CONCEPTO DE ALGORITMO. PROPIEDADES DEL ALGORITMO. TIPOS DE ALGORITMOS. MÉTODOS PARA DESCRIBIR ALGORITMOS

Un algoritmo es una instrucción precisa y comprensible para un ejecutante para que realice una secuencia de acciones destinadas a resolver un problema determinado. La palabra "algoritmo" proviene del nombre del matemático Al Khorezmi, quien formuló las reglas para ejecutar operaciones aritmeticas. Inicialmente, un algoritmo significaba sólo las reglas para realizar cuatro operaciones aritméticas con números. Posteriormente, este concepto comenzó a utilizarse en general para denotar la secuencia de acciones que conducen a la solución de cualquier tarea determinada. Hablando del algoritmo del proceso computacional, es necesario entender que los objetos a los que se aplicó el algoritmo son datos. Un algoritmo para resolver un problema computacional es un conjunto de reglas para convertir datos fuente en resultados.

Principal propiedades Los algoritmos son:

1. determinismo (certidumbre). Supone obtener un resultado inequívoco de un proceso computacional con datos iniciales dados. Debido a esta propiedad, el proceso de ejecución del algoritmo es de naturaleza mecánica;
2. eficacia.
3. Indica la presencia de datos iniciales para los cuales el proceso computacional implementado de acuerdo con un algoritmo dado debe detenerse después de un número finito de pasos y producir el resultado deseado; carácter de masas. Esta propiedad implica que el algoritmo debe ser adecuado para resolver todos los problemas.;
4. de este tipo

discreción. Significa la división del proceso computacional determinado por el algoritmo en etapas separadas, cuya capacidad de ejecución por parte del ejecutante (computadora) está fuera de toda duda.

El algoritmo debe formalizarse de acuerdo con ciertas reglas utilizando medios visuales específicos. Estos incluyen los siguientes métodos de escritura de algoritmos: verbal, fórmula-verbal, gráfico, lenguaje de esquema de operador, lenguaje algorítmico. Más extendida

Gracias a su claridad, obtuve una forma gráfica (diagrama de bloques) de escribir algoritmos. Diagrama de bloques llamado imagen grafica un algoritmo en el que cada etapa del proceso de procesamiento de la información se representa en forma de símbolos geométricos (bloques) que tienen una determinada configuración dependiendo de la naturaleza de las operaciones realizadas. La lista de símbolos, sus nombres, las funciones que muestran, la forma y las dimensiones están determinadas por los GOST.

Con toda la variedad de algoritmos para resolver problemas, se pueden distinguir tres tipos principales de procesos computacionales:

• lineal;
• derivación;
• cíclico.

Lineal Es un proceso computacional en el que todas las etapas de la resolución de un problema se realizan en el orden natural de registro de estas etapas.

Derivación es un proceso computacional en el que la elección de la dirección para procesar la información depende de los datos iniciales o intermedios (de los resultados de verificar el cumplimiento de cualquier condición lógica).

Un ciclo es una sección de cálculos que se repite muchas veces. Un proceso computacional que contiene uno o más ciclos se llama cíclico . Según el número de ejecuciones, los ciclos se dividen en ciclos con un número determinado (predeterminado) de repeticiones y ciclos con un número indefinido de repeticiones. El número de repeticiones de este último depende del cumplimiento de alguna condición que especifique la necesidad de ejecutar el ciclo. En este caso, la condición se puede verificar al comienzo del ciclo; luego estamos hablando acerca de sobre un ciclo con una condición previa, o al final, entonces es un ciclo con una condición posterior.

Los algoritmos pueden ser simples o complejos, pero todos tienen características comunes. En base a estas características se acostumbra distinguir tres tipos de algoritmos, con los que nos familiarizaremos.

En los algoritmos, los comandos se escriben uno tras otro en en un cierto orden. No necesariamente se realizan en una secuencia escrita. Puede haber referencias internas a diferentes comandos.

