¿Cómo se determina la proyección de un vector sobre los ejes de coordenadas? Operaciones lineales sobre vectores y sus propiedades básicas.

Sean dos vectores y se dan en el espacio. Pospongamos desde un punto arbitrario. oh vectores y . Ángulo entre vectores se llama el más pequeño de los ángulos. Designada .

Considere el eje yo y trazar un vector unitario sobre él (es decir, un vector cuya longitud sea igual a uno).

En un ángulo entre el vector y el eje. yo entender el ángulo entre los vectores y .

Entonces deja yo es algún eje y es un vector.

Denotemos por un 1 Y B 1 proyecciones sobre el eje yo respectivamente puntos A Y B. pretendamos que un 1 tiene una coordenada x1, A B 1– coordinar x2 en el eje yo.

Entonces proyección vector por eje yo llamada diferencia x1 – x2 entre las coordenadas de las proyecciones del final y el comienzo del vector sobre este eje.

Proyección del vector sobre el eje. yo denotaremos.

Está claro que si el ángulo entre el vector y el eje yo picante entonces x2> x1 y proyección x2 – x1> 0; si este ángulo es obtuso, entonces x2< x1 y proyección x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси yo, Eso x2= x1 Y x2– x1=0.

Por tanto, la proyección del vector sobre el eje. yo es la longitud del segmento A 1 B 1, tomado con cierto signo. Por tanto, la proyección del vector sobre el eje es un número o un escalar.

La proyección de un vector sobre otro se determina de manera similar. En este caso, se encuentran las proyecciones de los extremos de este vector sobre la recta en la que se encuentra el segundo vector.

Veamos algunos básicos propiedades de las proyecciones.

SISTEMAS VECTORIALES LINEALMENTE DEPENDIENTES Y LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Consideremos varios vectores.

Combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma , donde hay algunos números. Los números se llaman coeficientes de combinación lineal. También dicen que en este caso se expresa linealmente a través de estos vectores, es decir se obtiene de ellos mediante acciones lineales.

Por ejemplo, si se dan tres vectores, entonces los siguientes vectores pueden considerarse como su combinación lineal:

Si un vector se representa como una combinación lineal de algunos vectores, entonces se dice que es Dispuesto a lo largo de estos vectores.

Los vectores se llaman linealmente dependiente, si hay números, no todos iguales a cero, tales que . Está claro que los vectores dados serán linealmente dependientes si cualquiera de estos vectores se expresa linealmente en términos de los demás.

De lo contrario, es decir cuando la proporción realizado sólo cuando , estos vectores se llaman independiente linealmente.

Teorema 1. Dos vectores cualesquiera son linealmente dependientes si y sólo si son colineales.

Prueba:

El siguiente teorema se puede demostrar de manera similar.

Teorema 2. Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.

Prueba.

BASE

Base es la colección de no ceros linealmente vectores independientes. Denotaremos los elementos de la base por .

En el párrafo anterior vimos que dos vectores no colineales en un plano son linealmente independientes. Por tanto, según el teorema 1 del párrafo anterior, una base en un plano son dos vectores cualesquiera no colineales en este plano.

De manera similar, tres vectores cualesquiera no coplanares son linealmente independientes en el espacio. En consecuencia, llamamos base en el espacio a tres vectores no coplanares.

La siguiente afirmación es cierta.

Teorema. Sea una base dada en el espacio. Entonces cualquier vector se puede representar como una combinación lineal. , Dónde X, y, z- algunos números. Esta es la única descomposición.

Prueba.

Por lo tanto, la base permite que cada vector esté asociado de forma única con un triple de números: los coeficientes de expansión de este vector en los vectores de la base: . Lo contrario también es cierto, por cada tres números x, y, z usando la base, puedes comparar el vector si haces una combinación lineal .

Si la base y , entonces los números x, y, z son llamados coordenadas vector en una base dada. Las coordenadas vectoriales se indican con .

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Sea un punto dado en el espacio. oh y tres vectores no coplanares.

sistema cartesiano coordenadas en el espacio (en el plano) es el conjunto de un punto y una base, es decir un conjunto de un punto y tres vectores no coplanares (2 vectores no colineales) que emanan de este punto.

