Calcular el área de un círculo mediante una sustitución trigonométrica integral definida. Métodos eficientes para resolver integrales definidas e impropias.

Integral impropia

con varias características.

Si una función está definida en el intervalo (a,b) y no está acotada en los puntos a y b y para alguna elección del punto c (a,b), hay integrales impropias en los semiintervalos (a,c] y el integrando está definido. Pero x = 1 es un punto singular.

Para que la integral converja, las integrales deben converger.

Consideremos primero

PAG

cuando b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] no tiene límite  esto y, como consecuencia, las integrales originales divergen.

Nota.

Si no le prestas atención punto especial y aplicar la fórmula Newton-Leibniz, entonces puedes obtener la respuesta incorrecta ln1/3. Por lo tanto, antes de examinar la integral impropia para la convergencia, es útil estudiar cuidadosamente el integrando, encontrar sus puntos singulares y construir un esquema. En nuestro ejemplo, la función en el segmento se parece a esto:

En consecuencia, toda la integral diverge; solo notamos que en el intervalo  .(8)

0 a b X 0 a b X

Fig. explicando la integral (7) Fig. explicando la integral (8)

Si la función está definida en el intervalo (a,b) y no está acotada en los puntos a y b, y para alguna elección del punto c (a,b), hay integrales impropias en los semiintervalos (a,c] y el El integrando está definido. Pero x=1 es un punto especial.

Para que la integral converja, las integrales deben converger.

Consideremos primero

PAG

cuando b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] no tiene límite  esto y, como consecuencia, las integrales originales divergen.

Nota. Si no presta atención al punto singular y aplica la fórmula de Newton-Leibniz, puede obtener la respuesta incorrecta ln1/3. Por lo tanto, antes de examinar la integral impropia de convergencia, es útil estudiar detenidamente el integrando y encontrar su singular. puntos y construir un boceto. En nuestro ejemplo, la función en el segmento se parece a esto (Figura 5)

FÓRMULAS DE CÁLCULO INTEGRAL PARA IMPROPIOS

INTEGRAL.

1) Fórmula de Newton-Leibniz.

Sea la función f continua en

t

.mi. converge, y para fg=1/x

Y
la integral diverge, la función fg=1/x no es integrable en sentido impropio en (0,1]

INTEGRALES INADECUADAS DE FUNCIONES CONSTANTES.

En un curso de análisis matemático existen integrales impropias cuyo valor es difícil de calcular con precisión, por ejemplo (8.1)

Y

luego se le asigna al estudiante la tarea de estudiar la integral impropia de convergencia sin calcular su valor. Para ello es necesario utilizar los siguientes métodos:

SIGNO DE COMPARACIÓN.

La característica principal para estudiar la convergencia de integrales impropias a partir de funciones de signo constante. Su esencia se reduce a la selección de la llamada función de comparación, cuya integral impropia en un intervalo dado se puede calcular fácilmente y se puede sacar una conclusión. sobre la convergencia de la integral original usando las siguientes afirmaciones:

PAG

Sean las funciones f(x) y g(x) no negativas en el medio intervalo: