Cómo encontrar la diferencia de una progresión aritmética. Progresión aritmética

Por ejemplo, la secuencia \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... es una progresión aritmética, porque cada elemento subsiguiente difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior sumando tres):

En esta progresión, la diferencia \(d\) es positiva (igual a \(3\)), y por tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Estas progresiones se llaman creciente.

Sin embargo, \(d\) también puede ser un número negativo. Por ejemplo, en progresión aritmética \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la diferencia de progresión \(d\) es igual a menos seis.

Y en este caso, cada elemento siguiente será más pequeño que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.

Notación de progresión aritmética

La progresión se indica con una letra latina minúscula.

Los números que forman una progresión se llaman. miembros(o elementos).

Se denotan con la misma letra que una progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.

Por ejemplo, la progresión aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consta de los elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) y así sucesivamente.

En otras palabras, para la progresión \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolver problemas de progresión aritmética.

En principio, la información presentada anteriormente ya es suficiente para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).

Ejemplo (OGE). Progresión aritmética dado por las condiciones \(b_1=7; d=4\). Encuentra \(b_5\).
Solución:

Respuesta: \(b_5=23\)

Ejemplo (OGE). Se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética: \(62; 49; 36…\) Encuentra el valor del primer término negativo de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(-3\)

Ejemplo (OGE). Dados varios elementos consecutivos de una progresión aritmética: \(…5; x; 10; 12.5...\) Encuentra el valor del elemento designado por la letra \(x\).
Solución:

Respuesta: \(7,5\).

Ejemplo (OGE). Se da la progresión aritmética. las siguientes condiciones: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(S_6=9\).

Ejemplo (OGE). En progresión aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encuentra la diferencia de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(d=7\).

Fórmulas importantes para la progresión aritmética.

Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada elemento posterior de esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (el diferencia de la progresión).

Sin embargo, a veces hay situaciones en las que decidir “de frente” resulta muy inconveniente. Por ejemplo, imagina que en el primer ejemplo necesitamos encontrar no el quinto elemento \(b_5\), sino el trescientos ochenta y seis \(b_(386)\). ¿Necesitamos sumar cuatro \(385\) veces? O imagina que en el penúltimo ejemplo necesitas encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Te cansarás de contar...

Por lo tanto, en tales casos no resuelven las cosas "de frente", sino que utilizan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y los principales son la fórmula para el enésimo término de la progresión y la fórmula para la suma de \(n\) primeros términos.

Fórmula del \(n\)ésimo término: \(a_n=a_1+(n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer término de la progresión;
\(n\) – número del elemento requerido;
\(a_n\) – término de la progresión con el número \(n\).

Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente incluso el elemento trescientos o millonésimo, conociendo sólo el primero y la diferencia de la progresión.

Ejemplo. La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Encuentre \(b_(246)\).
Solución:

Respuesta: \(b_(246)=1850\).

Fórmula para la suma de los primeros n términos: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), donde

\(a_n\) – el último término sumado;

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética está especificada por las condiciones \(a_n=3.4n-0.6\). Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de esta progresión.
Solución:

Respuesta: \(S_(25)=1090\).

Para la suma \(n\) de los primeros términos, puedes obtener otra fórmula: solo necesitas \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) en lugar de \(a_n\) sustitúyalo por la fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Obtenemos:

Fórmula para la suma de los primeros n términos: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), donde

\(S_n\) – la suma requerida de \(n\) primeros elementos;
\(a_1\) – el primer término sumado;
\(d\) – diferencia de progresión;
\(n\) – número de elementos en total.

Ejemplo. Encuentra la suma de los primeros \(33\)-ex términos de la progresión aritmética: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solución:

Respuesta: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progresión aritmética más complejos

Ahora lo tienes todo información necesaria para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Terminemos el tema considerando problemas en los que no solo es necesario aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas esto puede resultar útil ☺)

Ejemplo (OGE). Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solución:

Respuesta: \(S_(65)=-630,5\).

Ejemplo (OGE). La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encuentra la suma desde el \(26\)ésimo hasta el \(42\) elemento inclusive.
Solución:

Respuesta: \(S=1683\).

Para la progresión aritmética, existen varias fórmulas más que no consideramos en este artículo debido a su baja utilidad práctica. Sin embargo, puedes encontrarlos fácilmente.

Concepto secuencia numérica implica la correspondencia de cada número natural con algún valor real. Tal serie de números puede ser arbitraria o tener ciertas propiedades– progresión. EN el último caso cada elemento (miembro) posterior de la secuencia se puede calcular utilizando el anterior.

Progresión aritmética - secuencia valores numéricos, en el que sus términos vecinos difieren entre sí por el mismo número ( propiedad similar todos los elementos de la serie, a partir del 2, tienen). este numero– la diferencia entre los términos anterior y posterior es constante y se llama diferencia de progresión.

Diferencia de progresión: definición

Considere una secuencia que consta de j valores A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pertenece al conjunto de los números naturales N. Una aritmética La progresión, según su definición, es una secuencia en la que a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. El valor d es la diferencia deseada de esta progresión.

d = a(j) – a(j-1).

