La oscilación armónica es un fenómeno de cambio periódico de cualquier cantidad, en el que la dependencia del argumento tiene el carácter de una función seno o coseno. Por ejemplo, una cantidad oscila armoniosamente y cambia con el tiempo de la siguiente manera:
donde x es el valor de la cantidad cambiante, t es el tiempo, los parámetros restantes son constantes: A es la amplitud de las oscilaciones, ω es la frecuencia cíclica de las oscilaciones, es la fase completa de las oscilaciones, es la fase inicial de las oscilaciones.
Oscilación armónica generalizada en forma diferencial.
(Cualquier solución no trivial a esta ecuación diferencial es una oscilación armónica con una frecuencia cíclica)
Tipos de vibraciones
Las vibraciones libres se producen bajo la influencia. fuerzas internas sistema después de que el sistema ha sido retirado de su posición de equilibrio. Para que las oscilaciones libres sean armónicas, es necesario que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito por ecuaciones lineales de movimiento), y que no haya disipación de energía en él (esto último provocaría atenuación).
Las vibraciones forzadas ocurren bajo la influencia de una fuerza periódica externa. Para que sean armónicos, basta con que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito por ecuaciones lineales de movimiento), y la fuerza externa misma cambie con el tiempo como una oscilación armónica (es decir, que la dependencia temporal de esta fuerza sea sinusoidal) .
Ecuación armónica
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Ecuación (1)
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da la dependencia del valor fluctuante S con respecto al tiempo t; esta es la ecuación de oscilaciones armónicas libres en forma explícita. Sin embargo, normalmente la ecuación de oscilaciones se entiende como una representación diferente de esta ecuación, en forma diferencial. Para mayor precisión, tomemos la ecuación (1) en la forma
Diferenciémoslo dos veces en el tiempo:
Se puede observar que se cumple la siguiente relación:
que se llama ecuación de oscilaciones armónicas libres (en forma diferencial). La ecuación (1) es una solución a la ecuación diferencial (2). Dado que la ecuación (2) es una ecuación diferencial de segundo orden, se necesitan dos condiciones iniciales para obtener una solución completa (es decir, determinar las constantes A y incluidas en la ecuación (1); por ejemplo, la posición y velocidad del sistema oscilatorio en t = 0.
Un péndulo matemático es un oscilador, que es un sistema mecánico que consiste en un punto material ubicado en un hilo ingrávido e inextensible o en una varilla ingrávida en un campo uniforme de fuerzas gravitacionales. El período de pequeñas oscilaciones naturales de un péndulo matemático de longitud l, suspendido inmóvil en un campo gravitacional uniforme con aceleración de caída libre g, es igual a
y no depende de la amplitud y masa del péndulo.
Un péndulo físico es un oscilador, que es un cuerpo sólido que oscila en un campo de cualquier fuerza con respecto a un punto que no es el centro de masa de este cuerpo, o eje fijo, perpendicular a la dirección de acción de las fuerzas y que no pasa por el centro de masa de este cuerpo.
Los cambios en cualquier cantidad se describen utilizando las leyes del seno o el coseno, luego tales oscilaciones se llaman armónicas. Consideremos un circuito que consta de un condensador (que se cargó antes de incluirse en el circuito) y un inductor (Fig. 1).
Figura 1.
La ecuación de vibración armónica se puede escribir de la siguiente manera:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
donde $t$ es el tiempo; $q$ cargo, $q_0$-- desviación máxima del cargo de su valor promedio (cero) durante los cambios; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase de oscilación; $(\alpha )_0$- fase inicial; $(\omega )_0$ - frecuencia cíclica. Durante el período, la fase cambia en $2\pi $.
Ecuación de la forma:
ecuación de vibraciones armónicas en forma diferencial para un circuito oscilatorio que no contendrá resistencia activa.
cualquier tipo oscilaciones periódicas se puede representar con precisión como la suma de vibraciones armónicas, la llamada serie armónica.
Para el período de oscilación de un circuito que consta de una bobina y un condensador, obtenemos la fórmula de Thomson:
Si diferenciamos la expresión (1) con respecto al tiempo, podemos obtener la fórmula de la función $I(t)$:
El voltaje a través del capacitor se puede encontrar como:
De las fórmulas (5) y (6) se deduce que la intensidad de la corriente está por delante del voltaje en el capacitor en $\frac(\pi )(2).$
Las oscilaciones armónicas se pueden representar tanto en forma de ecuaciones, funciones como diagramas vectoriales.
La ecuación (1) representa oscilaciones libres no amortiguadas.
Ecuación de oscilación amortiguada
El cambio de carga ($q$) en las placas del capacitor en el circuito, teniendo en cuenta la resistencia (Fig. 2), se describirá mediante una ecuación diferencial de la forma:
Figura 2.
Si la resistencia que forma parte del circuito $R\
donde $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ es la frecuencia de oscilación cíclica. $\beta =\frac(R)(2L)-$coeficiente de amortiguación. Amplitud oscilaciones amortiguadas expresado como:
Si en $t=0$ la carga en el capacitor es igual a $q=q_0$ y no hay corriente en el circuito, entonces para $A_0$ podemos escribir:
Fase de oscilación en momento inicial tiempo ($(\alpha )_0$) es igual a:
Cuando $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ el cambio de carga no es una oscilación, la descarga del capacitor se llama aperiódica.
Ejemplo 1
Ejercicio: El valor máximo de cargo es $q_0=10\ C$. Varía armónicamente con un período de $T= 5 s$. Determine la corriente máxima posible.
Solución:
Como base para resolver el problema utilizamos:
Para encontrar la intensidad actual se debe diferenciar la expresión (1.1) con respecto al tiempo:
donde el máximo (valor de amplitud) de la intensidad actual es la expresión:
De las condiciones del problema conocemos el valor de amplitud de la carga ($q_0=10\ C$). Debes encontrar la frecuencia natural de las oscilaciones. Expresémoslo como:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
En este caso, el valor deseado se encontrará utilizando las ecuaciones (1.3) y (1.2) como:
Dado que todas las cantidades en las condiciones del problema se presentan en el sistema SI, realizaremos los cálculos:
Respuesta:$I_0=12.56\ A.$
Ejemplo 2
Ejercicio:¿Cuál es el período de oscilación en el circuito, que contiene un inductor $L=1$H y un condensador, si la intensidad de la corriente en el circuito cambia según la ley: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ ¿Cuál es la capacitancia del capacitor?
Solución:
De la ecuación de fluctuaciones actuales, que se da en las condiciones del problema:
vemos que $(\omega )_0=20\pi $, por lo tanto, podemos calcular el período de Oscilación usando la fórmula:
\ \
Según la fórmula de Thomson para un circuito que contiene un inductor y un condensador, tenemos:
Calculemos la capacidad:
Respuesta:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$
Oscilaciones Se denominan movimientos o procesos que se caracterizan por una cierta repetibilidad en el tiempo. Los procesos oscilatorios están muy extendidos en la naturaleza y la tecnología, por ejemplo, la oscilación del péndulo de un reloj, alternando corriente eléctrica etc. Cuando movimiento oscilatorio péndulo, la coordenada de su centro de masa cambia, en el caso C.A. El voltaje y la corriente en el circuito fluctúan. La naturaleza física de las vibraciones puede ser diferente, por tanto, existen vibraciones mecánicas, electromagnéticas, etc. Sin embargo, diferentes procesos oscilatorios se describen mediante las mismas características y las mismas ecuaciones. De ahí la conveniencia enfoque común al estudio de las vibraciones varios naturaleza fisica.
Las oscilaciones se llaman gratis, si ocurren solo bajo la influencia de fuerzas internas que actúan entre los elementos del sistema, después de que el sistema se sale del equilibrio fuerzas externas y abandonada a su suerte. Vibraciones libres siempre oscilaciones amortiguadas , porque en sistemas reales Las pérdidas de energía son inevitables. En el caso ideal de un sistema sin pérdida de energía, las oscilaciones libres (que continúan tanto tiempo como se desee) se denominan propio.
