Objetivo de actividad: desarrollar la capacidad de los estudiantes para generalizar, estructurar y sistematizar material sobre el tema de la lección.

Objetivo educativo: sistematizar el material educativo e identificar la lógica de desarrollo de la línea de contenidos de la asignatura, fortalecer las conexiones entre los principales y educación adicional sobre la base de la materia optativa ZFTSH en MIPT, preparar a los estudiantes para resolver problemas de alto nivel de complejidad en el Examen Estatal Unificado.

Objetivo educativo: despertar el interés por la resolución de problemas de forma independiente, animar a los estudiantes a búsqueda activa formas racionales de resolver problemas, desarrollar la capacidad de expresar la propia posición en una discusión, desarrollar la capacidad de formular y argumentar propuestas para avanzar hacia el logro de resultados.

Objetivos educacionales: superar la barrera a la necesidad de resolver problemas atípicos; formar una base de datos de métodos algorítmicos para resolver problemas con un parámetro, seleccionar métodos para resolver problemas basados ​​​​en una generalización del material previamente estudiado, evaluar los logros de uno en esta etapa y formar planes para una mayor autoeducación, optimizar el sistema de tareas, familiarizarse con las posibilidades la educación a distancia sobre el tema de la lección.

Tareas de desarrollo: desarrollo del pensamiento lógico, la memoria, la observación, la capacidad de resumir correctamente los datos y sacar conclusiones, promoviendo el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones no estándar, desarrollo de habilidades para establecer relaciones de causa y efecto, desarrollo pensamiento crítico.

Tareas educativas: fomentar el interés positivo en el tema en estudio, brindar condiciones para que los estudiantes dominen el algoritmo para la resolución de problemas problemáticos y de investigación, fortalecer un entorno creativo colectivo, brindar condiciones para desarrollar la capacidad de expresar su punto de vista.

Formas, métodos y técnicas pedagógicas.

• Métodos de enseñanza: presentación problemática, investigación.
• Identificación de hipótesis diseñando el resultado, planificación del trabajo.
• El objetivo principal es motivar las actividades de los estudiantes.
• Metodología colectiva actividad creativa, metodología de la información y la comunicación, metodología de búsqueda de problemas.
• control frontal Listo para la lección: prepare una pregunta complicada.
• Actualización y registro de dificultades individuales.
• Construir un proyecto para salir de un problema.
• Reflexión sobre las actividades educativas.

Modelos de aprendizaje.

• Modelo de enseñanza comunicativo y de discusión.
• Información y comunicación (uso de recursos de información).
• Interacción grupal e intergrupal, cambiando las actividades de los estudiantes.

Desarrollo del pensamiento crítico: desafío, comprensión, reflexión.

Posibilidades de completar la tarea después de la discusión:

• Solución completa a los problemas propuestos.
• Creando grupos por tareas individuales grupo y la elección de criterios para su evaluación.

Los posibles cambios en la tarea dependen del progreso de la lección. De hecho, los estudiantes han avanzado tarea para trabajo independiente.

Recepción “Situación problemática”

Entrenando en esta clase El curso “Álgebra y los inicios del análisis” se desarrolla según el material didáctico de S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkina. Este curso no asigna tiempo para estudiar el tema "Resolver ecuaciones trigonométricas con parámetros". Para muchos estudiantes de la clase, el conjunto de problemas relevantes es bastante complejo y no esperan resolverlos durante el proceso. certificación final. Sin embargo, a la hora de prepararse para participar en olimpíadas universitarias, este tema no se puede evitar. Esta lección es una de las etapas de conexión en el estudio de temas principales del curso como gráficas de funciones elementales, solución ecuaciones cuadráticas y desigualdades y problemas que pueden reducirse a ellas, utilizando el método de intervalos, elaborando diagramas de transiciones equivalentes.

A los estudiantes se les ofrece por adelantado (una semana antes de la lección) un conjunto de 10 tareas, que completan en casa, divididas en grupos de 5 a 6 personas. Se pide a cada grupo que elija tres problemas cuya solución podría mostrar a sus compañeros (el diseño de estos problemas debe presentarse en forma de presentación, una de las soluciones debe ser necesariamente incorrecta);

La implementación de esta técnica implica:

• creando una situación de contradicción entre lo conocido y lo desconocido. Se conocen todas las posibles etapas individuales de investigación y solución. Lo que se desconoce es la posibilidad de establecer conexiones entre estas etapas para formar un algoritmo de solución.
• elección independiente para resolver y presentar problemas individuales dentro de minigrupos;
• verificación colectiva de resultados;
• identificar las razones de las discrepancias en los resultados o las dificultades para completar las tareas;
• reflexión con autoevaluación del nivel de preparación para resolver tareas sobre este tema.