Destacar:

• Una progresión creciente, en cuyo caso d > 0. Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresión decreciente, luego d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresión diferencial y sus elementos arbitrarios.

Si se conocen 2 términos arbitrarios de la progresión (i-ésimo, k-ésimo), entonces la diferencia para una secuencia determinada se puede determinar en función de la relación:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, lo que significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Diferencia de progresión y su primer término.

Esta expresión ayudará a determinar un valor desconocido solo en los casos en que se conozca el número del elemento de la secuencia.

Diferencia de progresión y su suma.

La suma de una progresión es la suma de sus términos. Para calcular el valor total de sus primeros j elementos, utilice la fórmula adecuada:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, pero desde a(j) = a(1) + d(j – 1), entonces S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Una progresión aritmética es una serie de números en la que cada número es mayor (o menor) que el anterior en la misma cantidad.

Este tema a menudo parece complejo e incomprensible. Índices de letras enésimo término progresiones, diferencias de progresión: todo esto es algo confuso, sí... Averigüemos el significado de progresión aritmética y todo mejorará de inmediato).

El concepto de progresión aritmética.

La progresión aritmética es un concepto muy simple y claro. ¿Tienes alguna duda? En vano.) Compruébelo usted mismo.

Escribiré una serie de números inacabados:

1, 2, 3, 4, 5, ...

¿Puedes ampliar esta serie? ¿Qué números vendrán después del cinco? Todos... eh..., en fin, todos se darán cuenta de que a continuación vendrán los números 6, 7, 8, 9, etc.

Compliquemos la tarea. Les doy una serie de números inacabados:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Podrás captar el patrón, ampliar la serie y nombrar séptimo número de fila?

Si te diste cuenta de que este número es 20, ¡felicidades! No sólo sentiste puntos clave progresión aritmética,¡Pero también los utilizó con éxito en los negocios! Si no lo has descubierto, sigue leyendo.

Ahora traduzcamos los puntos clave de las sensaciones a las matemáticas.)

Primer punto clave.

La progresión aritmética se ocupa de series de números. Esto resulta confuso al principio. Estamos acostumbrados a resolver ecuaciones, dibujar gráficas y todo eso... Pero aquí ampliamos la serie, encontramos el número de la serie...

Está bien. Lo que pasa es que las progresiones son el primer contacto con una nueva rama de las matemáticas. La sección se llama "Series" y trabaja específicamente con series de números y expresiones. Acostúmbrate.)

Segundo punto clave.

En una progresión aritmética, cualquier número es diferente del anterior. por la misma cantidad.

En el primer ejemplo, esta diferencia es una. Sea cual sea el número que tomes, es uno más que el anterior. En el segundo - tres. Cualquier número es tres más que el anterior. En realidad, es este momento el que nos da la oportunidad de captar el patrón y calcular los números siguientes.

Tercer punto clave.

Este momento no llama la atención, sí... Pero es muy, muy importante. Aquí lo tienes: cada número de progresión está en su lugar. Está el primer número, está el séptimo, está el cuadragésimo quinto, etc. Si los mezclas al azar, el patrón desaparecerá. La progresión aritmética también desaparecerá. Lo que queda es sólo una serie de números.

Ese es el punto.

Por supuesto, en nuevo tema Aparecen nuevos términos y designaciones. Necesitas conocerlos. De lo contrario no entenderás la tarea. Por ejemplo, tendrás que decidir algo como:

Escribe los primeros seis términos de la progresión aritmética (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.

¿Inspirador?) Letras, algunos índices... Y la tarea, por cierto, no podría ser más sencilla. Sólo es necesario comprender el significado de los términos y designaciones. Ahora dominaremos este asunto y volveremos a la tarea.

Términos y designaciones.

Progresión aritmética es una serie de números en la que cada número es diferente del anterior por la misma cantidad.

Esta cantidad se llama . Veamos este concepto con más detalle.

Diferencia de progresión aritmética.

Diferencia de progresión aritmética es la cantidad por la cual cualquier número de progresión más el anterior.

Uno punto importante. Por favor preste atención a la palabra "más". Matemáticamente, esto significa que cada número de progresión es agregando diferencia de progresión aritmética con el número anterior.

Para calcular, digamos segundo números de la serie, es necesario primero número agregar esta misma diferencia de una progresión aritmética. Para el cálculo quinto- la diferencia es necesaria agregar A cuatro, bueno, etc

Diferencia de progresión aritmética Tal vez positivo, entonces cada número de la serie resultará ser real más que el anterior. Esta progresión se llama creciente. Por ejemplo:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aquí se obtiene cada número. agregando número positivo, +5 al anterior.

La diferencia puede ser negativo, entonces cada número de la serie será menos que el anterior. Esta progresión se llama (¡no lo creerás!) decreciente.

Por ejemplo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aquí también se obtiene cada número. agregando al anterior, pero ya número negativo, -5.

Por cierto, cuando se trabaja con progresión, es muy útil determinar inmediatamente su naturaleza: si es creciente o decreciente. Esto ayuda mucho a tomar decisiones, detectar errores y corregirlos antes de que sea demasiado tarde.

