Desde un punto de vista gramatical, un enunciado es una oración declarativa.

Las oraciones complejas se construyen a partir de expresiones que denotan ciertos conceptos y conectivos lógicos. Las palabras y frases NO, Y, O, SI... ENTONCES, ENTONCES Y SÓLO ENTONCES, EXISTE, TODOS y algunos otros se denominan conectivos lógicos (operadores) y denotan operaciones lógicas con la ayuda de las cuales se construyen otras a partir de algunas oraciones.

Las oraciones sin conectivos lógicos son elementales; no se pueden dividir en partes para que cada parte sea también una oración. Los enunciados elementales también se denominan enunciados (juicios). Las declaraciones contienen información sobre objetos, fenómenos y procesos.

Una declaración elemental consta de un sujeto (sujeto lógico): de qué se trata estamos hablando de en una declaración, y un predicado (predicado lógico): lo que se afirma o niega en una declaración sobre el tema.

Así, un enunciado es una forma de pensamiento en la que se afirma o niega una conexión lógica entre conceptos que actúan como sujeto y predicado. de esta declaración. La correspondencia o inconsistencia de esta conexión con la realidad hace que la afirmación (juicio) sea verdadera o falsa.

La conexión lógica entre el sujeto y el predicado de un enunciado suele expresarse en forma de conectivo ES o NO, aunque en la oración misma este conectivo puede estar ausente, pero solo implícito. Al mismo tiempo, el sujeto del enunciado puede expresarse no solo por el sujeto de la oración, así como el predicado puede expresarse no solo por el predicado (estos también pueden ser otros miembros de la oración). Lo que se considera sujeto en una oración y lo que es predicado de una declaración está determinado por la acentuación lógica. estrés lógico asociado con el significado contenido en la oración para el hablante o el oyente.

Según su forma, las declaraciones se dividen en simples (que tienen la forma lógica " S Hay PAG" o " S no comas PAG", Dónde S- sujeto, PAG– predicado) y complejo (expresado gramaticalmente en oraciones complejas).

Un ejemplo de una afirmación sencilla: "Todos los osos aman la miel", y otra compleja: "Algunos osos aman la miel y los brotes tiernos de bambú".

refranes simples permitirte expresar siguientes tipos refranes:

· declaraciones atributivas – expresan si una propiedad pertenece o no a un objeto o clase (por ejemplo, la Tierra es un planeta);

· declaraciones sobre relaciones: hablan sobre la existencia de una relación entre objetos (por ejemplo, 3<5 );

· declaraciones de existencia (declaraciones existenciales): hablan de la existencia o no existencia de un objeto o fenómeno.

Operaciones sobre un conjunto de declaraciones.

A partir de declaraciones elementales se pueden componer declaraciones complejas mediante operaciones lógicas. Los enunciados elementales que forman parte de un enunciado complejo están conectados por operadores lógicos, no mediante una descripción semántica, sino únicamente por sus valores de verdad. En consecuencia, los enunciados complejos son funciones de los enunciados elementales incluidos en ellos. Todas las operaciones en lógica proposicional se describen únicamente mediante una tabla de verdad.

Las operaciones en un conjunto de declaraciones incluyen:

· Negación. La tabla de verdad para ello es:

EN lenguaje natural se interpreta más a menudo con la conjunción "y".

· Una disyunción de dos enunciados elementales es verdadera si y sólo si al menos uno de los enunciados elementales es verdadero. A veces se le llama suma lógica o máximo lógico. La tabla de verdad de una disyunción se ve así:

· La operación XOR viene dada por la siguiente tabla de verdad, es verdadera cuando solo uno de los operandos es verdadero. Esta operación también se llama disyunción estricta o desigualdad lógica.

Los teoremas matemáticos suelen formularse de esta forma. Si el teorema se formula de otra manera, entonces se puede reformular en la forma indicada sin perder su esencia.

§ 4. Expresión de conectivos lógicos (constantes lógicas) en lenguaje natural

Al pensar, operamos no solo con juicios simples, sino también complejos, formados a partir de simples a través de conectivos (u operaciones) lógicos: conjunción, disyunción, implicación, equivalencia, negación, que también se llaman constantes lógicas o constantes lógicas. Analicemos cómo se expresan los conectivos lógicos enumerados en lenguaje natural (ruso).

