Para encontrar la integral definida por el método trapezoidal, el área trapecio curvo también se divide en n trapecios rectangulares con alturas h y bases y 1, y 2, y 3,...y n, donde n es el número del trapezoide rectangular. La integral será numéricamente. igual a la sumaáreas de trapecios rectangulares (Figura 4).
Arroz. 4
n - número de particiones
El error de la fórmula trapezoidal se estima mediante el número
El error de la fórmula del trapezoide disminuye más rápido con el crecimiento que el error de la fórmula del rectángulo. Por tanto, la fórmula trapezoidal permite una mayor precisión que el método del rectángulo.
la fórmula de simpson
Si para cada par de segmentos construimos un polinomio de segundo grado, luego lo integramos en el segmento y usamos la propiedad de aditividad de la integral, obtenemos la fórmula de Simpson.
En el método de Simpson, para calcular una integral definida, todo el intervalo de integración se divide en subintervalos longitud igual h=(b-a)/n. El número de segmentos de partición es un número par. Luego, en cada par de subintervalos adyacentes, la función integrando f(x) se reemplaza por un polinomio de Lagrange de segundo grado (Figura 5).
Arroz. 5 La función y=f(x) en el segmento se reemplaza por un polinomio de segundo orden
Consideremos el integrando en un segmento. Reemplacemos este integrando por un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado, coincidiendo con y= en los puntos:
Integramos en el segmento:
Introduzcamos un cambio de variables:
Considerando las fórmulas de reemplazo,
Luego de realizar la integración obtenemos la fórmula de Simpson:
El valor obtenido para la integral coincide con el área de un trapecio curvilíneo delimitado por un eje, rectas y una parábola que pasa por puntos. En un segmento, la fórmula de Simpson quedará así:
En la fórmula de la parábola, el valor de la función f(x) en los puntos impares de la partición x 1, x 3, ..., x 2n-1 tiene un coeficiente de 4, en los puntos pares x 2, x 4, . .., x 2n-2 - coeficiente 2 y en dos puntos límite x 0 =a, x n =b - coeficiente 1.
El significado geométrico de la fórmula de Simpson: el área de un trapecio curvilíneo bajo la gráfica de la función f(x) en un segmento se reemplaza aproximadamente por la suma de las áreas de las figuras que se encuentran debajo de las parábolas.
Si la función f(x) tiene una derivada continua cuarto orden, Eso valor absoluto los errores de la fórmula de Simpson no son más que
donde M - valor más alto en el segmento. Dado que n 4 crece más rápido que n 2, el error de la fórmula de Simpson disminuye al aumentar n mucho más rápido que el error de la fórmula trapezoidal.
Calculemos la integral
Esta integral es fácil de calcular:
Tomemos n igual a 10, h=0,1, calculemos los valores del integrando en los puntos de partición, así como los puntos semienteros.
Usando la fórmula de los rectángulos promedio, obtenemos I recta = 0,785606 (el error es 0,027%), usando la fórmula del trapezoide I trampa = 0,784981 (el error es aproximadamente 0,054. Cuando se usa el método de los rectángulos derecho e izquierdo, el error es mayor del 3%.
Para comparar la precisión de fórmulas aproximadas, calculemos la integral nuevamente.
pero ahora según la fórmula de Simpson con n=4. Dividamos el segmento en cuatro partes iguales por los puntos x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 y calculemos aproximadamente los valores de la función. f(x)=1/( 1+x) en estos puntos: 0 =1.0000, 1 =0.8000, 2 =0.6667, 3 =0.5714, 4 =0.5000.
Usando la fórmula de Simpson obtenemos
Estimemos el error del resultado obtenido. Para la función integrando f(x)=1/(1+x) tenemos: f (4) (x)=24/(1+x) 5, lo que significa que en el segmento . Por lo tanto, podemos tomar M = 24 y el error del resultado no excede 24/(2880 4 4) = 0,0004. Comparando el valor aproximado con el exacto, concluimos que el error absoluto del resultado obtenido mediante la fórmula de Simpson es inferior a 0,00011. Esto concuerda con la estimación del error dada anteriormente y, además, indica que la fórmula de Simpson es mucho más precisa que la fórmula trapezoidal. Por lo tanto, la fórmula de Simpson se utiliza con más frecuencia para el cálculo aproximado de integrales definidas que la fórmula trapezoidal.