El objetivo formulado de la lección es "Generalización de métodos y técnicas para resolver ecuaciones trigonométricas y estudiar funciones trigonométricas".

Una posible pregunta de los estudiantes: “¿Qué tienen que ver los parámetros con esto?” Es aconsejable llevar a los estudiantes a la conclusión: "Si puedes resolver no solo un problema, sino todo un bloque de problemas, entonces tus oportunidades en actividades futuras se expandirán significativamente".

Comprobando la preparación para la lección.

Los estudiantes se sientan en grupos en los que se prepararon para presentar los resultados de sus tareas.

Para evaluar las condiciones iniciales, el docente distribuye tablas a los grupos y sugiere asignar números de tarea de acuerdo con la clasificación propuesta.

Tareas sugeridas.

Tarea 1. Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales ecuación cos 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0 tiene un número par de raíces en el segmento.

Tarea 2. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales las ecuaciones (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0 son equivalentes.

Tarea 3. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación tiene una solución.

Tarea 4. Resuelve la ecuación x 2 -2xcosa+1=0 para todos los valores del parámetro a.

Tarea 5. Resuelva la ecuación 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= para todos los valores del parámetro a.

Tarea 6. Resuelva la desigualdad sin 4 x + cos 4 x a para todos los valores del parámetro a.

Tarea 7. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 tiene exactamente dos raíces en el intervalo?

Tarea 8. Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales el conjunto de valores de la función contiene un segmento.

Tarea 9. ¿Para qué valores del parámetro t tiene solución la ecuación senx + cosx – sinxcosx =t?

Tarea 10. Encuentre todos los valores del parámetro k, para cada uno de los cuales la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo

Tarea de clasificación: clasifique las tareas propuestas:

1) por nivel de dificultad

2) según los métodos utilizados para convertir expresiones trigonométricas

3) utilizar en su decisión información sobre el dominio de definición de expresiones trigonométricas

4) utilizar información sobre el conjunto de valores de funciones trigonométricas en su solución

5) reducir al estudio del conjunto de soluciones de una ecuación o desigualdad cuadrática

6) requerir la capacidad de factorizar expresiones

7) sugiriendo método analítico soluciones

8) asumiendo un método de solución paramétrico de coordenadas

9) que implica el uso de interpretación geométrica utilizando el plano “variable – valor”.

Nota: la misma tarea puede clasificarse en varios títulos.

• Selecciona aquellas tareas que, desde tu punto de vista, puedes resolver.
• Elige aquellas tareas que, desde tu punto de vista, te gustaría resolver.
• Intente encontrar argumentos que justifiquen su elección.

Antes de realizar la clasificación, puedes plantear esas preguntas “capciosas” que los grupos han preparado con antelación.

Se forma de forma conjunta el orden de presentación de las tareas por parte de los alumnos de cinco grupos.

Dado que los estudiantes eligieron resolver los problemas 2, 3, 4, 5, 7, 9, el número del problema se eligió por sorteo en grupo y se presentó un algoritmo para resolverlo (para no desviar la atención de los estudiantes, los detalles de la solución no se comprobaron si las respuestas de los grupos de estudiantes coincidían).

Las presentaciones de las soluciones de los estudiantes se muestran en la pantalla utilizando la estación de trabajo del profesor.

Breves comentarios sobre la discusión de soluciones.

Contradicciones en las respuestas a la tarea 2, discusión sobre la inclusión y exclusión de los puntos (-1) y (0). El profesor llama la atención de los estudiantes sobre la necesidad de realizar un seguimiento de todas las ramificaciones del algoritmo.

Uno de los grupos representa solución incorrecta al problema 3. La solución es diferente a la sugerida por el profesor y consiste en deshacerse de la irracionalidad. Los estudiantes se olvidan del requisito de que el lado derecho de la ecuación no sea negativo.

Como desafío, el docente sugiere resolver desigualdades en lugar de ecuaciones reemplazando el signo “=" por “” o “”. Se anima a los estudiantes a señalar esquemas ya estudiados de transiciones equivalentes al resolver desigualdades irracionales.

Se analiza el caso erróneo de incluir valores de parámetros en la respuesta en la tarea 7. La coincidencia de soluciones de dos ramas se considera una solución. Como tema de reflexión, puedes presentar la desigualdad (cos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 e iniciar una discusión sobre el tema de las raíces múltiples de ecuaciones.

