Exponenciación en línea. Elevando a una potencia fraccionaria

El exponente se denota como , o .

Número e

La base del grado del exponente es numero e. Este es un número irracional. es aproximadamente igual
mi ≈ 2,718281828459045...

El número e se determina a través del límite de la secuencia. Este es el llamado segundo límite maravilloso:
.

El número e también se puede representar como una serie:
.

Gráfico exponencial

Gráfica exponencial, y = e x .

La gráfica muestra la exponencial. mi hasta cierto punto incógnita.
y (x) = e x
La gráfica muestra que el exponente aumenta monótonamente.

Fórmulas

Fórmulas básicas lo mismo que para función exponencial con base de poder e.

;
;
;

Expresión de una función exponencial con base arbitraria de grado a a través de una exponencial:
.

Valores privados

deja que y (x) = e x.
.

Entonces

Propiedades del exponente mi > 1 .

El exponente tiene las propiedades de una función exponencial con una base de potencia.

Dominio, conjunto de valores. (x) = e x Exponente y
definido para todo x.
- ∞ < x + ∞ .
Su dominio de definición:
0 < y < + ∞ .

Sus múltiples significados:

Extremos, aumentando, disminuyendo.

La exponencial es una función monótonamente creciente, por lo que no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.

función inversa
;
.

El inverso del exponente es el logaritmo natural.

Derivada del exponente mi hasta cierto punto incógnita Derivado mi hasta cierto punto incógnita :
.
igual a
.
Derivada de enésimo orden:

Derivando fórmulas > > >

Integral

Números complejos Acciones con números complejos llevado a cabo utilizando:
,
las fórmulas de euler
.

¿Dónde está la unidad imaginaria?

; ;
.

Expresiones mediante funciones hiperbólicas.

; ;
;
.

Expresiones usando funciones trigonométricas.

Expansión de series de potencias
Literatura usada:

EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009. Incluye una función tan útil para muchos como la calculadora de grados. Con su ayuda, elevar un número a una potencia es tan fácil como pelar peras; introducir una expresión y obtener el resultado. La calculadora produce exponenciación en línea

, como cualquier otra función, directamente en nuestro sitio web.

¿Cómo elevar un número a una potencia en una calculadora? información detallada para trabajar con el panel digital de la calculadora, vaya a la página.

La función de elevar a una potencia en la calculadora está representada por cinco botones: elevar al cuadrado, elevar al cubo, elevar a la potencia n cualquier numero, elevando a la potencia de la base igual a 10 y elevando a la potencia del exponente.

Botones de la calculadora responsables de la exponenciación:

Al cuadrado y al cubo

La primera potencia de un número es el número mismo. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1. El cuadrado es la segunda potencia, el cubo es la tercera. El cuadrado de un número siempre tiene valor positivo, a excepción del cuadrado de números complejos.

Estos botones de la calculadora facilitan la introducción de la operación: x 2 - elevar al cuadrado, x 3 - cubo. Con un clic, se inserta una entrada como ^2 o ^3 en el campo de entrada.

Ejemplo de cuadrado y cubo:

Elevando a la enésima potencia

Nuestro calculadora en línea La exponenciación se indica mediante la entrada habitual "dos pisos" en la pantalla, pero en el campo de entrada de expresión, por supuesto, debe utilizar el circunflejo.

Ejemplo de elevación de números a potencias:

Calcular potencias de 10

Al hacer clic en este botón se inserta un registro como: 10^() en el campo de entrada, es decir La base de la potencia se escribe como el número 10. Es conveniente usarlo cuando necesitas escribir la elevación del número 10 a alguna potencia.

Un ejemplo de cómo encontrar la potencia de 10:

Exponente al poder

Al hacer clic en el botón, verá la entrada exp() en la línea. Para calcular el número e elevado a la potencia, es necesario elevar el número de Euler a la potencia e x = exp(x). A quién le interesa saber cuál es el número e: su valor es 2,71828182845905.

Un ejemplo de cómo elevar e a una potencia:

Elevando a una potencia fraccionaria

Digamos que estamos interesados ​​en la potencia fraccionaria del número x y1/y2. Dado que elevar a una potencia es lo opuesto a sacar la raíz, el cálculo se reduce a encontrar la raíz del grado y2 del número x elevado a la potencia de y1. Si el valor de y2 es par, entonces potencia fraccionaria sólo se puede calcular con base positiva, ya que la raíz de un número negativo no existe y la calculadora en situación similar te dará un error!