En general, ejecutar comandos según un algoritmo recuerda un poco a los juegos de mesa, en los que los participantes se turnan para lanzar dados y caminar por el campo. Además, en los márgenes puede haber comentarios con el estilo: “Retroceder 2 celdas” o “Avanzar 5 celdas” (Fig. 1).

Arroz. 1. Juego de mesa ()

Más modelo complejo la ejecución del algoritmo es juego famoso"Monopolio" o "Administrador" (Fig. 2).

Arroz. 2. Juego "Monopolio" ()

La diferencia significativa entre este juego y la ejecución simple del algoritmo es que meta final El objetivo de los participantes no es completar el camino, sino acumular dinero a través de determinadas acciones.

Dependiendo del orden de ejecución del comando, se pueden distinguir tres tipos de algoritmos:

Algoritmos lineales;

Algoritmos de ramificación;

Algoritmos con repeticiones.

"Monopolio"

Monopoly es uno de los juegos de mesa más populares. Sus reglas son bastante simples y comprensibles para cualquiera que lo haya jugado al menos una vez (Fig. 4).

Arroz. 4. Juego "Monopolio" ()

Al principio, los jugadores tienen la misma cantidad de dinero en efectivo. Tirando dados y moviendo sus fichas por el campo de juego en bucle, adquieren terrenos. Colores diferentes. Una vez en el sitio adquirido por el enemigo, el jugador está obligado a pagarle el alquiler establecido. Habiendo comprado todas las parcelas del mismo grupo de colores, el participante puede construir en ellas casas y hoteles, lo que aumenta el tamaño del alquiler. El objetivo de todo lo que sucede es banal: arruinar a todos los rivales.

Según fuentes oficiales, la empresa Parker Brothers, que produce Monopoly desde 1935 hasta el día de hoy, el legendario juego de mesa nació de la siguiente manera. En 1934, un ingeniero desempleado, Charles Darrow (Fig. 5), invitó a la oficina mencionada a publicar un juego que había inventado sobre el comercio de bienes raíces.

Arroz. 5. Charles Darrow ()

Habiendo descubierto en juego de mesa 52 errores de diseño, los hermanos Parker rechazaron al inventor. Con una iniciativa puramente estadounidense, fue a la imprenta, encargó 5 mil copias del juego y las vendió con bastante rapidez. Al darse cuenta de que las ganancias se estaban filtrando delante de sus narices, Parker Brothers adquirió apresuradamente los derechos de Monopoly y ya el próximo año se convirtió en el juego de mesa más vendido en los Estados Unidos y Darrow se convirtió en la encarnación viva del sueño americano.

Pero al mismo tiempo también hay juegos anteriores que recuerdan notablemente al Monopoly. ¿Resulta que Darrow fue simplemente el primero en intervenir y recibir una patente para el pasatiempo "popular"? Si y no. Investigaciones años recientes arrojar luz sobre el misterio del origen del Monopoly.

En la segunda mitad siglo pasado El economista político Henry George vivió y trabajó en Estados Unidos. Propuso sustituir todos los impuestos por un único impuesto: el de la tierra. Imbuido de sus ideas, en enero de 1904 Magee recibió una patente para una computadora de escritorio. juego el El Juego del Propietario, que tiene reglas y apariencia Me recuerda al Monopoly de hoy. Se cree que el “Juego del terrateniente” tenía dos variantes de reglas: jugar un juego según leyes actuales impuestos, los jugadores cambiaron al modelo propuesto por George y supuestamente estaban convencidos de sus ventajas necesarias. Por tanto, el juego no era un entretenimiento, sino una herramienta de lucha ideológica.

No llegó a producirse en masa, pero El juego del casero se fue extendiendo poco a poco por todo el país. América del norte en copias artesanales. El aumento del interés por el juego de mesa se produjo a lo largo de los años. Gran depresion: Miles de desempleados estaban felices de imaginarse a sí mismos como bolsas de dinero al menos en las mesas de juego. La aparición de un hombre emprendedor como Charles Darrow fue cuestión de meses, y apareció, llevándose la gloria del único inventor del Monopoly durante muchas décadas.