Diferencia de progresión aritmética generalmente denotado por la letra d.

como encontrar d? Muy sencillo. Es necesario restar de cualquier número de la serie. anterior número. Sustraer. Por cierto, el resultado de la resta se llama "diferencia".)

Definamos, por ejemplo, d para aumentar la progresión aritmética:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Tomamos cualquier número de la serie que queramos, por ejemplo, 11. Le restamos numero anterior aquellos. 8:

Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión aritmética, la diferencia es tres.

puedes tomarlo cualquier número de progresión, porque para una progresión específica d-siempre lo mismo. Al menos en algún lugar al principio de la fila, al menos en el medio, al menos en cualquier lugar. No puedes tomar solo el primer número. Simplemente porque el primer número ninguno anterior.)

Por cierto, sabiendo que re=3, encontrar el séptimo número de esta progresión es muy sencillo. Sumemos 3 al quinto número; obtenemos el sexto, será 17. Sumemos tres al sexto número, obtenemos el séptimo número: veinte.

definamos d para progresión aritmética descendente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Les recuerdo que, independientemente de los signos, para determinar d necesito de cualquier numero quita el anterior. Elija cualquier número de progresión, por ejemplo -7. Su número anterior es -2. Entonces:

re = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La diferencia de una progresión aritmética puede ser cualquier número: entero, fraccionario, irracional, cualquier número.

Otros términos y designaciones.

Cada número de la serie se llama miembro de una progresión aritmética.

Cada miembro de la progresión. tiene su propio número. Los números están estrictamente en orden, sin trucos. Primero, segundo, tercero, cuarto, etc. Por ejemplo, en la progresión 2, 5, 8, 11, 14,... dos es el primer término, cinco es el segundo, once es el cuarto, bueno, ya entiendes...) Por favor, entiende claramente - los números mismos puede ser absolutamente cualquier cosa, entera, fraccionaria, negativa, lo que sea, pero numeración de números- ¡estrictamente en orden!

Cómo escribir una progresión en vista general? ¡No hay duda! Cada número de una serie se escribe como una letra. Para denotar una progresión aritmética, se suele utilizar la letra. a. El número de miembro se indica mediante un índice en la parte inferior derecha. Escribimos términos separados por comas (o punto y coma), así:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5,.....

un 1- este es el primer número, un 3- tercero, etc. Nada especial. Esta serie se puede escribir brevemente así: (un).

Las progresiones suceden finito e infinito.

Último la progresión tiene cantidad limitada miembros. Cinco, treinta y ocho, lo que sea. Pero es un número finito.

Infinito progresión - tiene numero infinito miembros, como puedes imaginar.)

Anotar progresión finita puedes repasar una serie como esta, todos los términos y un punto al final:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

O así, si son muchos miembros:

un 1, un 2,... un 14, un 15.

EN nota corta deberás indicar adicionalmente el número de miembros. Por ejemplo (para veinte miembros), así:

(un), n = 20

Se puede reconocer una progresión infinita por los puntos suspensivos al final de la fila, como en los ejemplos de esta lección.

Ahora puedes resolver las tareas. Las tareas son sencillas, únicamente para comprender el significado de una progresión aritmética.

Ejemplos de tareas sobre progresión aritmética.

Veamos en detalle la tarea dada anteriormente:

1. Escribe los primeros seis términos de la progresión aritmética (an), si a 2 = 5, d = -2,5.

Transferimos la tarea a lenguaje claro. Se da una progresión aritmética infinita. Se conoce el segundo número de esta progresión: un 2 = 5. La diferencia de progresión se conoce: re = -2,5. Necesitamos encontrar los términos primero, tercero, cuarto, quinto y sexto de esta progresión.

Para mayor claridad, escribiré una serie según las condiciones del problema. Los primeros seis términos, donde el segundo término es cinco:

un 1, un 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + d

Sustituir en expresión un 2 = 5 Y re = -2,5. ¡No te olvides de los menos!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

El tercer término resultó ser más pequeño que el segundo. Todo es lógico. Si el número es mayor que el anterior negativo valor, lo que significa que el número en sí será menor que el anterior. La progresión está disminuyendo. Bien, tomémoslo en cuenta). Contamos el cuarto término de nuestra serie:

un 4 = un 3 + d

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + d

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Entonces, se calcularon los términos del tercero al sexto. El resultado es la siguiente serie:

un 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Queda por encontrar el primer término. un 1 Por segundo famoso. Este es un paso en la otra dirección, hacia la izquierda). Entonces, la diferencia de la progresión aritmética d no debe agregarse a un 2, A llevar:

un 1 = un 2 - d

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Eso es todo. Respuesta de la tarea:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

De paso, me gustaría señalar que resolvimos esta tarea. recurrente forma. Este palabra aterradora simplemente significa buscar un miembro de la progresión según el número anterior (adyacente). A continuación veremos otras formas de trabajar con la progresión.

De esta sencilla tarea se puede extraer una conclusión importante.

Recordar:

Si conocemos al menos un término y la diferencia de una progresión aritmética, podemos encontrar cualquier término de esta progresión.