Al elevar a una potencia fraccionaria, no olvide cerrar la base entre paréntesis; de lo contrario, el denominador de la fracción en el exponente irá al denominador de la base.

Este ejemplo muestra cómo calcular fracciones en una calculadora:

Nuestra calculadora en línea le permite elevar tanto a positivo como grado negativo. En valor negativo indicador, la base debe tomar la forma (1/x), es decir, el numerador y el denominador de la base del grado deben cambiar de lugar y solo después de eso se puede comenzar la construcción. La calculadora te permite elevar un número a una potencia negativa automáticamente, omitiendo todas las transformaciones intermedias y dando inmediatamente la respuesta final.

Al elevar todo tipo de funciones, incluidas las trigonométricas, a una potencia negativa, la calculadora en línea tiene en cuenta automáticamente su paridad par/impar según la regla de los signos.

Este ejemplo muestra cómo elevar a una potencia negativa en una calculadora:

La calculadora también calculará un número fraccionario elevado a una potencia.

Elevar una fracción a una potencia usando una calculadora:

Elevar una raíz a una potencia usando una calculadora:

Todas las funciones de nuestra calculadora gratuita están reunidas en una sección.

Exponenciación en línea fue modificada por última vez: 3 de marzo de 2016 por Administración

Describir e como “una constante aproximadamente igual a 2,71828...” es como llamar al número pi “ numero irracional, aproximadamente igual a 3,1415...". Esto es indudablemente cierto, pero aún se nos escapa el punto.

Pi es la relación entre la circunferencia y el diámetro, la misma para todos los círculos.. Esta es la proporción fundamental que comparten todos los círculos y, por lo tanto, interviene en el cálculo de la circunferencia, el área, el volumen y la superficie de círculos, esferas, cilindros, etc. Pi muestra que todos los círculos están conectados, sin mencionar funciones trigonométricas, derivado de círculos (seno, coseno, tangente).

El número e es la relación de crecimiento básica para todos los procesos en continuo crecimiento. El número e permite tomar una tasa de crecimiento simple (donde la diferencia sólo es visible al final del año) y calcular los componentes de este indicador, el crecimiento normal, en el que con cada nanosegundo (o incluso más rápido) todo crece un poco. más.

El número e está involucrado en ambos sistemas con crecimiento exponencial y constante: población, desintegración radiactiva, cálculo de intereses y muchos, muchos otros. Incluso los sistemas escalonados que no crecen uniformemente se pueden aproximar usando el número e.

Así como cualquier número puede considerarse como una versión "escalada" de 1 (la unidad base), cualquier círculo puede considerarse como una versión "escalada" círculo unitario(con radio 1). Y cualquier factor de crecimiento puede considerarse como una versión "escalada" de e (el factor de crecimiento "unitario").

Entonces el número e no es un número aleatorio tomado al azar. El número e encarna la idea de que todos los sistemas en continuo crecimiento son versiones escaladas de la misma métrica.

Concepto de crecimiento exponencial

Comencemos mirando el sistema básico que dobles durante un cierto período de tiempo. Por ejemplo:

• Las bacterias se dividen y “duplican” en número cada 24 horas
• Obtenemos el doble de fideos si los partimos por la mitad.
• Tu dinero se duplica cada año si obtienes un beneficio del 100% (¡suerte!)

Y se parece a esto:

Dividir por dos o duplicar es una progresión muy sencilla. Por supuesto, podemos triplicar o cuadriplicar, pero duplicar es más conveniente para la explicación.

Matemáticamente, si tenemos x divisiones, terminamos con 2^x veces más bien que al principio. Si solo se hace 1 partición, obtenemos 2^1 veces más. Si hay 4 particiones, obtenemos 2^4=16 partes. fórmula general se ve así:

altura= 2x

En otras palabras, una duplicación es un aumento del 100%. Podemos reescribir esta fórmula así:

altura= (1+100%)x

Esta es la misma igualdad, simplemente dividimos “2” en sus partes componentes, que en esencia es este número: valor inicial(1) más 100%. Inteligente, ¿verdad?