La conjunción (el signo “l”) se expresa mediante las conjunciones “y”, “a”, “pero”, “sí”, “aunque”, “cuál”, “pero”, “sin embargo”, “no sólo”. .., pero también ", etc. En lógica proposicional, el signo "l" conecta enunciados simples, formando a partir de ellos otros complejos. En el lenguaje natural, la conjunción “y” y otras palabras de conjunción pueden unir sustantivos, verbos, adverbios, adjetivos y otras partes del discurso. Por ejemplo, "El abuelo tenía boletus y boletus en su canasta" (ab), "Sobre la mesa hay un libro interesante y bellamente diseñado". La última afirmación no se puede dividir en dos simples conectadas por una conjunción: “Sobre la mesa hay un libro interesante” y “Sobre la mesa hay un libro bellamente diseñado”, ya que parece que hay dos libros sobre la mesa, y ni uno solo.

En lógica proposicional se aplica la ley de conmutatividad de la conjunción (ab)(ba). En el idioma ruso natural no existe tal ley, ya que opera el factor tiempo. Cuando se tiene en cuenta la secuencia en el tiempo, el uso de la conjunción "y" no es conmutativo. Por lo tanto, por ejemplo, las siguientes dos afirmaciones no serán equivalentes: 1) “Engancharon una locomotora a vapor y el tren empezó a moverse” y 2) “El tren empezó a moverse y engancharon una locomotora a vapor”.

En el lenguaje natural, la conjunción se puede expresar no solo mediante palabras, sino también mediante signos de puntuación: coma, punto y coma, guión. Por ejemplo: “Cayó un relámpago, retumbó un trueno y empezó a llover”.

S. Kleene escribe sobre la expresión de conjunciones utilizando el lenguaje natural en su libro "Lógica matemática". En la sección "Análisis de razonamiento", proporciona una lista (no exhaustiva) de expresiones en lenguaje natural que pueden reemplazarse por los símbolos "L" o "&". Fórmula A^B en lenguaje natural se puede expresar así:

"No sólo A, pero también EN. Cómo A, así y EN.

EN, aunque l. A junto con EN.

EN, a pesar de A.A, mientras EN" 7 .

Dejamos al lector la tarea de encontrar ejemplos de todas estas estructuras.

En lenguaje natural (ruso), la disyunción (indicada por ab y ab) se expresa mediante conjunciones: "o", "o", "o... o", etc. Por ejemplo, "Por la noche yo irá al cine o a la biblioteca"; “Este animal pertenece a un vertebrado o a un invertebrado”; "El informe tratará sobre las obras de L. N. Tolstoi o sobre las obras de F. M. Dostoievski".

Para ambos tipos de disyunción se aplica la ley de conmutatividad: (ab(ba) y (ab)(ba). En el lenguaje natural, esta equivalencia se conserva. Por ejemplo, la sentencia “ Compraré mantequilla o pan” equivale al juicio “Compraré pan o mantequilla”. S. Kleene muestra cómo la implicación (AB) y la equivalencia ( () pueden expresarse en lenguaje natural. A~B).

(En letras A Y EN Se indican declaraciones variables.)

Presentamos diagramas lógicos y ejemplos correspondientes que ilustran varias formas de expresar implicaciones A -> B(Dónde A- antecedente, EN- consecuente).

1. Si A, entonces B.

Si los proveedores entregarán las piezas a tiempo, Eso la planta cumplirá su plan de producción.

2. Si A, entonces B.

si pronto las fuerzas aplicadas se eliminan, Eso el resorte comprimido vuelve a su forma original.

3. Cuando ocurre A, B.

Cuando se acerca el mal tiempo tiene lugar aumento de la incidencia de enfermedades cardiovasculares en las personas.

4. Para B, A es suficiente.

Para para que los gases se expandan suficiente calentarlos.

5. A requiere B.

Para manteniendo la paz en la tierra necesario unir los esfuerzos de todos los estados en la lucha por la paz.

6. A, sólo si B.

Los estudiantes de este curso no asistieron al día de la limpieza, solo si estaban enfermos.

7. B. si A.

I Te dejaré ir a caminar Si Completarás toda tu tarea.

Presentamos diagramas lógicos y ejemplos correspondientes de varias formas de expresar equivalencia.

1. A, si y sólo si B.

Ivanov no terminará sus experimentos antes de la fecha límite. si y solo si el personal no lo ayudará.

2. Si A, entonces B y viceversa.

Si el estudiante aprobó todos los exámenes y prácticas con excelentes calificaciones, Eso recibe un diploma con honores, y viceversa.

3. A si B y B si A.

Un polígono está inscrito en una circunferencia, Si sus vértices se encuentran en el círculo, Y los vértices del polígono se encuentran en el círculo, Si este polígono está inscrito en un círculo.

4. Para A, B es necesario y suficiente.

Para para que un número sea divisible por 3 sin resto, necesario y suficiente de modo que la suma de los dígitos de este número sea divisible por 3 sin resto.

