Una esfera cuyo volumen es 8π está inscrita en un cubo. Encuentra el volumen del cubo.
Solución
Sea a el lado del cubo. Entonces el volumen del cubo es V = a 3.
Como la pelota está inscrita en un cubo, el radio de la pelota es igual a la mitad aristas del cubo, es decir, R = a/2 (ver figura).
El volumen de la pelota es igual a V w = (4/3)πR 3 e igual a 8π, por lo tanto
(4/3)πR 3 = 8π,
Y el volumen del cubo es V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Tarea B9 ( Opciones típicas 2015)
El volumen del cono es 32. Se dibuja una sección por el medio de la altura paralela a la base del cono, que es la base. cono más pequeño con la misma tapa. Encuentra el volumen del cono más pequeño.
Solución
Consideremos las tareas:
72353. El volumen del cono es 10. Se dibuja una sección por el medio de la altura paralela a la base del cono, que es la base de un cono más pequeño con el mismo vértice. Encuentra el volumen del cono más pequeño.
Observemos inmediatamente que el cono original y el cono cortado son similares y si consideramos el cono cortado en relación con el original, podemos decir esto: el cono más pequeño es similar al más grande con un coeficiente igual a la mitad o 0,5. . Podemos escribir:
Se podría escribir:
¡Se podría pensar que sí!
Consideremos el cono original en relación con el cortado. Podemos decir que el cono mayor es parecido al cortado con un coeficiente igual a dos, escribamos:
Ahora mira la solución sin usar propiedades de similitud.
El volumen de un cono es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura:
Considere una proyección lateral (vista lateral) con la sección transversal indicada:
Sea el radio del cono más grande igual a R, la altura igual a H. La sección (la base del cono más pequeño) pasa por el medio de la altura, lo que significa que su altura será igual a H/2. Y el radio de la base es igual a R/2, esto se desprende de la similitud de los triángulos.
Anotemos el volumen del cono original:
El volumen del cono cortado será igual a:
Entonces soluciones detalladas se presentan para que puedas ver cómo se puede construir el razonamiento. Actúe de cualquier forma; lo principal es que comprenda la esencia de la decisión. Incluso si el camino que elegiste no es racional, el resultado (el resultado correcto) es importante.
Respuesta: 1,25
318145. En un recipiente con forma de cono, el nivel del líquido alcanza la mitad de su altura. El volumen de líquido es de 70 ml. ¿Cuántos mililitros de líquido se deben agregar para llenar completamente el recipiente?
Esta tarea es similar a la anterior. Aunque aquí estamos hablando de un líquido, el principio de la solución es el mismo.
Tenemos dos conos: este es el recipiente en sí y el cono "pequeño" (lleno de líquido), son similares. Se sabe que los volúmenes cuerpos similares están relacionados de la siguiente manera:
El cono (recipiente) inicial es similar a un cono lleno de líquido con un coeficiente igual a 2, ya que se dice que el nivel del líquido alcanza la mitad de la altura. Puedes escribir con más detalle:
Calculamos:
Por lo tanto, es necesario agregar:
Otros problemas con líquidos.
74257. Encuentre el volumen V de un cono cuya generatriz es igual a 44 y está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo de 30 0. Indique V/Pi en su respuesta.
Volumen del cono:
Encontramos la altura del cono usando la propiedad de un triángulo rectángulo.
El cateto opuesto al ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa. hipotenusa, en en este caso, es el generador del cono. Por tanto la altura del cono es 22.
Encontramos el cuadrado del radio de la base usando el teorema de Pitágoras:
*Necesitamos el cuadrado del radio, no el radio en sí.
Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.
Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.
Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.
A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.
2. ¿Cuántas veces se describe el volumen de un cono alrededor de la dirección correcta? pirámide cuadrangular, es mayor que el volumen del cono inscrito en esta pirámide?
Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.
Otro punto importante. Recuerda que en los problemas de la parte B Opciones del examen estatal unificado en matemáticas la respuesta se escribe como un número entero o finito decimal. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: "Encuentra el área de la superficie lateral del cilindro dividida por".
¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.
Una esfera cuyo volumen es 8π está inscrita en un cubo. Encuentra el volumen del cubo.
Solución
Sea a el lado del cubo. Entonces el volumen del cubo es V = a 3.
Como la bola está inscrita en un cubo, el radio de la bola es igual a la mitad de la arista del cubo, es decir, R = a/2 (ver figura).
El volumen de la pelota es igual a V w = (4/3)πR 3 e igual a 8π, por lo tanto
(4/3)πR 3 = 8π,
Y el volumen del cubo es V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Tarea B9 (Opciones típicas 2015)
El volumen del cono es 32. Por la mitad de la altura, paralela a la base del cono, se dibuja una sección, que es la base de un cono más pequeño con el mismo vértice. Encuentra el volumen del cono más pequeño.
