Ejemplos de cálculo de derivadas de funciones complejas. Calculadora online

Y el teorema de la derivada función compleja, cuya redacción es:

Sea 1) la función $u=\varphi (x)$ tener en algún punto $x_0$ la derivada $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) la función $y=f(u)$ tener en el correspondiente en el punto $u_0=\varphi (x_0)$ la derivada $y_(u)"=f"(u)$. Entonces la función compleja $y=f\left(\varphi (x) \right)$ en el punto mencionado también tendrá una derivada, igual al producto derivadas de las funciones $f(u)$ y $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

o, en notación más corta: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

En los ejemplos de esta sección, todas las funciones tienen la forma $y=f(x)$ (es decir, consideramos solo funciones de una variable $x$). En consecuencia, en todos los ejemplos la derivada $y"$ se toma con respecto a la variable $x$. Para enfatizar que la derivada se toma con respecto a la variable $x$, a menudo se escribe $y"_x$ en lugar de $y "$.

Los ejemplos No. 1, No. 2 y No. 3 describen el proceso detallado para encontrar la derivada de funciones complejas. El Ejemplo No. 4 está destinado a una comprensión más completa de la tabla de derivadas y tiene sentido familiarizarse con ella.

Es aconsejable después de estudiar el material de los ejemplos No. 1-3 pasar a decisión independiente ejemplos N° 5, N° 6 y N° 7. Los ejemplos N° 5, N° 6 y N° 7 contienen solución corta para que el lector pueda comprobar la exactitud de su resultado.

Ejemplo No. 1

Encuentra la derivada de la función $y=e^(\cos x)$.

Necesitamos encontrar la derivada de una función compleja $y"$. Dado que $y=e^(\cos x)$, entonces $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Para encuentre la derivada $ \left(e^(\cos x)\right)"$ usamos la fórmula No. 6 de la tabla de derivadas. Para utilizar la fórmula No. 6, debemos tener en cuenta que en nuestro caso $u=\cos x$. La solución adicional consiste simplemente en sustituir la expresión $\cos x$ en lugar de $u$ en la fórmula nº 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ahora necesitamos encontrar el valor de la expresión $(\cos x)"$. Volvemos nuevamente a la tabla de derivadas, eligiendo de ella la fórmula No. 10. Sustituyendo $u=x$ en la fórmula No. 10, tenemos : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Ahora continuamos con la igualdad (1.1), complementándola con el resultado encontrado:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \etiqueta (1.2) $$

Como $x"=1$, continuamos con la igualdad (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Entonces, de la igualdad (1.3) tenemos: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturalmente, las explicaciones y las igualdades intermedias generalmente se saltan, anotando el hallazgo de la derivada en una línea, como en la igualdad ( 1.3). Entonces, se ha encontrado la derivada de la función compleja, solo queda escribir la respuesta.

Respuesta: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Ejemplo No. 2

Encuentra la derivada de la función $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Necesitamos calcular la derivada $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Para empezar, observamos que la constante (es decir, el número 9) se puede quitar del signo de la derivada:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \derecha)" \etiqueta (2.1) $$

Ahora pasemos a la expresión $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Para seleccionar la fórmula requerida de la tabla de derivadas fue más fácil, presentaré la expresión en cuestión de esta forma: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ahora está claro que es necesario utilizar la fórmula número 2, es decir, $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. u=\arctg(4) en esta fórmula \cdot \ln x)$ y $\alpha=12$:

Complementando la igualdad (2.1) con el resultado obtenido, tenemos:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

En esta situación, a menudo se comete un error cuando el solucionador en el primer paso elige la fórmula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ en lugar de la fórmula $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. La cuestión es que la derivada de la función externa debe ser lo primero. Para entender qué función será externa a la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imagina que estás calculando el valor de la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ a algún valor $x$. Primero calcularás el valor de $5^x$, luego multiplicarás el resultado por 4, obteniendo $4\cdot 5^x$. Ahora tomamos el arcotangente de este resultado, obteniendo $\arctg(4\cdot 5^x)$. Luego elevamos el número resultante a la duodécima potencia, obteniendo $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. La última acción, es decir. elevar a la potencia de 12 será una función externa. Y es a partir de esto que debemos empezar a encontrar la derivada, que se hizo en igualdad (2.2).

Ahora necesitamos encontrar $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Usamos la fórmula No. 19 de la tabla de derivadas, sustituyendo $u=4\cdot \ln x$ en ella:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Simplifiquemos un poco la expresión resultante, teniendo en cuenta $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

La igualdad (2.2) ahora pasará a ser:

Queda por encontrar $(4\cdot \ln x)"$. Saquemos la constante (es decir, 4) del signo de la derivada: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Para Para encontrar $(\ln x)"$ usamos la fórmula No. 8, sustituyendo $u=x$ en ella: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. Dado que $x"=1$, entonces $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Sustituyendo el resultado obtenido en la fórmula (2.3), obtenemos:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x) $).

Permítanme recordarles que la derivada de una función compleja se encuentra con mayor frecuencia en una línea, como está escrito en la última igualdad. Por lo tanto, al preparar cálculos estándar o pruebas No es necesario describir la solución con tanto detalle.

Respuesta: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Ejemplo No. 3

Encuentre $y"$ de la función $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Primero, transformemos ligeramente la función $y$, expresando el radical (raíz) como una potencia: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Ahora comencemos a encontrar la derivada. Dado que $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, entonces:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Usemos la fórmula No. 2 de la tabla de derivadas, sustituyendo $u=\sin(5\cdot 9^x)$ y $\alpha=\frac(3)(7)$ en ella:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Continuamos la igualdad (3.1) usando el resultado obtenido:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ahora necesitamos encontrar $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para esto usamos la fórmula No. 9 de la tabla de derivadas, sustituyendo $u=5\cdot 9^x$ en ella:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Complementando la igualdad (3.2) con el resultado obtenido, tenemos:

Queda por encontrar $(5\cdot 9^x)"$. Primero, tomemos la constante (el número $5$) fuera del signo de la derivada, es decir, $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Para encontrar la derivada $(9^x)"$, aplica la fórmula No. 5 de la tabla de derivadas, sustituyendo en ella $a=9$ y $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Como $x"=1$, entonces $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ahora podemos continuar con la igualdad (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Podemos volver nuevamente de potencias a radicales (es decir, raíces), escribiendo $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ en la forma $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Entonces la derivada se escribirá de esta forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Respuesta: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Ejemplo No. 4

Demuestre que las fórmulas No. 3 y No. 4 de la tabla de derivadas son caso especial fórmulas No. 2 de esta tabla.

La fórmula No. 2 de la tabla de derivadas contiene la derivada de la función $u^\alpha$. Sustituyendo $\alpha=-1$ en la fórmula No. 2, obtenemos:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Dado que $u^(-1)=\frac(1)(u)$ y $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, entonces la igualdad (4.1) se puede reescribir de la siguiente manera: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Esta es la fórmula No. 3 de la tabla de derivadas.

Volvamos nuevamente a la fórmula No. 2 de la tabla de derivadas. Sustituyamos $\alpha=\frac(1)(2)$ en él:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Dado que $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ y $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, entonces la igualdad (4.2) se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

La igualdad resultante $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ es la fórmula No. 4 de la tabla de derivadas. Como puedes ver, las fórmulas N°3 y N°4 de la tabla de derivadas se obtienen a partir de la fórmula N°2 sustituyendo el valor $\alpha$ correspondiente.

Funciones tipo complejo no siempre se ajustan a la definición de función compleja. Si existe una función de la forma y = sin x - (2 - 3) · ar c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, entonces no puede considerarse compleja, a diferencia de y = sin 2 x.

Este artículo mostrará el concepto de función compleja y su identificación. Trabajemos con fórmulas para encontrar la derivada con ejemplos de soluciones en la conclusión. El uso de la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación reduce significativamente el tiempo necesario para encontrar la derivada.

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Definiciones basicas

Definición 1

Una función compleja es aquella cuyo argumento también es una función.

Se denota de esta manera: f (g (x)). Tenemos que la función g(x) se considera un argumento f(g(x)).

Definición 2

Si existe una función f y es una función cotangente, entonces g(x) = ln x es la función logaritmo natural. Encontramos que la función compleja f (g (x)) se escribirá como arctg(lnx). O una función f, que es una función elevada a la cuarta potencia, donde g (x) = x 2 + 2 x - 3 se considera un número entero función racional, encontramos que f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Obviamente g(x) puede ser complejo. Del ejemplo y = sen 2 x + 1 x 3 - 5 queda claro que el valor de g es raíz cúbica con una fracción. Esta expresión se permite denotar como y = f (f 1 (f 2 (x))) . De donde tenemos que f es una función seno y f 1 es una función ubicada debajo raíz cuadrada, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - función racional fraccionaria.

Definición 3

El grado de anidamiento está determinado por cualquier número natural y se escribe como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definición 4

El concepto de composición de funciones se refiere al número de funciones anidadas según las condiciones del problema. Para resolver, usa la fórmula para encontrar la derivada de una función compleja de la forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función compleja de la forma y = (2 x + 1) 2.

Solución

La condición muestra que f es una función elevatoria al cuadrado y g(x) = 2 x + 1 se considera una función lineal.

Apliquemos la fórmula derivada para una función compleja y escribamos:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Es necesario encontrar la derivada con la forma original simplificada de la función. Obtenemos:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aquí tenemos eso

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Los resultados fueron los mismos.

Al resolver problemas de este tipo, es importante comprender dónde se ubicará la función de la forma f y g (x).

Ejemplo 2

Debes encontrar las derivadas de funciones complejas de la forma y = sen 2 x e y = sen x 2.

Solución

La primera notación de función dice que f es la función elevatoria al cuadrado y g(x) es la función seno. Entonces entendemos eso

y " = (sen 2 x) " = 2 pecado 2 - 1 x (sen x) " = 2 pecado x cos x

La segunda entrada muestra que f es una función seno y g(x) = x 2 denota una función potencia. De ello se deduce que escribimos el producto de una función compleja como

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La fórmula para la derivada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) se escribirá como y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de la función y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solución

Este ejemplo muestra la dificultad de escribir y determinar la ubicación de funciones. Entonces y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota donde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) es la función seno, la función de elevar a 3 grados, función con logaritmo y base e, arcotangente y función lineal.

De la fórmula para definir una función compleja tenemos que

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Obtenemos lo que necesitamos encontrar

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) como derivada del seno según la tabla de derivadas, luego f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como derivada función de potencia, entonces f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) como derivada logarítmica, entonces f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
f 3 " (f 4 (x)) como derivada del arcotangente, entonces f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Al encontrar la derivada f 4 (x) = 2 x, elimine 2 del signo de la derivada usando la fórmula para la derivada de una función de potencia con un exponente igual a 1, luego f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

hacemos una fusion resultados intermedios y lo entendemos

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

El análisis de tales funciones recuerda a los muñecos nido. Las reglas de diferenciación no siempre se pueden aplicar explícitamente utilizando una tabla de derivadas. A menudo es necesario utilizar una fórmula para encontrar derivadas de funciones complejas.

Existen algunas diferencias entre apariencia compleja y funciones complejas. Con una clara capacidad para distinguir esto, encontrar derivados será especialmente fácil.

Ejemplo 4

Necesita ser considerado en el casting. ejemplo similar. Si existe una función de la forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, entonces puede considerarse como una función compleja de la forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Es obvio que es necesario utilizar la fórmula para una derivada compleja:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una función de la forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 no se considera compleja, ya que tiene la suma de t g x 2, 3 t g x y 1. Sin embargo, t g x 2 se considera una función compleja, entonces obtenemos una función potencia de la forma g (x) = x 2 y f, que es una función tangente. Para ello, diferencia por cantidad. lo entendemos

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 porque 2 x

Pasemos a encontrar la derivada de una función compleja (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obtenemos que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Las funciones de tipo complejo pueden incluirse en funciones complejas, y las funciones complejas en sí mismas pueden ser componentes de funciones de tipo complejo.

Ejemplo 5

Por ejemplo, considere una función compleja de la forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta función se puede representar como y = f (g (x)), donde el valor de f es una función del logaritmo de base 3, y g (x) se considera la suma de dos funciones de la forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 y k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Obviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Considere la función h(x). Esta es la relación l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 a m (x) = e x 2 + 3 3

Tenemos que l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) es la suma de dos funciones n (x) = x 2 + 7 y p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , donde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) es una función compleja con coeficiente numérico 3, y p 1 - según la función cúbica, p 2 según la función coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 - según la función lineal.

Encontramos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) es la suma de dos funciones q (x) = e x 2 y r (x) = 3 3, donde q (x) = q 1 (q 2 (x)) es una función compleja, q 1 es una función con una exponencial, q 2 (x) = x 2 es una función potencia.

