Cz + D = 0. Obtienes un sistema de tres ecuaciones que se puede resolver fácilmente.

Muchos estudiantes encuentran esta solución extremadamente tediosa y poco confiable. El Examen Estatal Unificado de Matemáticas del año pasado demostró que la probabilidad de cometer un error de cálculo es realmente alta.

Por ello, los profesores más avanzados empezaron a buscar soluciones más sencillas y elegantes. ¡Y lo encontraron! Es cierto que la recepción recibida se refiere más bien a Matemáticas avanzadas. Personalmente, tuve que hurgar en todos lista federal libros de texto para asegurarnos de que tenemos derecho a utilizar esta técnica sin ninguna justificación o evidencia.

Ecuación de un plano a través de un determinante.

Basta de letras, pongámonos manos a la obra. Para empezar, un teorema sobre cómo se relacionan el determinante de una matriz y la ecuación del plano.

Teorema. Sean dadas las coordenadas de tres puntos por los que se debe trazar el plano: M = (x 1, y 1, z 1); norte = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Entonces la ecuación de este plano se puede escribir mediante el determinante:

Como ejemplo, intentemos encontrar un par de planos que realmente ocurren en el problema C2. Mira qué rápido se calcula todo:

Un 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Componemos un determinante y lo igualamos a cero:

Ampliamos el determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
segundo = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
re = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
re = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Como puede ver, al calcular el número d, "peiné" un poco la ecuación para que las variables x, y y z entraran en secuencia correcta. ¡Eso es todo! ¡La ecuación del avión está lista!

Tarea. Escribe una ecuación para un avión que pasa por los puntos:

A = (0, 0, 0);
segundo 1 = (1, 0, 1);
re 1 = (0, 1, 1);

Inmediatamente sustituimos las coordenadas de los puntos en el determinante:

Ampliamos nuevamente el determinante:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
segundo = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
re = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

¡Entonces, se obtiene nuevamente la ecuación del avión! Nuevamente, en el último paso tuvimos que cambiar los signos para obtener una fórmula más "hermosa". No es necesario hacer esto en esta solución, pero aún así se recomienda para simplificar la solución adicional del problema.

Como puedes ver, componer la ecuación de un avión ahora es mucho más fácil. Sustituimos los puntos en la matriz, calculamos el determinante y listo, la ecuación está lista.

Esto podría terminar la lección. Sin embargo, muchos estudiantes olvidan constantemente lo que hay dentro del determinante. Por ejemplo, qué línea contiene x 2 o x 3 y qué línea contiene solo x. Para aclarar esto realmente, veamos de dónde viene cada número.

¿De dónde viene la fórmula con el determinante?

Entonces, averigüemos de dónde viene una ecuación tan dura con un determinante. Esto le ayudará a recordarlo y aplicarlo con éxito.

Todos los planos que aparecen en el problema C2 están definidos por tres puntos. Estos puntos siempre están marcados en el dibujo, o incluso indicados directamente en el texto del problema. En cualquier caso, para crear una ecuación necesitaremos anotar sus coordenadas:

M = (x 1, y 1, z 1);
norte = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Consideremos otro punto de nuestro plano con coordenadas arbitrarias:

T = (x, y, z)

Tome cualquier punto de los tres primeros (por ejemplo, el punto M) y dibuje vectores desde él hasta cada uno de los tres puntos restantes. Obtenemos tres vectores:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Ahora compongamos a partir de estos vectores. matriz cuadrada e igualar su determinante a cero. Las coordenadas de los vectores se convertirán en filas de la matriz y obtendremos el determinante que se indica en el teorema:

Esta fórmula significa que el volumen de un paralelepípedo construido sobre los vectores MN, MK y MT, igual a cero. Por tanto, los tres vectores se encuentran en el mismo plano. En particular, un punto arbitrario T = (x, y, z) es exactamente lo que buscábamos.

Reemplazo de puntos y rectas de un determinante

Hay varios calificadores. propiedades notables, que simplifican aún más solución al problema c2. Por ejemplo, no nos importa desde qué punto dibujamos los vectores. Por lo tanto, los siguientes determinantes dan la misma ecuación plana que la anterior:

También puedes intercambiar las líneas del determinante. La ecuación permanecerá sin cambios. Por ejemplo, a muchas personas les gusta escribir una línea con las coordenadas del punto T = (x; y; z) en la parte superior. Por favor, si te resulta conveniente:

A algunas personas les confunde el hecho de que una de las líneas contiene las variables x, y y z, que no desaparecen al sustituir puntos. ¡Pero no deberían desaparecer! Sustituyendo los números en el determinante, deberías obtener esta construcción:

Luego, el determinante se expande según el diagrama dado al comienzo de la lección y obtenemos ecuación estándar avión:

Hacha + Por + Cz + D = 0

Eche un vistazo a un ejemplo. Es el último de la lección de hoy. Intercambiaré deliberadamente las líneas para asegurarme de que la respuesta dé la misma ecuación del avión.