¿Te acuerdas? Esta simple conclusión le permite resolver la mayoría de los problemas. curso escolar sobre este tema. Todas las tareas giran en torno tres principales parámetros: miembro de una progresión aritmética, diferencia de una progresión, número de un miembro de la progresión. Todo.

Por supuesto, no se cancela todo el álgebra anterior). Las desigualdades, ecuaciones y otras cosas están asociadas a la progresión. Pero según la propia progresión- todo gira en torno a tres parámetros.

Como ejemplo, veamos algunas tareas populares sobre este tema.

2. Escribe la progresión aritmética finita como una serie si n=5, d = 0,4 y a 1 = 3,6.

Aquí todo es sencillo. Ya todo está dado. Es necesario recordar cómo se cuentan los miembros de una progresión aritmética, contarlos y anotarlos. Es recomendable no perderse las palabras en las condiciones de la tarea: “final” y “ n=5". Para no contar hasta que tengas la cara completamente azul.) Solo hay 5 (cinco) miembros en esta progresión:

un 2 = un 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

un 3 = un 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Queda por escribir la respuesta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Otra tarea:

3. Determine si el número 7 será miembro de la progresión aritmética (an), si a 1 = 4,1; re = 1,2.

Mmmm... ¿Quién sabe? ¿Cómo determinar algo?

Cómo-cómo... ¡Escribe la progresión en forma de serie y mira si habrá un siete allí o no! Contamos:

un 2 = un 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

un 3 = un 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ahora se ve claramente que solo somos siete. se deslizó¡entre 6,5 y 7,7! El siete no entra en nuestra serie de números y, por lo tanto, el siete no será miembro de la progresión dada.

Respuesta: no.

He aquí un problema basado en opción real GIA:

4. Se escriben varios términos consecutivos de la progresión aritmética:

...; 15; INCÓGNITA; 9; 6; ...

He aquí una serie escrita sin fin ni principio. Sin números de miembros, no hay diferencia d. Está bien. Para resolver el problema, basta con comprender el significado de una progresión aritmética. Miremos y veamos qué es posible. saber de esta serie? ¿Cuáles son los tres parámetros principales?

¿Números de miembros? Aquí no hay un solo número.

Pero hay tres números y ¡atención! - palabra "coherente" en condiciones. Esto significa que los números están estrictamente en orden, sin espacios. ¿Hay dos en esta fila? vecino números conocidos? ¡Sí, lo tengo! Estos son 9 y 6. ¡Por lo tanto, podemos calcular la diferencia de la progresión aritmética! Restar de seis anterior número, es decir nueve:

Quedan meras bagatelas. ¿Qué número será el anterior para X? Quince. Esto significa que X se puede encontrar fácilmente suma simple. Suma la diferencia de la progresión aritmética hasta 15:

Eso es todo. Respuesta: x=12

Resolvemos los siguientes problemas nosotros mismos. Nota: estos problemas no se basan en fórmulas. Simplemente para comprender el significado de una progresión aritmética). Simplemente escribimos una serie de números y letras, miramos y lo averiguamos.

5. Encuentra el primer término positivo de la progresión aritmética si a 5 = -3; re = 1,1.

6. Se sabe que el número 5,5 es miembro de la progresión aritmética (an), donde a 1 = 1,6; re = 1,3. Determine el número n de este término.

7. Se sabe que en progresión aritmética a 2 = 4; a 5 = 15,1. Encuentra un 3.

8. Se escriben varios términos consecutivos de la progresión aritmética:

...; 15,6; INCÓGNITA; 3.4; ...

Encuentra el término de la progresión indicado por la letra x.

9. El tren comenzó a moverse desde la estación, aumentando uniformemente la velocidad en 30 metros por minuto. ¿Cuál será la velocidad del tren en cinco minutos? Da tu respuesta en km/hora.

10. Se sabe que en progresión aritmética a 2 = 5; un 6 = -5. Encuentra un 1.

Respuestas (en desorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

¿Todo salió bien? ¡Asombroso! Podrás dominar la progresión aritmética a un nivel superior en las siguientes lecciones.

¿No salió todo bien? Ningún problema. En la Sección Especial 555, todos estos problemas se resuelven pieza por pieza.) Y, por supuesto, se describe una técnica práctica simple que resalta inmediatamente la solución a tales tareas de manera clara, clara, ¡de un vistazo!

Por cierto, en el rompecabezas del tren hay dos problemas con los que la gente suele tropezar. Uno es puramente en términos de progresión y el segundo es general para cualquier problema de matemáticas y también de física. Esta es una traducción de dimensiones de una a otra. Muestra cómo deberían resolverse estos problemas.

En esta lección analizamos el significado elemental de una progresión aritmética y sus principales parámetros. Esto es suficiente para resolver casi todos los problemas sobre este tema. Agregar d a los números, escribe una serie, todo se solucionará.

La solución con los dedos funciona bien para piezas muy cortas de una fila, como en los ejemplos de esta lección. Si la serie es más larga, los cálculos se vuelven más complicados. Por ejemplo, si en el problema 9 de la pregunta reemplazamos "cinco minutos" en "treinta y cinco minutos" el problema empeorará significativamente.)

Y también hay tareas que son sencillas en esencia, pero absurdas en cuanto a cálculos, por ejemplo:

Se da una progresión aritmética (an). Encuentra un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.