5. A es equivalente a B(A veces).

El hecho de que el área de un polígono regular es igual al producto del semiperímetro por la apotema, equivalente que el área de un polígono regular es igual al producto del perímetro por la mitad de la apotema.

6. Y entonces y sólo si V.

La empresa aceptará la oferta de compra de los bienes. entonces y sólo cuando El precio de este producto se reducirá un 15%.

A partir de los diagramas anteriores y las declaraciones correspondientes con contenido específico y variado, queda claro cuán multifacéticos son los medios para expresar implicación, equivalencia y otros conectivos lógicos (términos lógicos) en el lenguaje natural (en particular, en ruso). Esto se puede decir de otros lenguajes naturales 9.

La implicación (ab) no corresponde del todo en significado a la conjunción “si... entonces” del lenguaje natural, ya que puede carecer de una conexión significativa entre los juicios. A Y b. En lógica proposicional, la ley es la fórmula: (ab)(ab).

Pero en el lenguaje natural las cosas son diferentes. A veces la conjunción “si, entonces” no expresa una implicación, sino una conjunción. Por ejemplo: “Si ayer estaba nublado, hoy brilla intensamente el sol”. Este juicio complejo se expresa mediante la fórmula ab. Además de los conectivos lógicos, en lógica se utilizan el cuantificador general y el cuantificador de existencia para expresar juicios generales y particulares. La notación con el cuantificador general VP() suele leerse así: “Todos incógnita(de algún dominio de objetos) tienen la propiedad R", y el registro con el cuantificador de existencia Z xP(incógnita) dice así: “Existen tales incógnita(en esta zona), que tienen la propiedad R." Por ejemplo, 3x(x>100) dice "Existen tales INCÓGNITA, que son más de 100", donde bajo incógnita Los números están implícitos. El cuantificador de generalidad se expresa con las palabras: “todos”, “todos”, “cada uno”, “ninguno”, etc. El cuantificador de existencia se expresa con las palabras: “algunos”, “existen”, “mayoría”, “minoría”, “sólo algunos”, “a veces”, “ese”, “no todos”, “muchos”, “muchos”, “pocos”, “muchos”, “casi todos”, etc.

S. Kleene escribe que al traducir expresiones del lenguaje ordinario utilizando conectivos proposicionales tabulares, perdemos algunos matices de significado, pero ganamos exactamente 10.

En la práctica del razonamiento matemático y de otro tipo existen los conceptos de "condición necesaria" y " condición suficiente" La condición se llama necesario, si se sigue de la conclusión (consecuencia). Una condición se considera suficiente si de ella se desprende una conclusión (consecuencia). En implicación un ->b variable A es la base. Se llama antecedente. Variable b- consecuencia (conclusión). Se llama consecuente.

A los estudiantes en las lecciones de matemáticas se les ofrecen problemas del tipo 1-4, que requieren en cada una de las siguientes oraciones reemplazar las elipses con las palabras: "necesario" o "suficiente", o "necesario y suficiente":

1. Para que la suma de dos números enteros sea un número par... de modo que cada término sea par.

2. Para que un número sea divisible por 15... para que sea divisible por 5.

3. Para el trabajo (INCÓGNITA- 3) (incógnita+2) (incógnita- 5) era igual a 0, ... de modo que incógnita= 3.

4. Para que un cuadrilátero sea un rectángulo... de modo que todos sus ángulos sean iguales a 11.

Una proposición compleja es aquella que contiene conectivos lógicos y consta de varias proposiciones simples.

En lo que sigue consideraremos los juicios simples como ciertos. átomos indivisibles, como elementos de cuya combinación surgen estructuras complejas. Denotaremos proposiciones simples por separado en letras latinas: a, b, c, d, ... Cada una de estas letras representa alguna proposición simple. ¿Dónde puedes ver esto? Tomando un descanso del complejo estructura interna un juicio simple, por su cantidad y calidad, olvidando que tiene sujeto y predicado, conservamos sólo una propiedad de un juicio: que puede ser verdadero o falso. Todo lo demás no nos interesa aquí. Y cuando decimos que la letra “a” representa una proposición, y no un concepto, no un número, no una función, queremos decir sólo una cosa: que “a” representa verdad o falsedad. Si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Australia", nos referimos a la verdad; si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Siberia", queremos decir una mentira. Así, nuestras letras "a", "b", "c", etc. – estas son variables que pueden ser reemplazadas por verdadero o falso.

Los conectivos lógicos son análogos formales de las conjunciones en nuestro lenguaje natural nativo. Cómo oraciones complejas se construyen a partir de simples con la ayuda de conjunciones "sin embargo", "desde", "o", etc., y los juicios complejos se forman a partir de simples con la ayuda de conectivos lógicos. Aquí sentimos una conexión mucho mayor entre el pensamiento y el lenguaje, por lo que en lo que sigue, en lugar de la palabra "juicio", que denota pensamiento puro, usaremos a menudo la palabra "declaración", que denota pensamiento en su expresión lingüística. Entonces, familiaricémonos con los conectores lógicos más utilizados.

