Solución. Designemos los eventos: A - "la pieza seleccionada es defectuosa", H i - "la pieza seleccionada se recibe del i-ésimo proveedor", i = 1, 2, 3 Hipótesis H 1, H 2, H 3 forma grupo completo No eventos conjuntos. Por condición
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Según la fórmula probabilidad total(1.11) la probabilidad del evento A es igual a
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
La probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa es 0.036.

Supongamos que en las condiciones del ejemplo anterior, el evento A ya ocurrió: la pieza seleccionada resultó defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del primer proveedor? La respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula de Bayes.
Comenzamos el análisis de probabilidades solo con valores preliminares, a priori, de las probabilidades de eventos. Luego se realizó un experimento (se seleccionó una parte) y recibimos Información adicional sobre el evento que nos interesa. Con esta nueva información, podemos refinar nuestras probabilidades anteriores. Los nuevos valores de las probabilidades de los mismos eventos ya serán probabilidades a posteriori (postexperimentales) de las hipótesis (Fig. 1.5).

Esquema de reevaluación de hipótesis.
Dejemos que el evento A se realice sólo junto con una de las hipótesis H 1 , H 2 , …, H n (un grupo completo de eventos incompatibles). Denotamos las probabilidades previas de las hipótesis como P(H i) y las probabilidades condicionales del evento A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Si el experimento ya se ha realizado y como resultado del mismo se ha producido el evento A, entonces las probabilidades posteriores de las hipótesis serán las probabilidades condicionales P(H i |A), i = 1, 2,…, n. En la notación del ejemplo anterior, P(H 1 |A) es la probabilidad de que la pieza seleccionada que resultó defectuosa se haya recibido del primer proveedor.
Nos interesa la probabilidad del evento H k |A Consideremos la ocurrencia conjunta de los eventos H k y A, es decir, el evento AH k. Su probabilidad se puede encontrar de dos maneras, usando las fórmulas de multiplicación (1.5) y (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Igualemos los lados derechos de estas fórmulas.
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

por tanto, la probabilidad posterior de la hipótesis H k es igual a

El denominador contiene la probabilidad total del evento A. Sustituyendo su valor en lugar de P(A) según la fórmula de probabilidad total (1.11), obtenemos:
(1.12)
La fórmula (1.12) se llama fórmula de bayes y se utiliza para reestimar las probabilidades de hipótesis.
En las condiciones del ejemplo anterior, encontraremos la probabilidad de que la pieza defectuosa haya sido recibida del primer proveedor. Pongamos las condiciones que conocemos en una tabla. probabilidades previas hipótesis P(H i) probabilidades condicionales P(A|H i) calculadas durante el proceso de solución probabilidades conjuntas P(AH i) = P(H i) P(A|H i) y probabilidades posteriores P(H k |A) calculadas usando la fórmula (1.12), i,k = 1, 2,…, n (Tabla 1.3) .

Tabla 1.3 - Reevaluación de hipótesis

Ejemplo No. 3. Hay tres urnas idénticas; la primera urna contiene dos bolas blancas y una negra; en el segundo, tres blancos y uno negro; en el tercero hay dos bolas blancas y dos negras. Para el experimento se elige al azar una urna y de ella se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que esta bola sea blanca.
Solución. Considere tres hipótesis: H 1 - se selecciona la primera urna, H 2 - se selecciona la segunda urna, H 3 - se selecciona la tercera urna y el evento A - se extrae bola blanca.
Dado que las hipótesis según las condiciones del problema son igualmente posibles, entonces

Las probabilidades condicionales del evento A bajo estas hipótesis son respectivamente iguales:
Según la fórmula de probabilidad total

Ejemplo No. 4. Hay 19 rifles en la pirámide, 3 de ellos con miras ópticas. Un tirador, disparando con un rifle con mira óptica, puede dar en el blanco con una probabilidad de 0,81, y disparando con un rifle sin mira óptica, con una probabilidad de 0,46. Encuentre la probabilidad de que un tirador dé en el blanco usando un rifle aleatorio.
Solución. Aquí la primera prueba es elegir un rifle al azar, la segunda es disparar al objetivo. Considere los siguientes eventos: A - el tirador da en el blanco; H 1: el tirador llevará un rifle con mira óptica; H 2: el tirador utilizará un rifle sin mira óptica. Usamos la fórmula de probabilidad total. Tenemos

