2., 5.
,

3.
, 6.
.

En integrales 1-3 como tu aceptar . A continuación, después norte-aplicación múltiple de la fórmula (19) llegamos a una de las integrales de tabla

,
,
.

En las integrales 4-6, al derivar, simplificar el factor trascendental
,
o
, que debe tomarse como tu.

Calcula las siguientes integrales.

Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

Reducir integrales a sí mismos.

Si el integrando
tiene la forma:

,
,
etcétera,

luego después de integrar dos veces por partes obtenemos una expresión que contiene la integral original :

,

Dónde
- alguna constante.

Resolviendo la ecuación resultante para , obtenemos una fórmula para calcular la integral original:

.

Este caso de aplicación del método de integración por partes se denomina " trayendo la integral a si misma».

Ejemplo 9. calcular integrales
.

En el lado derecho está la integral original. . Transfiriéndolo a lado izquierdo, obtenemos:

.

Ejemplo 10. calcular integrales
.

4.5. Integrando las fracciones racionales propias más simples

Definición.Las fracciones propias más simples. I , II Y III tipos Las siguientes fracciones se llaman:

I. ;

II.
; (
- entero positivo);

III.
; (las raíces del denominador son complejas, es decir:
.

Consideremos integrales de fracciones simples.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformamos el numerador de la fracción de tal manera que aislemos el término en el numerador.
, igual a la derivada del denominador.

Consideremos la primera de las dos integrales obtenidas y modifiquemos en ella:

En la segunda integral le sumamos el denominador a un cuadrado perfecto:

Finalmente, la integral de una fracción del tercer tipo es igual a:

=
+
. (22)

Así, la integral de las fracciones más simples de tipo I se expresa mediante logaritmos, tipo II - mediante funciones racionales, tipo III - mediante logaritmos y arcotangentes.

4.6.Integración de funciones fraccionarias-racionales

Una de las clases de funciones que tienen una integral expresada en términos de funciones elementales es la clase de funciones racionales algebraicas, es decir, funciones resultantes de un número finito de operaciones algebraicas sobre un argumento.

Cada función racional
se puede representar como una razón de dos polinomios
Y
:

. (23)

Supondremos que los polinomios no tienen raíces comunes.

Una fracción de la forma (23) se llama correcto, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, metro< norte. De lo contrario - equivocado.

Si la fracción es impropia, entonces, dividiendo el numerador por el denominador (de acuerdo con la regla para dividir polinomios), presentamos la fracción como la suma de un polinomio y una fracción propia:

, (24)

Dónde
- polinomio, - fracción adecuada, y el grado del polinomio
- no superior al grado ( norte-1).

Ejemplo.

Dado que la integración de un polinomio se reduce a la suma de integrales tabulares de función de potencia, entonces la principal dificultad para integrar fracciones racionales es integrar fracciones racionales propias.

Se ha demostrado en álgebra que toda fracción propia se descompone en la suma de los anteriores protozoos fracciones, cuya forma está determinada por las raíces del denominador
.

Consideremos tres casos especiales. Aquí y más asumiremos que el coeficiente en el grado más alto del denominador
igual a uno =1, es decirpolinomio reducido .

Caso 1. Las raíces del denominador, es decir, las raíces.
ecuaciones
=0, son válidos y distintos. Luego representamos el denominador como producto de factores lineales:

y la fracción propia se descompone en las fracciones más simples del tipo I:

, (26)

Dónde
- alguno números constantes, que se encuentran mediante el método de coeficientes indeterminados.

Para hacer esto necesitas:

1. Liderar lado derecho expansión (26) a un denominador común.

2. Igualar los coeficientes de potencias idénticas de polinomios idénticos en el numerador de los lados izquierdo y derecho. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales para determinar
.

3. Resuelve el sistema resultante y encuentra los coeficientes indeterminados.
.

Entonces la integral de la función fraccionaria-racional (26) será igual a la suma integrales de las fracciones más simples del tipo I, calculadas mediante la fórmula (20).

Ejemplo. calcular integrales
.

Solución. Factoricemos el denominador usando el teorema de Vieta:

Luego, la función integrando se descompone en una suma de fracciones simples:

.

X:

Escribamos un sistema de tres ecuaciones para encontrar
X en los lados izquierdo y derecho:

.

Indiquemos una forma más sencilla de encontrar coeficientes inciertos, llamada método de valor parcial.

Asumiendo en igualdad (27)
obtenemos
, dónde
. Creyendo
obtenemos
. Finalmente, creyendo
obtenemos
.

