¡Hola amigos!EN composición del examen estatal unificado matemáticasincluye tareas relacionadas con encontrar el área de un círculo o sus partes (sectores, elementos anulares). La figura está colocada en una hoja de papel con un patrón de cuadros. En algunos problemas, la escala de la celda se da como 1×1 centímetro, en otros no se especifica: se da el área del elemento del círculo o el círculo mismo.
Las tareas son poco profundas, es necesario recordar la fórmula para el área de un círculo, poder determinar visualmente (por celdas) el radio del círculo, qué proporción del círculo es el sector seleccionado. Por cierto, en el blog sobre la zona del sector. Su contenido no tiene nada que ver con la resolución de los problemas que se presentan a continuación, pero para quienes quieran recordar la fórmula del área de un círculo y el área de un sector será de gran utilidad. Considere las tareas (tomada del banco de tareas abierto):
Encuentre (en cm2) el área S de la figura que se muestra en papel a cuadros con un tamaño de celda de 1 cm x 1 cm Escribe S/l en tu respuesta.
Para obtener el área de una figura (anillo), es necesario restar el área de un círculo con radio 1 del área de un círculo con radio 2. La fórmula para el área de un círculo es:
Medio,
Divide el resultado por Pi y escribe la respuesta.
Respuesta: 3
Se dibujan dos círculos en papel cuadriculado. El área del círculo interior es 51. Calcula el área de la figura sombreada.
El área de la figura sombreada se puede encontrar calculando la diferencia entre el área del círculo mayor y el área del círculo más pequeño. Determinemos cuántas veces el área del más grande difiere del área del más pequeño. Sea el radio del más pequeño igual a R, entonces su área es igual a:
El radio del círculo más grande es el doble (se puede ver en las celdas). Entonces su área es igual a:
Encontramos que su área es 4 veces mayor.
Por tanto, es igual a 51∙4 = 204 cm 2
Por tanto, el área de la figura sombreada es 204 – 51 = 153 cm 2.
*Segundo método. Era posible calcular el radio del círculo pequeño y luego determinar el radio del círculo más grande. A continuación, encuentra el área del más grande y calcula el área de la figura deseada.
Se dibujan dos círculos en papel a cuadros. El área del círculo interior es 1. Calcula el área de la figura sombreada.
Este problema prácticamente no se diferencia del anterior en su solución, la única diferencia es que los círculos tienen centros diferentes;
A pesar de que está claro que el radio del círculo más grande es 2 veces mayor que el radio más pequeña, te aconsejo que designes el tamaño de la celda con la variable x (x).
Al igual que en el problema anterior, determinemos cuántas veces difiere el área del más grande del área del más pequeño. Expresemos el área del círculo más pequeño, ya que su radio es 3x:
Expresemos el área del círculo mayor, ya que su radio es 6x:
Como puedes ver, el área del círculo más grande es 4 veces mayor.
Por tanto, es igual a 1∙4 = 4 cm 2
Por tanto, el área de la figura sombreada es 4 – 1 = 3 cm 2.
Respuesta: 3
Se dibujan dos círculos en papel cuadriculado. El área del círculo interior es 9. Calcula el área de la figura sombreada.
Denotemos el tamaño de la celda por la variable x (x).
Determinemos cuántas veces el área del círculo más grande difiere del área del más pequeño. Expresemos el área del círculo más pequeño. Como su radio es 3∙x, entonces
Expresemos el área del círculo más grande. Como su radio es 4∙x, entonces
Divide el área del mayor por el área del menor:
Es decir, el área del círculo mayor es 16/9 veces más área menos, por lo tanto es igual a:
Por tanto, el área de la figura sombreada es 16 – 9 = 7 cm 2.
*Segundo método.
Calculemos el radio del círculo más pequeño. Su área es 9, lo que significa
Encontremos el tamaño de la celda y luego podremos determinar el radio del círculo más grande. El tamaño de la celda es:
Dado que el radio del círculo más grande corresponde a 4 celdas, su radio será igual a:
Determina el área del círculo más grande:
Encuentra la diferencia: 16 – 9 = 7 cm 2
Respuesta: 7
Se dibuja un círculo con un área de 48 en papel cuadriculado. Calcula el área del sector sombreado.
En este problema, es obvio que la parte sombreada es la mitad del área de todo el círculo, es decir, igual a 24.
