Qué conectivo lógico se designa como. Juicios complejos

Los juicios complejos son juicios formados a partir de juicios simples utilizando conectivos lógicos.

La conexión entre los elementos de un juicio complejo se realiza mediante uniones lógicas (conectivos lógicos).

Conexiones lógicas:

Su característica principal es que las conjunciones lógicas son inequívocas, mientras que las conjunciones gramaticales tienen muchos significados y matices.

1. CONJUNCIÓN(del latín conjunctio – unión, conexión).

Firmar: ˄ o &

Y», « A», « Pero», « Sí», « A pesar de», « cual», « pero», « sin embargo», « al mismo tiempo"etc.

Juicio " A ella le gusta el jugo de manzana y el té verde."es una conjunción (conexión) de dos proposiciones simples: " a ella le gusta el jugo de manzana" Y " a ella le gusta el té verde».

Ab o A& b

2. DISYUNCIÓN(del latín disjunctio – desunión).

Firmar: ˅

En ruso, las conjunciones corresponden a conjunciones: " o», « o», « ya sea... o».

Juicio " Iremos al cine o al parque." es una disyunción de dos proposiciones simples: " "vamos al cine" o "vamos al parque". Esta conexión no es estricta, es decir, no implica una sola elección, ya que podemos ir al cine o dar un paseo por el parque.

Registrar este juicio usando conectivos lógicos se verá así: Ab

3. Disyunción estricta

Firmar: .

La conjunción "o" se puede utilizar en sentido estricto, cuando los miembros de la disyunción se excluyen entre sí.

Registrar este juicio usando conectivos lógicos se verá así:

4. IMPLICACIÓN( del latín implico – conectar estrechamente)

Firmar: → .

En el idioma, los análogos de este conectivo son conjunciones: “ si... entonces»; « cuando..., entonces»; « tan pronto como... entonces"etc.

Por lo general, con la ayuda de implicaciones, se crean relaciones de causa y efecto como: “ Si sale el sol, hará calor.». a → b. El primer elemento de la implicación se llama base(antecedente), segundo – consecuencia(consiguiente).

5. EQUIVALENCIA( del Lat. tardío aequivalens – equivalente; equivalente)

Firmar: ↔ o ≡ .

En el idioma, los análogos de este conectivo son conjunciones: “ si y solo si»; « entonces y sólo entonces cuando...»; « sólo con la condición de que... entonces».

Sentencia: " Sólo así el niño recibirá dulces cuando haya terminado toda la sopa." es el equivalente.

Registrar este juicio usando un conectivo lógico se verá así: a↔ b o a≡ b

6 .NEGACIÓN

Firmar: ~ o ¬ . son puestos ante el juicio~un o¬a ; o una línea que se coloca sobre un juicio

En el lenguaje, la negación se expresa mediante conjunciones y palabras: “ No», « equivocado"etc.

Sentencia: " el auto no arranca"se escribe como ~un

Sentencia: " Le gusta o no le gusta"contiene estricta disyunción y negación.

Ceremonias: Escribe tus juicios en el formulario. forma lógica utilizando conectivos lógicos.

Autoprueba: Escribir juicios en forma lógica usando conectivos lógicos.

Para ponerte a prueba, resalta la columna "fórmula" y cambia el color de la fuente.

Una proposición se llama compleja si contiene conectivos lógicos y que consta de varias proposiciones simples.

En lo que sigue consideraremos los juicios simples como ciertos. átomos indivisibles, como elementos de cuya combinación surgen estructuras complejas. Denotaremos proposiciones simples por separado. en letras latinas: a, b, c, d, ... Cada una de estas letras representa alguna proposición simple. ¿Dónde puedes ver esto? Tomando un descanso del complejo estructura interna un juicio simple, por su cantidad y calidad, olvidando que tiene sujeto y predicado, conservamos sólo una propiedad de un juicio: que puede ser verdadero o falso. Todo lo demás no nos interesa aquí. Y cuando decimos que la letra “a” representa una proposición, y no un concepto, no un número, no una función, queremos decir sólo una cosa: que “a” representa verdad o falsedad. Si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Australia", nos referimos a la verdad; si por "a" nos referimos a la proposición "Los canguros viven en Siberia", queremos decir una mentira. Así, nuestras letras "a", "b", "c", etc. - Son variables que se pueden sustituir por verdadero o falso.