Entonces, ¿vamos a sumar 1/6 muchas, muchas veces? ¿¡Puedes suicidarte!?

Puedes.) Si no lo sabes fórmula sencilla, que le permite resolver este tipo de tareas en un minuto. Esta fórmula estará en la próxima lección. Y este problema se soluciona ahí. En un minuto.)

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Bueno, amigos, si están leyendo este texto, entonces la evidencia interna del límite me dice que aún no saben qué es una progresión aritmética, pero realmente (no, así: ¡MUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU)) realmente queréis saberlo. Por lo tanto, no los atormentaré con largas presentaciones e iré directo al grano.

Primero, un par de ejemplos. Veamos varios conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

¿Qué tienen todos estos conjuntos en común? A primera vista, nada. Pero en realidad hay algo. A saber: cada elemento siguiente difiere del anterior en el mismo número.

Juzga por ti mismo. El primer conjunto son simplemente números consecutivos, siendo cada uno uno más que el anterior. En el segundo caso, la diferencia entre la serie números permanentes ya es igual a cinco, pero esta diferencia sigue siendo constante. En el tercer caso, hay raíces por completo. Sin embargo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ y $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, es decir y en este caso, cada elemento siguiente simplemente aumenta en $\sqrt(2)$ (y no temas que este número sea irracional).

Entonces: todas estas secuencias se llaman progresiones aritméticas. Demos una definición estricta:

Definición. Una secuencia de números en la que cada uno de los siguientes difiere del anterior exactamente en la misma cantidad se llama progresión aritmética. La misma cantidad en la que difieren los números se llama diferencia de progresión y generalmente se denota con la letra $d$.

Notación: $\left(((a)_(n)) \right)$ es la progresión misma, $d$ es su diferencia.

Y una pareja a la vez comentarios importantes. En primer lugar, la progresión sólo se considera ordenado secuencia de números: se permite leerlos estrictamente en el orden en que están escritos, y nada más. Los números no se pueden reorganizar ni intercambiar.

En segundo lugar, la secuencia misma puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto (1; 2; 3) es obviamente una progresión aritmética finita. Pero si escribes algo en el espíritu (1; 2; 3; 4; ...) - esto ya es progresión sin fin. Los puntos suspensivos después de los cuatro parecen insinuar que hay bastantes números más por venir. Infinitas, por ejemplo :)

También me gustaría señalar que las progresiones pueden ser crecientes o decrecientes. Ya hemos visto unos crecientes: el mismo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). A continuación se muestran ejemplos de progresiones decrecientes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Vale, vale: último ejemplo puede parecer demasiado complicado. Pero creo que el resto lo entiendes. Por ello, introducimos nuevas definiciones:

Definición. Una progresión aritmética se llama:

1. aumentando si cada elemento siguiente es mayor que el anterior;
2. decreciente si, por el contrario, cada elemento posterior es menor que el anterior.

Además, existen las llamadas secuencias "estacionarias": consisten en el mismo número repetido. Por ejemplo, (3; 3; 3; ...).

Sólo queda una pregunta: ¿cómo distinguir una progresión creciente de una decreciente? Afortunadamente, aquí todo depende únicamente del signo del número $d$, es decir diferencias de progresión:

1. Si $d \gt 0$, entonces la progresión aumenta;
2. Si $d \lt 0$, entonces la progresión obviamente es decreciente;
3. Finalmente, está el caso $d=0$ - en este caso toda la progresión se reduce a una secuencia estacionaria números idénticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Intentemos calcular la diferencia $d$ para las tres progresiones decrecientes dadas anteriormente. Para hacer esto, basta con tomar dos elementos adyacentes cualesquiera (por ejemplo, el primero y el segundo) y restar el número de la izquierda del número de la derecha. Se verá así:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como vemos, en todos tres casos la diferencia en realidad resultó ser negativa. Y ahora que hemos descubierto más o menos las definiciones, es hora de descubrir cómo se describen las progresiones y qué propiedades tienen.

Términos de progresión y fórmula de recurrencia

Como los elementos de nuestras secuencias no se pueden intercambiar, se pueden numerar:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \bien\)\]

Los elementos individuales de este conjunto se denominan miembros de una progresión. Se indican con un número: primer miembro, segundo miembro, etc.

Además, como ya sabemos, los términos vecinos de la progresión están relacionados mediante la fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

En resumen, para encontrar el $n$ésimo término de una progresión, necesitas conocer el $n-1$ésimo término y la diferencia $d$. Esta fórmula se llama recurrente porque con su ayuda puedes encontrar cualquier número solo conociendo el anterior (y de hecho, todos los anteriores). Esto es muy inconveniente, por lo que existe una fórmula más astuta que reduce cualquier cálculo al primer término y la diferencia:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Probablemente ya te hayas encontrado con esta fórmula. Les gusta incluirlo en todo tipo de libros de referencia y libros de soluciones. Y en cualquier libro de texto de matemáticas sensato es uno de los primeros.

Sin embargo, te sugiero que practiques un poco.

