Si alguna secuencia converge a un número finito a, entonces escribe
.
Anteriormente hemos tenido en cuenta secuencias infinitamente grandes. Supusimos que eran convergentes y denotamos sus límites con los símbolos y . Estos símbolos representan sin cesar puntos remotos . No pertenecen al conjunto de los números reales. Pero el concepto de límite nos permite introducir dichos puntos y proporciona una herramienta para estudiar sus propiedades utilizando números reales.

Definición
Punto al infinito, o infinito sin signo, es el límite hacia el que tiende una secuencia infinitamente grande.
Punto en infinito más infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos positivos.
Punto en infinito menos infinito, es el límite al que tiende una secuencia infinitamente grande con términos negativos.

Para cualquiera Número Real a se cumplen las siguientes desigualdades:
;
.

Usando números reales, introdujimos el concepto. vecindad de un punto en el infinito.
La vecindad de un punto es el conjunto.
Finalmente, la vecindad de un punto es el conjunto.
Aquí M es un número real arbitrario y arbitrariamente grande.

Así, hemos ampliado el conjunto de números reales introduciendo en él nuevos elementos. En este sentido, hay la siguiente definición:

recta numérica extendida o conjunto extendido de números reales es el conjunto de los números reales complementados por los elementos y :
.

Primero, escribiremos las propiedades que tienen los puntos y . A continuación consideramos la cuestión de la estricta definición matemática operaciones para estos puntos y pruebas de estas propiedades.

Propiedades de los puntos en el infinito.

suma y diferencia.
; ;
; ;

Producto y cociente.
; ; ;
;
;
; ; .

Relación con números reales.
Sea a un número real arbitrario. Entonces
; ;
; ; ; .
deja un > 0 . Entonces
; ; .
deja un < 0 . Entonces
; .

Operaciones indefinidas.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Pruebas de las propiedades de los puntos en el infinito.

Definición de operaciones matemáticas

Ya hemos dado definiciones para puntos en el infinito. Ahora necesitamos definir operaciones matemáticas para ellos. Dado que definimos estos puntos usando secuencias, las operaciones con estos puntos también deberían definirse usando secuencias.

Entonces, suma de dos puntos
c = a + b,
perteneciente al conjunto ampliado de números reales,
,
llamaremos al límite
,
donde y son secuencias arbitrarias que tienen límites
Y .

Las operaciones de resta, multiplicación y división se definen de forma similar. Sólo que, en el caso de la división, los elementos del denominador de la fracción no deben ser iguales a cero.
Entonces la diferencia de dos puntos:
- Este es el límite: .
Producto de puntos:
- Este es el límite: .
Privado:
- Este es el límite: .
Aquí y son secuencias arbitrarias cuyos límites son a y b, respectivamente. EN el último caso, .

Pruebas de propiedades

Para probar las propiedades de los puntos en el infinito, necesitamos usar las propiedades de secuencias infinitamente grandes.

Considere la propiedad:
.
Para demostrarlo debemos demostrar que
,

En otras palabras, necesitamos demostrar que la suma de dos secuencias que convergen a más infinito converge a más infinito.

1 se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .

Otras propiedades se pueden demostrar de manera similar. Como ejemplo, demos otra prueba.

Demostremos que:
.
Para ello debemos demostrar que
,
donde y son secuencias arbitrarias, con límites y .

Es decir, necesitamos demostrar que el producto de dos secuencias infinitamente grandes es una secuencia infinitamente grande.

Demostrémoslo. Dado que y , entonces existen algunas funciones y , por lo que para cualquier número positivo M 1 se satisfacen las siguientes desigualdades:
;
.
Entonces para y tenemos:
.
Digámoslo. Entonces
en ,
Dónde .
Esto significa que .

Operaciones indefinidas

Parte Operaciones matemáticas con puntos en el infinito no están definidos. Para mostrar su incertidumbre, es necesario citar un par de casos especiales en los que el resultado de la operación depende de la elección de las secuencias incluidas en ellos.

Considere esta operación:
.
Es fácil demostrar que si y , entonces el límite de la suma de secuencias depende de la elección de secuencias y .

De hecho, tomémoslo. Los límites de estas secuencias son. límite de cantidad

es igual al infinito.

Ahora tomemos. Los límites de estas secuencias también son iguales. Pero el límite de su cantidad.

igual a cero.

Es decir, siempre que y , el valor del límite de importe pueda tomar diferentes significados. Por tanto la operación no está definida.