Los conectivos lógicos son análogos formales de las conjunciones en nuestro lenguaje natural nativo. Cómo oraciones complejas se construyen a partir de simples con la ayuda de conjunciones "sin embargo", "desde", "o", etc., y los juicios complejos se forman a partir de simples con la ayuda de conectivos lógicos. Aquí sentimos una conexión mucho mayor entre el pensamiento y el lenguaje, por lo que en lo que sigue, en lugar de la palabra "juicio", que denota pensamiento puro, usaremos a menudo la palabra "declaración", que denota pensamiento en su expresión lingüística. Entonces, familiaricémonos con los conectores lógicos más utilizados.

Negación. EN lenguaje natural corresponde a la expresión “No es cierto que...”. La negación suele indicarse mediante el signo "" colocado antes de la letra que representa alguna proposición: "a" dice "No es cierto que a". Ejemplo: “No es cierto que la Tierra sea una esfera”.

Debes prestar atención a una circunstancia sutil. Arriba hablamos de juicios negativos simples. ¿Cómo distinguirlos de los juicios complejos con negación? La lógica distingue dos tipos de negación: interna y externa. Cuando la negación está dentro de una proposición simple antes del conectivo “es”, entonces en este caso estamos ante una proposición negativa simple, por ejemplo: “La tierra no es una esfera”. si la negación externamente se adjunta a un juicio, por ejemplo: “No es cierto que la Tierra es una bola”, entonces tal negación se considera como un conectivo lógico que transforma un juicio simple en uno complejo.

Conjunción. En el lenguaje natural, este conectivo corresponde a las conjunciones “y”, “a”, “pero”, “sin embargo”, etc. La mayoría de las veces, una conjunción se indica con el símbolo "&". Ahora bien, este icono se encuentra a menudo en los nombres de varias empresas y empresas. Una proposición con tal conectivo se llama conjuntiva, o simplemente conjunción, y tiene este aspecto:

a y b. Ejemplo: “La canasta del abuelo contenía boletus y boletus”. Este juicio complejo es una conjunción de dos proposiciones simples: “Había boletus en la canasta de mi abuelo” y “Había boletus en la canasta de mi abuelo”.

Disyunción. En lenguaje natural, este conectivo corresponde a la conjunción “o”. Generalmente se indica con una "v". Un juicio con tal conectivo se llama disyuntivo, o simplemente disyunción, y se ve así: a v b.

La conjunción “o” en lenguaje natural se utiliza en dos diferentes significados: flojo “o” – cuando los miembros de la disyunción no se excluyen entre sí, es decir puede ser simultáneamente verdadero y estricto "o" (a menudo reemplazado por un par de conjunciones "o... o...") - cuando los miembros de la disyunción se excluyen entre sí. De acuerdo con esto, se distinguen dos tipos de disyunción: estricta y no estricta.

Implicación. En lenguaje natural corresponde a la conjunción “si… entonces”. Está indicado por el signo “->”. Una proposición con tal conectivo se llama implicativa, o simplemente implicación, y tiene este aspecto: a -> b. Ejemplo: “Si un conductor pasa corriente eléctrica, entonces el conductor se calienta”. El primer miembro de la implicación se llama antecedente o base; el segundo es un consecuente o consecuencia. En el lenguaje cotidiano, la conjunción "si... entonces" generalmente conecta oraciones que expresan la relación causa-efecto de los fenómenos, donde la primera oración fija la causa y la segunda el efecto. De ahí los nombres de los integrantes de la implicación.

Representar declaraciones en lenguaje natural en forma simbólica utilizando las notaciones anteriores significa su formalización, lo que en muchos casos resulta útil.

4) Una hermosa isla se encontraba en el cálido océano. Y todo estaría bien, pero los extraños se acostumbraron a establecerse en esta isla. Vienen y vienen de todas partes del mundo, y los indígenas han empezado a ser exprimidos. Para impedir la invasión de extranjeros, el gobernante de la isla emitió un decreto: “Todo visitante que quiera establecerse en nuestra bendita isla está obligado a hacer algún juicio. Si la sentencia resulta ser cierta, se debe fusilar al extraño; si la sentencia resulta falsa, deberá ser ahorcado”. Si tienes miedo, ¡cállate y regresa!