Ejemplo No. 5. De una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 negras, se extraen dos bolas al azar y se añade 1 bola blanca a la urna. Calcula la probabilidad de que una bola elegida al azar sea blanca.
Solución. El evento “se extrae una bola blanca” lo denotamos como A. Evento H 1: se extraen dos bolas blancas al azar; H 2: se extrajeron al azar dos bolas negras; H 3: se extrajeron una bola blanca y una negra. Entonces las probabilidades de las hipótesis planteadas.

Ejemplo No. 6. Se disparan dos tiros al objetivo. La probabilidad de acertar en el primer disparo es 0,2, en el segundo, 0,6. La probabilidad de destrucción del objetivo con un impacto es de 0,3, con dos, de 0,9. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea destruido.
Solución. Dejemos que el evento A: el objetivo sea destruido. Para ello, basta con acertar con un disparo de cada dos o dar en el blanco con dos disparos seguidos sin fallar. Planteemos hipótesis: H 1: ambos disparos dieron en el blanco. Entonces P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2: ya sea la primera o la segunda vez que se falló. Entonces P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. La hipótesis H 3 (ambos disparos fueron fallidos) no se tiene en cuenta, ya que la probabilidad de destrucción del objetivo es cero. Entonces las probabilidades condicionales son respectivamente iguales: la probabilidad de destrucción del objetivo, siempre que se realicen ambos disparos exitosos, es P(A|H 1) = 0,9, y la probabilidad de destrucción del objetivo, siempre que solo se realice un disparo exitoso es P(A|H 2) = 0,3. Entonces la probabilidad de destrucción del objetivo según la fórmula de probabilidad total es igual.

En la práctica, a menudo es necesario determinar la probabilidad de que ocurra un evento de interés formando uno de los eventos un grupo completo. El siguiente teorema, que es consecuencia de los teoremas de probabilidad de la suma y la multiplicación, lleva a la conclusión fórmula importante para calcular la probabilidad de tales eventos. Esta fórmula se llama fórmula de probabilidad total.

Dejar h 1 , h 2 , … , h n es norteincompatibles por pares eventos formando un grupo completo:

1) todos los eventos son incompatibles por pares: Hola ∩ hj= ; i, j= 1,2, … , norte; ij;

2) su combinación forma el espacio resultados elementales W:

Estos eventos a veces se denominan hipótesis. Deja que el evento suceda A, que sólo puede ocurrir si uno de los eventos ocurre h i ( i = 1, 2, … , norte). Entonces el teorema es verdadero.

Objetivo del trabajo: Desarrollar habilidades para resolver problemas en teoría de probabilidad usando la fórmula de probabilidad total y la fórmula de Bayes.

Fórmula de probabilidad total

probabilidad de evento A, que puede ocurrir sólo si ocurre uno de los eventos incompatibles B x, B 2,..., B p, formar un grupo completo es igual a la suma de los productos de las probabilidades de cada uno de estos eventos por la correspondiente probabilidad condicional del evento A:

Esta fórmula se llama la fórmula de probabilidad total.

Probabilidad de hipótesis. fórmula de bayes

deja que el evento A puede ocurrir sujeto a la ocurrencia de uno de los eventos incompatibles V b 2 ,..., V n, formando un grupo completo. Como no se sabe de antemano cuál de estos eventos ocurrirá, se les llama hipótesis. Probabilidad de ocurrencia del evento A determinado por la fórmula de probabilidad total:

Supongamos que se realizó una prueba, como resultado de la cual ocurrió un evento. A. Es necesario determinar cómo cambian (debido al hecho de que el evento A ya ha llegado) la probabilidad de las hipótesis. Las probabilidades condicionales de hipótesis se encuentran usando la fórmula.