.

Caso 2. Raíz del denominador
son válidos, pero entre ellos hay múltiples raíces (iguales). Luego representamos el denominador como un producto de factores lineales incluidos en el producto en la medida en que la multiplicidad de la raíz correspondiente sea:

Dónde
.

fracción adecuada Se descompondrá la suma de fracciones de los tipos I y II. Dejemos, por ejemplo, - raíz del denominador de la multiplicidad k, y todos los demás ( norte- k) las raíces son diferentes.

Entonces la expansión se verá así:

Asimismo, si existen otras raíces múltiples. Para raíces no múltiples, el desarrollo (28) incluye las fracciones más simples del primer tipo.

Ejemplo. calcular integrales
.

Solución. Imaginemos la fracción como la suma de las fracciones más simples de primer y segundo tipo con coeficientes indeterminados:

.

Llevemos el lado derecho a un denominador común y equiparemos los polinomios en los numeradores de los lados izquierdo y derecho:

En el lado derecho presentamos similares. grados iguales X:

Escribamos un sistema de cuatro ecuaciones para encontrar
Y . Para hacer esto, igualamos los coeficientes a las mismas potencias. X en el lado izquierdo y derecho

.

Caso 3. Entre las raíces del denominador.
hay raíces simples complejas. Es decir, la expansión del denominador incluye factores de segundo grado.
, no descomponibles en factores lineales reales y no se repiten.

Luego, en la descomposición de una fracción, cada uno de estos factores corresponderá a una fracción más simple de tipo III. Los factores lineales corresponden a las fracciones más simples de los tipos I y II.

Ejemplo. calcular integrales
.

Solución.
.

.

.

Se realiza una prueba de integración de funciones, incluidas fracciones racionales, a los estudiantes de 1º y 2º año. Los ejemplos de integrales serán de interés principalmente para matemáticos, economistas y estadísticos. Estos ejemplos fueron preguntados sobre trabajo de prueba en LNU que lleva el nombre. Yo, franco. Condiciones siguientes ejemplos“Encontrar la integral” o “Calcular la integral”, por lo que para ahorrar espacio y tiempo no fueron escritos.

Ejemplo 15. Llegamos a la integración de funciones fraccionarias-racionales. ellos ocupan lugar especial entre las integrales, porque requieren mucho tiempo para calcularlas y ayudar a los profesores a evaluar sus conocimientos no sólo de integración. Para simplificar la función bajo la integral, sumamos y restamos una expresión en el numerador que nos permitirá dividir la función bajo la integral en dos simples.

Como resultado, encontramos una integral con bastante rapidez, en la segunda necesitamos expandir la fracción a una suma de fracciones elementales.

Cuando lo reducimos a un denominador común, obtenemos los siguientes números

A continuación, abra los corchetes y agrupe

Igualamos el valor para las mismas potencias de "x" a la derecha y a la izquierda. Como resultado llegamos a un sistema de tres ecuaciones lineales(SLAU) con tres incógnitas.

Cómo resolver sistemas de ecuaciones se describe en otros artículos del sitio. Al final recibirás siguiente solución SLAU
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Sustituimos constantes en la expansión de fracciones en las más simples y realizamos integración.


Esto concluye el ejemplo.

Ejemplo 16. Nuevamente necesitamos encontrar la integral de una función racional fraccionaria. Para comenzar ecuación cúbica, que está contenido en el denominador de la fracción, lo descompondremos en factores simples

A continuación, descomponemos la fracción en sus formas más simples.

Unámoslo lado derecho al denominador común y abra los corchetes en el numerador.


Igualamos los coeficientes para los mismos grados de la variable. Volvamos al SLAE con tres incógnitas

sustituyamos valores A, B, C en la expansión y calcular la integral

Los dos primeros términos dan el logaritmo, el último también es fácil de encontrar.

Ejemplo 17. En el denominador de la función racional fraccionaria tenemos la diferencia de cubos. Usando las fórmulas de multiplicación abreviadas, lo descomponemos en dos factores primos

Más recibido función fraccionaria anota la cantidad fracciones simples y ponerlos bajo común denominador

En el numerador obtenemos la siguiente expresión.

A partir de él formamos un sistema de ecuaciones lineales para calcular 3 incógnitas.

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Sustituimos A, B, C en la fórmula y realizamos la integración. Como resultado llegamos a la siguiente respuesta:


Aquí el numerador de la segunda integral se convirtió en un logaritmo y el resto de la integral da el arcotangente.
Ejemplos similares Hay mucho en Internet sobre la integración de fracciones racionales. Puede encontrar ejemplos similares en los materiales siguientes.

“Un matemático, al igual que un artista o un poeta, crea patrones. Y si sus patrones son más estables es sólo porque están compuestos de ideas... Los patrones de un matemático, al igual que los patrones de un artista o un poeta, deben ser hermosos; Las ideas, al igual que los colores o las palabras, deben corresponderse entre sí. La belleza es el primer requisito: no hay lugar en el mundo para las matemáticas feas».

G.H.Hardy

En el primer capítulo se observó que hay primitivos bastante funciones simples, que ya no se puede expresar a través de funciones elementales. En este sentido, adquieren una enorme importancia práctica aquellas clases de funciones de las que podemos decir con precisión que sus antiderivadas son funciones elementales. Esta clase de funciones incluye funciones racionales, que representa la proporción de dos polinomios algebraicos. Muchos problemas conducen a la integración de fracciones racionales. Por tanto, es muy importante poder integrar dichas funciones.

2.1.1. Funciones racionales fraccionarias

fracción racional(o función racional fraccionaria) se llama relación de dos polinomios algebraicos:

donde y son polinomios.

Te recordamos que polinomio (polinomio, entero función racional ) nortegrado llamada función de la forma

Dónde – numeros reales. Por ejemplo,

– polinomio de primer grado;

– polinomio de cuarto grado, etc.

La fracción racional (2.1.1) se llama correcto, si el grado es inferior al grado , es decir norte<metro, de lo contrario la fracción se llama equivocado.

Cualquier fracción impropia se puede representar como la suma de un polinomio (la parte entera) y una fracción propia (la parte fraccionaria). La separación de las partes enteras y fraccionarias de una fracción impropia se puede realizar según la regla para dividir polinomios con una “esquina”.

Ejemplo 2.1.1. Identifica las partes enteras y fraccionarias de las siguientes fracciones racionales impropias:

A) , b) .

Solución . a) Usando el algoritmo de división de “esquinas”, obtenemos

Así, obtenemos

.

b) Aquí también utilizamos el algoritmo de división de “esquinas”:

Como resultado, obtenemos

.

Resumamos. En el caso general, la integral indefinida de una fracción racional se puede representar como la suma de las integrales del polinomio y la fracción racional propia. Encontrar antiderivadas de polinomios no es difícil. Por lo tanto, en lo que sigue consideraremos principalmente fracciones racionales propias.

2.1.2. Las fracciones racionales más simples y su integración.

Entre las fracciones racionales propias, existen cuatro tipos, que se clasifican en las fracciones racionales (elementales) más simples:

¿Dónde está un número entero? , es decir. trinomio cuadrático no tiene raíces reales.

Integrar fracciones simples del 1º y 2º tipo no presenta grandes dificultades:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Consideremos ahora la integración de fracciones simples del tercer tipo, pero no consideraremos fracciones del cuarto tipo.

Comencemos con integrales de la forma

.

Esta integral generalmente se calcula aislando el cuadrado perfecto del denominador. El resultado es una integral de tabla de la siguiente forma

o .

Ejemplo 2.1.2. Encuentra las integrales:

A) , b) .

Solución . a) Seleccione un cuadrado completo de un trinomio cuadrático:

Desde aquí encontramos

b) Despejando un cuadrado completo de un trinomio cuadrático, obtenemos:

De este modo,

.

para encontrar la integral

puedes aislar la derivada del denominador en el numerador y expandir la integral a la suma de dos integrales: la primera de ellas por sustitución se reduce a la apariencia

,

y el segundo, al comentado anteriormente.

Ejemplo 2.1.3. Encuentra las integrales:

.

Solución . Darse cuenta de . Aislamos la derivada del denominador en el numerador:

La primera integral se calcula mediante la sustitución. :

En la segunda integral, seleccionamos el cuadrado perfecto en el denominador.

Finalmente, obtenemos

2.1.3. Expansión de fracción racional adecuada
para la suma de fracciones simples

Cualquier fracción racional propia se puede representar de forma única como una suma de fracciones simples. Para hacer esto, se debe factorizar el denominador. Del álgebra superior se sabe que todo polinomio con coeficientes reales

Integración de una función fraccionaria-racional.
Método del coeficiente incierto

Seguimos trabajando en la integración de fracciones. Ya hemos considerado las integrales de algunos tipos de fracciones en la lección y esta lección, en cierto sentido, puede considerarse una continuación. Para comprender con éxito el material, se requieren habilidades básicas de integración, por lo que si acaba de comenzar a estudiar integrales, es decir, es un principiante, entonces debe comenzar con el artículo. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones.