Respuesta: 24
Un breve resumen.
En problemas relacionados con el área de un sector de un círculo, es necesario poder determinar qué proporción constituye el área del círculo. Esto no es difícil de hacer, ya que en tales problemas ángulo central El sector es múltiplo de 30 o 45.
En los problemas relacionados con encontrar las áreas de elementos anulares, existen diferentes caminos para la solución, ambos se muestran en los problemas resueltos. El método en el que se indica el tamaño de la celda mediante la variable x y luego se determinan los radios es más universal.
Pero lo más importante es no memorizar estos métodos. Puedes encontrar una tercera y cuarta solución. Lo principal es conocer la fórmula del área de un círculo y poder razonar lógicamente.
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
figura sombreada.
188. Prototipo de tarea B5 (Nº 315124)
Se dibujan dos círculos en papel a cuadros. El área del círculo interior es 9. Calcula el área de la figura sombreada.
189. Prototipo de tarea B5 (nº 315132)
Se dibuja un círculo con un área de 48 en papel cuadriculado. Calcula el área del sector sombreado.
190. Prototipo de tarea B5 (Nº 315133)
Se representa un círculo en papel a cuadros. ¿Cuál es el área del círculo si el área del sector sombreado es 32?
193. Prototipo de tarea B5 (nº 319057)
El área del paralelogramo ABCD es 176. El punto E es el punto medio del lado CD. Encuentra el área del triángulo ADE.
194. Prototipo de tarea B5 (Nº 319058)
Cuadrado triangulo abc igual a 12.DE - la línea media paralela al lado AB. Encuentra el área del trapezoideABDE.
195. Prototipo de tarea B5 (Nº 324460)
Los puntos A y B están marcados en papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1 × 1. Encuentra la longitud del segmento AB.
196. Prototipo de tarea B5 (Nº 324461)
Se representa un ángulo en papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1 × 1. Encuentra su valor en grados.
197. Prototipo de tarea B5 (Nº 324462)
En papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1 × 1, se representa el triángulo ABC. Encuentra su longitud línea media, paralelo al lado AB.
198. Prototipo de tarea B5 (Nº 324463)
En papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1 × 1, se representa el triángulo ABC. Encuentre la longitud de su altura bajada al lado AB.
191. Prototipo de tarea B5 (Nº 317338)
El área del paralelogramo ABCD es 189. El punto E es el punto medio del lado AD. Encuentra el área del trapezoide AECB.
192. Prototipo de tarea B5 (Nº 319056)
El área del paralelogramo ABCD es 153. Encuentra el área del paralelogramo A " B " C " D " cuyos vértices son los puntos medios de los lados de este paralelogramo.
199. Prototipo de tarea B5 (Nº 324464)
Se representa un triángulo rectángulo isósceles en papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1 × 1. Encuentra la longitud de su mediana dibujada a la hipotenusa.
200. Prototipo de tarea B5 (Nº 324465)
Los puntos A, B y C están marcados en papel cuadriculado con un tamaño cuadrado de 1×1. Encuentre la distancia desde el punto A hasta la línea BC.
201. Prototipo de tarea B5 (Nº 324466)
Se representa un triángulo en papel a cuadros con un tamaño cuadrado de 1 × 1. Encuentra el radio del círculo descrito a su alrededor.
Los círculos requieren un enfoque más cuidadoso y son mucho menos comunes en las tareas B5. Al mismo tiempo, esquema general las soluciones son incluso más sencillas que en el caso de los polígonos (ver lección " Áreas de polígonos en una cuadrícula de coordenadas. »).
Todo lo que se requiere en tales tareas es encontrar el radio del círculo R. Luego puedes calcular el área del círculo usando la fórmula S = πR 2. También se deduce de esta fórmula que para resolverlo basta con encontrar R 2.
Para encontrar los valores indicados, basta con indicar un punto del círculo que se encuentra en la intersección de las líneas de la cuadrícula. Y luego usa el teorema de Pitágoras. Consideremos ejemplos específicos cálculos de radio:
Tarea. Encuentra los radios de los tres círculos que se muestran en la figura:
Vamos a hacerlo construcciones adicionales en cada círculo:
En cada caso, se elige el punto B en el círculo para que se encuentre en la intersección de las líneas de la cuadrícula. El punto C en los círculos 1 y 3 completa la figura para triángulo rectángulo. Queda por encontrar los radios:
Considere el triángulo ABC en el primer círculo. Según el teorema de Pitágoras: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Para el segundo círculo todo es obvio: R = AB = 2.