Negación. En lenguaje natural corresponde a la expresión “No es cierto que…”. La negación suele indicarse mediante el signo “¬” colocado antes de la letra que representa alguna proposición: “¬a” dice “No es cierto que a”. Ejemplo: “No es cierto que la Tierra sea una esfera”.

Debes prestar atención a una circunstancia sutil. Arriba hablamos de juicios negativos simples. ¿Cómo distinguirlos de los juicios complejos con negación? La lógica distingue dos tipos de negación: interna y externa. Cuando la negación aparece dentro de una proposición simple antes del conectivo “es”, entonces en este caso estamos ante una proposición negativa simple, por ejemplo: “La tierra no es una esfera”. si la negación externamente se adjunta a un juicio, por ejemplo: “No es cierto que la Tierra es una bola”, entonces tal negación se considera como un conectivo lógico que transforma un juicio simple en uno complejo.

Conjunción. En el lenguaje natural, este conectivo corresponde a las conjunciones “y”, “a”, “pero”, “sin embargo”, etc. La mayoría de las veces, una conjunción se indica con el símbolo "&". Ahora bien, este icono se encuentra a menudo en los nombres de varias empresas y empresas. Una proposición con tal conectivo se llama conjuntiva, o simplemente conjunción, y tiene este aspecto:

a y b. Ejemplo: “La canasta del abuelo contenía boletus y boletus”. Este juicio complejo es una conjunción de dos proposiciones simples: “Había boletus en la canasta de mi abuelo” y “Había boletus en la canasta de mi abuelo”.

Disyunción. En lenguaje natural, este conectivo corresponde a la conjunción “o”. Generalmente se indica con una "v". Un juicio con tal conectivo se llama disyuntivo, o simplemente disyunción, y se ve así: a v b.

La conjunción "o" en lenguaje natural se usa en dos sentidos diferentes: "o" suelto - cuando los miembros de la disyunción no se excluyen entre sí, es decir puede ser simultáneamente verdadero y estricto "o" (a menudo reemplazado por un par de conjunciones "o... o...") - cuando los miembros de la disyunción se excluyen entre sí. De acuerdo con esto, se distinguen dos tipos de disyunción: estricta y no estricta.

Implicación. En lenguaje natural corresponde a la conjunción “si… entonces”. Está indicado por el signo “->”. Una proposición con tal conectivo se llama implicativa, o simplemente implicación, y tiene este aspecto: a -> b. Ejemplo: “Si un conductor pasa corriente eléctrica, entonces el conductor se calienta”. El primer miembro de la implicación se llama antecedente o base; el segundo es un consecuente o consecuencia. En el lenguaje cotidiano, la conjunción "si... entonces" generalmente conecta oraciones que expresan la relación causa-efecto de los fenómenos, donde la primera oración fija la causa y la segunda el efecto. De ahí los nombres de los integrantes de la implicación.

Representar declaraciones en lenguaje natural en forma simbólica utilizando las notaciones anteriores significa su formalización, lo que en muchos casos resulta útil.

4) Una hermosa isla se encontraba en el cálido océano. Y todo estaría bien, pero los extraños se acostumbraron a establecerse en esta isla. Vienen y vienen de todas partes del mundo, y los indígenas han empezado a ser exprimidos. Para impedir la invasión de extranjeros, el gobernante de la isla emitió un decreto: “Todo visitante que quiera establecerse en nuestra bendita isla está obligado a hacer algún juicio. Si la sentencia resulta ser cierta, se debe fusilar al extraño; si la sentencia resulta falsa, deberá ser ahorcado”. Si tienes miedo, ¡cállate y regresa!

La pregunta es: ¿qué juicio se debe tomar para seguir con vida y establecerse en la isla?

Juicios complejos- Son juicios formados a partir de simples utilizando conectivos lógicos.

La conexión entre los elementos de un juicio complejo se realiza mediante uniones lógicas (conectivos lógicos).

Conexiones lógicas:

Su característica principal es que las conjunciones lógicas son inequívocas, mientras que las conjunciones gramaticales tienen muchos significados y matices.

1. CONJUNCIÓN(del latín conjunctio – unión, conexión).

Firmar: ˄ o &

Y», « A», « Pero», « Sí», « A pesar de», « cual», « pero», « sin embargo», « al mismo tiempo"etc.

