Resolver ejemplos de ecuaciones cuadráticas y solución detallada. Resolver ecuaciones cuadráticas, fórmula raíz, ejemplos.

", es decir, ecuaciones de primer grado. En esta lección veremos lo que se llama ecuación cuadrática Y como resolverlo.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

¡Importante!

El grado de una ecuación está determinado por el grado más alto al que se encuentra la incógnita.

Si grado máximo, en el que la incógnita es “2”, lo que significa que tienes una ecuación cuadrática.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 - 8 = 0

¡Importante! La forma general de una ecuación cuadrática se ve así:

A x 2 + segundo x + c = 0

A “a”, “b” y “c” se les asignan números.

“a” es el primer coeficiente o el más alto;
“b” es el segundo coeficiente;
"C" - miembro gratuito.

Para encontrar "a", "b" y "c", debes comparar tu ecuación con la forma general de la ecuación cuadrática "ax 2 + bx + c = 0".

Practiquemos determinar los coeficientes "a", "b" y "c" en ecuaciones cuadráticas.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

La ecuacion	Impares
un = 5 segundo = −14 c = 17
un = −7 segundo = −13 c = 8

= 0

un = −1
segundo = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

un = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 - 8 = 0

un = 1
segundo = 0
c = −8

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

A diferencia de ecuaciones lineales para resolver ecuaciones cuadráticas, un especial fórmula para encontrar raíces.

¡Recordar!

Para resolver una ecuación cuadrática necesitas:

reducir la ecuación cuadrática a apariencia general"hacha 2 + bx + c = 0". Es decir, sólo debe quedar “0” en el lado derecho;
use fórmula para raíces:

Veamos un ejemplo de cómo usar la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Resolvamos una ecuación cuadrática.

X 2 − 3x − 4 = 0

La ecuación “x 2 − 3x − 4 = 0” ya se ha reducido a la forma general “ax 2 + bx + c = 0” y no requiere simplificaciones adicionales. Para solucionarlo solo tenemos que aplicar fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

Determinemos los coeficientes "a", "b" y "c" para esta ecuación.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.

En la fórmula “x 1;2 = ” la expresión radical a menudo se reemplaza
“b 2 − 4ac” para la letra “D” y se llama discriminante. El concepto de discriminante se analiza con más detalle en la lección “¿Qué es un discriminante?”.

Veamos otro ejemplo de ecuación cuadrática.

x2 + 9 + x = 7x

De esta forma, es bastante difícil determinar los coeficientes "a", "b" y "c". Primero reduzcamos la ecuación a la forma general “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6 x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Ahora puedes usar la fórmula para las raíces.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =

x = 3
Respuesta: x = 3

Hay ocasiones en las que las ecuaciones cuadráticas no tienen raíces. Esta situación surge cuando la fórmula debajo de la raíz resulta ser un numero negativo.

Justo. Según fórmulas y claras. reglas simples. En la primera etapa

necesario ecuación dada conducir a una forma estándar, es decir a la forma:

Si ya se le ha proporcionado la ecuación en este formulario, no es necesario que realice la primera etapa. Lo más importante es hacerlo bien.

determinar todos los coeficientes, A, b Y C.

Fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante . Como puedes ver, para encontrar X, tenemos

usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de ecuación cuadrática. Simplemente colóquelo con cuidado

valores a, b y c Calculamos en esta fórmula. Sustituimos con su¡señales!

Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; C = -4.

Sustituimos los valores y escribimos:

El ejemplo está casi resuelto:

Esta es la respuesta.

Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b Y Con. O mejor dicho, con sustitución

valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Guarda aquí entrada detallada fórmulas

con números específicos. Si tienes problemas con los cálculos, ¡hazlo!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; C = -1

Te lo describimos todo detalladamente, con cuidado, sin perdernos nada con todas las señales y paréntesis:

Las ecuaciones cuadráticas a menudo se ven ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores.

Primera cita. No seas perezoso antes resolviendo una ecuación cuadrática llevarlo a la forma estándar.

¿Qué quiere decir esto?

Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c.

Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Deshazte del menos. ¿Cómo? Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo.

Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.

Recepción segunda.¡Comprueba las raíces! Por teorema de vieta.

Para resolver las ecuaciones cuadráticas dadas, es decir si el coeficiente

x 2 +bx+c=0,

Entoncesx 1 x 2 = c

x 1 +x 2 =-b

Para una ecuación cuadrática completa en la que a≠1:

x2 +bx+C=0,

dividir toda la ecuación por A:

→ →

Dónde x1 Y X 2 - raíces de la ecuación.