Por extraño que parezca, ahora no nos ocuparemos tanto de encontrar integrales, sino... de resolver sistemas de ecuaciones lineales. A este respecto urgentemente Recomiendo asistir a la lección, es decir, es necesario conocer bien los métodos de sustitución (el método "de la escuela" y el método de suma (resta) término por término de ecuaciones del sistema).

¿Qué es una función racional fraccionaria? En palabras simples, una función fraccionaria-racional es una fracción cuyo numerador y denominador contienen polinomios o productos de polinomios. Además, las fracciones son más sofisticadas que las comentadas en el artículo. Integrando algunas fracciones.

Integración de una función racional fraccionaria adecuada

Inmediatamente un ejemplo y un algoritmo típico para resolver la integral de una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 1

Paso 1. Lo primero que hacemos SIEMPRE al resolver una integral de una función racional fraccionaria es aclarar la siguiente cuestión: ¿Es la fracción propia? Este paso se realiza de forma verbal, y ahora te explicaré cómo:

Primero miramos el numerador y descubrimos. título superior polinomio:

La potencia principal del numerador es dos.

Ahora miramos el denominador y descubrimos. título superior denominador. La forma obvia es abrir los corchetes y traer términos similares, pero puedes hacerlo de manera más simple, en cada encuentra el grado más alto entre paréntesis

y multiplica mentalmente: - así, el grado más alto del denominador es igual a tres. Es bastante obvio que si realmente abrimos los paréntesis, no obtendremos un grado mayor que tres.

Conclusión: Grado mayor del numerador ESTRICTAMENTE es menor que la potencia más alta del denominador, lo que significa que la fracción es propia.

Si en este ejemplo el numerador contuviera el polinomio 3, 4, 5, etc. grados, entonces la fracción sería equivocado.

Ahora consideraremos solo las funciones racionales fraccionarias correctas.. El caso en el que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador se analizará al final de la lección.

Paso 2. Factoricemos el denominador. Miremos nuestro denominador:

En general esto ya es producto de factores, pero, sin embargo, nos preguntamos: ¿es posible expandir algo más? El objeto de la tortura será sin duda el trinomio cuadrado. Resolviendo la ecuación cuadrática:

El discriminante es mayor que cero, lo que significa que el trinomio realmente se puede factorizar:

Regla general: TODO lo que PUEDE factorizarse en el denominador - factorizarlo

Comencemos a formular una solución:

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones simples (elementales). Ahora quedará más claro.

Veamos nuestra función integrando:

Y, ya sabes, de alguna manera surge un pensamiento intuitivo de que sería bueno convertir nuestra fracción grande en varias pequeñas. Por ejemplo, así:

Surge la pregunta: ¿es siquiera posible hacer esto? Demos un suspiro de alivio, dice el correspondiente teorema del análisis matemático: ES POSIBLE. Tal descomposición existe y es única..

Sólo hay un problema, las probabilidades son Adiós No lo sabemos, de ahí el nombre: método de coeficientes indefinidos.

Como habrás adivinado, los movimientos corporales posteriores son así, ¡no te rías! tendrá como objetivo simplemente RECONOCERLOS, para descubrir a qué equivalen.

¡Cuidado, te lo explicaré en detalle solo una vez!

Entonces, comencemos a bailar desde:

En el lado izquierdo reducimos la expresión a un denominador común:

Ahora podemos deshacernos con seguridad de los denominadores (ya que son iguales):

En el lado izquierdo abrimos los corchetes, pero no toquemos los coeficientes desconocidos por ahora:

Al mismo tiempo, repetimos la regla escolar de multiplicar polinomios. Cuando era profesora, aprendí a pronunciar esta regla con seriedad: Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio..

Desde el punto de vista de una explicación clara, es mejor poner los coeficientes entre paréntesis (aunque yo personalmente nunca hago esto para ahorrar tiempo):

Componemos un sistema de ecuaciones lineales.
Primero buscamos títulos superiores:

Y escribimos los coeficientes correspondientes en la primera ecuación del sistema:

Recuerda bien el siguiente punto. ¿Qué pasaría si no hubiera ninguna s en el lado derecho? Digamos, ¿se luciría sin ningún cuadrado? En este caso, en la ecuación del sistema habría que poner un cero a la derecha: . ¿Por qué cero? Pero porque en el lado derecho siempre puedes asignarle cero a este mismo cuadrado: Si en el lado derecho no hay variables y/o un término libre, entonces ponemos ceros en los lados derechos de las ecuaciones correspondientes del sistema.