Por supuesto, hubo quienes consideraron necesario arrebatar una pieza a los titulares de los derechos de autor. Los monopolios sin licencia han inundado China. Y en nuestro país se han producido y se siguen produciendo hileras ordenadas de clones: “Broker”, “Cooperativa”, “Manager” (Fig. 6)...

Arroz. 6. Juego "Administrador" ()

A la luz del reciente replanteamiento del papel de Darrow en la creación de Monopoly y la expiración de los derechos de autor, dichas empresas no serán demandadas. Incluso si asumimos que no existió Elizabeth Magie en el mundo, las reglas del Monopoly hace tiempo que pasaron al dominio público. Sin embargo, Hasbro aún se reserva parte de la patente: el diseño de los chips, el diseño gráfico, la secuencia de celdas en el campo de juego.

Un algoritmo en el que los comandos se ejecutan en el orden en que fueron escritos, es decir, secuencialmente uno tras otro, se llama lineal.

Arroz. 3. Bombilla ()

Por ejemplo, el siguiente algoritmo para reemplazar una bombilla fundida es lineal (Fig.3):

1. apague el interruptor de la luz;

2. desenroscar la bombilla fundida;

3. enrosque una bombilla nueva;

4. Encienda el interruptor para comprobar que la luz está encendida.

Usando un diagrama de bloques, este algoritmo se puede representar de la siguiente manera:

(diagrama de bloques (Fig. 7.) ver al final del resumen)

Son extremadamente raras las situaciones en las que se conoce de antemano la secuencia de las acciones necesarias. En la vida, a menudo hay que tomar decisiones en función de la situación actual. Si llueve, cogemos un paraguas y nos ponemos un chubasquero; si hace calor, póntelo ropa ligera. También existen condiciones de selección más complejas. En algunos casos, la solución elegida depende destino adicional persona.

La lógica de decisión se puede describir de la siguiente manera:

SI<условие>, ESO<действия 1>,

DE LO CONTRARIO<действия 2>

SI tienes dinero, ENTONCES compra pan, DE LO CONTRARIO no lo compres.

SI estás en el centro hoy, ENTONCES llámame, DE LO CONTRARIO no me llames.

SI has aprendido tus lecciones, ENTONCES sal a caminar, DE LO CONTRARIO estudia tus lecciones.

En algunos casos<действия 2>puede estar ausente. Esto puede deberse tanto a su obviedad (como, por ejemplo, en el primer ejemplo: está claro que si no tienes dinero, simplemente no puedes comprar pan) como a la falta de necesidad.

SI<условие>, ESO<действия 1>

SI te llamas hongo de leche, ENTONCES métete atrás.

SI quieres estar sano, ENTONCES endurecete.

Una forma de organización de acciones en la que, dependiendo del cumplimiento o incumplimiento de alguna condición, se realiza una u otra secuencia de acciones, se denomina derivación.

Representemos en forma de diagrama de flujo la secuencia de acciones de un alumno de sexto grado que ha olvidado las llaves del apartamento, que imagina así: “Si mamá está en casa, vendré y me sentaré a hacer tarea. Si mi madre no está en casa, me voy a jugar al fútbol con mis amigos hasta que venga mi madre. Si no hay amigos afuera, me subiré a los columpios hasta que venga mi madre”.

(diagrama de bloques (Fig. 8.) ver al final del resumen)

Necesario y condiciones suficientes

Ya hemos comentado contigo que existen condiciones necesarias y suficientes.

Ejemplo condición necesaria algo como esto podría funcionar:

Para convertirse en médico, es necesario obtener una educación médica.

Condición de disponibilidad educación médica Es necesario para trabajar como médico, pero no es suficiente. De hecho, no todos los graduados universidades médicas convertirse en médicos.