Punto oh llamado el origen; Las líneas rectas que pasan por el origen de coordenadas en la dirección de los vectores base se denominan ejes de coordenadas: abscisas, ordenadas y ejes aplicados. Los planos que pasan por los ejes de coordenadas se llaman planos de coordenadas.

Consideremos en el sistema de coordenadas seleccionado. punto arbitrario METRO. Introduzcamos el concepto de coordenadas puntuales. METRO. Vector que conecta el origen con un punto. METRO. llamado vector de radio puntos METRO.

Un vector en la base seleccionada se puede asociar con un triple de números – sus coordenadas: .

Coordenadas del vector radio del punto. METRO. son llamados coordenadas del punto M. en el sistema de coordenadas considerado. M(x,y,z). La primera coordenada se llama abscisa, la segunda ordenada y la tercera aplicación.

Definido de manera similar Coordenadas cartesianas en la superficie. Aquí el punto tiene sólo dos coordenadas: abscisa y ordenada.

Es fácil ver que cuando sistema dado coordenadas, cada punto tiene ciertas coordenadas. Por otro lado, para cada tripleta de números existe un único punto que tiene como coordenadas estos números.

Si los vectores tomados como base en el sistema de coordenadas seleccionado tienen una longitud unitaria y son perpendiculares por pares, entonces el sistema de coordenadas se llama rectangular cartesiano.

Es fácil demostrarlo.

Los cosenos directores de un vector determinan completamente su dirección, pero no dicen nada sobre su longitud.

y sobre un eje o algún otro vector están los conceptos de su proyección geométrica y proyección numérica (o algebraica). El resultado de una proyección geométrica será un vector y el resultado de una proyección algebraica será un no negativo. Número Real. Pero antes de pasar a estos conceptos, recordemos Información necesaria.

Información preliminar

El concepto principal es el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.

Definición 2

Llamaremos vector o segmento dirigido a aquel segmento para el cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos algunos conceptos más relacionados con el concepto de vector.

Definición 3

Llamaremos colineales a dos vectores distintos de cero si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas entre sí (Fig. 2).

Definición 4

Llamaremos codireccionales a dos vectores distintos de cero si satisfacen dos condiciones:

Estos vectores son colineales.
Si están dirigidos en una dirección (Fig. 3).

Notación: $\overline(a)\overline(b)$

Definición 5

Llamaremos a dos vectores distintos de cero con direcciones opuestas si satisfacen dos condiciones:

Estos vectores son colineales.
Si están dirigidos a lados diferentes(Figura 4).

Notación: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definición 6

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

Pasemos a determinar la igualdad de dos vectores.

Definición 7

Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones:

Son codireccionales;
Sus longitudes son iguales (Fig. 5).

Proyección geométrica

Como dijimos anteriormente, el resultado de una proyección geométrica será un vector.

Definición 8

La proyección geométrica del vector $\overline(AB)$ sobre un eje es un vector que se obtiene de la siguiente manera: El punto origen del vector $A$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $A"$ - el comienzo del vector deseado. El punto final del vector $B$ se proyecta sobre este eje. Obtenemos el punto $B"$ - el final del vector deseado. El vector $\overline(A"B")$ será el vector deseado.

Consideremos el problema:

Ejemplo 1

Construir proyección geométrica$\overline(AB)$ al eje $l$, como se muestra en la Figura 6.

Trazamos una perpendicular desde el punto $A$ al eje $l$, obtenemos el punto $A"$ sobre él. A continuación, trazamos una perpendicular desde el punto $B$ al eje $l$, obtenemos el punto $B "$ en él (Fig. 7).

y sobre un eje o algún otro vector están los conceptos de su proyección geométrica y proyección numérica (o algebraica). El resultado de una proyección geométrica será un vector y el resultado de una proyección algebraica será un número real no negativo. Pero antes de pasar a estos conceptos recordemos la información necesaria.

Información preliminar

El concepto principal es el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Definición 2

Llamaremos vector o segmento dirigido a aquel segmento para el cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos algunos conceptos más relacionados con el concepto de vector.

Definición 3

Llamaremos colineales a dos vectores distintos de cero si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas entre sí (Fig. 2).