En esta fórmula, índice / = 1,2

Esta fórmula se llama fórmula de Bayes (llamada así por el matemático inglés que la derivó; publicada en 1764). La fórmula de Bayes nos permite reestimar las probabilidades de las hipótesis después de que se convierta en resultado conocido prueba que resultó en un evento A.

Tarea 1. La fábrica produce un determinado tipo de pieza, cada pieza tiene un defecto con una probabilidad de 0,05. La pieza es inspeccionada por un inspector; detecta un defecto con una probabilidad de 0,97, y si no se detecta ningún defecto, pasa la pieza por productos terminados. Además, el inspector puede rechazar por error una pieza que no tenga defecto; la probabilidad de que esto ocurra es 0,01. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: A - la pieza será rechazada; B - la pieza será rechazada, pero incorrectamente; C - la pieza pasará al producto terminado con un defecto.

Solución

Denotamos las hipótesis:

norte= (se enviará una pieza estándar para su inspección);

norte=(se enviará una pieza no estándar para su inspección).

Evento Una =(la pieza será rechazada).

De las condiciones del problema encontramos las probabilidades.

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Usando la fórmula de probabilidad total obtenemos

La probabilidad de que una pieza sea rechazada incorrectamente es

Encontremos la probabilidad de que una pieza se incluya en el producto terminado con un defecto:

Respuesta:

Tarea 2. Uno de los tres expertos en productos comprueba la calidad del producto. La probabilidad de que el producto llegue al primer comercializador es 0,25, al segundo 0,26 y al tercero 0,49. La probabilidad de que el producto sea reconocido como estándar por el primer comerciante es de 0,95, por el segundo - 0,98 y por el tercero - 0,97. Encuentre la probabilidad de que un segundo inspector revise un producto estándar.

Solución

Denotemos los eventos:

L =(el producto irá al/ésimo comercializador para su inspección); / = 1, 2, 3;

B =(el producto se considerará estándar).

Según las condiciones del problema, se conocen las probabilidades:

También se conocen probabilidades condicionales.

Utilizando la fórmula de Bayes, encontramos la probabilidad de que un segundo inspector revise un producto estándar:

Respuesta:“0,263.

Tarea 3. Dos máquinas producen piezas que van a un transportador común. La probabilidad de recibir una pieza no estándar en la primera máquina es de 0,06 y en la segunda, de 0,09. La productividad de la segunda máquina es el doble que la de la primera. Se sacó una pieza no estándar de la línea de montaje. Encuentre la probabilidad de que esta pieza haya sido producida por la segunda máquina.

Solución

Denotemos los eventos:

R. =(una parte extraída del transportador fue producida por la /ésima máquina); / = 1,2;

EN= (la pieza tomada no será estándar).

También se conocen probabilidades condicionales.

Usando la fórmula de probabilidad total encontramos

Usando la fórmula de Bayes, encontramos la probabilidad de que la pieza no estándar seleccionada haya sido producida por la segunda máquina:

Respuesta: 0,75.

Tarea 4. Se está probando un dispositivo que consta de dos unidades, cuya confiabilidad es de 0,8 y 0,9, respectivamente. Los nodos fallan independientemente unos de otros. El dispositivo falló. Teniendo esto en cuenta, encuentre la probabilidad de las hipótesis:

• a) sólo el primer nodo está defectuoso;
• b) sólo el segundo nodo está defectuoso;
• c) ambos nodos están defectuosos.

Solución

Denotemos los eventos:

D = (el séptimo nodo no fallará); i = 1,2;

D - eventos opuestos correspondientes;

A= (durante la prueba habrá una falla del dispositivo).

De las condiciones del problema obtenemos: P(D) = 0,8; R(L) 2) = 0,9.

Por la propiedad de las probabilidades de eventos opuestos.