Solución
El volumen del cono más grande es igual a V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.
El volumen del cono más pequeño es igual a V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .
Esto significa que el volumen del cono más pequeño es 8 veces menor y equivale a 4.
Tarea B9 (Opciones típicas 2015)
El volumen del cono es 40. Por la mitad de la altura, paralela a la base del cono, se dibuja una sección, que es la base de un cono más pequeño con el mismo vértice. Encuentra el volumen del cono más pequeño.
Solución
Dado que la sección pasa por la mitad de la altura del cono, entonces AP = 1/2 AO y PK = 1/2 OB. Es decir, la altura y el radio del cono más pequeño son 2 veces menores que la altura y el radio del cono más grande, respectivamente.
El volumen del cono más grande es igual a V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.
El volumen del cono más pequeño es igual a V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3 )π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .
Esto significa que el volumen del cono más pequeño es 8 veces menor y equivale a 5.
Tarea B9 (Opciones típicas 2015)
En el cubo ABCDA1B1C1D1 puntos E,F, E1 y F1 son los puntos medios de los bordes BC, DC, B1C1 y D1C1, respectivamente. El volumen del prisma cortado del cubo por el plano EFF1 es 15. Encuentra el volumen del cubo.
Solución
El volumen del prisma es V = S principal H =S CEF *CC1 = 15.
Denotamos la arista del cubo por a. Entonces el volumen del prisma es igual a: V = 1/2 * a/2 * a/2 * a = 1/8 a 3 = 15.
El volumen del cubo es V = a 3 = 15*8 = 120.
Respuesta: 120.
Tarea B9 (Opciones típicas 2015)
El volumen del cono es 152. Se dibuja una sección por el medio de la altura paralela a la base del cono, que es la base de un cono más pequeño con el mismo vértice. Encuentra el volumen del cono más pequeño.
Volumen de un cono. Ahora hemos llegado a los conos y cilindros. Además de los que ya han sido publicados, habrá alrededor de nueve artículos, consideraremos todo tipo de tareas. Si durante el año banco abierto Se irán añadiendo nuevas tareas, por supuesto, también se publicarán en el blog. Este artículo presenta la teoría y ejemplos en los que se utiliza. Por cierto, no basta con saber la fórmula del volumen de un cono, aquí la tienes:
Podemos escribir:
Para resolver algunos ejemplos, es necesario comprender cómo se relacionan los volúmenes de cuerpos similares. Es entender, y no sólo aprender la fórmula:
Es decir, si aumentamos (disminuimos) las dimensiones lineales del cuerpo k veces, entonces la relación entre el volumen del cuerpo resultante y el volumen del original será igual a k 3 .
¡NOTA! No importa cómo definas los volúmenes:
El hecho es que en el proceso de resolución de problemas al considerar cuerpos similares, algunos pueden confundirse con el coeficiente k. Puede surgir la pregunta: ¿a qué equivale?
(dependiendo del valor especificado en la condición)
Todo depende de “de qué lado” mires. ¡Es importante entender esto! Veamos un ejemplo: dado un cubo, la arista del segundo cubo es tres veces más grande:
En este caso, el coeficiente de similitud es tres (la arista aumenta tres veces), lo que significa que la relación se verá así:
Es decir, el volumen del cubo resultante (más grande) será 27 veces mayor.
Puedes mirar desde el otro lado.
Dado un cubo, la arista del segundo cubo es tres veces más pequeña:
El coeficiente de similitud es igual a un tercio (reduciendo el borde tres veces), lo que significa que la relación se verá así:
Es decir, el volumen del cubo resultante será 27 veces menor.
¡Conclusión! Los índices no son importantes para indicar volúmenes; es importante comprender cómo se ven los cuerpos entre sí.
Está claro que:
— si el cuerpo original aumenta, entonces el coeficiente será mayor que uno.
— si el cuerpo original disminuye, entonces el coeficiente será menor que uno.
Se puede decir lo siguiente sobre las proporciones de volumen:
- si en el problema dividimos el volumen cuerpo más grande por uno más pequeño, obtenemos el cubo del coeficiente de similitud, y el coeficiente en sí será mayor que uno.
— si dividimos el volumen de un cuerpo más pequeño por uno más grande, obtenemos el cubo del coeficiente de similitud, y el coeficiente en sí será menor que uno.
Lo más importante a recordar es que cuando se trata del VOLUMEN de cuerpos similares, el coeficiente de similitud tiene un TERCER grado, y no un segundo grado, como ocurre con las áreas.
Un punto más preocupante.
La condición contiene un concepto como generatriz de un cono. Este es un segmento que conecta la parte superior del cono con los puntos del círculo base (indicado por la letra L en la figura).
Vale la pena señalar aquí que analizaremos problemas solo con un cono recto (en adelante, simplemente un cono). Generadores cono recto igual
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