Tarea. Escribe una ecuación para un avión que pasa por los puntos:

segundo 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
re 1 = (0, 1, 1).

Entonces, consideramos 4 puntos:

segundo 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
re 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Primero, creemos un determinante estándar y lo equiparemos a cero:

Ampliamos el determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
re = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
re = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Eso es todo, tenemos la respuesta: x + y + z − 2 = 0.

Ahora reorganicemos un par de líneas en el determinante y veamos qué sucede. Por ejemplo, escribamos una línea con las variables x, y, z no en la parte inferior, sino en la parte superior:

Ampliamos nuevamente el determinante resultante:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
re = una - segundo = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Obtuvimos exactamente la misma ecuación plana: x + y + z − 2 = 0. Esto significa que realmente no depende del orden de las filas. Sólo queda escribir la respuesta.

Entonces, estamos convencidos de que la ecuación del plano no depende de la secuencia de rectas. Podemos realizar cálculos similares y demostrar que la ecuación del plano no depende del punto cuyas coordenadas restamos de otros puntos.

En el problema considerado anteriormente, utilizamos el punto B 1 = (1, 0, 1), pero era muy posible tomar C = (1, 1, 0) o D 1 = (0, 1, 1). En general, cualquier punto con coordenadas conocidas que se encuentre en el plano deseado.

Supongamos que necesitamos encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma recta. Denotando sus vectores de radio por y el vector de radio actual por , podemos obtener fácilmente la ecuación requerida en forma vectorial. De hecho, los vectores deben ser coplanares (todos se encuentran en el plano deseado). Por eso, producto vectorial-punto de estos vectores debe ser igual a cero:

Ésta es la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados, en forma vectorial.

Pasando a las coordenadas, obtenemos la ecuación en coordenadas:

Si tres puntos dados estuvieran en la misma recta, entonces los vectores serían colineales. Por lo tanto, los elementos correspondientes de los dos últimas líneas del determinante en la ecuación (18) sería proporcional y el determinante sería idénticamente igual a cero. En consecuencia, la ecuación (18) sería idéntica para cualquier valor de x, y y z. Geométricamente, esto significa que por cada punto del espacio pasa un plano en el que se encuentran los tres puntos dados.

Observación 1. El mismo problema se puede resolver sin utilizar vectores.

Denotando las coordenadas de los tres puntos dados, respectivamente, escribimos la ecuación de cualquier plano que pase por el primer punto:

Para obtener la ecuación del plano deseado, es necesario exigir que la ecuación (17) sea satisfecha por las coordenadas de otros dos puntos:

A partir de las ecuaciones (19), es necesario determinar la relación entre dos coeficientes y el tercero e ingresar los valores encontrados en la ecuación (17).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.

La ecuación del avión que pasa por el primero de estos puntos será:

Las condiciones para que el avión (17) pase por otros dos puntos y por el primer punto son:

Sumando la segunda ecuación a la primera encontramos:

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:

Sustituyendo en la ecuación (17) en lugar de A, B, C, respectivamente, 1, 5, -4 (números proporcionales a ellos), obtenemos:

Ejemplo 2. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

La ecuación de cualquier plano que pase por el punto (0, 0, 0) será]

Las condiciones para el paso de este avión por los puntos (1, 1, 1) y (2, 2, 2) son:

Reduciendo la segunda ecuación a 2, vemos que para determinar dos incógnitas, existe una ecuación con

De aquí obtenemos. Ahora sustituyendo el valor del plano en la ecuación, encontramos:

Esta es la ecuación del plano deseado; depende de lo arbitrario

cantidades B, C (es decir, de la relación, es decir, hay un número infinito de planos que pasan por tres puntos dados (tres puntos dados se encuentran en la misma línea recta).

Observación 2. El problema de dibujar un plano a través de tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea se resuelve fácilmente en vista general, si utilizamos determinantes. De hecho, dado que en las ecuaciones (17) y (19) los coeficientes A, B, C no pueden ser simultáneamente iguales a cero, entonces, considerando estas ecuaciones como sistema homogéneo con tres incógnitas A, B, C, escribe las necesarias y condición suficiente existencia de una solución distinta de cero para este sistema (Parte 1, Capítulo VI, § 6):

Habiendo expandido este determinante a los elementos de la primera fila, obtenemos una ecuación de primer grado con respecto a las coordenadas actuales, que quedará satisfecha, en particular, por las coordenadas de los tres puntos dados.