Evento A igual a la suma de los productos eventos dependientes

Utilizando el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles y el teorema de la multiplicación de probabilidades eventos independientes, obtenemos

Ahora encontramos las probabilidades de las hipótesis:

Respuesta:

Tarea 5. En la fábrica, los pernos se producen en tres máquinas, que producen el 25%, el 30% y el 45% del número total de pernos, respectivamente. En los productos de máquina herramienta, los defectos son del 4%, 3% y 2%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un perno tomado al azar de un producto entrante sea defectuoso?

Solución

Denotemos los eventos:

4 = (se hizo un perno tomado al azar en la i-ésima máquina); i = 1, 2, 3;

EN= (un perno tomado al azar será defectuoso).

A partir de las condiciones del problema, utilizando la fórmula de probabilidad clásica, encontramos las probabilidades de las hipótesis:

Además, utilizando la fórmula de probabilidad clásica, encontramos probabilidades condicionales:

Usando la fórmula de probabilidad total encontramos

Respuesta: 0,028.

Tarea 6. El circuito electrónico pertenece a una de tres partes con probabilidades de 0,25; 0,5 y 0,25. La probabilidad de que el circuito funcione más allá de la vida útil de la garantía para cada lote es 0,1; 0,2 y 0,4. Encuentre la probabilidad de que un circuito elegido al azar funcione más allá de su período de garantía.

Solución

Denotemos los eventos:

4 = (diagrama tomado aleatoriamente de ª fiesta); yo = 1, 2, 3;

EN= (un circuito elegido al azar funcionará más allá del período de garantía).

Según las condiciones del problema se conocen las probabilidades de las hipótesis:

También se conocen probabilidades condicionales:

Usando la fórmula de probabilidad total encontramos

Respuesta: 0,225.

Tarea 7. El dispositivo contiene dos bloques, cuya capacidad de servicio es necesaria para el funcionamiento del dispositivo. Las probabilidades de funcionamiento sin fallos para estos bloques son 0,99 y 0,97, respectivamente. El dispositivo ha fallado. Determine la probabilidad de que ambas unidades fallaran.

Solución

Denotemos los eventos:

re = ( bloque z fallará); i = 1,2;

A= (el dispositivo fallará).

De las condiciones del problema, según la propiedad de las probabilidades de eventos opuestos, obtenemos: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Evento A ocurre sólo cuando al menos uno de los eventos D o Un 2. Por lo tanto este evento es igual a la suma de los eventos A= D + A 2 .

Por el teorema de la suma de probabilidades de eventos conjuntos obtenemos

Usando la fórmula de Bayes, encontramos la probabilidad de que el dispositivo falle debido al fallo de ambas unidades.

Respuesta:

Problemas para resolver de forma independiente. Tarea 1. En el almacén del estudio de televisión se encuentra el 70% de los tubos de imagen fabricados por la planta N° 1; los tubos de imagen restantes fueron fabricados por la planta No. 2. La probabilidad de que el tubo de imagen no falle durante la vida útil de la garantía es de 0,8 para los tubos de imagen de la fábrica No. 1 y de 0,7 para los tubos de imagen de la fábrica No. 2. El tubo de imagen Sobrevivió a la vida útil de la garantía. Encuentre la probabilidad de que haya sido fabricado por la planta No. 2.

Tarea 2. Las piezas se reciben para su montaje desde tres máquinas. Se sabe que la primera máquina produce un 0,3% de defectos, la segunda un 0,2% y la tercera un 0,4%. Encuentre la probabilidad de recibir una pieza defectuosa para el ensamblaje si se recibieron 1000 piezas de la primera máquina, 2000 de la segunda y 2500 de la tercera.

Tarea 3. Dos máquinas producen piezas idénticas. La probabilidad de que una pieza producida en la primera máquina sea estándar es de 0,8 y de 0,9 en la segunda. La productividad de la segunda máquina es tres veces mayor que la productividad de la primera. Encuentre la probabilidad de que una pieza tomada al azar de un transportador que recibe piezas de ambas máquinas sea estándar.