El tercer caso es similar al primero. Del triángulo ABC usando el teorema de Pitágoras: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Ahora sabemos cómo encontrar el radio de un círculo (o al menos su cuadrado). Por tanto, podemos encontrar el área. Hay problemas en los que es necesario encontrar el área de un sector y no el círculo completo. En tales casos, es fácil averiguar qué parte del círculo es este sector y así encontrar el área.
Tarea. Encuentra el área S del sector sombreado. Indique S/π en su respuesta.
Evidentemente, el sector es un cuarto de círculo. Por lo tanto, S = 0,25 S círculo.
Queda por encontrar S del círculo, el área del círculo. Para ello, realizamos una construcción adicional:
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras tenemos: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Ahora encontramos el área del círculo y el sector: S círculo = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S círculo = 2π.
Finalmente, el valor deseado es S /π = 2.
Área del sector con radio desconocido.
Esto es absolutamente nuevo tipo tareas, no hubo nada como esto en 2010-2011. Según la condición, se nos da un círculo. cierta area(¡es decir, área, no radio!). Luego, dentro de este círculo, se selecciona un sector, cuyo área debe encontrarse.
La buena noticia es que tareas similares- el más fácil de todos los problemas del área que se presentan en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Además, el círculo y el sector siempre se colocan en una cuadrícula de coordenadas. Por lo tanto, para aprender a resolver este tipo de problemas, basta con mirar la imagen:
Deje que el círculo original tenga un área S = 80. Luego se puede dividir en dos sectores con un área S = 40 cada uno (ver paso 2). De manera similar, cada uno de estos sectores de "mitades" se puede dividir nuevamente por la mitad: obtenemos cuatro sectores con un área S = 20 cada uno (ver paso 3). Finalmente, podemos dividir cada uno de estos sectores en dos más: obtenemos 8 sectores "desechos". El área de cada uno de estos “restos” será S = 10.
Tenga en cuenta: no hay ninguna partición más pequeña en ninguna Tarea del examen estatal unificado¡sin matemáticas! Por tanto, el algoritmo para resolver el Problema B-3 es el siguiente:
- Corta el círculo original en 8 sectores de "restos". El área de cada uno de ellos es exactamente 1/8 del área de todo el círculo. Por ejemplo, si según la condición el círculo tiene un área S del círculo = 240, entonces los “restos” tienen un área S = 240: 8 = 30;
- Descubra cuántos "restos" caben en el sector original, cuyo área debe encontrarse. Por ejemplo, si nuestro sector contiene 3 “restos” con un área de 30, entonces el área del sector requerido es S = 3 · 30 = 90. Esta será la respuesta.
¡Eso es todo! El problema se resuelve prácticamente de forma oral. Si aún no te queda claro algo, compra una pizza y córtala en 8 trozos. Cada una de estas piezas será el mismo sector: "restos" que se pueden combinar en piezas más grandes.
Ahora veamos ejemplos del examen de prueba del Estado Unificado:
Tarea. Se dibuja un círculo en papel cuadriculado con un área de 40. Calcula el área de la figura sombreada.
Entonces, el área del círculo es 40. Divídalo en 8 sectores, cada uno con un área S = 40: 5 = 8. Obtenemos:
Obviamente, el sector sombreado consta exactamente de dos sectores de “desechos”. Por lo tanto, su área es 2 · 5 = 10. ¡Esa es la solución completa!
Tarea. Se dibuja un círculo en papel cuadriculado con un área de 64. Calcula el área de la figura sombreada.
Nuevamente, divide todo el círculo en 8 sectores iguales. Obviamente, el área de uno de ellos es exactamente lo que hay que encontrar. Por tanto, su área es S = 64: 8 = 8.
Tarea. Se dibuja un círculo en papel cuadriculado con un área de 48. Calcula el área de la figura sombreada.
Nuevamente, divide el círculo en 8 sectores iguales. El área de cada uno de ellos es igual a S = 48: 8 = 6. El sector requerido contiene exactamente tres sectores de "desecho" (ver figura). Por tanto, el área del sector requerido es 3 6 = 18.