De manera similar, puede mostrar la incertidumbre del resto de operaciones presentadas anteriormente.

Definición
Barrio de un punto real x 0 Cualquier intervalo abierto que contenga este punto se llama:
.
Aquí ε 1 y ε 2 - números positivos arbitrarios.

Epsilon - vecindad del punto x 0 es el conjunto de puntos a cuya distancia se encuentra el punto x 0 menor que ε:
.

Una vecindad perforada del punto x 0 es la vecindad de este punto de la cual el propio punto x está excluido 0 :
.

Barrios de puntos finales

Al principio se dio una definición de la vecindad de un punto. Está designado como . Pero puedes indicar explícitamente que la vecindad depende de dos números usando los argumentos apropiados:
(1) .
Es decir, una vecindad es un conjunto de puntos que pertenecen a un intervalo abierto.

Igualando ε 1 a ε 2 , obtenemos épsilon - vecindad:
(2) .
Una vecindad épsilon es un conjunto de puntos pertenecientes a un intervalo abierto con extremos equidistantes.
Por supuesto, la letra épsilon se puede reemplazar por cualquier otra y considerar δ - vecindad, σ - vecindad, etc.

En teoría de límites, se puede utilizar una definición de vecindad basada tanto en el conjunto (1) como en el conjunto (2). El uso de cualquiera de estos vecindarios da resultados equivalentes (ver). Pero la definición (2) es más simple, por lo que a menudo se usa épsilon: la vecindad de un punto determinada a partir de (2).

También se utilizan ampliamente los conceptos de barrios de izquierdas, de derechas y pinchados. puntos finales. Aquí están sus definiciones.

Vecindad izquierda de un punto real x 0 es un intervalo medio abierto ubicado en eje real a la izquierda del punto x 0 , incluido el punto en sí:
;
.

Vecindad por el lado derecho de un punto real x 0 es un intervalo medio abierto ubicado a la derecha del punto x 0 , incluido el punto en sí:
;
.

Vecindades perforadas de puntos finales

Barrios perforados del punto x 0 - estos son los mismos barrios de los que el propio punto está excluido. Están indicados con un círculo encima de la letra. Aquí están sus definiciones.

Vecindad perforada del punto x 0 :
.

Épsilon perforado - vecindad del punto x 0 :
;
.

Barrio del lado izquierdo perforado:
;
.

Zona del lado derecho pinchada:
;
.

Barrios de puntos en el infinito.

Junto con los puntos finales, también se introducen vecindades de puntos en el infinito. Todos están perforados porque no hay un número real en el infinito (el punto en el infinito se define como el límite en el infinito). secuencia grande).

.
;
;
.

Fue posible determinar las vecindades de puntos en el infinito así:
.
Pero en lugar de M, usamos , de modo que la vecindad con ε más pequeño sea un subconjunto de la vecindad con ε más grande, como para las vecindades de puntos finales.

Propiedad de barrio

A continuación, utilizamos la propiedad obvia de la vecindad de un punto (finito o en el infinito). Consiste en que las vecindades de puntos con valores más pequeñosε son subconjuntos de vecindades con valores grandes de ε. Aquí hay formulaciones más estrictas.

Que haya un punto final o infinitamente distante. Déjalo ir .
Entonces
;
;
;
;
;
;
;
.

Lo contrario también es cierto.

Equivalencia de definiciones del límite de una función según Cauchy

Ahora mostraremos que para determinar el límite de una función según Cauchy, se pueden utilizar tanto una vecindad arbitraria como una vecindad con extremos equidistantes.

Teorema
Las definiciones de Cauchy del límite de una función que utilizan vecindades arbitrarias y vecindades con extremos equidistantes son equivalentes.

Prueba

formulemos primera definición del límite de una función.
El número a es el límite de una función en un punto (finito o infinitamente distante), si para cualquier numeros positivos hay números dependiendo de y que para todos , pertenece a la vecindad correspondiente del punto a:
.

formulemos segunda definición del límite de una función.
Un número a es el límite de una función en un punto si para cualquier número positivo existe un número que depende de ese para todos:
.

Prueba 1 ⇒ 2

Demostremos que si un número a es el límite de una función según la primera definición, entonces también es un límite según la segunda definición.

Que se cumpla la primera definición. Esto significa que hay funciones y , por lo que para cualquier número positivo se cumple lo siguiente:
en donde .

Como los números son arbitrarios, los igualamos:
.
Luego existen tales funciones y , por lo que para cualquiera se cumple lo siguiente:
en donde .

Darse cuenta de .
Sea el menor de los números positivos y . Luego, de acuerdo con lo señalado anteriormente,
.
Si entonces.

Es decir, encontramos dicha función, por lo que para cualquiera se cumple lo siguiente:
en donde .
Esto significa que el número a es el límite de la función según la segunda definición.

Prueba 2 ⇒ 1

Demostremos que si un número a es el límite de una función según la segunda definición, entonces también es un límite según la primera definición.

Dejemos que se cumpla la segunda definición. Tomemos dos números positivos y . Y que sea el menor de ellos. Entonces, según la segunda definición, existe tal función , de modo que para cualquier número positivo y para todos , se sigue que
.

Pero según , . Por lo tanto, de lo que sigue que
.

Luego, para cualquier número positivo y encontramos dos números, así que para todos:
.

Esto significa que el número a es un límite según la primera definición.

El teorema ha sido demostrado.

Referencias:
L.D. Kudryavtsev. Bien Análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.

El punto en el infinito.

Sea la función analítica en alguna vecindad de un punto infinitamente distante (excepto el punto mismo). dicen que espunto singular removible, polo o punto esencialmente singularfunciones dependiendo definito, infinito o inexistente .

Pongamos y, entonces será analítico en una determinada vecindad del punto. Este último será para un punto singular del mismo tipo que para. La ampliación del barrio de Laurent se puede obtener mediante una simple sustitución en la ampliación del barrio de Laurent. Pero con tal reemplazo, la pieza correcta se reemplaza por la principal y viceversa. Por tanto, es justo

Teorema 1. En el caso de una singularidad removible en infinitamente punto remoto, la expansión de Laurent de la función en la vecindad de este punto no contiene grados positivos, en el caso de un postecontiene un número finito de ellos, y en el casocaracterística esencial - infinito.

Si tiene en el punto retirable característica, generalmente se dice queanalítica en el infinitoy aceptar. En este caso, la función está obviamente acotada en alguna vecindad del punto.

Sea la función analítica en plano completo. De la analiticidad de una función en un punto en el infinito, se deduce que está acotada en las proximidades de este punto; dejar en. Por otro lado, de la analiticidad a la círculo vicioso sigue su limitación en este círculo; déjalo estar en él. Pero entonces la función se limita a todo el plano: a todos los que tenemos. Por tanto, el teorema de Liouvillese le puede dar la siguiente forma.

Teorema 2. Si una función es analítica en el plano completo, entonces es constante.

Introduzcamos ahora el conceptoresiduo en el infinito. Sea la función analítica en alguna vecindad de un punto (excepto, quizás, este punto mismo); bajorestando la función en el infinito entender

donde se recorre un círculo suficientemente grande en el sentido de las agujas del reloj (de modo que el círculo del punto permanezca hacia la izquierda).

De esta definición se deduce inmediatamente que el residuo de una función en el infinito es igual al coeficiente en su expansión de Laurent en las proximidades de un punto, tomado con el signo opuesto:

Teorema 3. Si una función tiene un número finito de puntos singulares en el plano completo, entonces la suma de todos sus residuos, incluido el residuo en el infinito, es igual a cero.

Prueba. De hecho, deja un 1 ,…un norte los puntos singulares finales de la función y - el círculo que los contiene a todos en su interior. Por la propiedad de las integrales, el teorema del residuo y la definición de residuo en un punto en el infinito tenemos:

Etc.

Aplicaciones de la teoría de residuos al cálculo de integrales.

Sea necesario calcular la integral de función real a lo largo de algún segmento (finito o infinito) ( a,b) eje x. Sumemos (a, b ) alguna curva que se une con ( a, b ) región, y continuar analíticamente en.

Aplicamos el teorema del residuo a la continuación analítica construida:

(1)

Si la integral se puede calcular o expresar en términos de la integral deseada, entonces el problema de cálculo está resuelto.

En el caso de segmentos infinitos ( a, b ) generalmente consideran familias de contornos de integración en expansión infinita, que se construyen de tal manera que, como resultado de pasar al límite, obtenemos una integral sobre ( a, b ). En este caso, la integral sobre en la relación (1) no se puede calcular, pero sólo se puede encontrar su límite, que a menudo resulta ser cero.

Lo siguiente es muy útil:

Lema (Jordania). Si en alguna secuencia de arcos circulares,(, A fijo) la función tiende a cero uniformemente con respecto a, entonces para

. (2)

Prueba. denotemos

Por las condiciones del lema, cuando también tiende a cero, y Sea a >0; en los arcos AB y CD tenemos.

En consecuencia, la integral de arco A B C D tiende a cero en.

Dado que la desigualdad es válida para, entonces en el arco SER

Por lo tanto, y por tanto también tiende a cero en. Si en un arco SE Si el ángulo polar se cuenta en el sentido de las agujas del reloj, se obtendrá la misma estimación. En el caso de que la prueba se simplifique, porque sería innecesario estimar la integral sobre los arcos AB y CD. El lema está probado.

Nota 1. La secuencia de arcos circulares en el lema se puede reemplazar. familia de arcos

entonces, si la función en tiende a cero uniformemente con respecto a entonces para

. (3)

La prueba sigue en pie.

Observación 2. Reemplacemos la variable: iz=p , entonces los arcos de circunferencia del lema serán reemplazados por arcos, y obtenemos que para cualquier función F(pag. ), tendiendo a cero como uniformemente relativo y para cualquier positivo t

. (4)

Reemplazar p en (4) con (-p ) lo obtenemos en las mismas condiciones para

, (5)

¿Dónde está el arco de un círculo (ver figura)?

Veamos ejemplos de cálculo de integrales.

Ejemplo 1. .

Elijamos una función auxiliar. Porque función satisface la desigualdad, entonces tiende uniformemente a cero cuando, y según el lema de Jordan, como

Porque tenemos por el teorema del residuo

En el límite en obtenemos:

Separando las partes reales y usando la paridad de la función, encontramos

Ejemplo 2. Calcular la integral

Tomemos una función auxiliar. El contorno de integración pasa por alto el punto singular. z =0. Por el teorema de Cauchy

Del lema de Jordan queda claro eso. Para estimar, considere la expansión de Laurent en la vecindad del punto z=0

donde es regular en un punto z =0 función. De esto queda claro que

Por tanto, el teorema de Cauchy se puede reescribir como

Reemplazando en la primera integral. x por x , encontramos que es igual, por lo que tenemos

En el límite en y finalmente:

. (7)

Ejemplo 3. Calcular la integral

Introduzcamos una función auxiliar y elijamos el contorno de integración igual que en el ejemplo anterior. Dentro de este contorno, el logaritmo permite identificar una rama univaluada. Denotemos la rama que está determinada por la desigualdad. La función tiene en el punto z=i polo de segundo orden con residuo

Por el teorema del residuo.

Cuando, partiendo de algunos suficientemente grandes R , por eso, .

De manera similar, a partir de algunos suficientemente pequeños r, por lo tanto

En la primera integral después del reemplazo. z=-x obtenemos:

y así en el límite en tenemos:

Comparando las partes real e imaginaria se obtiene:

, .

Ejemplo 4. Para la integral

Seleccionemos la función auxiliar y el contorno que se muestra en la figura. El interior del contorno es inequívoco, si lo asumimos.

En las orillas superior e inferior del corte, incluido en este contorno, toma los valores y, por tanto, las integrales se anulan entre sí, lo que permite calcular la integral requerida. Dentro del contorno hay dos polos de la función de primer orden con residuos respectivamente iguales a:

Dónde. Aplicando el teorema del residuo, obtenemos:

De acuerdo con lo anterior tenemos:

Al igual que en el ejemplo anterior, demostramos que, y luego en el límite, tendremos:

De aquí, comparando las partes imaginarias, obtenemos:

Ejemplo 5. Calcular el valor principal de la integral especial.

Seleccionemos la función auxiliar y el contorno que se muestra en la figura. Dentro del contorno la función es regular. En la orilla inferior del corte a lo largo del semieje positivo. Así, según el teorema de Cauchy:

(8).

Obviamente, cuándo y cuándo. A lo largo, tenemos, respectivamente, y, donde cambia de 0 a y de a respectivamente. Por eso,

Pasando en (8) al límite en obtenemos, por tanto,

de donde la integral requerida es igual a

Ejemplo 6. Calcular la integral

Consideremos la función. hagamos un corte*) .

Digámoslo. Cuando se va en sentido antihorario por un camino cerrado (ver figura, línea de puntos) y se obtiene un incremento,

por lo tanto, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 también se incrementa. Así, en la apariencia del corte, la función se divide en 3 ramas regulares, que se diferencian entre sí en la elección del elemento inicial de la función, es decir valor en algún momento.

Consideraremos la rama de la función que en el lado superior del corte (-1,1) toma valores positivos, y toma el contorno,

___________________

*) De hecho, se hicieron dos cortes: y, sin embargo, en el eje x a la derecha del punto x =1 función es continua: encima del corte, debajo del corte.

se muestra en la figura. En el banco I tenemos, es decir. , en la orilla II (tras rodear el punto z =1 en el sentido de las agujas del reloj) (es decir), es decir , las integrales sobre círculos y, obviamente, tienden a cero**) en. Por lo tanto, según el teorema de Cauchy para dominios múltiples conexos

Para el cálculo utilizamos la expansión de la rama 1/ en la vecindad del punto en el infinito. Saquémoslo de debajo del signo de la raíz, luego obtenemos dónde y son las ramas de estas funciones positivas en el segmento (1,) del eje real.

sobre un segmento del eje real. Ampliando este último usando la fórmula binomial:

encontramos el residuo de la rama seleccionada 1/ en el punto del infinito: (coeficiente en 1/ z con el signo opuesto). Pero la integral es igual a este residuo multiplicado por, es decir tenemos donde finalmente

Ejemplo 7. Considere la integral.

__________________

**) Considere, por ejemplo, la integral sobre. En tenemos, es decir

Pongamos entonces, así,

Dentro de un círculo, el integrando tiene un polo. II orden con deducción

Por el teorema del residuo tenemos

Ejemplo 8. Calculemos de manera similar la integral.

Después de la sustitución tenemos:

Uno de los polos del integrando se encuentra dentro. circulo unitario, y el otro está fuera de él, porque por las propiedades de las raíces ecuación cuadrática, y en virtud de la condición, estas raíces son reales y diferentes. Así, por el teorema del residuo

(9)

¿Dónde está el polo dentro del círculo? Porque parte derecha(9) es válida, entonces da la integral requerida

Definición. Punto al infinito plano complejo llamado punto singular aislado inequívoco función analíticaF(z), Si afuera círculo de algún radio R,

aquellos. porque no existe un punto singular finito de la función F(z).

Para estudiar la función en un punto del infinito, hacemos el reemplazo
Función

tendrá una singularidad en el punto ζ = 0, y este punto estará aislado, ya que

dentro del circulo
No hay otros puntos especiales según la condición. Ser analítico en esto

círculo (excepto los llamados ζ = 0), función
se puede ampliar en una serie de Laurent en potencias ζ . La clasificación descrita en el párrafo anterior se mantiene completamente inalterada.

Sin embargo, si volvemos a la variable original z, luego series en potencias positivas y negativas z'Cambiar lugares. Aquellos. La clasificación de puntos en el infinito quedará así:

Ejemplos. 1.
. Punto z = i − polo de 3er orden.

2.
. Punto z = ∞ − significativamente punto singular.

§18. Residuo de una función analítica en un punto singular aislado.

deja el punto z 0 es un punto singular aislado de una función analítica de un solo valor

F(z). Según lo anterior, en las proximidades de este punto F(z) puede estar representado únicamente por la serie Laurent:
Dónde

Definición.Deducción función analítica F(z) en un punto singular aislado z 0

llamado Número complejo, igual al valor de la integral
, tomado en la dirección positiva a lo largo de cualquier contorno cerrado que se encuentre en el dominio de analiticidad de la función y que contenga dentro de sí un único punto singular z 0 .

La deducción se indica con el símbolo Res [F(z),z 0 ].

Es fácil ver que el residuo en un punto singular regular o removible es igual a cero.

En un polo o punto esencialmente singular, el residuo es igual al coeficiente Con-1 fila Laurent:

.

Ejemplo. Encuentra el residuo de una función.
.

(Que sea fácil ver que

coeficiente Con-1 se obtiene al multiplicar los términos con norte= 0:Res[ F(z),i ] =
}

A menudo es posible calcular residuos de funciones sobre de una manera sencilla. Deja que la función F(z) tiene incl. z 0 polos de primer orden. En este caso, el desarrollo de la función en una serie de Laurent tiene la forma (§16):. Multipliquemos esta igualdad por (z−z 0) y vayamos al límite en
. Como resultado obtenemos: Res[ F(z),z 0 ] =
Entonces, en

En el último ejemplo tenemos Res[ F(z),i ] =
.

Para calcular los residuos en polos de orden superior, multiplique la función

en
(metro− orden de los polos) y diferenciar la serie resultante ( metro − 1 vez.

En este caso tenemos: Res[ F(z),z 0 ]

Ejemplo. Encuentra el residuo de una función.
en z= −1.

{res[ F(z), −1] }

Definimos la vecindad de este punto como el exterior de círculos centrados en el origen: Ud. (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Punto z = ∞ es un punto singular aislado de la función analítica w = F (z ), si en alguna vecindad de este punto no existen otros puntos singulares de esta función. Para determinar el tipo de este punto singular, hacemos un cambio de variable, y el punto z = ∞ va al punto z 1 = 0, función w = F (z ) tomará la forma . Tipo de punto singular z = ∞ funciones w = F (z ) llamaremos al tipo de punto singular z 1 = 0 funciones w = φ (z 1). Si la expansión de la función w = F (z ) por grados z en las proximidades de un punto z = ∞, es decir con valores de módulo suficientemente grandes z , tiene la forma , entonces, reemplazando z encendido, lo recibiremos. Así, con tal cambio de variable, las partes principal y regular de la serie de Laurent cambian de lugar, y el tipo de punto singular z = ∞ está determinado por el número de términos en la parte correcta del desarrollo de la función en la serie de Laurent en potencias z en las proximidades de un punto z = 0. Por lo tanto
1 punto z = ∞ es un punto singular removible si esta expansión no contiene la parte correcta (excepto, quizás, por el término A 0);
2. Punto z = ∞ - polo norte -ésimo orden si la parte derecha termina con un término Un · zn ;
3. Punto z = ∞ es un punto esencialmente singular si la parte regular contiene infinitos términos.

En este caso, siguen siendo válidos los criterios para los tipos de puntos singulares por valor: si z= ∞ es un punto singular removible, entonces este límite existe y es finito si z= ∞ es un polo, entonces este límite es infinito si z= ∞ es un punto esencialmente singular, entonces este límite no existe (ni finito ni infinito).

Ejemplos: 1. F (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. La función ya es un polinomio en potencias. z , el grado más alto es el sexto, por lo tanto z
El mismo resultado se puede obtener de otra forma. reemplazaremos z encendido, entonces . Para función φ (z 1 punto z 1 = 0 es un polo de sexto orden, por lo tanto para F (z ) punto z = ∞ - polo de sexto orden.
2. . Para esta función, obtenga una expansión de potencia. z difícil, entonces encontremos: ; el límite existe y es finito, por lo que el punto z
3. . Parte correcta de la expansión de potencia. z contiene infinitos términos, por lo que z = ∞ es un punto esencialmente singular. De lo contrario, este hecho puede establecerse basándose en el hecho de que no existe.

Residuo de una función en un punto singular infinitamente distante.

Para el último punto singular a , Dónde γ - un circuito que no contiene otros excepto a , puntos singulares, atravesados ​​de tal manera que el área delimitada por él y que contiene el punto singular permanece a la izquierda (en sentido antihorario).

Definamos de manera similar: , donde Γ − es el contorno que limita dicha vecindad Ud. (∞, r ) puntos z = ∞, que no contiene otros puntos singulares, y transitable de modo que esta vecindad permanezca a la izquierda (es decir, en el sentido de las agujas del reloj). Por lo tanto, todos los demás puntos singulares (finales) de la función deben ubicarse dentro del contorno Γ − . Cambiemos la dirección de recorrido del contorno Γ − : . Por el teorema principal de los residuos. , donde la suma se realiza sobre todos los puntos singulares finitos. Por lo tanto, finalmente

,

aquellos. residuo en un punto singular infinitamente distante igual a la suma residuos sobre todos los puntos singulares finitos, tomados con el signo opuesto.

Como consecuencia, hay teorema de la suma total: si función w = F (z ) es analítico en todas partes del avión CON , con la excepción de Número finito puntos singulares z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , entonces la suma de los residuos en todos los puntos singulares finitos y el residuo en el infinito es cero.

Tenga en cuenta que si z = ∞ es un punto singular removible, entonces el residuo en él puede ser diferente de cero. Entonces, para la función, obviamente, ; z = 0 es el único punto singular finito de esta función, entonces , a pesar de que, es decir z = ∞ es un punto singular removible.