Juicio " A ella le gusta el jugo de manzana y el té verde."es una conjunción (conexión) de dos proposiciones simples: " a ella le gusta el jugo de manzana" Y " a ella le gusta el té verde».

Ab o A& b

2. DISYUNCIÓN(del latín disjunctio – desunión).

Firmar: ˅

En ruso, las conjunciones corresponden a conjunciones: " o», « o», « ya sea... o».

Juicio " Iremos al cine o al parque." es una disyunción de dos proposiciones simples: " "vamos al cine" o "vamos al parque". Esta conexión no es estricta, es decir, no implica una sola elección, ya que podemos ir al cine o dar un paseo por el parque.

Registrar este juicio usando conectivos lógicos se verá así: Ab

3. Disyunción estricta

Firmar: .

La conjunción "o" se puede utilizar en sentido estricto, cuando los miembros de la disyunción se excluyen entre sí.

Registrar este juicio usando conectivos lógicos se verá así:

4. IMPLICACIÓN( del latín implico – conectar estrechamente)

Firmar: → .

En el idioma, los análogos de este conectivo son conjunciones: “ si... entonces»; « cuando..., entonces»; « tan pronto como... entonces"etc.

Por lo general, con la ayuda de implicaciones, se crean relaciones de causa y efecto como: “ Si sale el sol, hará calor.». a → b. El primer elemento de la implicación se llama base(antecedente), segundo – consecuencia(consiguiente).

5. EQUIVALENCIA( del Lat. tardío aequivalens – equivalente; equivalente)

Firmar: ↔ o ≡ .

En el idioma, los análogos de este conectivo son conjunciones: “ si y solo si»; « entonces y sólo entonces cuando...»; « sólo con la condición de que... entonces».

Sentencia: " Sólo así el niño recibirá dulces cuando haya terminado toda la sopa." es el equivalente.

Registrar este juicio usando un conectivo lógico se verá así: a↔ b o a≡ b

6 .NEGACIÓN

Firmar: ~ o ¬ . son puestos a juicio~un o¬a ; o una línea que se coloca sobre un juicio

En el lenguaje, la negación se expresa mediante conjunciones y palabras: “ No», « equivocado"etc.

Sentencia: " El auto no arranca"se escribe como ~un

Sentencia: " Le gusta o no le gusta"contiene estricta disyunción y negación.

Ceremonias: Escribe tus juicios en el formulario. forma lógica utilizando conectivos lógicos.

Autoprueba: Escribir juicios en forma lógica usando conectivos lógicos.

Para ponerte a prueba, resalta la columna "fórmula" y cambia el color de la fuente.

Formulemos las reglas básicas para la formación de nuevas oraciones a partir de las originales utilizando los conectivos y conjunciones básicos de los habituales. la lengua hablada. Las reglas del idioma ruso por sí solas no son suficientes, ya que a veces en la misma oración formulada en ruso ponemos significado diferente. Por ejemplo, consideremos el giro de la frase “Si, entonces”, con el que formulamos dos oraciones:

• 1) “Si Misha aprueba el examen con gran éxito, irá a la discoteca”.
• 2) "Si Misha no aprueba el examen con gran éxito, no irá a la discoteca".

Pregunta: ¿Estas oraciones dicen lo mismo o hay una situación en la que una de las oraciones es verdadera y la otra es falsa? En otras palabras, la pregunta es si estas oraciones son equivalentes.

Hasta que no definamos claramente las reglas para construir frases de este tipo, la pregunta no podrá responderse sin ambigüedades. Por un lado, cuando formulamos la primera oración, a menudo nos referimos a la segunda oración. Sin embargo, veamos estas propuestas desde una perspectiva diferente.

Primero, escribamos los diagramas de oraciones. Para hacer esto, denotamos la oración "Misha aprobará el examen con gran éxito" con la letra A, y la frase "Misha irá a la discoteca" - con la letra EN. Entonces estas propuestas se pueden escribir esquemáticamente de la siguiente manera:

yo) "si A, Eso EN", 2) “Si no A, entonces no EN".

Ahora sustituyamos A Y EN otras predicciones. En lugar de A Tomemos: "La mesa es de roble", en lugar de EN"La mesa es de madera". Luego obtenemos otro par de oraciones:

• 1) “Si la mesa es de roble, entonces es de madera”
• 2) “Si la mesa no es de roble, entonces no es de madera”.

Dado que estas oraciones se construyen según los mismos esquemas que las dos primeras, significa que la equivalencia del primer par de oraciones debe significar la equivalencia del segundo par. Sin embargo, la primera frase en el habla corriente es evidentemente declaración verdadera, ya que el roble es un árbol, y la segunda frase es generalmente falsa, ya que la mesa puede estar hecha de otro árbol, por ejemplo de pino.