La decisión desató una acalorada discusión. tareas 9. Uno de los grupos de estudiantes presentó una gráfica obtenida en el programa Advanced Grapher para la función del lado izquierdo ecuación original, y llegó a la conclusión de que el conjunto de sus valores es el segmento [-2;1]. El grupo de estudiantes competidores construyó inmediatamente este gráfico con las guías horizontales correspondientes y, aumentando la escala, demostró que no había tangencia con la recta t = -2. Dado que aumentar la escala no condujo a un cambio en la situación al tocar la línea horizontal superior, el primer grupo insistió en que se acreditara la solución al problema al menos parcialmente.

El único argumento importante de los competidores fue la falta de oportunidad de utilizar cualquier graficador en el examen. Sin embargo, quedó abierta la pregunta en qué circunstancias reales se puede confiar en los resultados de los cálculos numéricos y por qué, en su mayor parte, no se permite el redondeo de valores numéricos en las respuestas en los exámenes.

Foto 1

Figura 2

No existe una solución correcta para la tarea 9. Se hace una propuesta para cambiar las variables sinx + cosx = p, los estudiantes expresan una “contradicción”: 1 + sin2x = p 2.

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, la gráfica construida de t(x) da un conjunto de valores completamente diferente para la función t.

figura 3

La contradicción se elimina mediante el requisito de una sustitución cuidadosa: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 sólo para senx +cosx 0

Las franjas dentro de las cuales las coordenadas de los puntos satisfacen la desigualdad se resaltan mediante sombreado.

Figura 4

Cuando senx + cosx<0:

t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

Las franjas dentro de las cuales las coordenadas de los puntos k satisfacen la desigualdad se resaltan mediante sombreado

Figura 5

La lección está llegando rápidamente a su fin.. Tareas 1, 6, 8, 10 no encontró a sus admiradores. Mientras presentaba algoritmos para la resolución de problemas seleccionados por grupos, el profesor revisó la clasificación de las tareas realizadas por los estudiantes al inicio de la lección. A juzgar por la información de las tablas, los estudiantes consideran que las tareas 1, 8 y 10 son particularmente difíciles y no surgen ideas para resolverlas. La tarea 6 provocó discrepancias en las respuestas en la etapa preliminar, por lo que los estudiantes no la eligieron para su presentación.

Tarea: modificar los problemas discutidos y ofrecerles su propia solución. Posibles formas de modificación: convertir las ecuaciones dadas en desigualdades; cambiar los coeficientes numéricos, formular otras preguntas al planteamiento del problema.

El profesor también sugiere considerar su solución analítica a los problemas elegidos por los estudiantes y comentar las ventajas y desventajas de las soluciones para la siguiente lección.

Reflexión.

Los estudiantes requieren la reflexión como atributo externo “SEIS SOMBREROS”.

Como no están disponibles, acordamos que cada uno de los 5 grupos elija mentalmente el color del sombrero, cualquier color, a excepción del rojo (ya que hubo bastantes emociones durante el debate), y exprese su actitud ante la lección pasada.

“Sombrero blanco”: de las diez tareas propuestas, solo se consideraron 6. Muchas tareas tenían fallas en las soluciones. El uso del ordenador como asistente en la fase de preparación se ha convertido en una prueba incorrecta. No sabemos cómo resolver desigualdades trigonométricas.

“Black Hat”: el nivel de tareas supera claramente nuestras capacidades. En el Examen Estatal Unificado, la trigonometría se encuentra solo en el problema más simple con una solución completa, no necesitamos modelos similares para el examen Estatal Unificado con un parámetro. Cometemos errores al seleccionar las raíces de ecuaciones trigonométricas en intervalos; debemos dedicarle tiempo durante las sesiones de entrenamiento. La composición de los grupos es desigual. El sorteo permitió a los primeros grupos elegir tareas más sencillas; esto no se tuvo en cuenta en las calificaciones. No era necesario sugerir específicamente que se cometieran errores en las decisiones, y sin esto, había muchos errores.

“Sombrero Amarillo” Es bueno que ahora, y no al final del 11º grado, hayamos visto problemas difíciles. Los problemas considerados tienen algoritmos para resolverlos, solo necesitas acostumbrar tu cerebro a ellos. En el libro de texto, todos los subpárrafos del párrafo 11 representan familias de "problemas con parámetros", ya que su solución se basa en algoritmos similares.

Hay tiempo para determinar el “techo” de competencias. ¿O tal vez a alguien le gustaría participar en competiciones u olimpiadas? Podemos suponer que ya hemos visto el inicio del camino hacia ellos.