Tarea número 1. Escribe los primeros tres términos de la progresión aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solución. Entonces, conocemos el primer término $((a)_(1))=8$ y la diferencia de la progresión $d=-5$. Usemos la fórmula que acabamos de dar y sustituyamos $n=1$, $n=2$ y $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: (8; 3; −2)

¡Eso es todo! Tenga en cuenta: nuestra progresión está disminuyendo.

Por supuesto, $n=1$ no se pudo sustituir: el primer término ya lo conocemos. Sin embargo, al sustituir la unidad, nos convencimos de que nuestra fórmula funciona incluso durante el primer mandato. En otros casos, todo se redujo a una aritmética banal.

Tarea número 2. Escribe los primeros tres términos de una progresión aritmética si su séptimo término es igual a −40 y su decimoséptimo término es igual a −50.

Solución. Escribamos la condición del problema en términos familiares:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \bien.\]

Pongo el cartel del sistema porque estos requisitos deben cumplirse simultáneamente. Ahora observemos que si restamos la primera de la segunda ecuación (tenemos derecho a hacerlo, ya que tenemos un sistema), obtenemos esto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinear)\]

¡Así de fácil es encontrar la diferencia de progresión! Todo lo que queda es sustituir el número encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en el primero:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Ahora, conociendo el primer término y la diferencia, queda encontrar el segundo y tercer término:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinear)\]

¡Listo! El problema está resuelto.

Respuesta: (−34; −35; −36)

Observe la interesante propiedad de la progresión que descubrimos: si tomamos los términos $n$ésimo y $m$ésimo y los restamos entre sí, obtenemos la diferencia de la progresión multiplicada por el número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Sencillo pero muy propiedad útil, que definitivamente necesitas saber: con su ayuda puedes acelerar significativamente la solución de muchos problemas de progresión. He aquí un claro ejemplo de ello:

Tarea número 3. El quinto término de una progresión aritmética es 8,4 y su décimo término es 14,4. Encuentra el decimoquinto término de esta progresión.

Solución. Dado que $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, y necesitamos encontrar $((a)_(15))$, observamos lo siguiente:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinear)\]

Pero por la condición $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, por lo tanto $5d=6$, de donde tenemos:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: 20,4

¡Eso es todo! No necesitábamos crear ningún sistema de ecuaciones ni calcular el primer término y la diferencia; todo se resolvió en solo un par de líneas.

Ahora veamos otro tipo de problema: la búsqueda de términos negativos y positivos de una progresión. No es ningún secreto que si una progresión aumenta y su primer término es negativo, tarde o temprano aparecerán en ella términos positivos. Y viceversa: los términos de una progresión decreciente tarde o temprano se volverán negativos.

Al mismo tiempo, no siempre es posible encontrar este momento "de frente" repasando secuencialmente los elementos. A menudo, los problemas están escritos de tal manera que, sin conocer las fórmulas, los cálculos requerirían varias hojas de papel; simplemente nos quedaríamos dormidos mientras encontrábamos la respuesta. Por tanto, intentemos solucionar estos problemas de una forma más rápida.

Tarea número 4. ¿Cuántos términos negativos hay en la progresión aritmética −38,5; −35,8; ...?

Solución. Entonces, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, de donde inmediatamente encontramos la diferencia:

Tenga en cuenta que la diferencia es positiva, por lo que la progresión aumenta. El primer término es negativo, por lo que efectivamente en algún momento nos toparemos con números positivos. La única pregunta es cuándo sucederá esto.

Intentemos averiguarlo: hasta cuándo (es decir, hasta qué número natural$n$) se conserva la negatividad de los términos:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \derecha. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinear)\]

La última línea requiere alguna explicación. Entonces sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por otro lado, nos conformamos sólo con valores enteros del número (además: $n\in \mathbb(N)$), por lo que el mayor número permitido es precisamente $n=15$, y en ningún caso 16 .

Tarea número 5. En progresión aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encuentra el número del primer término positivo de esta progresión.

Este sería exactamente el mismo problema que el anterior, pero no sabemos $((a)_(1))$. Pero los términos vecinos son conocidos: $((a)_(5))$ y $((a)_(6))$, por lo que podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:

Además, intentemos expresar el quinto término mediante el primero y la diferencia usando la fórmula estándar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinear)\]

Ahora procedemos por analogía con tarea anterior. Averigüemos en qué punto de nuestra secuencia aparecerán los números positivos:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinear)\]

Solución entera mínima de esta desigualdad- número 56.

Tenga en cuenta: en la última tarea todo se redujo a desigualdad estricta, por lo que la opción $n=55$ no nos conviene.

Ahora que hemos aprendido a resolver problemas simples, pasemos a otros más complejos. Pero primero, estudiemos otra propiedad muy útil de las progresiones aritméticas, que nos ahorrará mucho tiempo y celdas desiguales en el futuro :)

Media aritmética y sangrías iguales.

Consideremos varios términos consecutivos de la progresión aritmética creciente $\left(((a)_(n)) \right)$. Intentemos marcarlos en la recta numérica:

Marqué específicamente términos arbitrarios $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, y no algunos $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque la regla que te contaré ahora funciona igual para cualquier “segmento”.