La pregunta es: ¿qué juicio se debe tomar para seguir con vida y establecerse en la isla?

tablas de verdad

Ahora llegamos a algo muy importante y pregunta dificil. Una proposición compleja es también un pensamiento que afirma o niega algo y que por tanto resulta ser verdadero o falso. La cuestión de la verdad de los juicios simples está fuera del ámbito de la lógica: es respondida por ciencias específicas, la práctica cotidiana o la observación. ¿Es verdadera o falsa la afirmación “Todas las ballenas son mamíferos”? Necesitamos preguntarle a un biólogo y él nos dirá que esta proposición es cierta. ¿Es verdadera o falsa la afirmación “El hierro se hunde en el agua”? Necesitamos recurrir a la práctica: arrojemos un trozo de hierro al agua y asegurémonos de que este juicio sea cierto.

En resumen, la cuestión de la verdad o falsedad de proposiciones simples siempre se decide en última instancia por referencia a la realidad con la que se relacionan.

Pero ¿cómo establecer la verdad o falsedad de una proposición compleja? Tengamos alguna conjunción "a & b" y sabemos que la proposición "a" es verdadera y la proposición "b" es falsa. ¿Qué se puede decir sobre esta compleja afirmación en su conjunto? Si en realidad existiera un objeto al que se refiere el conectivo “&”, entonces no surgiría la dificultad: habiendo descubierto este objeto, podríamos decir: “¡Sí! ¡La conjunción es verdadera!"; habiendo buscado alrededor y no encontrado el objeto correspondiente, habríamos dicho: “La conjunción es falsa”. Pero el hecho es que, en realidad, nada corresponde a los conectivos lógicos, ¡ni siquiera a las conjunciones del lenguaje natural! Estos son medios para conectar pensamientos o oraciones que hemos inventado; son herramientas de pensamiento que no tienen análogos en la realidad. Por tanto, la cuestión de la verdad o falsedad de enunciados con conectivos lógicos no es una cuestión de ciencias específicas o de práctica material, sino una cuestión puramente lógica. Y la lógica lo resuelve.

Acordamos o aceptamos acuerdos respecto de cuándo se consideran verdaderas las afirmaciones con uno u otro conectivo lógico y cuándo son falsas. Por supuesto, estos acuerdos se basan en algunos consideraciones racionales Sin embargo, es importante tener en cuenta que estos son nuestros acuerdos arbitrarios, adoptados por razones de conveniencia, simplicidad, fecundidad, pero no impuestos por la realidad. Por lo tanto, somos libres de cambiar estos acuerdos y hacerlo cuando lo creamos conveniente.

Acuerdos sobre los cuales estamos hablando de, se expresan mediante tablas de verdad para conectivos lógicos, que muestran en qué casos un enunciado con uno u otro conectivo se considera verdadero y en cuáles, falso. Al hacerlo, confiamos en la verdad o falsedad de juicios simples que son componentes de un juicio complejo. "Verdadero" ("i") y "falso" ("l") se denominan "valores de verdad" de una proposición: si una variable representa una proposición verdadera, toma el valor "verdadero"; si es falso toma el valor “falso”. Cada variable puede representar verdadero o falso.

La negación se aplica a una proposición. Esta proposición puede ser verdadera o falsa, por lo que la tabla de negación se ve así:

Si la proposición original es verdadera, entonces aceptamos considerar falsa su negación; si el juicio original es falso, entonces consideramos verdadera su negación. Este acuerdo parece coincidir con nuestra intuición. De hecho, la proposición “Byron era poeta inglés” es cierto, por lo que su negación “No es cierto que Byron fuera un poeta inglés” se considera naturalmente falsa. La proposición “Atenas está en Italia” es falsa, por lo que su negación “No es cierto que Atenas está en Italia” se considera naturalmente verdadera.

Por conveniencia, presentamos juntas tablas de verdad para otras conectivas lógicas:

Todos los conectivos dados aquí conectan dos proposiciones. Para dos proposiciones hay cuatro posibilidades: ambas pueden ser verdaderas; uno es verdadero, el otro es falso; uno es falso, el otro es verdadero; ambos son falsos. Todas estas posibilidades se tienen en cuenta como casos 1-4.