Tarea 4. El director de la empresa decidió utilizar los servicios de dos de las tres empresas de transporte. Las probabilidades de entrega tardía de la carga para la primera, segunda y tercera empresa son iguales a 0,05, respectivamente; 0,1 y 0,07. Después de comparar estos datos con los datos sobre la seguridad del transporte de carga, el gerente llegó a la conclusión de que la elección era equivalente y decidió hacerla por sorteo. Encuentre la probabilidad de que la carga enviada se entregue a tiempo.

Tarea 5. El dispositivo contiene dos bloques, cuya capacidad de servicio es necesaria para el funcionamiento del dispositivo. Las probabilidades de funcionamiento sin fallos para estos bloques son 0,99 y 0,97, respectivamente. El dispositivo ha fallado. Determine la probabilidad de que falló la segunda unidad.

Tarea 6. El taller de montaje recibe piezas de tres máquinas. La primera máquina produce un 3% de defectos, la segunda un 1% y la tercera un 2%. Determine la probabilidad de que una pieza no defectuosa ingrese al conjunto si se recibieron 500, 200, 300 piezas de cada máquina, respectivamente.

Tarea 7. El almacén recibe productos de tres empresas. Además, la producción de la primera empresa es del 20%, la de la segunda del 46% y la de la tercera del 34%. También se sabe que el porcentaje medio de productos no estándar para la primera empresa es del 5%, para la segunda del 2% y para la tercera del 1%. Encuentre la probabilidad de que un producto elegido al azar sea producido por una segunda empresa si resulta ser estándar.

Tarea 8. Defectos en productos de fábrica debido a un defecto. A es del 5%, y entre los rechazados con base en A Los productos son defectuosos en el 10% de los casos. r. Y en productos libres de defectos A, defecto R ocurre en el 1% de los casos. Encuentre la probabilidad de encontrar un defecto. R en todos los productos.

Tarea 9. La empresa cuenta con 10 coches nuevos y 5 viejos que anteriormente estaban en reparación. La probabilidad de funcionamiento correcto para un automóvil nuevo es de 0,94 y para uno viejo de 0,91. Encuentre la probabilidad de que un automóvil seleccionado al azar funcione correctamente.

Problema 10. Dos sensores envían señales a un canal de comunicación común; el primero envía el doble de señales que el segundo. La probabilidad de recibir una señal distorsionada del primer sensor es 0,01, del segundo, 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de recibir una señal distorsionada en canal general conexiones?

Problema 11. Hay cinco lotes de productos: tres lotes de 8 piezas, de las cuales 6 son estándar y 2 no estándar, y dos lotes de 10 piezas, de las cuales 7 son estándar y 3 no estándar. Se selecciona al azar uno de los lotes y se toma una parte de este lote. Determine la probabilidad de que la pieza elegida sea estándar.

Problema 12. El ensamblador recibe en promedio el 50% de las piezas de la primera planta, el 30% de la segunda planta y el 20% de la tercera planta. La probabilidad de que una parte de la primera planta sea de excelente calidad es de 0,7; para piezas de segunda y tercera fábrica, 0,8 y 0,9, respectivamente. La pieza tomada al azar resultó ser de excelente calidad. Encuentre la probabilidad de que la pieza haya sido fabricada por la primera planta.

Problema 13. La inspección aduanera de los vehículos la llevan a cabo dos inspectores. De media, de 100 coches, 45 pasan por el primer inspector. La probabilidad de que durante la inspección un automóvil correspondiente Regulaciones aduanales, no será detenido, es de 0,95 para el primer inspector y de 0,85 para el segundo. Encuentre la probabilidad de que un automóvil que cumple con las normas aduaneras no sea retenido.

Problema 14. Las piezas necesarias para montar el dispositivo proceden de dos máquinas cuyo rendimiento es el mismo. Calcule la probabilidad de recibir una pieza estándar para su ensamblaje si una de las máquinas viola en promedio un 3% de la norma y la segunda un 2%.

Problema 15. El entrenador de levantamiento de pesas calculó que para recibir puntos de equipo en una determinada categoría de peso, un atleta debe empujar una barra de 200 kg. Ivanov, Petrov y Sidorov compiten por un lugar en el equipo. Durante el entrenamiento, Ivanov intentó levantar ese peso en 7 casos y lo levantó en 3 de ellos. Petrov levantó en 6 de 13 casos, y Sidorov tiene un 35% de posibilidades de levantar con éxito la barra. El entrenador selecciona al azar un atleta para el equipo.