Y la regla es muy simple. Recordemos la fórmula recurrente y escribámosla para todos los términos marcados:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinear)\]

Sin embargo, estas igualdades se pueden reescribir de otra manera:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinear)\]

¿Así que lo que? Y el hecho de que los términos $((a)_(n-1))$ y $((a)_(n+1))$ se encuentran a la misma distancia de $((a)_(n)) $ . Y esta distancia es igual a $d$. Lo mismo puede decirse de los términos $((a)_(n-2))$ y $((a)_(n+2))$; también se eliminan de $((a)_(n) )$ a la misma distancia igual a $2d$. Podemos continuar hasta el infinito, pero el significado queda bien ilustrado por la imagen.

¿Qué significa esto para nosotros? Esto significa que se puede encontrar $((a)_(n))$ si se conocen los números vecinos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Hemos obtenido una afirmación excelente: ¡cada término de una progresión aritmética es igual a la media aritmética de sus términos vecinos! Además: podemos retroceder desde nuestro $((a)_(n))$ hacia la izquierda y hacia la derecha no un paso, sino $k$ pasos, y la fórmula seguirá siendo correcta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aquellos. podemos encontrar fácilmente algo de $((a)_(150))$ si conocemos $((a)_(100))$ y $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A primera vista puede parecer que este hecho no nos aporta nada útil. Sin embargo, en la práctica, muchos problemas están especialmente diseñados para utilizar la media aritmética. Échale un vistazo:

Tarea número 6. Encuentre todos los valores de $x$ para los cuales los números $-6((x)^(2))$, $x+1$ y $14+4((x)^(2))$ son términos consecutivos de una progresión aritmética (en el orden indicado).

Solución. Desde números especificados son miembros de la progresión, para ellos se cumple la condición de la media aritmética: elemento central$x+1$ se puede expresar en términos de elementos vecinos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinear)\]

Resultó clásico ecuación cuadrática. Sus raíces: $x=2$ y $x=-3$ son las respuestas.

Respuesta: −3; 2.

Tarea número 7. Encuentra los valores de $$ para los cuales los números $-1;4-3;(()^(2))+1$ forman una progresión aritmética (en ese orden).

Solución. Expresemos nuevamente el término medio mediante la media aritmética de los términos vecinos:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \derecha.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinear)\]

Ecuación cuadrática nuevamente. Y nuevamente hay dos raíces: $x=6$ y $x=1$.

Respuesta: 1; 6.

Si en el proceso de resolución de un problema se te ocurren cifras brutales, o no estás del todo seguro de la exactitud de las respuestas encontradas, entonces existe una técnica maravillosa que te permite comprobar: ¿hemos resuelto el problema correctamente?

Digamos que en el problema número 6 recibimos las respuestas −3 y 2. ¿Cómo podemos comprobar que estas respuestas son correctas? Conectémoslos a su estado original y veamos qué sucede. Déjame recordarte que tenemos tres números ($-6(()^(2))$, $+1$ y $14+4(()^(2))$), que deben formar una progresión aritmética. Sustituyamos $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinear)\]

Obtuvimos los números −54; −2; 50 que difieren en 52 es sin duda una progresión aritmética. Lo mismo sucede para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\&x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinear)\]

De nuevo una progresión, pero con una diferencia de 27. Así, el problema se resolvió correctamente. Quien lo desee puede comprobar el segundo problema por su cuenta, pero diré de inmediato: allí también todo está correcto.

En general, decidir últimas tareas, nos encontramos con otro hecho interesante, que también conviene recordar:

Si tres números son tales que el segundo es el medio aritmética primero y por último, estos números forman una progresión aritmética.

En el futuro, comprender esta afirmación nos permitirá literalmente "diseñar" progresiones necesarias, según las condiciones del problema. Pero antes de emprender tal “construcción”, debemos prestar atención a un hecho más, que se deriva directamente de lo que ya se ha discutido.

Agrupación y suma de elementos.

volvamos a eje numérico. Observemos allí varios miembros de la progresión, entre los cuales, quizás. vale mucho para otros miembros:

Intentemos expresar la “cola izquierda” mediante $((a)_(n))$ y $d$, y la “cola derecha” mediante $((a)_(k))$ y $d$. Es muy simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinear)\]

Ahora tenga en cuenta que las siguientes cantidades son iguales:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinear)\]

En pocas palabras, si consideramos como punto de partida dos elementos de la progresión, que en total son iguales a algún número $S$, y luego comenzamos a pasar de estos elementos a lados opuestos(uno hacia el otro o viceversa para alejarse), luego las sumas de los elementos con los que tropezaremos también serán iguales$S$. Esto se puede representar más claramente gráficamente:

Comprensión este hecho nos permitirá resolver problemas de una manera fundamentalmente más alto nivel dificultades que las que hemos considerado anteriormente. Por ejemplo, estos:

Tarea número 8. Determina la diferencia de una progresión aritmética en la que el primer término es 66 y el producto del segundo y duodécimo término es el menor posible.