Esto muestra que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Al pasar a una expresión de la forma k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), está claro que la función se presenta en forma de un complejo s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con un entero racional t (x) = x 2 + 1, donde s 1 es una función cuadrada, y s 2 (x) = ln x es logarítmica con base e .

De ello se deduce que la expresión tomará la forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Entonces entendemos eso

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Con base en las estructuras de la función, quedó claro cómo y qué fórmulas se deben usar para simplificar la expresión al diferenciarla. Para información tareas similares y y para el concepto de resolverlos, es necesario acudir al punto de derivar una función, es decir, encontrar su derivada.

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Se da una prueba de la fórmula para la derivada de una función compleja. Se consideran en detalle los casos en los que una función compleja depende de una o dos variables. Se hace una generalización al caso. cualquier número variables.

Aquí presentamos la conclusión. siguientes fórmulas para la derivada de una función compleja.
Si entonces
.
Si entonces
.
Si entonces
.

Derivada de una función compleja a partir de una variable

Sea una función de la variable x representada como una función compleja de la siguiente forma:
,
donde hay algunas funciones. La función es diferenciable para algún valor de la variable x.
La función es diferenciable por el valor de la variable.
(1) .

Entonces la función compleja (compuesta) es diferenciable en el punto x y su derivada está determinada por la fórmula:
;
.

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:

Prueba
;
.
Introduzcamos la siguiente notación.

Aquí hay una función de las variables y , hay una función de las variables y .
;
.

Pero omitiremos los argumentos de estas funciones para no saturar los cálculos.
.
Dado que las funciones y son diferenciables en los puntos x y , respectivamente, entonces en estos puntos existen derivadas de estas funciones, que son los siguientes límites:
.
Considere la siguiente función:
.

Para un valor fijo de la variable u, es una función de .
.
Considere la siguiente función:
.

Es obvio que

.

Entonces

Dado que la función es una función derivable en el punto, es continua en ese punto. Es por eso

Ahora encontramos la derivada.
,
La fórmula está probada.
.
Consecuencia

Si una función de una variable x se puede representar como una función compleja de una función compleja
entonces su derivada está determinada por la fórmula
.
Aquí y hay algunas funciones diferenciables.
.
Para probar esta fórmula, calculamos secuencialmente la derivada usando la regla para derivar una función compleja.
.
Aquí y hay algunas funciones diferenciables.
.

Considere la función compleja

su derivado Considere la función original.

Derivada de una función compleja a partir de dos variables
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
caso de una función compleja de dos variables
Sea una función que depende de la variable x representada como una función compleja de dos variables de la siguiente forma:
(2) .

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:

Dado que las funciones y son diferenciables en el punto, están definidas en una determinada vecindad de este punto, son continuas en el punto y sus derivadas existen en el punto, que son los siguientes límites:
;
.
Aquí
;
.
Debido a la continuidad de estas funciones en un punto, tenemos:
;
.

Dado que la función es diferenciable en el punto, se define en una determinada vecindad de este punto, es continua en este punto y su incremento se puede escribir de la siguiente forma:
(3) .
Aquí

- incremento de una función cuando sus argumentos se incrementan en valores y;
;

- derivadas parciales de la función con respecto a las variables y .
Para valores fijos de y , y son funciones de las variables y .
;
.
Tienden a cero en y:
;
.

Desde y entonces

. :
.
Incremento de función:

.

Entonces

Sustituyamos (3):

Derivada de una función compleja a partir de varias variables

La conclusión anterior se puede generalizar fácilmente al caso en que el número de variables de una función compleja sea más de dos. Por ejemplo, si f es función de tres variables
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
, Eso
, y existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
- función diferenciable de tres variables en el punto , , .
(4)
.
Luego, de la definición de diferenciabilidad de la función, tenemos:
; ; ,
Porque, debido a la continuidad,
;
;
.

Eso
.

Dividiendo (4) por y pasando al límite, obtenemos: Y finalmente, consideremos mayoría .
caso general
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
Sea una función de la variable x representada como una función compleja de n variables de la siguiente forma:
existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
, , ... , .
Considere la siguiente función:
.

- función diferenciable de n variables en un punto En los libros de texto "antiguos" también se le llama regla de la "cadena". Así que si y = f (u), y u = φ (x

), eso es

y = f (φ (x))

complejo - función compuesta (composición de funciones) entonces Dónde , después del cálculo se considera en

tu = φ (x).