El tipo más simple de gratis. oscilaciones continuas son vibraciones armónicas - oscilaciones en las que la cantidad oscilante cambia con el tiempo según la ley del seno (coseno). Las vibraciones que se encuentran en la naturaleza y la tecnología a menudo tienen un carácter cercano al armónico.
Las oscilaciones armónicas se describen mediante una ecuación llamada ecuación de oscilación armónica:
Dónde A- amplitud de oscilaciones, valor máximo de la cantidad oscilante incógnita; - frecuencia circular (cíclica) de oscilaciones naturales; - fase inicial de oscilación en el momento del tiempo t= 0; - fase de oscilación en el momento del tiempo t. La fase de oscilación determina el valor de la cantidad oscilante en en este momento tiempo. Dado que el coseno varía de +1 a -1, entonces incógnita puede tomar valores de + A a - A.
Tiempo t durante el cual el sistema completa una oscilación completa se llama período de oscilación. durante el tiempo t la fase de oscilación se incrementa en 2 π , es decir.
Dónde . (14.2)
Magnitud, periodo inverso fluctuaciones
es decir, el número de oscilaciones completas realizadas por unidad de tiempo se denomina frecuencia de oscilación. Comparando (14.2) y (14.3) obtenemos
La unidad de frecuencia es hercios (Hz): 1 Hz es la frecuencia a la que se produce una oscilación completa en 1 s.
Los sistemas en los que pueden ocurrir vibraciones libres se llaman osciladores . ¿Qué propiedades debe tener un sistema para que en él se produzcan vibraciones libres? sistema mecanico debe tener posición equilibrio estable , al salir que aparece fuerza restauradora dirigida hacia la posición de equilibrio. Esta posición corresponde, como es sabido, a la energía potencial mínima del sistema. Veamos algunos sistemas oscilatorios, satisfaciendo las propiedades enumeradas.
Varía en el tiempo según una ley sinusoidal:
Dónde incógnita- el valor de la cantidad fluctuante en el momento del tiempo t, A- amplitud, ω - frecuencia circular, φ — fase inicial de oscilaciones, ( φt + φ ) - fase completa de oscilaciones. Al mismo tiempo, los valores A, ω Y φ - permanente.
Para vibraciones mecánicas de magnitud fluctuante. incógnita son, en particular, el desplazamiento y la velocidad, por ejemplo vibraciones electricas- voltaje y corriente.
Las vibraciones armónicas ocupan lugar especial entre todo tipo de vibraciones, porque esto el único tipo vibraciones, cuya forma no se distorsiona al pasar a través de cualquier ambiente homogéneo, es decir, las ondas que se propagan desde una fuente de oscilaciones armónicas también serán armónicas. Cualquier oscilación no armónica se puede representar como una suma (integral) de varias oscilaciones armónicas (en forma de espectro de oscilaciones armónicas).
Transformaciones de energía durante vibraciones armónicas.
Durante el proceso de oscilación se produce una transferencia de energía potencial. wp a cinético semana y viceversa. en posición desviación máxima Desde la posición de equilibrio, la energía potencial es máxima y la energía cinética es cero. Al volver a la posición de equilibrio, la velocidad del cuerpo oscilante aumenta, y con ello también aumenta la energía cinética, alcanzando un máximo en la posición de equilibrio. La energía potencial entonces cae a cero. Se produce un mayor movimiento con una disminución de la velocidad, que cae a cero cuando la desviación alcanza su segundo máximo. La energía potencial aquí aumenta hasta su valor inicial (máximo) (en ausencia de fricción). Por tanto, las fluctuaciones en la cinética y energía potencial ocurren al doble de la frecuencia (en comparación con las oscilaciones del péndulo mismo) y están en antifase (es decir, hay un cambio de fase entre ellos igual a π ). Energía Total fluctuaciones W. permanece sin cambios. Para un cuerpo que oscila bajo la acción de una fuerza elástica, es igual a:
Dónde v m — velocidad máxima cuerpo (en posición de equilibrio), x m = A- amplitud.
Debido a la presencia de fricción y resistencia del medio, las vibraciones libres se atenúan: su energía y amplitud disminuyen con el tiempo. Por lo tanto, en la práctica, a menudo se utilizan oscilaciones forzadas en lugar de libres.