"Green Hat" Me parece que resolver este tipo de problemas es lo más adecuado para los programadores. Necesitan hacer saltos condicionales, omitir valores críticos para que los programas no se cuelguen, probablemente haya un banco de programas que consideren cuestiones de trigonometría. Solo necesita aceptar el puesto de programador y todo empezará a funcionar.

“Sombrero Azul” es profesor. Me gustaría estar de acuerdo con todos los comentarios y declaraciones, excepto con los muy pragmáticos. Y los pragmáticos deben tener presente que nunca se puede saber qué requerirá la vida de uno en una situación determinada.

Se propone realizar una consulta para solucionar los problemas pendientes, la participación en la consulta es voluntaria, en el futuro próximo no habrá tareas de este nivel de complejidad en los trabajos de control y diagnóstico.

Resumiendo.

Chicos, hoy dimos un paso juntos, aunque sea pequeño, hacia la búsqueda creativa de soluciones en trigonometría. Estoy seguro de que comprende mejor las ecuaciones trigonométricas y la variedad de formas de resolverlas.

Al completar el trabajo de evaluación escrita, tendrá la oportunidad de elegir un tipo específico de tarea. Espero que su atención no ignore los problemas con los parámetros.

Gracias por su trabajo activo en clase. La lección ha terminado. ¡Adiós!

EN Apéndice 1 Contiene comentarios y una breve solución a los problemas propuestos.

EN Apéndice 2 Se proporciona una lista de la literatura utilizada en la construcción de la lección y el material y equipo técnico necesarios.

EN Apéndice 3 Se presentan los gráficos utilizados en preparación para la lección, construidos en el programa Advanced Grapher.

Sergiev Posad, 2012

INTRODUCCIÓN

Los problemas con los parámetros juegan un papel importante en la formación del pensamiento lógico y la cultura matemática entre los escolares, pero resolverlos les causa importantes dificultades. Esto se debe al hecho de que cada ecuación con parámetros representa toda una clase de ecuaciones ordinarias, para cada una de las cuales se debe obtener una solución. Estas tareas se ofrecen en el examen estatal unificado y en los exámenes de acceso a las universidades.

Con base en los resultados del Examen Estatal Unificado de 2011 (Tabla 1), podemos concluir que la resolución de problemas con parámetros causa la mayor dificultad para los estudiantes. Alrededor del 87,9% no empieza a realizar este tipo de tareas, y sólo el 0,87% recibe la puntuación máxima. Esto se debe a que el programa de matemáticas de la escuela secundaria no presta mucha atención a la resolución de problemas con parámetros. Por tanto, todo docente debe encontrar tiempo en el aula para resolver este tipo de problemas. Estos problemas son de interés puramente matemático, contribuyen al desarrollo intelectual de los estudiantes y sirven como un buen material para practicar habilidades.

Tabla 1. Resultados promedio al completar las tareas C1-C6

Todas las tareas consideradas en este trabajo tienen como objetivo ayudar a los estudiantes a tener una idea de las ecuaciones trigonométricas con parámetros y lo que significa resolver una ecuación con ellos. Al comenzar a familiarizarse con los parámetros, los estudiantes experimentan una barrera psicológica, debido a sus características contradictorias. Por un lado, el parámetro en la ecuación debe considerarse una cantidad conocida, pero por otro lado, no se proporciona el valor específico del parámetro. Por un lado, el parámetro es un valor constante, pero por otro puede adoptar valores diferentes. Resulta que el parámetro de la ecuación es una “cantidad desconocida”, una “variable constante”. Estas declaraciones contradictorias reflejan con precisión la esencia de las dificultades que los estudiantes deben superar.

1. Fundamentos teóricos para la resolución de ecuaciones con parámetros.

Si en una ecuación algunos coeficientes no están dados por valores numéricos específicos, sino que se designan con letras, entonces se denominan parámetros y la ecuación es paramétrica.

Naturalmente, esta clase de problemas no permite a muchos comprender lo principal: el parámetro, al ser un número fijo pero desconocido, tiene una naturaleza dual. En primer lugar, la supuesta fama permite "comunicarse" con el parámetro como un número y, en segundo lugar, el grado de libertad de comunicación está limitado por su oscuridad. Por lo tanto, dividir por una expresión que contiene un parámetro y extraer la raíz de un grado par de dichas expresiones requiere una investigación preliminar. Normalmente, los resultados de estos estudios influyen tanto en la decisión como en la respuesta.

Hagamos una observación. Un paso esencial para resolver ecuaciones con parámetros es escribir la respuesta. Esto se aplica especialmente a aquellos ejemplos en los que la solución parece "bifurcarse" dependiendo de los valores de los parámetros. En tales casos, redactar una respuesta es una colección de resultados obtenidos previamente. Y aquí es muy importante no olvidar reflejar en la respuesta todas las etapas de la solución.