Solución. Anotemos todo lo que sabemos:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinear)\]

Entonces, no conocemos la diferencia de progresión $d$. En realidad, toda la solución se construirá en torno a la diferencia, ya que el producto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinear)\]

Para los que están en el tanque: lo saqué multiplicador común 11 del segundo soporte. Por tanto, el producto requerido es una función cuadrática con respecto a la variable $d$. Por lo tanto, considere la función $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, porque si ampliamos los corchetes, obtenemos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como puede ver, el coeficiente del término más alto es 11; este es un número positivo, por lo que en realidad estamos ante una parábola con ramas hacia arriba:

cronograma función cuadrática- parábola

Tenga en cuenta: valor mínimo esta parábola toma $((d)_(0))$ en su vértice con abscisa. Por supuesto, podemos calcular esta abscisa usando el esquema estándar (existe la fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), pero sería mucho más razonable notar que el vértice deseado se encuentra en el eje de simetría de la parábola, por lo tanto el punto $((d)_(0))$ es equidistante de las raíces de la ecuación $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinear)\]

Por eso no tenía mucha prisa por abrir los corchetes: en su forma original, las raíces eran muy, muy fáciles de encontrar. Por tanto, la abscisa es igual a la media. números aritméticos−66 y −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

¿Qué nos aporta el número descubierto? Con él se obtiene el producto requerido. valor más pequeño(por cierto, nunca calculamos $((y)_(\min ))$; esto no es necesario que lo hagamos). Además, este número es la diferencia de la progresión original, es decir encontramos la respuesta.

Respuesta: −36

Tarea número 9. Entre los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac(1)(6)$ inserta tres números para que junto con estos números formen una progresión aritmética.

Solución. Esencialmente, necesitamos hacer una secuencia de cinco números, con el primero y el último número ya se sabe. Denotemos los números que faltan con las variables $x$, $y$ y $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tenga en cuenta que el número $y$ es el “medio” de nuestra secuencia: es equidistante de los números $x$ y $z$, y de los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac (1)(6)$. Y si de los números $x$ y $z$ estamos en en este momento no podemos obtener $y$, entonces la situación es diferente con los extremos de la progresión. Recordemos la media aritmética:

Ahora, sabiendo $y$, encontraremos los números restantes. Tenga en cuenta que $x$ se encuentra entre los números $-\frac(1)(2)$ y $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. Es por eso

Usando un razonamiento similar, encontramos el número restante:

¡Listo! Encontramos los tres números. Escribámoslos en la respuesta en el orden en que deben insertarse entre los números originales.

Respuesta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarea número 10. Entre los números 2 y 42, inserta varios números que, junto con estos números, forman una progresión aritmética, si sabes que la suma del primero, segundo y último de los números insertados es 56.

Solución. Aún más tarea dificil, que, sin embargo, se resuelve según el mismo esquema que los anteriores: mediante la media aritmética. El problema es que no sabemos exactamente cuántos números hay que insertar. Por lo tanto, supongamos con certeza que después de insertar todo habrá exactamente $n$ números, y el primero de ellos es 2 y el último es 42. En este caso, la progresión aritmética requerida se puede representar en la forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Sin embargo, tenga en cuenta que los números $((a)_(2))$ y $((a)_(n-1))$ se obtienen de los números 2 y 42 en los bordes un paso hacia el otro, es decir. . al centro de la secuencia. Y esto significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Pero entonces la expresión escrita arriba se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinear)\]

Conociendo $((a)_(3))$ y $((a)_(1))$, podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Flecha derecha d=5. \\ \end(alinear)\]

Todo lo que queda es encontrar los términos restantes:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinear)\]

Así, ya en el noveno paso llegaremos al extremo izquierdo de la secuencia: el número 42. En total, solo fue necesario insertar 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Respuesta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemas verbales con progresiones

En conclusión, me gustaría considerar un par de cosas relativamente tareas simples. Bueno, tan simple como eso: para la mayoría de los estudiantes que estudian matemáticas en la escuela y no han leído lo escrito anteriormente, estos problemas pueden parecer difíciles. Sin embargo, estos son los tipos de problemas que aparecen en la OGE y el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, por lo que te recomiendo que te familiarices con ellos.

Tarea número 11. El equipo produjo 62 piezas en enero y en cada mes siguiente produjo 14 piezas más que el mes anterior. ¿Cuántas piezas produjo el equipo en noviembre?

Solución. Evidentemente, el número de piezas enumeradas por mes representará una progresión aritmética creciente. Además:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noviembre es el undécimo mes del año, por lo que necesitamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Por tanto, en noviembre se producirán 202 piezas.

Tarea número 12. El taller de encuadernación encuadernó 216 libros en enero, y en cada mes posterior encuadernó 4 libros más que en el anterior. ¿Cuántos libros encuadernó el taller en diciembre?

Solución. Todo es igual:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Diciembre es el último mes número 12 del año, por lo que buscamos $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ésta es la respuesta: en diciembre se encuadernarán 260 libros.

Bueno, si has leído hasta aquí, me apresuro a felicitarte: has completado con éxito el “curso para jóvenes luchadores” en progresiones aritméticas. Puede pasar con seguridad a la siguiente lección, donde estudiaremos la fórmula para la suma de la progresión, así como importantes y muy consecuencias útiles de ella.