Un ejemplo de condición suficiente sería:

Para hacerlo más fresco, simplemente enciende el aire acondicionado.

Esta condición es suficiente: si enciende el aire acondicionado, en realidad se enfriará. Sin embargo, esta condición no es necesaria, pues para lograr este objetivo se puede encender el ventilador, abrir la ventana, etc.

Por supuesto, existen condiciones necesarias y suficientes al mismo tiempo (tales condiciones se llaman equivalente). Por ejemplo:

Para que llegue el verano es necesario y suficiente que termine la primavera.

De hecho, si la primavera termina, llega el verano, y si la primavera no termina, el verano no puede llegar. Es decir, las condiciones para finales de primavera y principios de verano son equivalentes.

Los conceptos de condiciones necesarias, suficientes y equivalentes son muy importantes en una rama de las matemáticas como lógica matemática. Además, se encuentran muy a menudo en la demostración de diversos teoremas.

En la práctica, suele haber problemas en los que es necesario repetir una o más acciones varias veces hasta que se cumpla alguna condición preestablecida.

Por ejemplo, si necesitamos clasificar una caja de manzanas para separar las podridas de las maduras, entonces debemos repetir los siguientes pasos:

1. Toma una manzana.

2. Mira si está podrido.

3. Si está podrido, tíralo; si no, ponlo en otra caja.

Este conjunto de acciones debes realizarlas hasta que se acaben las manzanas de la caja.

Se llama una forma de organizar acciones en la que se repite la misma secuencia de acciones hasta que se cumpla alguna condición preestablecida. ciclo (repetición).

Una situación en la que un bucle nunca termina se llama bucle.

Deberían desarrollarse algoritmos que no permitan este tipo de situaciones.

Considere el algoritmo para un despertador en un teléfono, que debería sonar a las 8:00 de la mañana y luego sonar cada 10 minutos hasta que se apague.

En este caso, su diagrama de bloques se ve así: (consulte el diagrama de bloques (Fig. 9) al final del resumen)

En esta lección, analizamos tres tipos de algoritmos: algoritmos lineales, algoritmos con ramas y algoritmos con repeticiones.

En la próxima lección discutiremos la escritura de algoritmos en la práctica.

Tamiz de Eratóstenes

Recordemos la definición de número natural primo.

Un número natural se llama primo si sólo tiene dos divisores: uno y el número mismo. Los números restantes se llaman compuesto. Además, el número 1 no es primo ni compuesto.

Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7.

Ejemplos números compuestos: 4, 6, 8.

En el siglo III a. C., el matemático griego Eratos-fene propuso siguiente algoritmo para encontrar todos los números primos menores que numero dado PAG:

1. escribe todo números enteros de 1 a norte;

2. tachar 1;

3. subrayar el menor de los números no marcados;

4. tache todos los números que sean múltiplos del número subrayado en el paso anterior;

5. Si hay números sin marcar en la lista, vaya al paso 3; de lo contrario, todos los números subrayados son primos.

Este es un algoritmo cíclico. Cuando se ejecuta, se repiten los pasos 3-5 hasta que haya números sin marcar en la lista original.

Veamos el resultado de este algoritmo. escribamos todo números primos del 1 al 25.

Anotemos los números del 1 al 25.

Tachemos el 1. Ahora subrayemos los dos. Tachemos todos los números pares.

Como no todos los números están marcados, subrayamos el 3. Ahora tachamos todos los números que son divisibles por 3.

Como no todos los números están marcados, subrayamos el 5. Ahora tachamos el número 25.

Como no todos los números están marcados, enfatizamos el 7.

No se puede tachar nada, pero no todos los números están marcados, por eso subrayamos el 11.

No se puede tachar nada, pero no todos los números están marcados, por eso subrayamos el 13. Nuevamente, no se puede tachar nada: subrayamos el 17, luego el 19 y el 23.

Ahora todos los números están marcados.