Tenga en cuenta que aquí tomamos composiciones "diferentes" de las mismas funciones, y el resultado de la diferenciación, naturalmente, resultó depender del orden de "mezcla".

. Aquí, con la “x” para obtener el valor de la “y”, se realizan cinco operaciones, es decir, hay una composición de cinco funciones: “externa” (la última de ellas) - exponencial - e  ; más adentro orden inverso sosegado. (♦) 2 ;

pecado trigonométrico

(); sosegado. () 3 y finalmente logarítmico ln.(). Es por eso

Con los siguientes ejemplos “mataremos un par de pájaros de un tiro”: practicaremos diferenciar funciones complejas y añadir a la tabla de derivadas de funciones elementales. Entonces: 4. Para una función de potencia - y = x α - reescribiéndola usando el conocido "función básica identidad logarítmica

" - b=e ln b - en la forma x α = x α ln x obtenemos 5. Gratis funcion exponencial

usando la misma técnica tendremos

6. Gratis

función logarítmica

Usando la conocida fórmula para mudarse a una nueva base, obtenemos consistentemente

7. Para derivar la tangente (cotangente), usamos la regla para derivar cocientes:
,

Para obtener derivadas de funciones trigonométricas inversas utilizamos la relación que se satisface con las derivadas de dos funciones mutuamente inversas, es decir, las funciones φ (x) y f (x) relacionadas por las relaciones:

Esta es la proporción

Es de esta fórmula para funciones mutuamente inversas. Y:
; ; ; ; .

Finalmente, resumamos estos y algunos otros derivados que también se obtienen fácilmente en la siguiente tabla.
,
Se dan ejemplos de cómo calcular derivadas utilizando la fórmula para la derivada de una función compleja.
.
Aquí damos ejemplos de cálculo de derivadas de
.
siguientes funciones
Si una función se puede representar como una función compleja de la siguiente forma:

entonces su derivada está determinada por la fórmula:

En los ejemplos siguientes, escribiremos esta fórmula de la siguiente manera:

Dónde .

Aquí, los subíndices o , ubicados debajo del signo de la derivada, denotan las variables mediante las cuales se realiza la diferenciación.
.

Por lo general, en las tablas de derivadas se dan las derivadas de funciones de la variable x.

Sin embargo, x es un parámetro formal. La variable x puede ser reemplazada por cualquier otra variable. Por tanto, al diferenciar una función de una variable, simplemente cambiamos, en la tabla de derivadas, la variable x por la variable u. Ejemplos simples Ejemplo 1
.
Encuentra la derivada de una función compleja.
;
.

Solución
.
vamos a escribirlo

función dada

en forma equivalente:

En la tabla de derivadas encontramos:
.

Por lo general, en las tablas de derivadas se dan las derivadas de funciones de la variable x.

Según la fórmula para la derivada de una función compleja, tenemos:
.

.
vamos a escribirlo

función dada

Aquí .

Respuesta
.

Por lo general, en las tablas de derivadas se dan las derivadas de funciones de la variable x.

Ejemplo 2 -1 para el signo de la derivada y de la tabla de derivadas encontramos:
;
De la tabla de derivadas encontramos:
.

Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja:
.
vamos a escribirlo

función dada

Ejemplos más complejos

En mas ejemplos complejos Aplicamos la regla para derivar una función compleja varias veces. En este caso, calculamos la derivada desde el final. Es decir, dividimos la función en sus partes componentes y encontramos las derivadas de las partes más simples usando tabla de derivados. También usamos reglas para diferenciar sumas, productos y fracciones. Luego hacemos sustituciones y aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.

Ejemplo 4

Respuesta
.

Por lo general, en las tablas de derivadas se dan las derivadas de funciones de la variable x.

Destaquemos lo más parte simple fórmula y encontrar su derivada. .

.
Aquí hemos utilizado la notación
.

Encontramos la derivada de la siguiente parte de la función original usando los resultados obtenidos. Aplicamos la regla para derivar la suma:
.

Una vez más aplicamos la regla de derivación de funciones complejas.

.
vamos a escribirlo

función dada

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de la función
.

Por lo general, en las tablas de derivadas se dan las derivadas de funciones de la variable x.

Seleccionemos la parte más simple de la fórmula y encontremos su derivada de la tabla de derivadas. .

Aplicamos la regla de diferenciación de funciones complejas.
.
Aquí
.