Una conjunción es verdadera sólo en un caso: cuando ambos términos son verdaderos. En todos los demás casos lo consideramos falso. En general, parece bastante natural. Digamos que le dices a tu elegido: "Me casaré contigo y te seré fiel". Realmente te casaste con esta persona y le eres fiel. Está satisfecho: no lo engañaste, la conjunción en su conjunto es verdadera. Segundo caso: te casaste, pero no eres fiel a tu marido. Está indignado, cree que lo engañaste: la conjunción es falsa. Tercer caso: no te casaste con aquel a quien prometiste, aunque le permaneces fiel, atesorando los recuerdos del primero y, ay, solo amor. Nuevamente está molesto: lo engañaste, la conjunción es falsa. Finalmente, la cuarta opción: no te casaste con él y, naturalmente, no le eres fiel. Tu admirador está furioso: lo engañaste descaradamente; la conjunción es falsa.

Consideraciones similares justifican la tabla de verdad para la disyunción. La situación implicada es algo más complicada. Considere la proposición “Si salía el sol, afuera se hacía luz”. Aquí la implicación conecta dos proposiciones simples: “El sol ha salido” y “Afuera se ha hecho luz”. Cuando ambas son verdaderas, entonces consideramos que la implicación en su conjunto es verdadera. Ahora el segundo caso: ha salido el sol, pero afuera no hay luz. Si esto sucediera repentinamente, consideraríamos que nuestra implicación es falsa: aparentemente, no tuvimos en cuenta algo cuando formulamos tal conexión entre los dos juicios. Tercer caso: el sol no salió, pero afuera se hizo luz. ¿Esto refutará nuestra implicación? En absoluto, esto es muy posible: se encendieron las luces en la calle, se hizo la luz, pero esto no contradice la conexión entre el amanecer y el amanecer. La implicación puede considerarse cierta. Finalmente, el cuarto caso: el sol no salió y no había luz. Esto es bastante natural; nuestra implicación sigue siendo cierta.

Al explicar las tablas de verdad para los conectivos lógicos, intentamos mostrar que estas tablas corresponden hasta cierto punto a nuestra intuición lingüística, nuestra comprensión del significado de las conjunciones del lenguaje natural. Sin embargo, no debe sobreestimarse el grado de dicha correspondencia. Las conjunciones del lenguaje natural son mucho más ricas y sutiles en contenido semántico que los conectivos lógicos. Estos últimos captan sólo la parte de este contenido que se refiere a las relaciones de verdad o falsedad. declaraciones simples. Los conectivos lógicos no tienen en cuenta conexiones semánticas más sutiles. Por lo tanto, a veces es posible una discrepancia bastante grande entre los conectivos lógicos y las conjunciones del lenguaje natural. Con la ayuda de estas conexiones crean programas para computadoras, y ahora puedes entender qué parte de nuestro pensamiento puede asimilar y usar una computadora.

5) ¿Cómo dividir 7 manzanas en partes iguales entre 12 niños sin cortar ninguna manzana en 12 pedazos? (La condición impuesta pretende excluir la solución más simple: cortar cada manzana en 12 partes y darle a cada niño una rebanada de cada manzana, o cortar 6 manzanas por la mitad y cortar la séptima manzana en 12 partes).

6) En una isla viven dos tribus: los buenos que siempre dicen la verdad y los mentirosos que siempre mienten. Llega a la isla un viajero que sabe de esto y, habiendo conocido residente local, le pregunta: “¿Quién eres y de qué tribu?” "¡Soy genial!" - responde orgulloso el aborigen. "Eso es bueno", se regocijó el viajero, "¡serás mi guía!" Caminan alrededor de la isla y de repente ven a otro aborigen a lo lejos. “Ve y pregúntale”, le dice el viajero a su guía, “¿de qué tribu es?” El revisor volvió corriendo e informó. "¡Dijo que era genial!" “Ajá”, pensó el viajero, “¡ahora sé exactamente de qué tribu eres!”

¿Cómo adivinó el viajero quién era su guía?

Lógico multiplicación o conjunción es una operación expresada por el conectivo “y” y denotada por el punto “ ” (o los signos & o  ).  Declaración A

B es verdadera si y sólo si ambas afirmaciones A y B son verdaderas.