Surge un problema sobre el cálculo numérico de una integral definida, que se puede resolver utilizando fórmulas llamadas fórmulas de cuadratura.
Recordemos las fórmulas más simples. integración numérica.
Calculemos el valor numérico aproximado. Dividimos el intervalo de integración [a, b] en n partes iguales dividiendo puntos 
, llamados nodos de la fórmula de cuadratura. Que se conozcan los valores en los nodos. 
:
Magnitud 
llamado intervalo de integración o paso. Tenga en cuenta que en la práctica, en los cálculos, el número i se elige pequeño, normalmente no es más de 10-20 en un intervalo parcial. 
el integrando se reemplaza por un polinomio de interpolación
que representa aproximadamente la función f (x) en el intervalo considerado.
a) Mantengamos solo un primer término en el polinomio de interpolación, entonces
La fórmula cuadrática resultante
llamada fórmula del rectángulo.
b) Mantengamos los dos primeros términos del polinomio de interpolación, entonces
(2)
La fórmula (2) se llama fórmula trapezoidal.
c) Intervalo de integración 
vamos a dividirlo en número par 2n partes iguales, y el paso de integración h será igual a 
. en el intervalo 
de longitud 2h, reemplazamos el integrando con un polinomio de interpolación de segundo grado, es decir, conservamos los primeros tres términos del polinomio:
La fórmula de cuadratura resultante se llama fórmula de Simpson.
(3)
Las fórmulas (1), (2) y (3) tienen una simple significado geométrico. En la fórmula de rectángulos, la función integrando f(x) en el intervalo 
se reemplaza por un segmento de línea recta y = yk, paralelo al eje de abscisas, y en la fórmula trapezoidal, por un segmento de línea recta 
y se calcula el área del rectángulo y del trapezoide rectilíneo respectivamente, que luego se suman. En la fórmula de Simpson, la función f(x) en el intervalo 
La longitud 2h se reemplaza por un trinomio cuadrado: una parábola. 
Se calcula el área de un trapecio parabólico curvilíneo y luego se suman las áreas.
CONCLUSIÓN
Al final del trabajo, me gustaría señalar una serie de características de la aplicación de los métodos discutidos anteriormente. Cada método de solución aproximada de una integral definida tiene sus propias ventajas y desventajas, dependiendo de la tarea en cuestión, se deben utilizar métodos específicos.
Método de reemplazo variable es uno de los principales métodos para calcular integrales indefinidas. Incluso en los casos en los que integramos mediante algún otro método, a menudo tenemos que recurrir a cambiar variables en cálculos intermedios. El éxito de la integración depende en gran medida de si somos capaces de seleccionar un cambio de variables tan exitoso que simplifique la integral dada.
En esencia, el estudio de los métodos de integración se reduce a descubrir qué tipo de reemplazo de variable se debe realizar para tal o cual tipo de integrando.
De este modo, integración de cualquier fracción racional se reduce a integrar un polinomio y varias fracciones simples.
La integral de cualquier función racional se puede expresar mediante funciones elementales en forma final, a saber:
mediante logaritmos - en casos de fracciones simples del tipo 1;
a través de funciones racionales - en el caso de fracciones simples del tipo 2
a través de logaritmos y arcotangentes - en el caso de fracciones simples del tipo 3
a través de funciones racionales y arcotangentes, en el caso de fracciones simples del tipo 4. Universal sustitución trigonométrica siempre racionaliza el integrando, pero a menudo conduce a resultados muy engorrosos., para el cual, en particular, es casi imposible encontrar las raíces del denominador.
Por tanto, siempre que sea posible, se utilizan sustituciones parciales, que también racionalizan el integrando y conducen a fracciones menos complejas. Fórmula de Newton-Leibniz representa enfoque general
para encontrar integrales definidas.