Obtenemos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Arroz. 7.Diagrama de flujo para cambiar una bombilla.

Arroz. 8. Diagrama de flujo de acciones para un alumno de sexto grado.

Arroz. 9. Diagrama de bloques del despertador.

Bibliografía

1. Bosova L.L. Informática y TIC: Libro de texto para 6º de primaria. - M.: BINOM. Laboratorio de Conocimiento, 2012.

2. Bosova L.L. Ciencias de la Computación: Libro de trabajo para 6to grado. - M.: BINOM. Laboratorio de Conocimiento, 2010.

3. Bosova L.L., Bosova A.Yu. Lecciones de informática en los grados 5-6: Kit de herramientas. - M.: BINOM. Laboratorio de Conocimiento, 2010.

1. Portal de Internet “Nuestra Red” ()

2. Portal de Internet “Hipermercado del Conocimiento” ()

3. Portal de Internet “kaz.docdat.com” ()

Tarea

1. §3.4 (Bosova L.L. Informática y TIC: Libro de texto para sexto grado).

2. Página 81 tareas 2, 6 (Bosova L.L. Informática y TIC: Libro de texto para sexto grado).

3. Página 82 tarea 9, 11, 13, 14 (Bosova L.L. Informática y TIC: Libro de texto para sexto grado).

4. * Página 83 tarea 15 (Bosova L.L. Informática y TIC: Libro de texto para sexto grado).

Al estudiar informática, se presta mucha atención al estudio de los algoritmos y sus tipos. Sin conocer información básica sobre ellos no se puede escribir un programa ni analizar su funcionamiento. El estudio de los algoritmos comienza en curso escolar Ciencias de la Computación. Hoy veremos el concepto de algoritmo, propiedades de un algoritmo, tipos.

Concepto

Un algoritmo es una determinada secuencia de acciones que conduce al logro de un resultado particular. Al elaborar un algoritmo, se detalla cada acción del ejecutante, lo que posteriormente lo llevará a resolver la tarea.

Muy a menudo, los algoritmos se utilizan en matemáticas para resolver determinados problemas. Entonces, mucha gente conoce el algoritmo de solución. ecuaciones cuadráticas con la búsqueda de un discriminante.

Propiedades

Antes de considerarlos en informática, es necesario aclarar sus propiedades básicas.

Entre las principales propiedades de los algoritmos cabe destacar las siguientes:

• Determinismo, es decir, certeza. La cuestión es que cualquier algoritmo supone obtener un resultado determinado dados los iniciales.
• Productividad. Significa que, dada una serie de datos iniciales, después de completar una serie de pasos, se logrará un resultado determinado y esperado.
• Carácter masivo. Un algoritmo escrito una vez se puede utilizar para resolver todos los problemas de un tipo determinado.
• Discreción. Implica que cualquier algoritmo se puede dividir en varias etapas, cada una de las cuales tiene su propio propósito.

Métodos de grabación

Independientemente del tipo de algoritmos informáticos que esté viendo, hay varias formas de escribirlos.

1. Verbal.
2. Fórmula verbal.
3. Gráfico.
4. Lenguaje de algoritmos.

Muy a menudo, el algoritmo se representa en forma de diagrama de bloques, utilizando designaciones especiales fijadas por GOST.

Tipos principales

Hay tres esquemas principales:

1. Algoritmo lineal.
2. Algoritmo de ramificación, o ramificado.
3. Cíclico.

Lineal

Se considera el más simple en informática. Implica una secuencia de acciones. Pongamos el ejemplo más sencillo de un algoritmo de este tipo. Llamémoslo "Prepararse para la escuela".

1. Levántate cuando suene el despertador.

2. Nos lavamos.

3. Cepíllate los dientes.

4. Haz ejercicios.

5. Vístete.

6. Comemos.

7. Nos ponemos los zapatos y vamos a la escuela.

8. Fin del algoritmo.

Algoritmo de ramificación

Al considerar los tipos de algoritmos en informática, uno no puede evitar recordar la estructura de ramificación. Este tipo presupone la existencia de una condición bajo la cual, si se cumple, las acciones se realizan en un orden, y si no se cumple, en otro.