Escribimos los coeficientes correspondientes en la segunda ecuación del sistema:

Y por último, agua mineral, seleccionamos miembros gratuitos.

Eh... estaba como bromeando. Bromas aparte: las matemáticas son una ciencia seria. En nuestro grupo del instituto, nadie se rió cuando la profesora asistente dijo que esparciría los términos a lo largo de la recta numérica y elegiría los más grandes. Pongámonos serios. Aunque... quien viva para ver el final de esta lección seguirá sonriendo en silencio.

El sistema está listo:

Resolvemos el sistema:

(1) De la primera ecuación la expresamos y la sustituimos en la segunda y tercera ecuaciones del sistema. De hecho, era posible expresar (u otra letra) a partir de otra ecuación, pero en este caso es ventajoso expresarla a partir de la 1ª ecuación, ya que hay las probabilidades más pequeñas.

(2) Presentamos términos similares en la segunda y tercera ecuaciones.

(3) Sumamos la 2ª y 3ª ecuaciones término a término obteniendo la igualdad , de lo que se deduce que

(4) Sustituimos en la segunda (o tercera) ecuación, de donde encontramos que

(5) Sustituya y en la primera ecuación, obteniendo .

Si tienes alguna dificultad con los métodos para resolver el sistema, practícalos en clase. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Después de resolver el sistema, siempre es útil verificar: sustituir los valores encontrados. cada ecuación del sistema, como resultado todo debería “convergir”.

Casi llegamos. Se encontraron los coeficientes y:

El trabajo terminado debería verse así:

Como puedes ver, la principal dificultad de la tarea era componer (¡correctamente!) y resolver (¡correctamente!) un sistema de ecuaciones lineales. Y en la etapa final, no todo es tan complicado: utilizamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida e integramos. Tenga en cuenta que bajo cada una de las tres integrales tenemos una función compleja "libre" de las características de su integración hablé en la lección; Método de cambio de variable en integral indefinida..

Verificar: Diferenciar la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.
Durante la verificación tuvimos que reducir la expresión a un denominador común, y esto no es accidental. El método de los coeficientes indefinidos y la reducción de una expresión a un denominador común son acciones mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida.

Volvamos a la fracción del primer ejemplo: . Es fácil notar que en el denominador todos los factores son DIFERENTES. Surge la pregunta, qué hacer si, por ejemplo, se da la siguiente fracción: ? Aquí tenemos grados en el denominador o, matemáticamente, múltiplos. Además, existe un trinomio cuadrático que no se puede factorizar (es fácil comprobar que el discriminante de la ecuación es negativo, por lo que el trinomio no se puede factorizar). ¿Qué hacer? La expansión a una suma de fracciones elementales se verá así ¿Con coeficientes desconocidos en la parte superior o algo más?

Ejemplo 3

Introducir una función

Paso 1. Comprobando si tenemos una fracción adecuada
Numerador mayor: 2
Mayor grado de denominador: 8
, lo que significa que la fracción es correcta.

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Evidentemente no, ya está todo dispuesto. El trinomio cuadrado no se puede ampliar hasta formar un producto por las razones expuestas anteriormente. Capucha. Menos trabajo.

Paso 3. Imaginemos una función fraccionaria-racional como una suma de fracciones elementales.
En este caso, la expansión tiene la siguiente forma:

Miremos nuestro denominador:
Al descomponer una función fraccionaria-racional en una suma de fracciones elementales se pueden distinguir tres puntos fundamentales:

1) Si el denominador contiene un factor "solitario" elevado a la primera potencia (en nuestro caso), entonces ponemos un coeficiente indefinido en la parte superior (en nuestro caso). Los ejemplos núms. 1 y 2 consistieron únicamente en esos factores "solitarios".

2) Si el denominador tiene múltiple multiplicador, entonces necesitas descomponerlo así:
- es decir, recorrer secuencialmente todos los grados de “X” desde el primero hasta el enésimo grado. En nuestro ejemplo hay dos factores múltiples: y, eche otro vistazo a la expansión que di y asegúrese de que se expandan exactamente de acuerdo con esta regla.