Definición 4

Llamaremos codireccionales a dos vectores distintos de cero si satisfacen dos condiciones:

Estos vectores son colineales.
Si están dirigidos en una dirección (Fig. 3).

Notación: $\overline(a)\overline(b)$

Definición 5

Llamaremos a dos vectores distintos de cero con direcciones opuestas si satisfacen dos condiciones:

Estos vectores son colineales.
Si están dirigidos en diferentes direcciones (Fig. 4).

Notación: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definición 6

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

Pasemos a determinar la igualdad de dos vectores.

Definición 7

Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones:

Son codireccionales;
Sus longitudes son iguales (Fig. 5).

Proyección geométrica

Como dijimos anteriormente, el resultado de una proyección geométrica será un vector.

Definición 8

Consideremos el problema:

Ejemplo 1

Construya una proyección geométrica $\overline(AB)$ sobre el eje $l$ que se muestra en la Figura 6.

Imágenes en dibujos cuerpos geométricos se construyen utilizando el método de proyección. Pero para esto no basta una imagen; se necesitan al menos dos proyecciones. Con su ayuda se determinan puntos en el espacio. Por tanto, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un punto.

Proyección de un punto

Para hacer esto necesitarás considerar el espacio. ángulo diedro, con un punto (A) situado en su interior. Aquí se utilizan los planos de proyección horizontal P1 y vertical P2. El punto (A) se proyecta ortogonalmente sobre los planos de proyección. En cuanto a los rayos proyectantes perpendiculares, se combinan en un plano proyectante, perpendicular a los planos proyecciones. Así, al combinar los planos horizontal P1 y frontal P2 girando a lo largo del eje P2 / P1, obtenemos un dibujo plano.

Luego se muestra una línea perpendicular al eje con puntos de proyección ubicados en ella. Entonces resulta dibujo complejo. Gracias a los segmentos construidos en él y linea vertical conexión, puede determinar fácilmente la posición de un punto en relación con los planos de proyección.

Para que sea más fácil entender cómo encontrar la proyección, debe considerar triángulo rectángulo. Su lado corto es el cateto y su lado largo es la hipotenusa. Si proyectas un cateto sobre la hipotenusa, se dividirá en dos segmentos. Para determinar su valor, es necesario calcular un conjunto de datos iniciales. Miremos a triángulo dado, métodos para calcular las principales proyecciones.

Como regla general, en este problema se indica la longitud del cateto N y la longitud de la hipotenusa D, cuya proyección es necesario encontrar. Para ello, descubriremos cómo encontrar la proyección de la pierna.

Consideremos un método para encontrar la longitud del cateto (A). Considerando que la media geométrica de la proyección del cateto y la longitud de la hipotenusa es igual al valor del cateto que buscamos: N = √(D*Nd).

Cómo encontrar la longitud de la proyección

La raíz del producto se puede encontrar elevando al cuadrado la longitud del cateto deseado (N), y luego dividiéndolo por la longitud de la hipotenusa: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Al especificar los valores de solo los catetos D y N en los datos de origen, las proyecciones de longitud deben encontrarse utilizando el teorema de Pitágoras.
Encontremos la longitud de la hipotenusa D. Para hacer esto, use los valores de los catetos √ (N² + T²) y luego sustituya el valor resultante en la siguiente fórmula para encontrar la proyección: Nd = N² / √ (N² + T²).

Cuando los datos de origen contienen datos sobre la longitud de la proyección del cateto RD, así como datos sobre el valor de la hipotenusa D, la longitud de la proyección del segundo cateto ND debe calcularse utilizando una fórmula de resta simple: ND = D-RD.

Proyección de velocidad

Veamos cómo encontrar la proyección de la velocidad. Para que un vector determinado represente una descripción del movimiento, debe colocarse en proyección sobre ejes de coordenadas. Hay un eje de coordenadas (rayo), dos ejes de coordenadas (plano) y tres ejes de coordenadas (espacio). Al encontrar una proyección, es necesario bajar las perpendiculares desde los extremos del vector hasta el eje.

Para comprender el significado de proyección, es necesario saber cómo encontrar la proyección de un vector.