También puedes verificar esto último directamente sustituyendo las coordenadas de cualquiera de estos puntos en lugar de . En el lado izquierdo obtenemos un determinante en el que los elementos de la primera fila son ceros o hay dos filas idénticas. Por tanto, la ecuación construida representa un plano que pasa por los tres puntos dados.

Ecuación de un avión. ¿Cómo escribir una ecuación de un avión?
Acuerdo mutuo aviones. Tareas

La geometría espacial no es mucho más complicada que la geometría "plana", y nuestros vuelos al espacio comienzan con este artículo. Para dominar el tema es necesario tener un buen conocimiento de vectores Además, es recomendable estar familiarizado con la geometría del avión: habrá muchas similitudes, muchas analogías, por lo que la información se asimilará mucho mejor. En una serie de mis lecciones, el mundo 2D comienza con un artículo. Ecuación de una línea recta en un plano.. Pero ahora Batman ha abandonado la pantalla plana de televisión y se lanza desde el cosmódromo de Baikonur.

Comencemos con dibujos y símbolos. Esquemáticamente, el plano se puede dibujar en forma de paralelogramo, lo que crea la impresión de espacio:

El avión es infinito, pero tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él. En la práctica, además del paralelogramo, también se dibuja un óvalo o incluso una nube. No me importa razones técnicas Es más conveniente representar el avión exactamente de esta manera y exactamente en esta posición. Aviones reales que consideraremos en ejemplos prácticos, se puede colocar de cualquier manera: tome mentalmente el dibujo en sus manos y gírelo en el espacio, dándole al plano cualquier inclinación, cualquier ángulo.

Designaciones: los aviones suelen indicarse en minúsculas letras griegas, aparentemente para no confundirlos con línea recta en un avión o con línea recta en el espacio. Estoy acostumbrado a usar la letra. En el dibujo es la letra “sigma”, y no es un agujero en absoluto. Aunque el avión agujereado es ciertamente bastante divertido.

En algunos casos conviene utilizar los mismos símbolos para designar planos. letras griegas con subíndices, por ejemplo, .

Es obvio que el plano está definido únicamente por tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma recta. Por lo tanto, las designaciones de aviones de tres letras son bastante populares: por los puntos que les pertenecen, por ejemplo, etc. A menudo las cartas están encerradas en entre paréntesis: , para no confundir el plano con otra figura geométrica.

Para lectores experimentados daré menú de acceso rápido:

• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y dos vectores?
• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

y no languideceremos largas esperas:

Ecuación del plano general

La ecuación general del plano tiene la forma , donde los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

Una serie de cálculos teóricos y problemas prácticos válido tanto para la base ortonormal habitual como para base afín espacio (si el aceite es aceite, regrese a la lección Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores). Para simplificar, asumiremos que todos los eventos ocurren en forma ortonormal y en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano.

Ahora practiquemos un poco nuestra imaginación espacial. Está bien si el tuyo es malo, ahora lo desarrollaremos un poco. Incluso jugar con los nervios requiere entrenamiento.

En el muy caso general, cuando los números no son cero, el plano cruza los tres ejes de coordenadas. Por ejemplo, así:

Repito una vez más que el avión continúa indefinidamente en todas direcciones y tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él.

Consideremos las ecuaciones de planos más simples:

¿Cómo entender esta ecuación? Piénselo: “Z” SIEMPRE es igual a cero, para cualquier valor de “X” e “Y”. Esta ecuación es "nativa" Plano coordinado. De hecho, formalmente la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , de donde se puede ver claramente que no nos importa qué valores tomen “x” e “y”, es importante que “z” sea igual a cero.

Asimismo:
– ecuación del plano coordenado;
– ecuación del plano coordenado.

Compliquemos un poco el problema, consideremos un avión (aquí y más adelante en el párrafo asumimos que probabilidades numéricas no son iguales a cero). Reescribamos la ecuación en la forma: . ¿Cómo entenderlo? "X" es SIEMPRE, para cualquier valor de "Y" y "Z", igual a un número determinado. Este plano es paralelo al plano coordenado. Por ejemplo, un plano es paralelo a un plano y pasa por un punto.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado;
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado.