Lógico EN o suma disyunción  ).  es una operación expresada por el conectivo “o” (en el sentido no separativo de la palabra) y denotada por “+” (o el signo

B es falso si y sólo si ambas afirmaciones A y B son falsas.

Tabla de verdad de la función de suma lógica es una operación expresada por los conectivos “si..., entonces”, “de... se sigue”.  Declaración A

B es falso si y sólo si A es verdadero y B es falso. tabla de verdad función lógica

"implicación"  En el habla ordinaria, el conectivo “si..., entonces” describe la relación de causa y efecto entre declaraciones. Pero en las operaciones lógicas no se tiene en cuenta el significado de los enunciados. Los enunciados A y B forman un enunciado compuesto A

Lógico B, puede no tener ninguna relación en cuanto a su contenido. Sólo se considera su verdad o falsedad. o igualdad equivalente (o doble implicación ~ ) es una operación expresada por los conectivos “si y sólo entonces”, “necesario y suficiente”, “... equivalente a...”, y se denota con el signo  o

. El enunciado AB es verdadero si y sólo si los valores de A y B coinciden.

Tabla de verdad de la función lógica "equivalencia"

F=  La implicación se puede expresar mediante disyunción y negación:  B = A

EN.

La equivalencia se puede expresar mediante negación, disyunción y conjunción:  A  B = (Ā  ( EN)

A).

Así, las operaciones de negación, disyunción y conjunción son suficientes para describir y procesar enunciados lógicos. Para todos declaración compuesta Puedes construir una tabla de verdad que determinará su verdad o falsedad para varias combinaciones de valores iniciales de enunciados simples. Por ejemplo, considere la tabla de verdad de una expresión lógica. (A (Ā  )

EN)

tabla de verdad Ejemplo  . Determine el resultado de la operación lógica F = (A  B)  (DO D) en valores dados

variables lógicas A, B, C – verdadero, D – falso. .

D)

De la tabla de verdad construida se deduce que F=1

Hay cinco conectivos lógicos ampliamente utilizados. Estos son la negación (representada por el signo ¬), la conjunción (signo), la disyunción (signo v), la implicación (signo) y la equivalencia (signo). Declaración ¬ A Declaración ¬(dice "no Declaración ¬") significa que la declaración Declaración ¬ FALSO. En otras palabras, ¬ Declaración ¬ cierto cuando Declaración ¬ falso y falso cuando

verdadero. Declaración ¬ Declaración B Declaración ¬(lee " Declaración Y Declaración ¬") significa una declaración que es verdadera y Declaración, Y Declaración ¬(lee " Declaración.

verdadero. Declaración ¬. Es cierto sólo si ambas afirmaciones son verdaderas. Declaración (« Declaración ¬ v Declaración o Declaración ¬(lee " Declaración.

verdadero. Declaración ¬ Declaración") es verdadera si al menos una de las afirmaciones es verdadera Declaración ¬ lee " Declaración implica Declaración ¬" o "si Declaración, Eso Declaración ¬" Es incorrecto si Declaración verdadero,

falso y verdadero en todos los demás casos. Declaración ¬Declaración Finalmente, una declaración Declaración ¬(lee " Declaración cierto si las declaraciones

o ambas son verdaderas o ambas son falsas. Para indicar la estructura de las conexiones se utilizan paréntesis, tal como se hace en álgebra para indicar el orden de ejecución.. Así, por ejemplo, la afirmación ¬ Declaración ¬ Declaración medio " Declaración ¬ mal, pero Declaración verdadero”, y la declaración ¬( Declaración ¬ Declaración) - “no es cierto que Declaración ¬(lee " Declaración ambas son ciertas." Y al igual que en álgebra, para reducir el número de paréntesis se establece el orden de precedencia de las conectivas en función de la fuerza de la conexión. Arriba hemos enumerado los ligamentos en orden de debilitamiento de la conexión. Por ejemplo, una conjunción conecta más fuertemente que una implicación, por lo que la afirmación Declaración ¬ Declaración do entendido como Declaración ¬ (Declaración do), pero no como ( Declaración ¬ Declaración) do. Esto corresponde a lo que en álgebra a + b ? do medio a + (b ? do), pero no ( a + b) ? do.

A continuación se muestran algunos ejemplos de declaraciones compuestas.