Proyección vectorial

Cuando el cuerpo se mueve perpendicular al eje, la proyección se representará como un punto, y tendrá el valor igual a cero. Si el movimiento se realiza paralelo al eje de coordenadas, entonces la proyección coincidirá con el módulo vectorial. En el caso de que el cuerpo se mueva de tal manera que el vector velocidad se dirija en un ángulo φ con respecto al eje (x), la proyección sobre este eje será un segmento: V(x) = V cos(φ), donde V es el modelo del vector velocidad. Cuando las direcciones del vector velocidad y el eje de coordenadas coinciden, entonces la proyección es positiva y viceversa.

Tomemos lo siguiente ecuación de coordenadas: x = x(t), y = y(t), z = z(t). En este caso, la función de velocidad se proyectará sobre tres ejes y tendrá la siguiente forma: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). De ello se deduce que para encontrar la velocidad es necesario tomar derivadas. El vector velocidad en sí se expresa mediante una ecuación de la siguiente forma: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k Aquí i, j, k son. vectores de unidad ejes de coordenadas x, y, z respectivamente. Por lo tanto, el módulo de velocidad se calcula mediante la siguiente fórmula: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

El eje es la dirección. Esto significa que la proyección sobre un eje o sobre una línea dirigida se considera lo mismo. La proyección puede ser algebraica o geométrica. En términos geométricos, la proyección de un vector sobre un eje se entiende como un vector, y en términos algebraicos, como un número. Es decir, se utilizan los conceptos de proyección de un vector sobre un eje y proyección numérica de un vector sobre un eje.

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Si tenemos un eje L y un vector A B → distinto de cero, entonces podemos construir un vector A 1 B 1 ⇀, que denota las proyecciones de sus puntos A 1 y B 1.

A 1 B → 1 será la proyección del vector A B → sobre L.

Definición 1

Proyección del vector sobre el eje. es un vector cuyo principio y fin son proyecciones del principio y fin más allá vector dado. n p L A B → → se acostumbra denotar la proyección A B → sobre L. Para construir una proyección sobre L, se dejan caer perpendiculares sobre L.

Ejemplo 1

Un ejemplo de proyección vectorial sobre un eje.

En Plano coordinado Alrededor de x y se especifica el punto M 1 (x 1 , y 1). Es necesario construir proyecciones sobre O x y O y para obtener una imagen del vector de radio del punto M 1. Obtenemos las coordenadas de los vectores (x 1, 0) y (0, y 1).

Si estamos hablando acerca de sobre la proyección de a → sobre un b → distinto de cero o la proyección de a → sobre la dirección b → , entonces nos referimos a la proyección de a → sobre el eje con el que coincide la dirección b →. La proyección de a → sobre la recta definida por b → se designa n p b → a → → . Se sabe que cuando el ángulo entre a → y b → , n p b → a → → y b → puede considerarse codireccional. En el caso de que el ángulo sea obtuso, n p b → a → → y b → están en direcciones opuestas. En una situación de perpendicularidad a → y b →, y a → es cero, la proyección de a → en la dirección b → es el vector cero.

La característica numérica de la proyección de un vector sobre un eje es la proyección numérica de un vector sobre un eje dado.

Definición 2

Proyección numérica del vector sobre el eje. es un número que es igual al producto de la longitud de un vector dado y el coseno del ángulo entre el vector dado y el vector que determina la dirección del eje.

La proyección numérica de A B → sobre L se denota n p L A B → , y a → sobre b → - n p b → a → .

Con base en la fórmula, obtenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , de donde a → es la longitud del vector a → , a ⇀ , b → ^ es el ángulo entre los vectores a → y b → .

Obtenemos la fórmula para calcular la proyección numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Es aplicable para longitudes conocidas a → y b → y el ángulo entre ellas. La fórmula es aplicable para coordenadas conocidas a → y b →, pero existe una forma simplificada.

Ejemplo 2

Encuentra la proyección numérica de a → sobre una línea recta en la dirección b → con una longitud a → igual a 8 y un ángulo entre ellas de 60 grados. Por condición tenemos a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Entonces, sustituyamos valores numéricos en la fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Respuesta: 4.