Agreguemos miembros: . La ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , es decir, "zet" puede ser cualquier cosa. ¿Qué significa? "X" e "Y" están conectados por la relación, que dibuja una determinada línea recta en el plano (lo descubrirás ecuación de una recta en un plano?). Como “z” puede ser cualquier cosa, esta línea recta se “replica” a cualquier altura. Por tanto, la ecuación define un plano paralelo al eje de coordenadas.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas;
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas.

Si miembros libres cero, entonces los planos pasarán directamente por los ejes correspondientes. Por ejemplo, la clásica “proporcionalidad directa”: . Dibuja una línea recta en el plano y multiplícala mentalmente hacia arriba y hacia abajo (ya que "Z" es cualquiera). Conclusión: avión, dado por la ecuación, pasa por el eje de coordenadas.

Completamos el repaso: la ecuación del avión pasa por el origen. Bueno, aquí es bastante obvio que el punto satisface esta ecuación.

Y finalmente, el caso que se muestra en el dibujo: - el avión es amigo de todos ejes de coordenadas, mientras que siempre “corta” el triángulo, que puede ubicarse en cualquiera de los ocho octantes.

Desigualdades lineales en el espacio.

Para comprender la información es necesario estudiar bien. desigualdades lineales en el plano, porque muchas cosas serán similares. El párrafo será de carácter breve y resumido con varios ejemplos, ya que el material es bastante escaso en la práctica.

Si la ecuación define un plano, entonces las desigualdades
preguntar medios espacios. Si la desigualdad no es estricta (las dos últimas de la lista), entonces la solución de la desigualdad, además del semiespacio, también incluye el plano mismo.

Ejemplo 5

Encuentra el vector unitario normal del avión. .

Solución: Un vector unitario es un vector cuya longitud es uno. denotemos vector dado a través de . Está absolutamente claro que los vectores son colineales:

Primero, eliminamos el vector normal de la ecuación del plano: .

Como encontrar vector unitario? Para encontrar el vector unitario, necesitas cada dividir la coordenada del vector por la longitud del vector.

Reescribamos el vector normal en la forma y encontremos su longitud:

Según lo anterior:

Respuesta:

Verificación: lo que se requería verificar.

Los lectores que estudiaron detenidamente el último párrafo de la lección probablemente notaron que las coordenadas del vector unitario son exactamente los cosenos directores del vector:

Hagamos una pausa en el problema que nos ocupa: cuando te dan un vector arbitrario distinto de cero, y de acuerdo con la condición se requiere encontrar sus cosenos directores (ver. últimas tareas lección Producto escalar de vectores), entonces, de hecho, encuentras un vector unitario colineal a este. En realidad, dos tareas en una botella.

La necesidad de encontrar el vector normal unitario surge en algunos problemas de análisis matemático.

Descubrimos cómo pescar un vector normal, ahora respondamos la pregunta opuesta:

¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

Esta construcción rígida de un vector normal y un punto es bien conocida por la diana. Estire la mano hacia adelante y seleccione mentalmente un punto arbitrario en el espacio, por ejemplo, un gato pequeño en el aparador. Obviamente, a través de este punto Puedes dibujar un solo plano perpendicular a tu mano.

La ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicular al vector se expresa mediante la fórmula:

En este material, veremos cómo encontrar la ecuación de un plano si conocemos las coordenadas de tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma línea recta. Para ello debemos recordar lo que sistema rectangular coordenadas en espacio tridimensional. Para empezar, introduciremos el principio básico. ecuación dada y mostrarle exactamente cómo usarlo para resolver problemas específicos.

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Primero, debemos recordar un axioma que dice así:

Definición 1

Si tres puntos no coinciden entre sí y no se encuentran en la misma línea, entonces en el espacio tridimensional solo pasa un plano a través de ellos.

En otras palabras, si tenemos tres diferentes puntos, cuyas coordenadas no coinciden y que no pueden estar conectadas por una línea recta, entonces podemos determinar el plano que lo atraviesa.

Digamos que tenemos un sistema de coordenadas rectangular. Denotémoslo O x y z. Contiene tres puntos M con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), que no se pueden conectar línea recta. En base a estas condiciones, podemos escribir la ecuación del avión que necesitamos. Hay dos enfoques para resolver este problema.

1. El primer enfoque utiliza ecuación general avión. En forma de letra, se escribe como A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Con su ayuda, es posible definir en un sistema de coordenadas rectangular un determinado plano alfa que pasa por el primer punto dado M 1 (x 1, y 1, z 1). Resulta que el vector normal del plano α tendrá coordenadas A, B, C.

Definición de norte

Conociendo las coordenadas del vector normal y las coordenadas del punto por el que pasa el avión, podemos escribir la ecuación general de este plano.

Esto es lo que partiremos en el futuro.