¿Cómo empezar a resolver este tipo de problemas? En primer lugar, al resolver problemas con parámetros, es necesario hacer lo que se hace al resolver cualquier ecuación o desigualdad: reducir las ecuaciones o desigualdades dadas a una forma más simple, si esto, por supuesto, es posible: factorizar la expresión racional; factorizar un polinomio trigonométrico; deshacerse de módulos, logaritmos, etc. Entonces necesitas leer la tarea una y otra vez.

Principales tipos de tareas con parámetros:

Tipo 1. Problemas que deben resolverse para todos los valores de los parámetros o para los valores de los parámetros de un intervalo determinado.

Tipo 2. Problemas donde se necesita encontrar el número de soluciones dependiendo del valor del parámetro.

Tipo 3. Problemas donde es necesario encontrar valores de parámetros para los cuales el problema tiene un número determinado de soluciones

Tipo 4. Problemas en los que es necesario encontrar valores de parámetros para los cuales el conjunto de soluciones satisface condiciones específicas.

Este trabajo examina ecuaciones trigonométricas con parámetros y ciertos algoritmos que pueden ayudar a resolver tareas tan difíciles.

Entonces consideremos la ecuación.

F ( x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F)

con incógnitas x, y, ..., z y con parámetros α, β, ..., γ ; para cualquier sistema admisible de valores de parámetros α 0 ,β 0 , ..., γ 0 la ecuación (F) se convierte en ecuación F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

con incógnitas x, y,..., z, que no contiene parámetros. La ecuacion ( fo ) tiene un conjunto bien definido (quizás vacío) de soluciones.

Definición. Para resolver una ecuación (o sistema) que contiene parámetros, esto significa, para cada sistema admisible de valores de parámetros, encontrar

el conjunto de todas las soluciones de una ecuación (sistema) dada.

El concepto de equivalencia aplicado a una ecuación que contiene parámetros se establece de la siguiente manera.

Definición. Dos ecuaciones (sistemas)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0(F), Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (F)

con x, y,..., z desconocidos y con parámetros α, β, ..., γ se llaman equivalentes si para ambas ecuaciones (sistemas) el conjunto de sistemas admisibles de valores de parámetros es el mismo y para cada admisible sistema de valores, parámetros ambas ecuaciones (sistemas de ecuaciones) son equivalentes.

Entonces, ecuaciones equivalentes para cualquier sistema de valores admisible

Los parámetros tienen el mismo conjunto de soluciones.

Una transformación de una ecuación que cambia el conjunto de sistemas admisibles de valores de parámetros conduce a una ecuación que no es equivalente a la ecuación dada.

Aquí están las fórmulas para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

1. Enfoques para resolver ecuaciones trigonométricas con parámetros.

Ejemplo 1. (Introducción de variables adicionales,)

Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales la ecuación

Tiene una solución.

Solución .

Introduzcamos una nueva variable: xt . Entonces esta ecuación toma la forma: t 2 – (a + 2)t – (a + 3) = 0.

Para resolver la ecuación cuadrática resultante con variable t, encontramos su discriminante: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Como D≥0, la ecuación cuadrática tiene solución

t 1,2 = = ;

t 1 =

t 2 =

El número -1 no pertenece al intervalo.Por tanto, la ecuación trigonométrica que se nos da con un parámetro tiene solución bajo la condición

0 ≤ un +3 ≤ 1, -3 ≤ un ≤ -2.

Respuesta. La ecuaciontiene una solución para un.

Ejemplo 2. (Introducción de variables adicionales,)

Encuentre todos los valores del parámetro p para los cuales la ecuación

6pecado 3 x = p – 10cos2x no tiene raíces.

Solución:

6sen 3 x = p – 10cos2x ;

6sen 3 x + 10cos2x = p;

6sen 3 x + 10(1 – 2sen 2 x) = p;

6sen 3 x – 20sen 2 x + 10 = p.

Introduzcamos una nueva variable:,t entonces la ecuación trigonométrica tomará la forma 6t 3 – 20t 2 + 10 = pág.

Considere la función y = 6t 3 – 20t 2 + 10 y examínelo para detectar los valores más grandes y más pequeños del segmento.

Encontrar la derivada:

Determinamos los puntos críticos de la función:

Número 2 no pertenece al intervalo, entonces calculamos los valores de la función en el punto 0 y en los extremos del segmento:

y(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

y(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

y(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 en el segmento.

Esto significa que cuando p la ecuación original no tiene raíces.