Con cos conocido (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , tenemos a → , b → como producto escalar a → y b → . Siguiendo la fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar la proyección numérica a → dirigida a lo largo del vector b → y obtener n p b → a → = a → , b → b → . La fórmula equivale a la definición dada al principio del párrafo.

Definición 3

La proyección numérica del vector a → sobre un eje que coincide en dirección con b → es la relación del producto escalar de los vectores a → y b → por la longitud b → . La fórmula n p b → a → = a → , b → b → es aplicable para encontrar la proyección numérica de a → sobre una línea que coincide en dirección con b → , con coordenadas conocidas a → y b →.

Ejemplo 3

Dado b → = (- 3, 4) . Encuentre la proyección numérica a → = (1, 7) sobre L.

Solución

En el plano de coordenadas n p b → a → = a → , b → b → tiene la forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , con a → = (a x , a y ) y segundo → = segundo X , segundo y . Para encontrar la proyección numérica del vector a → sobre el eje L, necesita: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Respuesta: 5.

Ejemplo 4

Encuentra la proyección de a → sobre L, coincidiendo con la dirección b →, donde existen a → = - 2, 3, 1 y b → = (3, - 2, 6). Se especifica el espacio tridimensional.

Solución

Dado a → = a x , a y , a z y b → = b x , b y , b z , calculamos el producto escalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Encontramos la longitud b → usando la fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . De ello se deduce que la fórmula para determinar la proyección numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Sustituye los valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Respuesta: - 6 7.

Veamos la conexión entre a → en L y la longitud de la proyección a → en L. Dibujemos un eje L, sumando a → y b → desde un punto en L, después de lo cual dibujamos una línea perpendicular desde el extremo a → a L y dibujamos una proyección sobre L. Hay 5 variaciones de la imagen:

Primero el caso con a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , por lo tanto n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = norte p segundo → a → → .

Segundo el caso implica el uso de n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , lo que significa n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Tercero el caso explica que cuando n p b → a → → = 0 → obtenemos n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , entonces n p b → a → → = 0 y n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Cuatro el caso muestra n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , sigue n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - norte p b → a → → .

Quinto el caso muestra a → = n p b → a → → , lo que significa a → = n p b → a → → , por lo tanto tenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - norte p segundo → a → .

Definición 4

La proyección numérica del vector a → sobre el eje L, que se dirige de la misma manera que b →, tiene el siguiente valor:

la longitud de la proyección del vector a → sobre L, siempre que el ángulo entre a → y b → sea menor que 90 grados o igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → con la condición 0 ≤ (a → , segundo →) ^< 90 ° ;
cero siempre que a → y b → sean perpendiculares: n p b → a → = 0, cuando (a → , b → ^) = 90 °;
la longitud de la proyección a → sobre L, multiplicada por -1, cuando los vectores a → y b → forman un ángulo obtuso o llano: n p b → a → = - n p b → a → → con la condición de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Ejemplo 5

Dada la longitud de la proyección a → sobre L, igual a 2. Encuentre la proyección numérica a → siempre que el ángulo sea 5 π 6 radianes.

Solución

De la condición queda claro que ángulo dado es obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Respuesta: - 2.

Ejemplo 6

Dado un plano O x y z con una longitud de vector a → igual a 6 3, b → (- 2, 1, 2) con un ángulo de 30 grados. Encuentra las coordenadas de la proyección a → sobre el eje L.

Solución

Primero, calculamos la proyección numérica del vector a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Por condición, el ángulo es agudo, entonces la proyección numérica a → = la longitud de la proyección del vector a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Este caso muestra que los vectores n p L a → → y b → están codirigidos, lo que significa que hay un número t para el cual la igualdad es verdadera: n p L a → → = t · b → . De aquí vemos que n p L a → → = t · b → , lo que significa que podemos encontrar el valor del parámetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Entonces n p L a → → = 3 · b → con las coordenadas de la proyección del vector a → sobre el eje L igual a b → = (- 2 , 1 , 2) , donde es necesario multiplicar los valores por 3. Tenemos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Respuesta: (- 6, 3, 6).

Es necesario repetir la información previamente aprendida sobre la condición de colinealidad de los vectores.

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