En cuanto a las técnicas para calcular integrales definidas, prácticamente no se diferencian de todas esas técnicas y métodos. Aplicar exactamente de la misma manera. métodos de sustitución
(cambio de variable), método de integración por partes, las mismas técnicas para encontrar antiderivadas para funciones trigonométricas, irracionales y trascendentales. La única peculiaridad es que al utilizar estas técnicas es necesario extender la transformación no sólo a la función integrando, sino también a los límites de integración. Al reemplazar la variable de integración, no olvide cambiar los límites de integración en consecuencia. Como debería del teorema, la condición para la continuidad de la función es una condición suficiente para la integrabilidad de una función. Pero eso no significa que integral definida existe sólo para funciones continuas. La clase de funciones integrables es mucho más amplia. Por ejemplo, existe una integral definida de funciones que tienen numero final
puntos de quiebre. Calcular la integral definida de una función continua usando la fórmula de Newton-Leibniz se reduce a encontrar la antiderivada, que siempre existe, pero no siempre función elemental
o una función para la que se han elaborado tablas que permiten obtener el valor de la integral. En numerosas aplicaciones, la función integrable se especifica en una tabla y la fórmula de Newton-Leibniz no es directamente aplicable. Si necesita obtener el resultado más preciso, es ideal.
método simpson De lo que hemos aprendido anteriormente podemos hacer próxima salida
que la integral se utiliza en ciencias como la física, la geometría, las matemáticas y otras ciencias. Utilizando la integral se calcula el trabajo de la fuerza, se encuentran las coordenadas del centro de masa y el camino recorrido por el punto material. En geometría se utiliza para calcular el volumen de un cuerpo, encontrar la longitud del arco de una curva, etc.
sobre el tema 4.1:
La solución de muchos problemas técnicos se reduce al cálculo de determinadas integrales, cuya expresión exacta es compleja, requiere largos cálculos y no siempre está justificada en la práctica. Aquí su valor aproximado es bastante suficiente. Por ejemplo, necesitas calcular el área. delimitado por una línea, cuya ecuación se desconoce, el eje incógnita y dos ordenadas. En este caso, puedes reemplazar esta linea más simple, cuya ecuación se conoce. El área del trapezoide curvilíneo así obtenida se toma como valor aproximado de la integral deseada. Geométricamente, la idea del método para calcular la integral definida usando la fórmula del rectángulo es que el área de un trapecio curvilíneo A 1 ABC 1 se reemplaza por el área de un rectángulo igual A 1 A 2 B 1 B 2, que según el teorema del valor medio es igual a
Dónde f(c) --- altura rectángulo A 1 A 2 B 1 B 2, representando el valor del integrando en algún punto intermedio California< c
Es casi difícil encontrar tal valor. Con, en el cual (b-a) f (c) sería exactamente igual a . Para obtener un valor más preciso, el área de un trapezoide curvilíneo se divide en norte rectángulos cuyas alturas son iguales y 0 , y 1 , y 2 , ..., y n -1 y terrenos.
Si sumamos las áreas de los rectángulos que cubren el área de un trapezoide curvilíneo con una desventaja, la función no es decreciente, entonces en lugar de la fórmula usamos la fórmula
Si es en exceso, entonces
Los valores se encuentran a partir de igualdades. Estas fórmulas se llaman fórmulas de rectángulo y dar un resultado aproximado. Con aumento norte el resultado se vuelve más preciso.
Ejemplo 1 . Calcular usando la fórmula del rectángulo
Dividamos el intervalo de integración en 5 partes. Entonces . Usando una calculadora o tabla, encontraremos los valores del integrando (con una precisión de 4 decimales):
Según la fórmula de los rectángulos (con desventaja)
Por otro lado, según la fórmula de Newton-Leibniz
Encontremos el error de cálculo relativo usando la fórmula del rectángulo:
Cálculo de integrales mediante fórmulas trapezoidales. Estimación de errores:
El significado geométrico del siguiente método de cálculo aproximado de integrales es encontrar el área de un trapecio "rectilíneo" de aproximadamente el mismo tamaño.