Por supuesto, podemos sustituir cualquier otro número (50%, 25%, 200%) en lugar del 100% y obtener la fórmula de crecimiento para este nuevo coeficiente. La fórmula general para x periodos de la serie temporal será:

altura = (1+aumentar) x

Esto simplemente significa que usamos la tasa de retorno, (1 + ganancia), "x" veces seguidas.

Echemos un vistazo más de cerca

Nuestra fórmula supone que el crecimiento se produce en pasos discretos. Nuestras bacterias esperan y esperan, y luego ¡bam! último minuto duplican su número. Nuestro beneficio sobre los intereses del depósito aparece mágicamente exactamente después de 1 año. Según la fórmula escrita anteriormente, las ganancias crecen en pasos. De repente aparecen puntos verdes.

Pero el mundo no siempre es así. Si hacemos zoom, podemos ver que nuestras amigas bacterianas se dividen constantemente:

El hombre verde no surge de la nada: crece lentamente a partir del padre azul. Después de 1 periodo de tiempo (24 horas en nuestro caso), el amigo verde ya está completamente maduro. Una vez madurado, se convierte en un miembro azul de pleno derecho de la manada y puede crear él mismo nuevas células verdes.

¿Esta información cambiará nuestra ecuación de alguna manera?

No. En el caso de las bacterias, las células verdes a medio formar todavía no pueden hacer nada hasta que crecen y se separan por completo de sus padres azules. Entonces la ecuación es correcta.

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ...las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas...estuvieron involucrados en el estudio del tema. análisis matemático, teoría de conjuntos, nueva física y enfoques filosóficos; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. CON punto fisico Desde una perspectiva, parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre con velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanecer unidades constantes mediciones de tiempo y no vaya a recíprocos. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

en esta aporía paradoja lógica se puede superar de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos espacio en un momento dado, pero es imposible determinar el hecho del movimiento a partir de ellos (naturalmente, todavía se necesitan datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero señalar atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Que lógica tan absurda seres sintientes nunca lo entenderé. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escudan detrás de la frase “jódeme, estoy en casa”, o más bien “estudios de matemáticas conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta indisolublemente con la realidad. Este cordón umbilical es el dinero. Aplicar teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Le explicamos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: en diferentes monedas hay diferentes cantidades lodo, estructura cristalina y la disposición de los átomos en cada moneda es única...

Y ahora tengo más pregunta interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cuál es correcto? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de números. numero dado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Eso sí que son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” de chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un gran número 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grado). Y no creo que esta chica sea estúpida, no conocedor de fisica. Ella simplemente tiene un estereotipo de percepción. imagenes graficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

La calculadora le ayuda a elevar rápidamente un número a una potencia en línea. La base del grado puede ser cualquier número (tanto entero como real). El exponente también puede ser un número entero o real, y también puede ser positivo o negativo. Cabe recordar que para números negativos Elevar a una potencia no entera no está definido y, por lo tanto, la calculadora informará un error si lo intenta.

calculadora de grados

ascender al poder

Exponenciaciones: 24601

¿Qué es una potencia natural de un número?

El número p se llama enésima potencia de un número si p es igual al número a multiplicado por sí mismo n veces: p = a n = a·...·a
norte - llamado exponente, y el número a es base de grado.

¿Cómo elevar un número a una potencia natural?

Para entender cómo construir diferentes numeros a los poderes naturales, consideremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Eleva el número tres a la cuarta potencia. Es decir, es necesario calcular 3 4
Solución: como se mencionó anteriormente, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Respuesta: 3 4 = 81 .

Ejemplo 2. Eleva el número cinco a la quinta potencia. Es decir, es necesario calcular 5 5
Solución: de manera similar, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Respuesta: 5 5 = 3125 .

Así, para elevar un número a grado natural, sólo necesitas multiplicarlo por sí mismo n veces.

¿Qué es una potencia negativa de un número?

En este caso, existe una potencia negativa sólo para números distintos de cero, ya que de lo contrario se produciría la división por cero.

¿Cómo elevar un número a una potencia entera negativa?

Para elevar un número distinto de cero a una potencia negativa, debes calcular el valor de este número de la misma manera grado positivo y dividir uno por el resultado.

Ejemplo 1. Eleva el número dos a la cuarta potencia negativa. Es decir, necesitas calcular 2 -4

Respuesta: 2 -4 = 0.0625 .