Así, según las condiciones del problema, tenemos las coordenadas del punto deseado (incluso tres) por el que pasa el avión. Para encontrar la ecuación, debes calcular las coordenadas de su vector normal. Denotémoslo n → .

Recordemos la regla: cualquier vector distinto de cero de un plano dado es perpendicular al vector normal del mismo plano. Entonces tenemos que n → será perpendicular a los vectores compuestos por los puntos originales M 1 M 2 → y M 1 M 3 → . Entonces podemos denotar n → como un producto vectorial de la forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Dado que M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (Las pruebas de estas igualdades se dan en el artículo dedicado al cálculo de las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de puntos), entonces resulta que:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Si calculamos el determinante, obtendremos las coordenadas del vector normal n → que necesitamos. Ahora podemos escribir la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos dados.

2. El segundo método para encontrar la ecuación que pasa por M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), se basa en un concepto como la coplanaridad de vectores.

Si tenemos un conjunto de puntos M (x, y, z), entonces en un sistema de coordenadas rectangulares definen un plano para los puntos dados M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) sólo en el caso en que los vectores M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ), M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) serán coplanares .

En el diagrama se verá así:

Esto significará que trabajo mixto los vectores M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → serán iguales a cero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, ya que esta es la condición principal para la coplanaridad : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Escribamos la ecuación resultante en forma de coordenadas:

Después de calcular el determinante, podemos obtener la ecuación plana que necesitamos para tres puntos que no se encuentran en la misma recta M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

De la ecuación resultante se puede pasar a la ecuación del plano en segmentos o a ecuación normal plano, si las condiciones del problema lo requieren.

En el siguiente párrafo daremos ejemplos de cómo se implementan en la práctica los enfoques que hemos indicado.

Ejemplos de problemas para componer una ecuación de un plano que pasa por 3 puntos.

Anteriormente, identificamos dos enfoques que se pueden utilizar para encontrar la ecuación deseada. Veamos cómo se utilizan para resolver problemas y cuándo debes elegir cada uno.

Ejemplo 1

Hay tres puntos que no se encuentran en la misma recta, con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Escribe una ecuación para el avión que pasa por ellos.

Solución

Usamos ambos métodos alternativamente.

1. Encuentra las coordenadas de los dos vectores que necesitamos M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Ahora calculemos su producto vectorial. No describiremos los cálculos del determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Tenemos un vector normal del plano que pasa por los tres puntos requeridos: n → = (- 5, 30, 2) . A continuación, debemos tomar uno de los puntos, por ejemplo, M 1 (- 3, 2, - 1), y escribir la ecuación del plano con el vector n → = (- 5, 30, 2). Obtenemos que: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Esta es la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos.

2. Adoptemos un enfoque diferente. Escribamos la ecuación para un plano con tres puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en la siguiente forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aquí puede sustituir datos del enunciado del problema. Dado que x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, al final obtenemos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Obtuvimos la ecuación que necesitábamos.

Respuesta:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Pero, ¿qué pasa si los puntos dados todavía se encuentran en la misma línea recta y necesitamos crear una ecuación plana para ellos? Aquí hay que decir de inmediato que esta condición no será del todo correcta. Por estos puntos puede pasar un número infinito de aviones, por lo que es imposible calcular una única respuesta. Consideremos tal problema para demostrar la incorrección de tal formulación de la pregunta.

Ejemplo 2

Tenemos un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional, en el que se colocan tres puntos con coordenadas M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Es necesario escribir una ecuación para el avión que lo atraviesa.

Solución

Usemos el primer método y comencemos calculando las coordenadas de dos vectores M 1 M 2 → y M 1 M 3 →. Calculemos sus coordenadas: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Ilustraciones vectoriales será igual a:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Dado que M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, entonces nuestros vectores serán colineales (vuelve a leer el artículo sobre ellos si olvidaste la definición de este concepto). Así, los puntos iniciales M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta, y nuestro problema tiene infinitos opciones de respuesta.

Si utilizamos el segundo método, obtendremos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De la igualdad resultante también se deduce que los puntos dados M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta.

Si desea encontrar al menos una respuesta a este problema de número infinito sus opciones, debe realizar los siguientes pasos:

1. Escribe la ecuación de la recta M 1 M 2, M 1 M 3 o M 2 M 3 (si es necesario, mira el material sobre esta acción).

2. Tome un punto M 4 (x 4, y 4, z 4), que no se encuentra en la línea recta M 1 M 2.

3. Escribe la ecuación de un plano que pasa por tres puntos diferentes M 1, M 2 y M 4 que no se encuentran en la misma recta.

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