Sea necesario calcular el área. A 1 AmBB 1 trapezoide curvilíneo, expresado por la fórmula.
Reemplacemos el arco AmB acorde AB y en lugar del área de un trapecio curvilíneo A 1 AmBB 1 calcular el área del trapezoide A 1 AB 1: 
, Dónde AA 1 Y CAMA Y DESAYUNO 1 - las bases del trapezoide, y A 1B 1 – su altura.
denotemos f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. altura trapezoidal A 1 B 1 = b-a, cuadrado 
. Por eso, 
o
Este es el llamado pequeña fórmula trapezoide.
Al calcular una integral definida, no siempre obtenemos una solución exacta. La representación en forma de función elemental no siempre es posible. La fórmula de Newton-Leibniz no es adecuada para el cálculo, por lo que se deben utilizar métodos de integración numérica. Este método le permite obtener datos con alta precisión. El método de Simpson es precisamente eso.
Para ello, es necesario dar una representación gráfica de la derivación de la fórmula. El siguiente es un registro de la estimación del error absoluto utilizando el método de Simpson. En conclusión, compararemos tres métodos: Simpson, rectángulos, trapecios.
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Método de la parábola: esencia, fórmula, evaluación, errores, ilustraciones.
Se da una función de la forma y = f (x), que tiene continuidad en el intervalo [ a ; b ] , es necesario calcular la integral definida ∫ a b f (x) d x
Es necesario dividir el segmento [a; b ] en n segmentos de la forma x 2 i - 2 ; x 2 yo , yo = 1 , 2 , . . . , n con longitud 2 h = b - a n y puntos a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .
Cada intervalo x 2 i - 2 ; x 2 yo , yo = 1 , 2 , . . . , n del integrando se aproxima usando una parábola definida por y = a i x 2 + b i x + c i pasando por puntos con coordenadas x 2 i - 2 ; f (x 2 yo - 2), x 2 yo - 1 ; x 2 yo - 1 , x 2 yo ; f (x 2 i) . Por eso el método tiene este nombre.
Estas acciones se realizan para tomar la integral ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x como valor aproximado ∫ x 2 i - 2 x 2 if (x) d x . Podemos calcular usando la fórmula de Newton-Leibniz. Ésta es la esencia del método de la parábola. Considere la siguiente figura.
Ilustración gráfica del método de la parábola (Simpson)
Usando la línea roja, se representa la gráfica de la función y = f (x), y la línea azul es una aproximación de la gráfica y = f (x) usando parábolas cuadráticas.
Con base en la quinta propiedad de la integral definida, obtenemos ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 yo (a yo x 2 + b yo x + c yo) d x
Para obtener la fórmula mediante el método de la parábola es necesario realizar el siguiente cálculo:
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x
Sea x 2 i - 2 = 0 . Considere la siguiente figura.
Representémoslo a través de los puntos con coordenadas x 2 i - 2 ; f (x 2 yo - 2), x 2 yo - 1 ; x 2 yo - 1 , x 2 yo ; f (x 2 i) puede pasar por una parábola cuadrática de la forma y = a i x 2 + b i x + c i. En otras palabras, es necesario demostrar que los coeficientes sólo pueden determinarse de una única forma.
Tenemos que x 2 i - 2 ; f (x 2 yo - 2), x 2 yo - 1 ; x 2 yo - 1 , x 2 yo ; f (x 2 i) son puntos de la parábola, entonces cada una de las ecuaciones presentadas es válida. lo entendemos
a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a yo (x 2 i) 2 + b yo x 2 yo + c yo = f (x 2 yo)
El sistema resultante se resuelve con respecto a a i, b i, c i, donde es necesario buscar el determinante de la matriz según Vandermonde. lo entendemos
(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , y se considera distinto de cero y no coincide con los puntos x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Este es un signo de que la ecuación tiene una sola solución, entonces los coeficientes seleccionados a i ; b i ; c i sólo puede determinarse de forma única, entonces a través de los puntos x 2 i - 2 ; f (x 2 yo - 2), x 2 yo - 1 ; x 2 yo - 1 , x 2 yo ; f (x 2 i) solo puede pasar una parábola.