3) Si el denominador contiene un polinomio indescomponible de segundo grado (en nuestro caso), entonces al descomponer en el numerador es necesario escribir una función lineal con coeficientes indeterminados (en nuestro caso con coeficientes indeterminados y).

De hecho, hay otro cuarto caso, pero guardaré silencio al respecto, ya que en la práctica es extremadamente raro.

Ejemplo 4

Introducir una función como suma de fracciones elementales con coeficientes desconocidos.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.
¡Sigue estrictamente el algoritmo!

Si comprende los principios mediante los cuales necesita expandir una función fraccionaria-racional a una suma, podrá analizar casi cualquier integral del tipo que estamos considerando.

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

Paso 1. Obviamente la fracción es correcta:

Paso 2.¿Es posible factorizar algo en el denominador? Poder. Aquí está la suma de cubos. . Factoriza el denominador usando la fórmula de multiplicación abreviada

Paso 3. Usando el método de coeficientes indefinidos, expandimos el integrando a una suma de fracciones elementales:

Tenga en cuenta que el polinomio no se puede factorizar (compruebe que el discriminante sea negativo), por lo que en la parte superior ponemos una función lineal con coeficientes desconocidos, y no solo una letra.

Llevamos la fracción a un denominador común:

Compongamos y resolvamos el sistema:

(1) Expresamos a partir de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema (esta es la forma más racional).

(2) Presentamos términos similares en la segunda ecuación.

(3) Sumamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema término por término.

Todos los cálculos posteriores son, en principio, orales, ya que el sistema es sencillo.

(1) Anotamos la suma de fracciones de acuerdo con los coeficientes encontrados.

(2) Usamos las propiedades de linealidad de la integral indefinida. ¿Qué pasó en la segunda integral? Puede familiarizarse con este método en el último párrafo de la lección. Integrando algunas fracciones.

(3) Una vez más utilizamos las propiedades de la linealidad. En la tercera integral comenzamos a aislar el cuadrado completo (penúltimo párrafo de la lección Integrando algunas fracciones).

(4) Tomamos la segunda integral, en la tercera seleccionamos el cuadrado completo.

(5) Tome la tercera integral. Listo.

Integración de funciones racionales Función fraccionaria - racional Las fracciones racionales más simples Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Integración de fracciones simples Regla general para la integración de fracciones racionales

polinomio de grado n. Función fraccionaria - racional Una función fraccionaria - racional es una función igual a la razón de dos polinomios: Una fracción racional se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Función fraccionaria - racional Reducir una fracción impropia a la forma correcta: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Fracciones racionales más simples Fracciones racionales propias de la forma: Se llaman fracciones racionales más simples de tipo. hacha A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Teorema: Cualquier fracción racional propia, cuyo denominador esté factorizado: puede representarse, además, de forma única en forma de suma de fracciones simples: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Expliquemos la formulación del teorema usando los siguientes ejemplos: Para encontrar los coeficientes inciertos A, B, C, D..., se utilizan dos métodos: el método de comparación de coeficientes y el método de valores parciales de una variable. Veamos el primer método usando un ejemplo. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Presente la fracción como una suma de fracciones simples: Llevemos las fracciones más simples a un denominador común. Igualemos los numeradores de las fracciones resultantes y originales. Igualemos los coeficientes a las mismas potencias x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integración de las fracciones más simples Encontremos las integrales de las fracciones racionales más simples: Veamos la integración de fracciones tipo 3 usando un ejemplo. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integración de fracciones simplesdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integración de fracciones simples Una integral de este tipo mediante sustitución: se reduce a la suma de dos integrales: La primera integral se calcula introduciendo t bajo el signo diferencial. La segunda integral se calcula usando la fórmula de recurrencia: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integración de fracciones simples a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Regla general para integrar fracciones racionales Si la fracción es impropia, entonces represéntala como la suma de un polinomio y una fracción propia. Habiendo factorizado el denominador de una fracción racional propia, represéntelo como una suma de fracciones simples con coeficientes indefinidos. Encuentre coeficientes indefinidos mediante el método de comparación de coeficientes o mediante el método de valores parciales de una variable. Integrar el polinomio y la suma resultante de fracciones simples.

Ejemplo Pongamos la fracción en la forma correcta. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Ejemplo Factoricemos el denominador de una fracción propia Representemos la fracción como una suma de fracciones simples Encontremos los coeficientes indeterminados usando el método de valores parciales de la variable xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Ejemplo dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln