Consideremos distribución de veneno, calculemos su expectativa matemática, dispersión y moda. Usando la función de MS EXCEL POISSON.DIST(), construiremos gráficas de la función de distribución y la densidad de probabilidad. Estimemos el parámetro de distribución, su expectativa matemática y desviación estándar.

Primero dejemos que se seque. definicion formal distribuciones, luego damos ejemplos de situaciones en las que distribución de veneno(Inglés) Poisondistribución) es un modelo adecuado para describir una variable aleatoria.

Si ocurren eventos aleatorios en un período de tiempo determinado (o en un cierto volumen de materia) con una frecuencia promedio λ( lambda), entonces el número de eventos X, ocurrido durante este período de tiempo tendrá distribución de veneno.

Aplicación de la distribución de Poisson

Ejemplos cuando distribución de veneno es un modelo adecuado:

• número de llamadas recibidas en central telefónica por un cierto período de tiempo;
• la cantidad de partículas que han sufrido desintegración radiactiva durante un cierto período de tiempo;
• Número de defectos en un trozo de tela de longitud fija.

distribución de veneno Es un modelo adecuado si se cumplen las siguientes condiciones:

• Los eventos ocurren independientemente unos de otros, es decir. la probabilidad de un evento posterior no depende del anterior;
• la tasa promedio de eventos es constante. Como consecuencia, la probabilidad de un evento es proporcional a la duración del intervalo de observación;
• dos acontecimientos no pueden ocurrir al mismo tiempo;
• el número de eventos debe tomar el valor 0; 1; 2…

Nota: Una buena pista es que lo observable valor aleatorio Tiene Distribución de veneno, es el hecho de que es aproximadamente igual (ver más abajo).

A continuación se muestran ejemplos de situaciones en las que distribución de veneno no puedo se aplicado:

• el número de estudiantes que abandonan la universidad en una hora (ya que el flujo promedio de estudiantes no es constante: durante las clases hay pocos estudiantes y durante el descanso entre clases el número de estudiantes aumenta considerablemente);
• el número de terremotos con una amplitud de 5 puntos por año en California (ya que un terremoto puede causar réplicas de amplitud similar; los eventos no son independientes);
• el número de días que los pacientes pasan en la unidad de cuidados intensivos (porque el número de días que los pacientes pasan en la unidad de cuidados intensivos siempre es mayor que 0).

Nota: distribución de veneno es una aproximación más precisa distribuciones discretas: Y .

Nota: Sobre la relación distribución de veneno Y Distribución binomial se puede leer en el artículo. sobre la relación distribución de veneno Y Distribución exponencial se puede leer en el artículo sobre.

Distribución de Poisson en MS EXCEL

En MS EXCEL, a partir de la versión 2010, para Distribuciones Poison hay una función POISSON.DIST(), nombre inglés- POISSON.DIST(), que le permite calcular no solo la probabilidad de lo que sucederá en un período de tiempo determinado X eventos (función densidad de probabilidad p(x), ver fórmula arriba), pero también (la probabilidad de que durante un período de tiempo determinado al menos X eventos).

Antes de MS EXCEL 2010, EXCEL tenía la función POISSON(), que también permite calcular función de distribución Y densidad de probabilidad p(x). POISSON() se deja en MS EXCEL 2010 por compatibilidad.

El archivo de ejemplo contiene gráficos. distribución de densidad de probabilidad Y función de distribución acumulativa.

distribución de veneno tiene forma biselada ( una cola larga en el lado derecho de la función de probabilidad), pero a medida que aumenta el parámetro, λ se vuelve cada vez más simétrico.

Nota: Promedio Y dispersión(cuadrado) son iguales al parámetro distribución de veneno– λ (ver ejemplo de archivo de hoja Ejemplo).

Tarea

Aplicación tipica Distribuciones de Poisson En control de calidad es un modelo del número de defectos que pueden aparecer en un instrumento o dispositivo.

Por ejemplo, con un número promedio de defectos en un chip λ (lambda) igual a 4, la probabilidad de que un chip seleccionado al azar tenga 2 o menos defectos es: = DISTR.POISSON(2,4,VERDADERO)=0.2381

El tercer parámetro de la función se establece = VERDADERO, por lo que la función devolverá función integral distribución, es decir, la probabilidad de que el número eventos aleatorios estará en el rango de 0 a 4 inclusive.

Los cálculos en este caso se realizan según la fórmula:

La probabilidad de que un microcircuito seleccionado al azar tenga exactamente 2 defectos es: = DISTR.POISSON(2,4,FALSO)=0,1465

El tercer parámetro de la función se establece = FALSO, por lo que la función devolverá la densidad de probabilidad.

La probabilidad de que un microcircuito seleccionado al azar tenga más de 2 defectos es igual a: =1-DIST.POISSON(2,4,VERDADERO) =0.8535

Nota: Si X no es un número entero, entonces al calcular la fórmula. Fórmulas =DIST.POISSON( 2 ; 4; MENTIR) Y =DIST.POISSON( 2,9 ; 4; MENTIR) devolverá el mismo resultado.

Generación de números aleatorios y estimación de λ.

Para valores de λ >15 , distribución de veneno bien aproximado Distribución normal con los siguientes parámetros: μ =λ , s 2 =λ .

Se pueden encontrar más detalles sobre la relación entre estas distribuciones en el artículo. También hay ejemplos de aproximación y se explican las condiciones sobre cuándo es posible y con qué precisión.

CONSEJO: Puede leer sobre otras distribuciones de MS EXCEL en el artículo.

Breve teoría

Se realizan pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra el evento es igual a . Para determinar la probabilidad de que ocurra un evento en estas pruebas se utiliza la fórmula de Bernoulli. Si es grande, utilice o. Sin embargo, esta fórmula no es adecuada si es pequeña. En estos casos (grandes, pequeños) recurren a la asintótica. la fórmula de poisson.

Pongámonos la tarea de encontrar la probabilidad de que, por muy gran número pruebas, en cada una de las cuales la probabilidad del evento es muy pequeña, el evento ocurrirá exactamente una vez. Hagamos una suposición importante: el producto conserva un valor constante, es decir . Esto significa que el número promedio de ocurrencias de un evento en diferentes series de ensayos, es decir en diferentes significados, permanece sin cambios.

Ejemplo de solución de problema

Problema 1

La base recibió 10.000 lámparas eléctricas. La probabilidad de que la lámpara se rompa durante el viaje es 0,0003. Encuentre la probabilidad de que entre las lámparas recibidas, cinco estén rotas.

Solución

Condición para la aplicabilidad de la fórmula de Poisson:

Si la probabilidad de que ocurra un evento en una prueba individual es suficientemente cercana a cero, entonces incluso para valores grandes del número de pruebas, la probabilidad calculada por teorema local Laplace resulta insuficientemente preciso. En tales casos, utilice la fórmula derivada de Poisson.

Deja que el evento - 5 lámparas se rompan.

Usemos la fórmula de Poisson:

En nuestro caso:

Respuesta

Problema 2

La empresa cuenta con 1000 equipos. cierto tipo. La probabilidad de que un equipo falle en una hora es 0,001. Elaborar una ley de distribución del número de fallas de equipos por hora. Encuentra características numéricas.

Solución

Variable aleatoria: el número de fallas del equipo, puede tomar valores.

Usemos la ley de Poisson:

Encontremos estas probabilidades:

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria distribuida según la ley de Poisson es igual al parámetro de esta distribución:

Promedio costo de la solución trabajo de prueba 700 - 1200 rublos (pero no menos de 300 rublos por todo el pedido). El precio está muy influenciado por la urgencia de la decisión (desde un día hasta varias horas). El coste de la ayuda en línea para un examen/prueba es de 1000 rublos. para resolver el ticket.

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Mayoría caso general varios tipos distribuciones de probabilidad es una distribución binomial. Usemos su versatilidad para determinar los tipos particulares de distribuciones más comunes que se encuentran en la práctica.

Distribución binomial

Sea algún evento A. La probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a pag, la probabilidad de que no ocurra el evento A es 1 pag, a veces se designa como q. Dejar norte número de pruebas, metro frecuencia de ocurrencia del evento A en estos norte pruebas.

Se sabe que probabilidad total todos posibles combinaciones resultados es igual a uno, es decir:

1 = pag norte + norte · pag norte 1 (1 pag) + C norte norte 2 · pag norte 2 (1 pag) 2 + + C norte metro · pag metro· (1 pag) norte – metro+ + (1 pag) norte .

Valor esperado METRO la distribución binomial es igual a:

METRO = norte · pag ,

Dónde norte número de pruebas, pag probabilidad de ocurrencia del evento A.

Desviación Estándar σ :

σ = raíz cuadrada ( norte · pag· (1 pag)) .

Ejemplo 1. Calcular la probabilidad de que un evento que tiene una probabilidad pag= 0,5, en norte= 10 pruebas ocurrirán metro= 1 vez. Tenemos: C 10 1 = 10, y más: PAG 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Como podemos ver, la probabilidad de que ocurra este evento es bastante baja. Esto se explica, en primer lugar, por el hecho de que no está del todo claro si el evento ocurrirá o no, ya que la probabilidad es 0,5 y las posibilidades aquí son “50 a 50”; y en segundo lugar, se requiere calcular que el evento ocurrirá exactamente una vez (ni más ni menos) de cada diez.

Ejemplo 2. Calcular la probabilidad de que un evento que tiene una probabilidad pag= 0,5, en norte= 10 pruebas ocurrirán metro= 2 veces. Tenemos: C 10 2 = 45, y más: PAG 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. ¡La probabilidad de que ocurra este evento ha aumentado!

Ejemplo 3. Aumentemos la probabilidad de que ocurra el evento en sí. Hagámoslo más probable. Calcular la probabilidad de que un evento que tiene una probabilidad pag= 0,8, en norte= 10 pruebas ocurrirán metro= 1 vez. Tenemos: C 10 1 = 10, y más: PAG 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. ¡La probabilidad se ha vuelto menor que en el primer ejemplo! La respuesta, a primera vista, parece extraña, pero dado que el evento tiene una probabilidad bastante alta, es poco probable que ocurra solo una vez. Es más probable que suceda más de una vez. De hecho, contando PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, , PAG 10 (probabilidad de que un evento en norte= 10 ensayos sucederán 0, 1, 2, 3, , 10 veces), veremos:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
PAG 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
PAG 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
PAG 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
PAG 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
PAG 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
PAG 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
PAG 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
PAG 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(¡la mayor probabilidad!);
PAG 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
PAG 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

Distribución normal

Si representamos las cantidades PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, , PAG 10, que calculamos en el ejemplo 3, en el gráfico, resulta que su distribución tiene una forma cercana a la ley de distribución normal (ver Fig. 27.1) (ver Conferencia 25. Modelado de variables aleatorias distribuidas normalmente).

La ley binomial se vuelve normal si las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento A son aproximadamente las mismas, es decir, podemos escribir condicionalmente: pag≈ (1 pag) . Por ejemplo, tomemos norte= 10 y pag= 0,5 (es decir pag= 1 pag = 0.5 ).

Llegaremos a este problema de manera significativa si, por ejemplo, queremos calcular teóricamente cuántos niños y cuántas niñas habrá de cada 10 niños nacidos en una maternidad el mismo día. Más precisamente, no contaremos niños y niñas, sino la probabilidad de que nazcan solo niños, que nazcan 1 niño y 9 niñas, que nazcan 2 niños y 8 niñas, etc. Para simplificar, supongamos que la probabilidad de tener un niño y una niña es la misma e igual a 0,5 (pero en realidad, para ser honesto, este no es el caso, consulte el curso "Modelado de sistemas de inteligencia artificial").

Está claro que la distribución será simétrica, ya que la probabilidad de tener 3 niños y 7 niñas es igual a la probabilidad de tener 7 niños y 3 niñas. La mayor probabilidad de nacimiento será de 5 niños y 5 niñas. Esta probabilidad es 0,25, por cierto, no es tan grande. valor absoluto. Además, la probabilidad de que nazcan 10 o 9 niños a la vez es mucho menor que la probabilidad de que nazcan 5 ± 1 niño entre 10 niños. La distribución binomial nos ayudará a realizar este cálculo. Entonces.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
PAG 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
PAG 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
PAG 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
PAG 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
PAG 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
PAG 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
PAG 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
PAG 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
PAG 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
PAG 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

Visualicemos las cantidades en la gráfica. PAG 0 , PAG 1 , PAG 2 , PAG 3, , PAG 10 (ver figura 27.2).

Entonces, bajo las condiciones metro ≈ norte/2 y pag≈ 1 pag o pag≈ 0,5 en lugar de la distribución binomial, puedes utilizar la normal. Para valores grandes norte la gráfica se desplaza hacia la derecha y se vuelve cada vez más plana, a medida que la expectativa matemática y la varianza aumentan al aumentar norte : METRO = norte · pag , D = norte · pag· (1 pag) .

Por cierto, ley binomial tiende a la normalidad y con el aumento norte, lo cual es bastante natural, según el centro teorema del límite(ver lección 34. Registro y procesamiento de resultados estadísticos).

Consideremos ahora cómo cambia la ley del binomio en el caso en que pag ≠ q, eso es pag> 0 . En este caso, no se puede aplicar la hipótesis de distribución normal y la distribución binomial pasa a ser una distribución de Poisson.

distribución de veneno

La distribución de Poisson es caso especial distribución binomial (con norte>> 0 y en pag>0 (eventos raros)).

Se conoce una fórmula en matemáticas que permite calcular aproximadamente el valor de cualquier miembro de la distribución binomial:

Dónde a = norte · pag Parámetro de Poisson (expectativa matemática), y la varianza es igual a la expectativa matemática. Presentemos cálculos matemáticos que expliquen esta transición. Ley de distribución binomial

PAG metro = C norte metro · pag metro· (1 pag) norte – metro

se puede escribir si pones pag = a/norte , como

Porque pag es muy pequeño, entonces sólo se deben tener en cuenta los números metro, pequeño en comparación con norte. Trabajar

muy cerca de la unidad. Lo mismo se aplica al tamaño.

Magnitud

Muy cerca de mi – a. De aquí obtenemos la fórmula:

Ejemplo. La caja contiene norte= 100 piezas, tanto de alta calidad como defectuosas. La probabilidad de recibir un producto defectuoso es pag= 0,01. Digamos que sacamos un producto, determinamos si está defectuoso o no y lo devolvemos. Al hacer esto, resultó que de 100 productos que revisamos, dos resultaron defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?

De la distribución binomial obtenemos:

De la distribución de Poisson obtenemos:

Como puede ver, los valores resultaron ser cercanos, por lo que en el caso de eventos raros es bastante aceptable aplicar la ley de Poisson, especialmente porque requiere menos esfuerzo computacional.

Mostremos gráficamente la forma de la ley de Poisson. Tomemos los parámetros como ejemplo. pag = 0.05 , norte= 10 . Entonces:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

PAG 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
PAG 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
PAG 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
PAG 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
PAG 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
PAG 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
PAG 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
PAG 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
PAG 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
PAG 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
PAG 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Por supuesto PAG 0 + PAG 1 + PAG 2 + PAG 3 + PAG 4 + PAG 5 + PAG 6 + PAG 7 + PAG 8 + PAG 9 + PAG 10 = 1 .

En norte> ∞ la distribución de Poisson se convierte en ley normal, según el teorema del límite central (ver.

Distribución de veneno.

Consideremos lo más situación típica, en el que aparece la distribución de Poisson. deja que el evento A Aparece un número determinado de veces en un área fija del espacio (intervalo, área, volumen) o en un período de tiempo con intensidad constante. Para ser específico, considere la ocurrencia secuencial de eventos a lo largo del tiempo, llamada secuencia de eventos. Gráficamente, el flujo de eventos se puede ilustrar mediante muchos puntos ubicados en el eje del tiempo.

Podría ser un flujo de llamadas en el sector de servicios (reparación de electrodomésticos, llamada a una ambulancia, etc.), un flujo de llamadas a una central telefónica, falla de algunas partes del sistema, desintegración radioactiva, trozos de tela o láminas de metal y el número de defectos en cada uno de ellos, etc. La distribución de Poisson es más útil en aquellos problemas donde es necesario determinar solo el número de resultados positivos (“éxitos”).

Imagina un panecillo con pasas, dividido en trozos pequeños. igual tamaño. Debido a distribución aleatoria No se puede esperar que las pasas las contengan todas las piezas. mismo número. Cuando se conoce el número promedio de pasas contenidas en estas piezas, entonces la distribución de Poisson da la probabilidad de que cualquier pieza dada contenga X=k(k= 0,1,2,...,)número de pasas.

En otras palabras, la distribución de Poisson determina qué parte de una larga serie de piezas contendrá igual a 0, 1, 2, etc. número de puntos destacados.

Hagamos las siguientes suposiciones.

1. La probabilidad de que ocurra un cierto número de eventos en un intervalo de tiempo determinado depende únicamente de la duración de este intervalo y no de su posición en el eje del tiempo. Ésta es la propiedad de la estacionariedad.

2. La ocurrencia de más de un evento en un período de tiempo suficientemente corto es prácticamente imposible, es decir la probabilidad condicional la ocurrencia de otro evento en el mismo intervalo tiende a cero en ® 0. Ésta es la propiedad de la normalidad.

3. Probabilidad de ocurrencia numero dado eventos en un período de tiempo fijo no depende del número de eventos que aparecen en otros períodos de tiempo. Ésta es la propiedad de la falta de efecto posterior.

Un flujo de eventos que satisface las proposiciones anteriores se llama lo más simple.

Consideremos un período de tiempo bastante corto. Según la propiedad 2, el evento puede aparecer una vez en este intervalo o no aparecer en absoluto. Denotemos la probabilidad de que ocurra un evento por R, y la no aparición - a través de q = 1-pag. Probabilidad R es constante (propiedad 3) y depende sólo del valor (propiedad 1). La expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en el intervalo será igual a 0× q+ 1× pag = pag. Entonces, el número promedio de ocurrencias de eventos por unidad de tiempo se llama intensidad del flujo y se denota por a, aquellos. a = .

Consideremos segmento final tiempo t y dividirlo por norte partes = . Las ocurrencias de eventos en cada uno de estos intervalos son independientes (propiedad 2). Determinemos la probabilidad de que en un período de tiempo t a intensidad de flujo constante A el evento aparecerá exactamente X = k no volverá a aparecer n-k. Dado que un evento puede en cada uno de norte los espacios aparecen no más de 1 vez, luego por su apariencia k una vez en un segmento de duración t debería aparecer en cualquier k intervalos del total norte. Hay un total de combinaciones de este tipo y la probabilidad de cada una es igual. En consecuencia, por el teorema de la suma de probabilidades obtenemos para la probabilidad deseada fórmula bien conocida bernoulli

Esta igualdad se escribe como aproximada, ya que la premisa inicial para su derivación fue la propiedad 2, que se cumple con mayor precisión cuanto menor. Para obtener la igualdad exacta, pasemos al límite en ® 0 o, lo que es lo mismo, norte® . Lo conseguiremos después del reemplazo.

PAG = a= y q = 1 – .

vamos a presentar nuevo parámetro = en, es decir, el número promedio de ocurrencias de un evento en un segmento t. Luego de simples transformaciones y pasando al límite en los factores, obtenemos.

= 1, = ,

Finalmente conseguimos

, k = 0, 1, 2, ...

mi = 2.718... – bases logaritmo natural.

Definición. Valor aleatorio X, que sólo acepta números enteros, valores positivos 0, 1, 2, ... tiene una distribución de Poisson con parámetro si

Para k = 0, 1, 2, ...

Se ha propuesto la distribución de Poisson. matemático francés DAKOTA DEL SUR. Poison (1781-1840). Se utiliza para resolver problemas de cálculo de probabilidades de fenómenos relativamente raros y mutuamente aleatorios. eventos independientes por unidad de tiempo, longitud, área y volumen.

Para el caso en que a) es grande y b) k= , la fórmula de Stirling es válida:

Para calcular los valores posteriores, se utiliza una fórmula recurrente.

PAG(k + 1) = PAG(k).

Ejemplo 1. ¿Cuál es la probabilidad de que de 1000 personas en un día determinado nazcan: a) ninguna, b) una, c) dos, d) tres personas?

Solución. Porque pag= 1/365, entonces q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Entonces

A) ,

b) ,

V) ,

GRAMO) .

Por lo tanto, si hay muestras de 1000 personas, entonces el número promedio de personas que nacieron en un día en particular será 65; 178; 244; 223.

Ejemplo 2. Determine el valor al cual con probabilidad R el evento apareció al menos una vez.

Solución. Evento A= (aparece al menos una vez) y = (no aparece ni una sola vez). Por eso .