Podemos proceder a encontrar la integral ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.
Esta claro que
f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a yo h 2 + 2 b yo h + c yo
Para realizar la última transición, es necesario utilizar una desigualdad de la forma
∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i
Entonces, obtenemos la fórmula usando el método de la parábola:
∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ yo = 1 norte - 1 f (x 2 yo) + f (x 2 norte)
Definición 1
La fórmula del método de Simpson es ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 norte) .
La fórmula para estimar el error absoluto tiene la forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .
Ejemplos de cálculo aproximado de integrales definidas mediante el método de la parábola
El método de Simpson implica el cálculo aproximado de integrales definidas. Muy a menudo, hay dos tipos de problemas a los que se aplica este método:
- en el cálculo aproximado de una integral definida;
- al encontrar un valor aproximado con una precisión de δ n.
La precisión del cálculo se ve afectada por el valor de n; cuanto mayor sea n, más precisos serán los valores intermedios.
Ejemplo 1
Calcula la integral definida ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 usando el método de Simpson, dividiendo el segmento de integración en 5 partes.
Solución
Por condición se sabe que a = 0; segundo = 5; norte = 5, f(x) = x x 4 + 4.
Luego escribimos la fórmula de Simpson en la forma
∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)
Para aplicarlo completamente, es necesario calcular el paso usando la fórmula h = b - a 2 n, determinar los puntos x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n y encuentre los valores de la función integrando f (xi) , i = 0 , 1 , . . . , 2 norte .
Los cálculos intermedios deben redondearse a 5 dígitos. Sustituyamos los valores y obtenemos
h = b - a 2 norte = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5
Encontremos el valor de la función en los puntos.
yo = 0: x yo = x 0 = a + yo · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . yo = 10: x yo = x 10 = a + yo · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795
La claridad y la conveniencia se presentan en la siguiente tabla.
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xyo | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 . 5 | 2 | 2 . 5 |
| f x i | 0 | 0 . 12308 | 0 . 2 | 0 . 16552 | 0 . 1 | 0 . 05806 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| xyo | 3 | 3 . 5 | 4 | 4 . 5 | 5 |
| f x i | 0 . 03529 | 0 . 02272 | 0 . 01538 | 0 . 01087 | 0 . 00795 |
Es necesario sustituir los resultados en la fórmula del método de la parábola:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171
Para el cálculo elegimos una integral definida, que se puede calcular con Newton-Leibniz. Obtenemos:
∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274
Respuesta: Los resultados coinciden hasta centésimas.
Ejemplo 2
Calcula la integral indefinida ∫ 0 π sen 3 x 2 + 1 2 d x usando el método de Simpson con una precisión de 0.001.
Solución
Por condición tenemos que a = 0, b = π, f (x) = sen 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Es necesario determinar el valor de n. Para hacer esto, use una fórmula para estimar el error absoluto del método Simpson de la forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001
Cuando encontramos el valor de n, entonces la desigualdad m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 será ejecutado. Luego, utilizando el método de la parábola, el error en el cálculo no excederá 0. 001. La última desigualdad toma la forma
norte 4 ≥ ma x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88
Ahora necesitamos averiguar cuál es el valor más grande que puede tomar el módulo de la cuarta derivada.
f " (x) = sen 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sen 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sen 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sen 3 x 2
El dominio de definición f (4) (x) = 81 16 sen 3 x 2 pertenece al intervalo - 81 16 ; 81 16, y el segmento de integración en sí [0; π) tiene un punto extremo, se deduce que m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .
Hacemos la sustitución:
norte 4 ≥ ma x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ norte 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ norte > 4 . 8159
Encontramos que n – número natural, entonces su valor puede ser igual a n = 5, 6, 7... primero debes tomar el valor n = 5.