Un conocido trabalenguas dice: “la garza se consumió, la garza se marchitó, la garza murió”. Esta afirmación se puede escribir en la forma: “la garza está atrofiada”, “la garza está seca”, “la garza está muerta”.

Proporción 0< z < 1 есть конъюнкция «z > 0» « z < 1», a соотношение |z| > 1 - disyunción " z> 1" v " z < -1». Определение логической связки данное выше, можно записать так:

[(Declaración ¬ Declaración) (Declaración ¬ Declaración) v (¬ Declaración ¬ ¬ Declaración)] [(Declaración ¬ Declaración) v (¬ Declaración ¬ ¬ Declaración) (Declaración ¬ Declaración)]

Dejamos al lector traducir al lenguaje ordinario la siguiente declaración:

“La luz está encendida” “La bombilla no está encendida” “No hay electricidad” v “Los enchufes están quemados” v “La bombilla está quemada”.

Si suponemos que los enunciados sólo pueden ser verdaderos o falsos y, más allá de esto, no se puede decir nada sobre un enunciado, entonces los conectivos enumerados son suficientes para expresar todas las construcciones imaginables a partir de enunciados. Incluso dos conectivos son suficientes, por ejemplo, negación y conjunción o negación y disyunción. Esta situación se da, en particular, con respecto a los enunciados matemáticos. Por tanto, otros conectivos no se utilizan en lógica matemática.

Sin embargo, el lenguaje natural refleja más diversidad en la evaluación de declaraciones que simplemente dividirlas en verdaderas y falsas. Por ejemplo, una afirmación puede considerarse carente de sentido o poco fiable, aunque posible (“debe haber lobos en este bosque”). A estas cuestiones se dedican secciones especiales de lógica, en las que se encuentran otros conectivos. Gran valor Para ciencia moderna estas secciones (a diferencia de las clásicas lógica matemática) no tenemos, y no los tocaremos.

CONEXIONES LÓGICAS– símbolos lenguajes lógicos, utilizado para la educación declaraciones complejas(fórmulas) de las elementales. Los conectivos lógicos también se denominan conjunciones del lenguaje natural correspondientes a estos símbolos. Normalmente se utilizan conectivos lógicos como la conjunción (la conjunción “y”, notaciones simbólicas: &, ∧ y un punto en forma de signo de multiplicación, que a menudo se omiten al escribir la conjunción F= Y A Cómo AB), disyunción (una conjunción vaga “o”, denotada como “∨”), implicación (“si..., entonces”, denotada por el signo “⊃” y varios tipos de flechas), negación (“no es cierto that...", indicado por: , ~ o una línea sobre la expresión negada). De los anteriores, la negación es un conectivo unario. Otros son dobles (binarios). En principio, los conectivos lógicos pueden ser tan locales como se desee, pero en la práctica, muy raramente se utilizan más que los conectivos binarios. En lógica clásica ( Lógicas , Lógica proposicional ) cualquier conectivo lógico de múltiples lugares se puede expresar en términos de los enumerados. Algún significado práctico se obtiene mediante el uso de un conectivo lógico ternario, llamado disyunción condicional, que conecta tres enunciados. A, B Y CON y significa que " F= En caso A") significa una declaración que es verdadera y CON en caso de no- Declaración"o formalmente: ( Declaración⊃Declaración ¬)&(Declaración⊃do) (Sidorenko E.A. Cálculo proposicional con disyunción condicional. – En el libro: Métodos análisis lógico. M., 1977).