Por ejemplo, tomemos la siguiente situación: un peatón cruzando la calle.

1. Nos acercamos a un semáforo.

2. Miramos la señal del semáforo.

3. Debe ser verde (esta es una condición).

4. Si se cumple la condición, cruzamos la calle.

4.1 En caso contrario, espere hasta que se encienda la luz verde.

4.2 Cruzamos la carretera.

5. Fin del algoritmo.

Algoritmo de operación por turnos

Al estudiar los tipos de algoritmos en informática, conviene detenerse en detalle en este algoritmo Implica una sección de cálculo o acción que se realiza hasta que se cumple una determinada condición.

Tomemos un ejemplo sencillo. Si la serie de números es del 1 al 100. Necesitamos encontrarlos todos, es decir, aquellos que son divisibles por uno y por sí mismos. Llamemos al algoritmo "Números primos".

1. Toma el número 1.

2. Compruebe si es inferior a 100.

3. En caso afirmativo, compruebe si este número es primo.

4. Si se cumple la condición, anótela.

5. Toma el número 2.

6. Compruebe si es inferior a 100.

7. Comprueba si es sencillo.

…. Tomemos el número 8.

Comprobemos si es inferior a 100.

Comprobando si el número es primo.

No, saltémoslo.

Tomemos el número 9.

De esta forma repasamos todos los números hasta el 100.

Como puede ver, los pasos 1 a 4 se repetirán varias veces.

Entre los algoritmos cíclicos, hay algoritmos con una condición previa, cuando la condición se verifica al comienzo del ciclo, o con una condición posterior, cuando la verificación ocurre al final del ciclo.

Otras opciones

El algoritmo también puede ser mixto. Por tanto, puede ser cíclico y ramificado al mismo tiempo. En este caso se utilizan diferentes condiciones en diferentes etapas del algoritmo. Semejante estructuras complejas se utilizan al escribir programas y juegos complejos.

Símbolos del diagrama de bloques

Hemos analizado qué tipos de algoritmos existen en informática. Pero no hablamos sobre qué notaciones se utilizan al registrarlos gráficamente.

1. El principio y el final del algoritmo están escritos en un marco ovalado.
2. Cada comando se registra en un rectángulo.
3. La condición está escrita en un diamante.
4. Todas las partes del algoritmo están conectadas mediante flechas.

conclusiones

Hemos discutido el tema “Algoritmos, tipos, propiedades”. La informática dedica mucho tiempo a estudiar algoritmos. Se utilizan al escribir varios programas para resolver problemas matemáticos y para crear juegos y diversos tipos de aplicaciones.

Derivado direccional.

Deja entrar el avión XOY punto ubicado METRO 0 (X 0 ,y 0 ). vamos a establecer ángulo arbitrario a y considere un conjunto de puntos en el mismo plano, cuyas coordenadas están determinadas a partir de las fórmulas

x = x 0 + t porque a, y = y 0 + t pecado a. (1)

Aquí t- un parámetro que puede ser igual a cualquier número. De las fórmulas (1) se deduce:

(y - y 0)/(x-x 0) = tg a

Esto significa que todos los puntos METRO(x,y), cuyas coordenadas satisfacen las igualdades (1), se encuentran en una línea recta que pasa por el punto METRO 0 (X 0 ,y 0) y componente del ángulo a con eje BUEY. cada valor t corresponde a un solo punto METRO(x,y), situada en esta línea, y según la fórmula (1) a partir de la distancia entre puntos METRO 0 (X 0 ,y 0) y METRO(x,y) es igual t. Podemos considerar esta línea recta. eje numérico con una dirección positiva determinada por un aumento en el parámetro t. Denotemos la dirección positiva de este eje con el símbolo yo.