Junto con el progresismo y movimientos rotacionales cuerpos en mecanica interés significativo También representan movimientos oscilatorios. Vibraciones mecánicas Son movimientos de cuerpos que se repiten exactamente (o aproximadamente) en intervalos de tiempo iguales. La ley del movimiento de un cuerpo oscilante se especifica mediante un cierto función periódica tiempo incógnita = F (t). Imagen gráfica esta función da una idea clara del flujo proceso oscilatorio a tiempo.
Ejemplos de sistemas oscilatorios simples incluyen una carga sobre un resorte o péndulo matemático(Figura 2.1.1).
Las vibraciones mecánicas, como los procesos oscilatorios de cualquier otra naturaleza física, pueden ser gratis Y forzado. vibraciones libres se cometen bajo la influencia fuerzas internas sistema después de que el sistema ha sido sacado del equilibrio. Las oscilaciones de un peso sobre un resorte o las oscilaciones de un péndulo son oscilaciones libres. Vibraciones que se producen bajo la influencia. externo Las fuerzas que cambian periódicamente se llaman forzado .
El tipo más simple de proceso oscilatorio es simple. vibraciones armónicas , que se describen mediante la ecuación
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incógnita = incógnita mcos(ω t + φ 0). |
Aquí incógnita- desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio, incógnita m - amplitud de oscilaciones, es decir desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio, ω - frecuencia cíclica o circular vacilación, t- tiempo. La cantidad bajo el signo del coseno φ = ω t+ φ 0 se llama fase proceso armónico. En t= 0 φ = φ 0, por lo tanto φ 0 se llama fase inicial. El intervalo de tiempo mínimo durante el cual se repite un movimiento corporal se llama período de oscilación t. Cantidad fisica, el recíproco del período de oscilación se llama frecuencia de vibración:
Frecuencia de oscilación F muestra cuántas oscilaciones ocurren en 1 s. Unidad de frecuencia - hercios(Hz). Frecuencia de oscilación F relacionado con la frecuencia cíclica ω y el período de oscilación t proporciones:
En la figura. 2.1.2 muestra las posiciones del cuerpo en intervalos de tiempo iguales durante las vibraciones armónicas. Una imagen de este tipo se puede obtener experimentalmente iluminando un cuerpo oscilante con breves destellos de luz periódicos ( iluminación estroboscópica). Las flechas representan los vectores de velocidad del cuerpo en varios momentos tiempo.
Arroz. 2.1.3 ilustra los cambios que ocurren en la gráfica de un proceso armónico si la amplitud de las oscilaciones cambia incógnita m, o período t(o frecuencia F), o la fase inicial φ 0.
Cuando un cuerpo oscila a lo largo de una línea recta (eje BUEY) el vector velocidad siempre se dirige a lo largo de esta línea recta. Velocidad υ = υ incógnita El movimiento corporal está determinado por la expresión.
En matemáticas, el procedimiento para encontrar el límite de una razón en Δ t→ 0 se llama calcular la derivada de la función. incógnita (t) por tiempo t y se denota como o como incógnita"(t) o, finalmente, como . Para la ley armónica del movimiento, al calcular la derivada se obtiene el siguiente resultado:
La aparición del término + π / 2 en el argumento del coseno significa un cambio en la fase inicial. Valores máximos de velocidad absoluta υ = ω incógnita m se logran en aquellos momentos en el tiempo en que el cuerpo pasa por posiciones de equilibrio ( incógnita= 0). La aceleración se determina de manera similar. a = aincógnita cuerpos durante vibraciones armónicas:
de ahí la aceleración a es igual a la derivada de la función υ ( t) por tiempo t, o la segunda derivada de la función incógnita (t). Los cálculos dan:
El signo menos en esta expresión significa que la aceleración a (t) siempre tiene un cartel, signo opuesto compensaciones incógnita (t), y, por tanto, según la segunda ley de Newton, la fuerza que hace que el cuerpo realice oscilaciones armónicas siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio ( incógnita = 0).