Así, en caso general oraciones construidas según el método “Si A, Eso EN" y "si no A, entonces no EN" no pueden considerarse lógicamente idénticos.

Entonces, para eliminar la ambigüedad en la construcción de oraciones, necesitamos reglas claras que nos permitan determinar la verdad o falsedad de la oración resultante en función de la verdad o falsedad de las oraciones originales. A Y EN.

Demos a las conjunciones "y", "o", así como a los esquemas "si, entonces", "entonces y sólo entonces", "no es cierto que" un significado lógico inequívoco.

deja que las letras A y B representan sentencias arbitrarias. Comencemos con situaciones simples.

1. signo de negación~| (-i) o. Expresión ~ li(-l, A) dice: "no A" o "No es cierto que A."

Significados de las oraciones ~Un definir mediante una tabla de la que se desprende claramente que la propuesta ~l cierto exactamente cuando la oración original A FALSO:

Al formular oraciones de estructura simple, la partícula “no” a veces puede “llevarse dentro” de la oración. Por ejemplo, una frase

“No es cierto que el número V6 sea un número entero” se puede formular de la siguiente manera: “El número l/6 no es un número entero”. También la frase “No es cierto que los heterosexuales A Y b intersectar" formular: "Directo A Y b No preguntaremos”.

A menudo, un objeto que no tiene alguna propiedad se denomina término con la partícula “no”. Por ejemplo, un número entero que no es par se llama impar. Por lo tanto, es igualmente correcto decir “El número entero es impar” y “El número entero no es par”. Pero sin la estipulación de que el número sea un número entero, tenemos oraciones con significados diferentes. Por ejemplo, "El número 0,2 no es par" es verdadero, pero la frase "El número 0,2 es impar" es falsa.

Considere la frase " función impar" aquí tenemos término independiente y la palabra "impar" no se puede escribir ni pronunciar por separado, es decir, la oración "La función es impar" no es una negación de la oración "La función es par". De hecho, hay un ejemplo de una función en la que ambas oraciones son falsas. Por ejemplo, la función )t=x+ no es ni par ni impar (intenta explicar esto).

2. Signo de conjunción l. Expresión LlW lee: "A y B". A veces la conjunción se denota por &.

Significados de las oraciones ALV dependiendo de las propuestas que lo componen A y B definido por la tabla:

Entonces la propuesta ALV cierto sólo en un caso, cuando ambas oraciones A Y EN son verdad. En otros casos esta frase es falsa. Al formular una propuesta. ALV En lugar de la conjunción “y”, puedes utilizar otras conjunciones que tengan el mismo significado lógico de cumplir simultáneamente cada una de las frases: “a”, “pero”.

Ejemplo 1.3.1. Oración "Número" 111 no es divisible por 2, pero es divisible por 3" - simbólicamente puedes escribir 1 AlV, Dónde A= "111 es divisible por 2", B = " 111 es divisible por 3."

3. Signo de disyunción v. Expresiones AvB lee: "A o B."

Significados de las oraciones AvB definido por la tabla:

De la tabla se puede ver que la oferta "A o EN" cierto en aquellos casos en que al menos una de las oraciones A o EN verdadero, y en el caso de que ambas oraciones A Y EN falso, frase AvB toma un valor falso.

A veces por el contenido de las frases. A Y EN de ello se sigue que las oraciones no pueden ser simultáneamente verdaderas. En este caso, la oración se formula utilizando la conjunción “o”. Por ejemplo, la oración "Un número es positivo o negativo" también tiene la forma "A o EN", pero al mismo tiempo tiene tal implicación que es a la vez positivo y número negativo no puede ser.

Las reglas formuladas anteriormente, aparentemente, no plantean ninguna pregunta. Pasemos al diagrama comentado al principio del párrafo “Si A, Eso EN".

4. Signo de implicación-Expresión A->B lee: “Si A, entonces B”. A veces se utiliza otro símbolo de flecha => para indicar este conectivo, así como un signo z>. Junto con la frase “Si A, Eso EN" otros similares usan: "B cuando A», “A sólo cuando B.”

Motivamos la definición de significados de oraciones. A->B. La principal dificultad que surge aquí es asignar un significado a la oración L-»# para aquellos casos en los que A FALSO. Para determinar inteligentemente los valores, recuerde lo anterior. oración correcta: “Si la mesa es de roble, entonces es de madera”. Aquí A= “Mesa de roble”, B ="Mesa de madera." Que la mesa sea de pino. Entonces A FALSO, EN verdadero. Que la mesa sea de hierro. Entonces A falso y EN FALSO. En ambos casos la oferta A es falsa, y la oración resultante “Si A, Eso EN" verdadero. Además, ambos casos son realmente posibles. Por supuesto, es posible que tengamos mesa de roble, Entonces aw b simultáneamente cierto. Aquí hay un ejemplo de una oración verdadera. A->B, Cuando A=u>B=l, no existe.