De aquí Y .

Por ejemplo, para R= 0,5, para R= 0,95 .

Ejemplo 3. En los telares operados por un solo tejedor, se producen 90 roturas de hilo en una hora. Encuentre la probabilidad de que ocurra al menos una rotura de hilo en 4 minutos.

Solución. Por condición t= 4 min. y el número medio de descansos por minuto, de donde . La probabilidad requerida es .

Propiedades. La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con parámetro son iguales a:

METRO(X) = D(X) = .

Estas expresiones se obtienen mediante cálculos directos:

Aquí es donde se hizo el reemplazo. norte = k– 1 y el hecho de que .

Realizando transformaciones similares a las utilizadas en la salida. METRO(X), obtenemos

La distribución de Poisson se utiliza para aproximar la distribución binomial en general. norte

En muchas aplicaciones prácticamente importantes, la distribución de Poisson juega un papel importante. Muchos de los números cantidades discretas son implementaciones de un proceso de Poisson con las siguientes propiedades:

• Nos interesa saber cuántas veces ocurre un determinado evento en un rango determinado de resultados posibles. experimento aleatorio. El área de posibles resultados puede ser un intervalo de tiempo, un segmento, una superficie, etc.
• La probabilidad de un evento dado es la misma para todas las áreas de resultados posibles.
• La cantidad de eventos que ocurren en un área de posibles resultados es independiente de la cantidad de eventos que ocurren en otras áreas.
• La probabilidad de que en la misma área de posibles resultados este evento ocurre más de una vez, tiende a cero a medida que disminuye el rango de resultados posibles.

Para comprender mejor el significado del proceso de Poisson, supongamos que examinamos el número de clientes que visitan una sucursal bancaria ubicada en una zona central. Distrito de negocios, durante el almuerzo, es decir. de 12 a 13 horas. Suponga que desea determinar la cantidad de clientes que llegan en un minuto. ¿Tiene esta situación las características enumeradas anteriormente? Primero, el evento que nos interesa es la llegada de un cliente, y el rango de resultados posibles es un intervalo de un minuto. ¿Cuántos clientes acudirán al banco en un minuto: ninguno, uno, dos o más? En segundo lugar, es razonable suponer que la probabilidad de que un cliente llegue en un minuto es la misma en todos los intervalos de un minuto. En tercer lugar, la llegada de un cliente durante cualquier intervalo de un minuto es independiente de la llegada de cualquier otro cliente durante cualquier otro intervalo de un minuto. Y finalmente, la probabilidad de que más de un cliente acuda al banco tiende a cero si el intervalo de tiempo tiende a cero, por ejemplo, se vuelve inferior a 0,1 s. Entonces, la distribución de Poisson describe el número de clientes que vienen al banco durante el almuerzo en un minuto.

La distribución de Poisson tiene un parámetro, denotado por λ ( letra griega“lambda”) es el número promedio de ensayos exitosos en un área determinada de posibles resultados. La varianza de la distribución de Poisson también es λ y su desviación estándar es . Número de ensayos exitosos X La variable aleatoria de Poisson varía de 0 a infinito. La distribución de Poisson se describe mediante la fórmula:

Dónde P(X)- probabilidad X ensayos exitosos, λ - número esperado de éxitos, mi- base logaritmo natural igual a 2,71828, X- número de éxitos por unidad de tiempo.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que durante la pausa del almuerzo, una media de tres clientes por minuto llegan al banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes acudan al banco en un momento dado? ¿Cuál es la probabilidad de que acudan más de dos clientes al banco?

Apliquemos la fórmula (1) con el parámetro λ = 3. Entonces la probabilidad de que dos clientes acudan al banco en un minuto determinado es igual a

La probabilidad de que vengan más de dos clientes al banco es igual a P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞). Dado que la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, los términos de la serie en el lado derecho de la fórmula representan la probabilidad de suma al evento X ≤ 2. En otras palabras, la suma de esta serie es igual a 1 – P(X ≤ 2). Así, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Ahora, usando la fórmula (1), obtenemos:

Así, la probabilidad de que no más de dos clientes acudan al banco en un minuto es de 0,423 (o 42,3%), y la probabilidad de que más de dos clientes acudan al banco en un minuto es de 0,577 (o 57,7%).