yo.Derivada de una función z = f(x,y) en el punto METRO 0 (X 0 ,y 0)hacia yo número llamado

La derivada de una función con respecto a la dirección se puede dar. interpretación geométrica. Si a través de directo yo, determinado por las fórmulas (1), dibuja un plano vertical PAG(en realidad en espacio tridimensional las ecuaciones (1) definen este mismo plano), entonces este plano se cruzará con la gráfica de superficie de la función z = f(x,y) a lo largo de

alguna curva espacial l. Tangente del ángulo entre plano horizontal y la tangente a esta curva en el punto METRO 0 (X 0 ,y 0) es igual a la derivada de la función en este punto en la dirección yo.

en cualquier curso Análisis matemático Se demuestra que la derivada direccional determinada por la fórmula (2) se puede representar en la forma.

Tenga en cuenta que la derivada parcial con respecto a X también es derivada direccional. Esta dirección está determinada por las igualdades: cos un = 1; pecado un = 0. De manera similar, la derivada parcial con respecto a y es la derivada con respecto a la dirección, que puede especificarse mediante las condiciones cos un = 0; pecado un = 1.

Antes de analizar la fórmula (3), presentamos algunos conceptos y hechos del curso. álgebra vectorial. Dejemos entrar un plano con un sistema de coordenadas. XOY dado un segmento dirigido o (lo que es lo mismo) un vector, y el punto METRO 0 (X 0 ,y 0) es su punto de partida, y METRO 1 (X 1 ,y 1)‑ punto final. Determinemos la coordenada del vector a lo largo del eje. BUEY como un número igual a X 1 ‑ X 0, y la coordenada a lo largo del eje como un número igual a y 1 ‑ y 0. Si especifica un par ordenado de cualquier número a Y b, entonces estos números pueden considerarse como las coordenadas de algún vector en el plano XOY, y la longitud de este vector está determinada por la fórmula

,

y la tangente del ángulo de inclinación gramo vector al eje BUEY determinado a partir de la fórmula tg gramo = b/a(tenga en cuenta que conocer el valor de tg gramo, así como el signo de cualquiera de los números. a Y b, podemos determinar el ángulo gramo exacto a 2 pag).

Escribiremos la representación de un vector en forma de un par de sus coordenadas en la forma . Esta representación tiene una característica distintiva: él no determina la ubicación del vector en el plano XOY. Para determinarlo, debe especificar, junto con las coordenadas del vector, por ejemplo, las coordenadas de su punto de partida o, como se le puede llamar, el punto de aplicación del vector.

Si se dan dos vectores: y , entonces producto escalar de estos vectores se llama número ( j- ángulo entre vectores).

En cualquier curso de álgebra vectorial se demuestra que producto escalar vectores y es igual a la suma de los productos de las mismas coordenadas de estos vectores:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Dejar entrar en alguna zona GRAMO avión XOY función especificada z = f(x,y) , que tiene derivadas parciales continuas con respecto a ambos argumentos.

Degradado o vector degradado funciones f(x,y) en el punto (x,y) О G es el vector que viene dado por la fórmula

.

Función F define para cada punto del área GRAMO el vector de gradiente que emana de este punto.

Volvamos ahora a la fórmula (3). Su lado derecho podemos considerarlo como un producto escalar de vectores. El primero de ellos es el vector gradiente de la función. z = f(x,y) en el punto METRO 0 (X 0 ,y 0):

.

El segundo es un vector. . Este es un vector con longitud 1 y un ángulo de inclinación con respecto al eje Ox igual a a.

Ahora podemos concluir que la derivada de la función. z = f(x,y) en la dirección determinada por el ángulo a inclinar al eje BUEY, en el punto METRO 0 (X 0 ,y 0) se puede calcular usando la fórmula

. (5)

Aquí b- el ángulo entre el vector y el vector que especifica la dirección en la que se toma la derivada. Aquí también se tiene en cuenta que