Respuesta. Ecuación 6sin 3 x=p–10Cos2x no tiene raíces en p

Ejemplo 3. (Introducción de variables adicionales,)

¿Para qué valores del parámetro a la expresión 2 + cosx(3cosx + asinx) no es igual a cero para cualquier valor de x?

Solución:

En otras palabras, es necesario encontrar todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 no tiene raíces.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + pecado 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 es una ecuación homogénea de segundo grado.

Si cosx = 0, entonces senx = 0, lo cual es imposible, ya que cos 2 x + pecado 2 x = 1, entonces dividimos los lados izquierdo y derecho de la ecuación homogénea en.

Obtenemos una ecuación de la forma 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Para resolver esta ecuación, introducimos una nueva variable: t = tgx, t entonces 2t 2 + at + 5 = 0.

Método 1.

Primero encontremos el conjunto de todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación cuadrática resultante tiene solución. La adición de este conjunto a R será la respuesta deseada.

Una ecuación cuadrática tiene raíces si y sólo si D≥0.

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ≥ 0, a 2 ≥ 40,

A ] ; ).

El complemento de este conjunto a R es el intervalo (-2

Método 2. Una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si y sólo si D

D = un 2 – 40, un 2 – 40 un 2 40,

A; ).

Respuesta. La expresión 2+cosx(3cosx + asinx) no es igual a cero para ningún valor de x si a; ).

Ejemplo 4. (La función se da como)

¿Para qué valores de a y b la ecuación

¿Tiene una única solución?

Solución:

La solución al problema se basa en que si la función F dado por la igualdad, entonces las condiciones A=B, C=0 son condiciones necesarias y suficientes para la ecuación f(x)=0 Sólo tenía una solución. Así, la solución del problema se reduce a una solución respecto de los parámetros a y b del sistema:

De la primera ecuación del sistema encontramos que

Y desde

entonces llegamos a considerar los sistemas

Como es fácil ver, las soluciones del segundo sistema son todos valores del parámetro A, definido por la igualdad

En cuanto al primer sistema, resulta incompatible. Por tanto, teniendo en cuenta la segunda ecuación del sistema, la búsqueda de los parámetros requeridos a y B Todo se reduce a encontrar soluciones al sistema:

La respuesta aquí es obvia:

Ejemplo 5. (Aplicación de fórmulas clásicas)

Encuentre el valor entero más grande de un parámetro A , para lo cual la ecuación

cos2x + asinx = 2 a – 7 tiene solución.

Solución:

Transformemos la ecuación dada:

cos2x + a senx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 x + asinx = 2 a – 7;

pecado 2 x - a pecadox + a – 4 = 0;

Resolviendo la ecuación
da:

1. (senх – 2) = 0;

pecadox=2;

No hay soluciones, o.

Cuando ≤ 1.

Desigualdad ≤ 1 tiene solución 2 ≤ A ≤ 6, lo que significa que el valor entero más grande del parámetro a es 6.

Respuesta: 6.

Ejemplo 6. Aplicación de fórmulas clásicas.

Resuelve la ecuación

Solución:

La ecuación se puede convertir fácilmente a:

Si entonces y la ecuación no tiene raíces.

Si La última ecuación tiene raíces si

Entonces

Respuesta: cuando

no hay raíces.

Ejemplo 7. (Dividir el rango de posibles valores de variables y parámetros)

Solución:

En la ecuación no tiene soluciones.

En

Respuesta:

Ejemplo 8. (División del rango de posibles valores de variables y parámetros)

Resuelve la ecuación

Ecuaciones trascendentales con parámetros y métodos para sus soluciones.

trabajo de graduación

2.4 Ecuaciones trigonométricas con parámetros

Ecuación trigonométrica: una ecuación que contiene funciones trigonométricas de un argumento desconocido.

Fórmulas para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas conviene utilizar los siguientes principios:

1. Al resolver la ecuación trigonométrica más simple, conviene reducir su grado cambiando su argumento.

2. Si es necesaria la verificación, conviene sustituir en la ecuación no el valor del argumento encontrado, sino los valores de las funciones trigonométricas utilizadas en la solución.

Ejemplo 1. Para todos los valores válidos del parámetro a, resuelva la ecuación

Transformemos la ecuación.

Según el principio 1 mencionado anteriormente, transformamos la primera ecuación del sistema:

Tenga en cuenta que.

Así, la ecuación (1) es equivalente al sistema:

Como resultado, para que la ecuación (1) no tenga soluciones, es suficiente satisfacer la desigualdad.

Ahora que la primera ecuación del sistema (2) siempre tiene soluciones, debemos cuidar el cumplimiento de su segunda condición.