Estos cálculos pueden parecer tediosos, especialmente si el parámetro λ es lo suficientemente grande. Para evitar cálculos complejos, muchas probabilidades de Poisson se pueden encontrar en tablas especiales (Fig. 1). Por ejemplo, la probabilidad de que dos clientes vengan al banco en un minuto determinado, si en promedio vienen al banco tres clientes por minuto, está en la intersección de la línea X= 2 y columna λ = 3. Por tanto, es igual a 0,2240 o 22,4%.

Arroz. 1. Probabilidad de Poisson en λ = 3

Ahora bien, es poco probable que alguien utilice tablas si tiene Excel a mano con su función =POISSON.DIST() (Fig. 2). Esta función tiene tres parámetros: número de pruebas exitosas X, número promedio esperado de ensayos exitosos λ, parámetro Integral, tomando dos valores: FALSO – en este caso se calcula la probabilidad del número de intentos exitosos X(solo X), VERDADERO: en este caso, la probabilidad del número de intentos exitosos de 0 a X.

Arroz. 2. Cálculo en probabilidades de excel Distribución de Poisson en λ = 3

Aproximación de la distribución binomial mediante la distribución de Poisson

si el numero norte es grande y el numero R- pequeña, la distribución binomial se puede aproximar utilizando la distribución de Poisson. Cómo numero mayor norte Y menos numero R, mayor será la precisión de la aproximación. Se utiliza el siguiente modelo de Poisson para aproximar la distribución binomial.

Dónde P(X)- probabilidad Xéxito con parámetros dados norte Y R, norte- tamaño de la muestra, R- verdadera probabilidad de éxito, mi- la base del logaritmo natural, X- número de éxitos en la muestra (X = 0, 1, 2,…, norte).

Teóricamente, una variable aleatoria con distribución de Poisson toma valores de 0 a ∞. Sin embargo, en situaciones donde se utiliza la distribución de Poisson para aproximar la distribución binomial, la variable aleatoria de Poisson es el número de éxitos entre norte observaciones - no puede exceder el número norte. De la fórmula (2) se deduce que a medida que aumenta el número norte y una disminución en el número R probabilidad de detección un gran número de La tasa de éxito disminuye y tiende a cero.

Como se mencionó anteriormente, la expectativa µ y la varianza σ 2 de la distribución de Poisson son iguales a λ. Por lo tanto, al aproximar la distribución binomial utilizando la distribución de Poisson, se debe utilizar la fórmula (3) para aproximar la expectativa matemática.

(3) µ = E(X) = λ =notario público.

Para aproximar la desviación estándar, se utiliza la fórmula (4).

Tenga en cuenta que la desviación estándar calculada con la fórmula (4) tiende a Desviación Estándar en el modelo binomial – cuando la probabilidad de éxito pag tiende a cero y, en consecuencia, la probabilidad de falla 1-pag tiende a la unidad.

Supongamos que el 8% de los neumáticos producidos en una determinada planta están defectuosos. Para ilustrar el uso de la distribución de Poisson para aproximar la distribución binomial, calculamos la probabilidad de encontrar una llanta defectuosa en una muestra de 20 llantas. Apliquemos la fórmula (2), obtenemos

Si tuviéramos que calcular la distribución binomial verdadera en lugar de su aproximación, obtendríamos el siguiente resultado:

Sin embargo, estos cálculos son bastante tediosos. Sin embargo, si utiliza Excel para calcular probabilidades, utilizar la aproximación de distribución de Poisson se vuelve redundante. En la Fig. La Figura 3 muestra que la complejidad de los cálculos en Excel es la misma. Sin embargo, esta sección, en mi opinión, es útil para comprender que bajo algunas condiciones la distribución binomial y la distribución de Poisson dan resultados similares.

Arroz. 3. Comparación de la complejidad de los cálculos en Excel: (a) distribución de Poisson; (b) distribución binomial

Entonces, en esta y dos notas anteriores, tres notas discretas distribuciones numéricas: y Poisson. Para comprender mejor cómo se relacionan estas distribuciones entre sí, presentamos un pequeño árbol de preguntas (Fig. 4).

Arroz. 4. Clasificación de distribuciones de probabilidad discretas.

Se utilizan materiales del libro Levin et al. – M.: Williams, 2004. – pág. 320–328