Recepción tercero. Si tu ecuación tiene probabilidades fraccionarias, - ¡deshazte de las fracciones! Multiplicar

ecuación con denominador común.

Conclusión. Consejo practico:

1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.

2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando todo

ecuaciones por -1.

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el correspondiente

factor.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente mediante

Espero que después de estudiar este artículo aprendas a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

Usando el discriminante solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas; para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas se utilizan otros métodos, que encontrarás en el artículo “Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas”.

¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? Este ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c = 0, donde los coeficientes a, b y c no son iguales a cero. Entonces, para resolver una ecuación cuadrática completa, necesitamos calcular el discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante anotaremos la respuesta.

Si el discriminante es un número negativo (D< 0),то корней нет.

Si el discriminante igual a cero, entonces x = (-b)/2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),

entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.

Por ejemplo. Resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Respuesta: 2.

Resuelva la ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Respuesta: sin raíces.

Resuelva la ecuación 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Respuesta: – 3,5; 1.

Entonces, imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas usando el diagrama de la Figura 1.

Usando estas fórmulas puedes resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Sólo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio vista estándar

A x2 + bx + c, de lo contrario puedes cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puedes decidir erróneamente que

a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 y entonces la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Ver solución al ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (el monomio con el indicador más alto grados, es decir A x2 , entonces con menos – bx y luego un miembro gratis Con.

Al resolver una ecuación cuadrática reducida y una ecuación cuadrática con un coeficiente par en el segundo término, puedes usar otras fórmulas. Conozcamos estas fórmulas. Si en una ecuación cuadrática completa el segundo término tiene un coeficiente par (b = 2k), entonces puedes resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.

Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x2 es igual a uno y la ecuación toma la forma x 2 + px + q = 0. Dicha ecuación se puede dar como solución o se puede obtener dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente A, de pie en x2 .

La figura 3 muestra un diagrama para resolver el cuadrado reducido.
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas comentadas en este artículo.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

3x2 + 6x – 6 = 0.

Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3

Puedes notar que el coeficiente de x en esta ecuación número par, es decir, b = 6 o b = 2k, de donde k = 3. Luego intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas dadas en el diagrama de la figura D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3. Al notar que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática son divisibles por 3 y al realizar la división, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x – 2 = 0 Resuelve esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida
ecuaciones figura 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3.

Como vemos, al resolver esta ecuación por varias fórmulas Recibimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado a fondo las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre podrás resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Espero que después de estudiar este artículo aprendas a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

D = b 2 – 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante anotaremos la respuesta.

Si el discriminante es un número negativo (D< 0),то корней нет.

Si el discriminante es cero, entonces x = (-b)/2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),

entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.

Por ejemplo. Resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Respuesta: 2.

Resuelva la ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Respuesta: sin raíces.

Resuelva la ecuación 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Respuesta: – 3,5; 1.

Entonces, imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas usando el diagrama de la Figura 1.

Usando estas fórmulas puedes resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Sólo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio de la forma estándar

A x2 + bx + c, de lo contrario puedes cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puedes decidir erróneamente que

a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 y entonces la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Ver solución al ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (el monomio con mayor exponente debe ir primero, es decir A x2 , entonces con menos – bx y luego un miembro gratis Con.

La figura 3 muestra un diagrama para resolver el cuadrado reducido.
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas comentadas en este artículo.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

3x2 + 6x – 6 = 0.

Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3

Puedes notar que el coeficiente de x en esta ecuación es un número par, es decir, b = 6 o b = 2k, de donde k = 3. Luego intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3.

Como puedes ver, al resolver esta ecuación usando diferentes fórmulas, obtuvimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado a fondo las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre podrás resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

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Ecuaciones cuadráticas Lo estudian en octavo grado, así que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, b y c son números arbitrarios, y un ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

No tener raíces;
Tener exactamente una raíz;
Tienen dos raíces diferentes.

Esto es diferencia importante ecuaciones cuadráticas de las lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, hay exactamente una raíz;
Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

x2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

x2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

desde la aritmética Raíz cuadrada existe sólo de número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería el discriminante: en ecuaciones cuadráticas incompletas no hay cálculos complejos. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

Eliminación multiplicador común fuera de soporte

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

x2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.