Basado en el principio anterior, 2 transformaciones equivalentes:

Reduzcamos el sistema (2) a la forma:

Así, al restringir un parámetro surgen las siguientes condiciones adicionales: para que la ecuación (1) NO tenga soluciones, es necesario y suficiente que cualquier valor de la variable x para el cual

satisfizo el conjunto de ecuaciones:

1) Si, entonces.

Sin embargo, para tal caso, la ecuación (3) toma la forma y no todas las soluciones satisfacen el conjunto (4).

Por tanto, cuando la ecuación (1) tiene soluciones aquellos valores de la variable x para las cuales, es decir .

2) Si, entonces, es decir.

Para tales valores del parámetro a, la ecuación (3) toma la forma:

Para que la ecuación (1) tenga solución, debe ser

Entonces lo que queda es eso.

Por lo demás, la ecuación tiene una solución de la forma

Respuesta: cuando la ecuación no tiene soluciones; en; en; en .

Ejemplo 2. Determinar el número de raíces de la ecuación.

en el segmento.

Transformemos el lado izquierdo.

Entonces la ecuación original tomará la forma

Movamos todos los términos al lado izquierdo y transformemos la ecuación nuevamente.

La primera ecuación del segmento tiene cuatro raíces:

La segunda ecuación para no tiene raíces. Si, entonces obviamente la ecuación tiene una solución única en el intervalo considerado. Si, entonces, es decir en un segmento la ecuación tiene dos raíces.

Tenga en cuenta que para , las raíces de la segunda ecuación del conjunto están contenidas entre las raíces de la primera ecuación.

Respuesta: la ecuación tiene cuatro raíces; cuando la ecuación tiene cinco raíces; cuando la ecuación tiene seis raíces.

Ejemplo 3. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación

tiene exactamente siete soluciones.

En el plano coordenado cOb construimos el conjunto de todos los puntos que satisfacen el sistema (2).

La primera ecuación especifica una familia de rectas paralelas a una recta.

La segunda ecuación es una familia de círculos de radio centrados en el origen.

Pero si se cumplen las condiciones, la segunda ecuación es un cuarto del círculo ubicado en el primer cuarto coordenado. c y b no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo, de lo contrario el círculo degenera en un punto.T. Como el número de raíces debe ser impar, entonces una de las rectas

debe tocar el círculo en el punto Mn.

Encontremos el radio de dicho círculo.

Así, (3)

expresa la dependencia del parámetro a de n, donde.

En la figura se puede ver que a medida que aumenta el radio del cuarto de círculo, aumenta el número de soluciones del sistema (2) y, por tanto, el número de raíces de la ecuación original. Habrá exactamente 7 de ellos cuando un cuarto del círculo toque las líneas rectas. En este caso, basado en la fórmula (3)

Respuesta: la ecuación tiene siete soluciones en

Nota. A primera vista, puede parecer que un cuarto del círculo tangente a la recta dada por la ecuación pasará por los puntos y. En realidad, este no es el caso, ya que el radio de dicho círculo es

De manera similar, un cuarto de círculo tangente a una línea recta no pasará por los puntos y, dado que el radio de este círculo

Ejemplo 4. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el número 2 es la raíz de la ecuación.

Pongámoslo en la ecuación. Obtenemos una ecuación para el parámetro a:

Respuesta: cuando la raíz de la ecuación es .

Ejemplo 5. Para todos los valores válidos del parámetro a, resuelva la ecuación

Consideremos la función. Obviamente, .

Consideremos la función.

Usando la desigualdad sobre la media aritmética y la media geométrica de dos números positivos (), así como la propiedad de rareza de la función g(x), obtenemos

Así tenemos

Entonces, según el teorema 7, la ecuación original es equivalente a la colección de dos sistemas

Respuesta: cuando, ; en; cuando no hay solución.

Además de las ecuaciones trigonométricas, entre los problemas con parámetros también hay problemas con parámetros que contienen funciones trigonométricas inversas.

Recordemos las definiciones de funciones trigonométricas inversas:

1. es una función definida en el intervalo [-1;1], la inversa de la función. De este modo,

2. es una función definida en el intervalo [-1;1], la inversa de la función. De este modo,

Para cualquier x del segmento [-1;1] tenemos:

3. es una función definida en un intervalo, la inversa de la función. De este modo,

Para cualquier x tenemos:

4. es una función definida en un intervalo, la inversa de la función. De este modo,

Para cualquier x tenemos:

Las funciones se llaman funciones trigonométricas inversas o funciones de arco. Notemos algunas identidades importantes.