Realice acciones similares al ejemplo anterior. Necesitas calcular el paso. Para esto
h = segundo - a 2 norte = π - 0 2 5 = π 10
Encontremos los nodos x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , entonces el valor del integrando tendrá la forma
i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sen 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = pecado 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sen 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10
Queda por sustituir los valores en la fórmula de la solución usando el método de la parábola y obtenemos
∫ 0 π sen 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566-0. 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785-0. 5 = = 2 . 237650
El método de Simpson nos permite obtener un valor aproximado de la integral definida ∫ 0 π sen 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 con una precisión de 0,001.
Al calcular utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos como resultado
∫ 0 π sen 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463
Respuesta:∫ 0 π sen 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237
Comentario
En la mayoría de los casos, encontrar m a x [ a ; b ] f (4) (x) es problemático. Por tanto, se utiliza una alternativa: el método de la parábola. Su principio se explica en detalle en la sección sobre el método trapezoidal. El método de la parábola se considera el método preferido para resolver la integral. El error computacional afecta el resultado n. Cuanto menor sea su valor, más preciso será el número aproximado requerido.
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Dividamos el segmento de integración [ A, b] a un número par norte partes iguales en incrementos h. En cada segmento [ incógnita 0, incógnita 2], [incógnita 2, incógnita 4],..., [incógnita i-1, incógnita yo+1],..., [ incógnita n-2, incógnita n] función integrando F(incógnita) reemplazamos con un polinomio de interpolación de segundo grado:
Los coeficientes de estos trinomios cuadrados se puede encontrar a partir de las condiciones de igualdad del polinomio en los puntos correspondientes a los datos tabulares. Podemos tomar como polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado que pasa por los puntos 
:
La suma de áreas elementales y (figura 3.3) se puede calcular mediante una integral definida. Teniendo en cuenta las igualdades que obtenemos
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Arroz. 3.3. Ilustración del método de Simpson.
Habiendo realizado dichos cálculos para cada segmento elemental, resumimos las expresiones resultantes:
esta expresión Para S se toma como el valor de la integral definida:
(3.35)
La relación resultante se llama la fórmula de simpson o fórmula de parábola.
Esta fórmula se puede obtener de otras formas, por ejemplo, utilizando el método trapezoidal dos veces al dividir el segmento [ A, b] en partes con pasos h y 2 h o combinando las fórmulas de rectángulos y trapecios (ver Sección 3.2.6).
A veces, la fórmula de Simpson se escribe utilizando índices semienteros. En este caso, el número de segmentos de la partición. norte arbitraria (no necesariamente uniforme), y la fórmula de Simpson tiene la forma
(3.36)
Es fácil ver que la fórmula (3.36) coincide con (3.35) si se aplica la fórmula (3.35) para el número de segmentos de la partición 2 norte y paso h/2.
Ejemplo. Calcular la integral usando el método de Simpson.
Valores de función en norte = 10, h = 0,1 se dan en la tabla. 3.3. Aplicando la fórmula (3.35), encontramos
El resultado de la integración numérica utilizando el método Simpson resultó coincidir con valor exacto(seis cifras significativas).
Uno de los posibles algoritmos para calcular una integral definida utilizando el método de Simpson se muestra en la figura. 3.4. Los límites del segmento de integración [ A, b],error ε, así como una fórmula para calcular los valores del integrando y =F(incógnita) .
Arroz. 3.4. Algoritmo del método Simpson
Inicialmente, el segmento se divide en dos partes con un paso h =(b- a)/2. Se calcula el valor de la integral. I 1. Luego se duplica el número de pasos, se calcula el valor. I 2 en incrementos h/2. La condición para el final del conteo se toma en el formulario. Si no se cumple esta condición, un nuevo paso se divide por la mitad, etc.
Tenga en cuenta lo que se muestra en la Fig. 3.4 el algoritmo no es óptimo: al calcular cada aproximación I 2 valores de función no se utilizan F(incógnita), ya encontrado en la etapa anterior. En la sección se analizarán algoritmos más económicos. 3.2.7.