Así, los casos en los que A=u, B=i, o A=l y B=i, o A=l, V=l, debe determinar una oración verdadera y sólo un caso, cuando

cual A=u, Vl, significa que la oferta A->B FALSO.

Entonces, en lógica matemática Los valores de la oración T vienen dados por la siguiente tabla:

A continuación, a lo largo de la frase “Si A, Eso EN" se entenderá de esta manera. Aquí tienes una sugerencia A llamado por paquete, o condición, A En conclusión.

Ejemplo 13.2. Los padres le prometieron a su hijo Petya: si se gradúa con éxito de la universidad, le comprarán un coche. Se sabe que el hijo no se graduó de la universidad, pero sus padres aun así le compraron un coche. ¿Se puede decir que lo que dijeron los padres fue mentira?

Para responder a la pregunta, considere las propuestas: A= “Mi hijo se gradúa de la universidad”, B ="Le están comprando un coche". Al mismo tiempo A=l, B=i. La promesa de los padres parece A^>B. Por definición, esta es una propuesta. valores dados A Y EN verdadero (tercera fila de la tabla). Por tanto, desde un punto de vista lógico, las palabras de los padres son correctas. Pero si su hijo se graduó de la universidad, pero no le compraron un auto, en este caso (y en ningún otro) la promesa no se cumpliría.

Ahora veamos otro conectivo lógico al que a menudo se refiere cuando se dicen las palabras "si, entonces". Por ejemplo, si en las condiciones del ejemplo 1.3.2 los padres asumieron que si su hijo Petya no se graduaba de la universidad, no le comprarían un automóvil, sería correcto decir: “El automóvil se comprará si y solo si Petya se gradúa en el instituto".

5. Signo de equivalencia o. Expresión Y dice: “Y si y sólo si B.” Son posibles otras formulaciones: “Y si y sólo si B», “A exactamente cuando B” etc.

Significados de las oraciones AB vienen dados por la tabla:

En los casos en que A Y EN aceptar mismos valores, oferta AB verdadero, en caso contrario la oración es falsa.

Es fácil ver que la frase "A entonces y sólo cuando EN" consta de dos frases: "A cuando EN" Y "A solo cuando EN". La primera frase está escrita. B->A, y el segundo A^>B. Estas dos oraciones son simultáneamente verdaderas en dos casos: A=u, B=u, y también A=l, B=l.

Entonces, hemos definido cinco signos: l (conjunción), v (disyunción), -> (implicación), (equivalencia), 1 (negación), que se denominan

sembradoras lógicas. Estos signos permiten a partir de estas frases. A Y EN recibir nuevas ofertas. En este caso, el significado (verdadero o falso) de la nueva oración está determinado únicamente por los significados de las oraciones. A Y EN. La regla para obtener una nueva oración a partir de las oraciones originales se llama operación lógica. Así, cada uno de los conectivos lógicos determina operación lógica, que tiene el mismo nombre que el paquete correspondiente.

Las operaciones consideradas se pueden utilizar tanto para declaraciones como para predicados. Por ejemplo, combinando dos predicados unarios " Número,t más 3" y "Número incógnita negativo" con un signo de disyunción, obtenemos un predicado de un solo lugar: "Número incógnita más de 3 o negativo”. Lo único es que para conectar dos predicados con un conectivo lógico es necesario que alguno área general D objetos válidos que pueden sustituirse en estos predicados en lugar de variables.

Definamos dos conectivos lógicos más, llamados kwaitora.mi, que nos permiten obtener enunciados a partir de predicados unarios. El término "cuantificador" traducido del idioma latino significa "cuánto". Por lo tanto, estos signos se utilizan para responder a la pregunta de cuántos objetos satisfacen la proposición. Y- todos o al menos uno.

Tomemos un predicado arbitrario y seleccionemos una variable de la que dependa su valor. vamos a denotarlo Oh).

6. Cuantificador general v. este signo viene de palabra inglesa UN y es una abreviatura de las siguientes palabras: “peso”, “cada”, “cualquiera”, “cualquiera”.

La expresión Vj&4(y) significa que el predicado Oh) ejecutado para todos los objetos válidos INCÓGNITA. Dice: “Para todo X y de X”.

7. Cuantificador existencial 3. Este signo proviene de la palabra inglesa. Existir y es una abreviatura de las siguientes palabras: “existe”, “habrá”, “al menos uno”, “algunos”.