Ejemplo 6. Para cada valor válido del parámetro a, resuelve la ecuación

Transformemos el lado izquierdo de la ecuación usando la identidad

En el plano de coordenadas tOb (Fig.12), el conjunto de todos los puntos (t;b), cuyos valores de coordenadas y parámetros de cada uno de ellos satisfacen el sistema mixto (2), (3), es parte de una parábola. ubicado en la región especificada por las desigualdades del sistema (2), (3).

Por lo tanto, si

Respuesta: si, entonces;

si, entonces no hay soluciones.

Ejemplo 7. Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales la ecuación

tiene exactamente tres soluciones.

Reescribamos la ecuación original en la forma

Como la igualdad es equivalente a eso y, la ecuación original es equivalente a la ecuación trigonométrica

Resolvamos la ecuación (1).

Cuando el conjunto, y por tanto la ecuación (1), tiene infinitas raíces de la forma: , que satisfacen la condición (2). Es decir, no satisface los requisitos de la tarea.

Cuando la ecuación (1) tiene infinitas raíces de la forma: .

Para ellos, la condición (2) se convierte en desigualdad.

El parámetro a se incluye en la respuesta si y sólo si esta desigualdad tiene exactamente tres soluciones enteras. Usando la interpretación geométrica del módulo de la diferencia de dos números, está claro que esto es equivalente a la desigualdad

Teniendo en cuenta la condición, obtenemos

Si la solución de la ecuación (1) son todas números reales, la condición (2) toma la forma: , entonces el conjunto de soluciones de la ecuación original es un intervalo. Como este conjunto es infinito, el valor no está incluido en la respuesta.

Respuesta: cuando la ecuación tiene exactamente tres soluciones.

Con base en todos los problemas considerados, podemos concluir que lo mejor es resolver ecuaciones trascendentales con parámetros del primer y cuarto tipo utilizando el método de “ramificación”, ya que es necesario encontrar todos los valores de la variable para cada valor posible. del parámetro (o para valores de parámetros de un intervalo dado) o bajo el cual el conjunto de soluciones satisface condiciones dadas. Sin embargo, este método no siempre es confiable, ya que el proceso de solución es bastante largo y complejo, por lo que inicialmente es aconsejable determinar si es posible aplicar un enfoque funcional a una ecuación dada que simplifique significativamente la solución.

Pero resolver ecuaciones trascendentales con parámetros del segundo y tercer tipo es mucho más fácil usando el método gráfico, ya que la condición solo requiere determinar el número de soluciones dependiendo del valor del parámetro o, por el contrario, los valores del parámetro. en el que el problema tiene un número determinado de soluciones. Los gráficos trazados muestran claramente cuándo se cumplen las condiciones especificadas.

Sin embargo, no siempre es posible utilizar uno u otro método; a veces surgen problemas que requieren el uso no de uno, sino de varios métodos de solución.

Grafos y sus funciones.

Debido a que las funciones trigonométricas se estudian en el plan de estudios escolar, en el ensayo se les presta mínima atención. Todas las disposiciones principales se indican en la tabla (ver Apéndice 12), y sus gráficos se dan a continuación (ver Apéndice 13)...

Integración de funciones irracionales.

Entre las integrales de funciones irracionales, las integrales de la forma tienen una gran aplicación práctica. Estas integrales se pueden encontrar mediante sustituciones trigonométricas. Seleccionemos un cuadrado completo bajo el signo radical: y luego hagamos un reemplazo...

En el proceso de desarrollo de la capacidad de los estudiantes para resolver ecuaciones trigonométricas, se recomienda distinguir tres etapas: 1. preparatoria, 2. desarrollo de la capacidad para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas simples, 3...

Considere la ecuación F(x,y,...,z;b,c,...,z)=0 (1) con incógnitas x, y, ..., z y con parámetros b,c, .. , g; para cualquier sistema admisible de valores de parámetros b0, b0, ..., z0, la ecuación (1) se convierte en la ecuación F(x, y,..., z; b0, b0,... , z0) = 0 ( 2) con incógnitas x, y,..., z...

Ejemplo 1: Determinar en qué valores del parámetro a la ecuación (a 2 -4) cosх=a+2 tiene soluciones. Solución: a 2 -4=0 a 2 =4.a=±2. a) Si a=2, entonces esta ecuación tiene la forma: 0 cos=4 0=4 – no tiene soluciones. b) Si a = -2, entonces esta ecuación tiene la forma: 0 cos = 0 0 = 0 - verdadera para x R. Por lo tanto, para a = -2, x es cualquiera. c) Si a ±2, entonces escribimos la ecuación en la forma Dado que, entonces la ecuación tiene soluciones si Respuesta: a (- ;1] )