La lógica clásica considera los conectivos lógicos de manera extensiva (ignorando el significado sustantivo de los enunciados que conectan) como funciones de verdad determinadas por los valores de verdad de los enunciados que conectan. Dados dos valores de verdad 1 (verdadero) y 0 (falso) en esta lógica, las declaraciones F= Y A puede tener cuatro conjuntos posibles de valores de verdad ordenados:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. La función de verdad proposicional asigna a cada conjunto enumerado uno de los valores de verdad: 1 o 0. Hay 16 funciones de este tipo en total. La conjunción asigna a la expresión. F=&A valor 1 solo si F=, entonces A cierto, es decir ambos tienen el valor 1, en otros casos el valor F=&A es igual a 0. Disyunción Α ∨ EN, por el contrario, es falso sólo en un caso, cuando ambos son falsos F=, entonces EN. Implicación F=⊃ A es falso sólo si el antecedente es verdadero F= y falso (consecuente) EN. En otros casos F=⊃ A toma el valor 1. De las cuatro funciones de un lugar, sólo la negación es de interés, cambiando el significado del enunciado al opuesto: cuando F=– verdadero, A – falso y viceversa. Todas las demás funciones clásicas unarias y binarias se pueden expresar en términos de las presentadas. Cuando el sistema de conectivos lógicos adoptado en la semántica correspondiente nos permite definir todos los demás, se le llama funcionalmente completo. Los sistemas completos en lógica clásica incluyen, en particular, conjunción y negación; disyunción y negación; implicación y negación. La conjunción y la disyunción se pueden definir entre sí debido a equivalencias ( F=&A)≡(F=∨(A y (A∨B)≡( F=&B), llamadas leyes de Morgan, y también: (Α⊃Β)≡( Α ∨A), (F=&A)≡(F=⊃B), ( Α ∨A)≡((F=⊃A)⊃A). Cualquier equivalencia de la forma. Declaración ¬≡ A es válida sólo cuando la conjunción ( F=⊃A)&(A⊃Declaración ¬).

Las funciones antidisyunción y anticonjunción, definidas respectivamente como ( F=∨(A Y ( F=&A), cada uno individualmente también representa un sistema de conectivos funcionalmente completo. Esta última circunstancia ya era conocida cap. (obra inédita durante su vida, 1880) y fue redescubierta por H.M. Utilizando la antidisyunción como único conectivo lógico, Schaeffer construyó en 1913 calculo completo declaraciones. La antidisyunción se denota por F=∣A y se llama derrame cerebral de Schaeffer, leyendo esta expresión como "no- Declaración ¬ y no- Declaración" J. G. P. Nicod usó la misma notación para anticonjunción (“No es cierto que al mismo tiempo F= Y Declaración") y con la ayuda únicamente de este conectivo en 1917 formuló un cálculo proposicional completo con uno (¡total!) axioma y una regla de inferencia. Así, el trazo de Schaeffer es esencialmente la propia línea vertical, que, según diferentes autores, puede significar tanto antidisyunción como anticonjunción.

La extensionalidad de los conectivos lógicos les da unicidad, simplifica el problema de construir cálculos lógicos y permite resolver problemas metateóricos de consistencia, decidibilidad y completitud para estos últimos (ver. metalógico ). Sin embargo, en algunos casos, la interpretación funcional de verdad de los conectivos conduce a una discrepancia significativa con la forma en que se entienden en el lenguaje natural. Así, la interpretación de verdad indicada de la implicación nos obliga a reconocer oraciones correctas como "si A, Eso Declaración"incluso cuando entre declaraciones F= Y A(y, en consecuencia, los eventos que en ellos se comentan) no hay conexión real. Suficiente para F= era falso o A- verdadero. Por tanto, a partir de dos frases: “Si A, Eso A» y "si EN, Eso F=", hay que reconocer al menos una cosa como cierta, que no encaja bien con el uso habitual de la cópula condicional. Implicación en en este caso especialmente llamado "material", distinguiéndolo así de una conjunción condicional, que supone que existe una conexión real entre el antecedente y el consecuente de un enunciado condicional verdadero. Al mismo tiempo, la implicación material se puede utilizar perfectamente en muchos contextos, por ejemplo, matemáticos, siempre que no se olvide de ella. características específicas. En algunos casos, sin embargo, es el contexto el que no permite interpretar la conjunción condicional como una implicación material, sugiriendo la interconexión de enunciados. Para analizar tales contextos, es necesario construir lógicas no clásicas , por ejemplo, relevante (ver Lógica relevante ), en cuyo lenguaje, en lugar de una implicación material (o junto con ella), se introducen otras implicaciones, que se entienden intencionalmente (sustantivamente) y cuya verdad no puede justificarse verazmente funcionalmente. También se pueden interpretar intensivamente otros conectivos lógicos.

Literatura:

1. iglesia a. Introducción a la lógica matemática, vol. 1. M., 1960;

2. Curry H. Fundamentos de la lógica matemática. M., 1969.

E.A.Sidorenko