La expresión 3x4(*) significa que el predicado Oh) se ejecuta para al menos uno de los objetos válidos.v. Dice: "Hay x y de x".

Ejemplo 1.3.3. deja que la variable incógnita denota un estudiante universitario. Consideremos la propuesta. Oh)= “Estudiante l: tiene auto”. Entonces VxA(x) Significa que todos los estudiantes universitarios tienen un coche. Esta es una declaración falsa. Oferta EhA(x) Significa que algunos estudiantes tienen un automóvil, lo cual es una afirmación cierta.

Así, inicialmente teníamos un predicado cuyo valor dependía del valor de la variable dg. Luego de realizar las operaciones se obtuvieron declaraciones cuyos valores ya no dependen de la variable INCÓGNITA.

Que haya una fórmula L(x), que contiene una variable libre INCÓGNITA. Entonces la afirmación de que la fórmula Oh) es idénticamente cierto, podemos escribirlo brevemente como Vj&4(jc).

La operación de obtener una oración usando cuantificadores se llama cuantificación. Al usar expresiones UhA(x) y 3 xA(x) diga también: “Se ha añadido un cuantificador a la variable x” o "La variable x está conectada por un cuantificador".

Tenga en cuenta que las operaciones de cuantificación son aplicables no sólo a predicados de un solo lugar. Si se da un predicado de dos lugares A(hu), luego puedes conectar la variable l - un cuantificador y formar una oración /xA(xy), cuya verdad dependerá de una sola variable y, y tendremos un predicado de un solo lugar. En esta entrada la variable incógnita llamado asociado con un cuantificador y la variable y - gratis. En el caso general, al aplicar una operación cuantificadora a cualquiera de las variables de un predicado de /7 lugares, terminamos con un predicado de (n-1) lugar.

Los cuantificadores se pueden utilizar para vincular cualquier número de variables. Si tenemos un predicado de dos lugares A(hu), entonces formalmente puedes obtener 8 declaraciones.

conectando cada variable con algún cuantificador: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Algunas oraciones tienen el mismo significado, por ejemplo la primera y la segunda (predicado A debe aceptar verdadero significado para cualquier valor de * e y), así como el séptimo y el octavo. Las expresiones restantes generalmente dan afirmaciones de verdad diferente.

Ejemplo 1.3.4. Que solo haya dos niños en la clase: Petya y Kolya. Para decisión independiente Se dieron tres problemas, designémoslos con los números 1, 2, 3. Petya resolvió los problemas 1 y 2, y Kolya resolvió un problema con el número 3. Introduzcamos el predicado A(hu), lo que significa que el niño * resolvió el problema Ud. Aquí la variable incógnita denota el nombre del niño y la variable en- número de tarea. Considere las siguientes declaraciones.

Vx3yA(xy)= “Cada niño resolvió al menos un problema” es una afirmación verdadera, ya que Petya resolvió dos problemas y Kolya resolvió al menos uno.

• 3_yVx4(.*,y) = “Hay un problema que todos los niños de la clase resolvieron” - falso, ya que no existe tal problema (solo Petya resolvió el primer y segundo problema, y ​​solo Kolya resolvió el tercero).
• 3xVyA(x,y) = “Al menos un niño resolvió todos los problemas” es una afirmación falsa.

V_yEx,4(;c,y) = “Cada problema fue resuelto por al menos un estudiante” - verdadero, entonces el problema número 1 lo resolvió Petya, el problema número 2 también lo resolvió Petya y el problema 3 lo resolvió Kolya.

Del ejemplo considerado podemos concluir: el orden en que se escriben los cuantificadores afecta el significado lógico de la oración. Por lo tanto, la formulación clara de la oración debe presuponer sin ambigüedades el orden en que ocurren los cuantificadores de generalidad y existencia.

Ejercicio. Analice por su cuenta el significado de las afirmaciones del Ejemplo 1.3.4, suponiendo que Petya resolvió los problemas numerados 2 y 3.

En general, del predicado Oh) puedes obtener dos declaraciones - /xA(x) y 3x4(x). Sin embargo, la fórmula escrita muy a menudo Oh) se entiende precisamente como el enunciado Vx4(.x), aunque se omite el cuantificador general al escribirlo o formularlo. Por ejemplo, al escribir d- 2 >0, quieren decir que el cuadrado de cualquier numero real no negativo. Entrada completa La declaración es: Ulg(dg?0). Registro (4x + 6y):2, Dónde*, y - números enteros, supone que la suma especificada siempre es divisible por 2, es decir, par. Para enfatizar esto, deberíamos escribir V*Vy((4.x + 6jy):2).

Definido en los dos últimos párrafos. signos matemáticos y los signos de los conectivos lógicos constituyen el alfabeto del lenguaje matemático.