• a) Encuentre la probabilidad de que el atleta seleccionado aporte puntos al equipo.
• b) El equipo no recibió ningún punto. Encuentre la probabilidad de que Sidorov actuara.

Problema 16. Hay 12 bolas rojas y 6 azules en una caja blanca. En negro hay 15 bolas rojas y 10 azules. Lanzar un dado. Si el número de puntos es múltiplo de 3, se saca una bola al azar de la caja blanca. Si se obtiene cualquier otro número de puntos, se toma una bola al azar de la caja negra. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca una bola roja?

Problema 17. Dos cajas contienen tubos de radio. La primera caja contiene 12 lámparas, 1 de las cuales no es estándar; en el segundo hay 10 lámparas, de las cuales 1 no es estándar. Se toma al azar una lámpara de la primera caja y se coloca en la segunda. Encuentre la probabilidad de que una lámpara extraída al azar de la segunda caja no sea estándar.

Problema 18. Se deja caer una bola blanca en una urna que contiene dos bolas, después de lo cual se extrae una bola al azar. Encuentre la probabilidad de que la bola extraída sea blanca si todas las suposiciones posibles sobre la composición inicial de las bolas (según el color) son igualmente posibles.

Problema 19. Se arroja una pieza estándar en una caja que contiene 3 piezas idénticas y luego se retira una pieza al azar. Encuentre la probabilidad de que se retire una pieza estándar si todas las conjeturas posibles sobre el número de piezas estándar originalmente en la caja son igualmente probables.

Problema 20. Para mejorar la calidad de las comunicaciones por radio, se utilizan dos receptores de radio. La probabilidad de que cada receptor reciba una señal es 0,8 y estos eventos (recepción de señal por parte del receptor) son independientes. Determine la probabilidad de recepción de la señal si la probabilidad de funcionamiento sin fallas durante una sesión de comunicación por radio para cada receptor es 0,9.

Fórmula de probabilidad total y fórmulas de Bayes

En Esta lección consideraremos consecuencia importante teoremas de probabilidades de suma y multiplicación y aprende a resolver tareas tipicas sobre este tema. Lectores que hayan leído el artículo sobre eventos dependientes, será más sencillo, ya que en él ya hemos comenzado a utilizar la fórmula de probabilidad total. Si viniste de un buscador y/o no entiendes teoría de probabilidad (enlace a la 1ª lección del curso), entonces recomiendo visitar estas páginas primero.

En realidad, sigamos. Consideremos evento dependiente, que sólo puede ocurrir como resultado de la implementación de uno de los incompatibles hipótesis , cual forma grupo completo. Conozcamos sus probabilidades y las correspondientes probabilidades condicionales. Entonces la probabilidad de que ocurra el evento es:

Esta fórmula se llama fórmulas de probabilidad total. En los libros de texto se formula como un teorema, cuya demostración es elemental: según álgebra de eventos, (ocurrió un evento Y o ocurrió un evento Y después vino un evento o ocurrió un evento Y después vino un evento o …. o ocurrió un evento Y después vino un evento). Desde hipótesis son incompatibles y el evento es dependiente, entonces de acuerdo el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles (primer paso) Y teorema de multiplicación de probabilidades de eventos dependientes (segundo paso):

Probablemente mucha gente anticipe el contenido del primer ejemplo =)

Dondequiera que escupes, hay una urna:

Problema 1

Hay tres urnas idénticas. La primera urna contiene 4 bolas blancas y 7 negras, la segunda sólo bolas blancas y la tercera sólo bolas negras. Se selecciona una urna al azar y de ella se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea negra?

Solución: considere el evento: se extraerá una bola negra de una urna elegida al azar. Este evento puede ocurrir como resultado de una de las siguientes hipótesis:
- se seleccionará la 1.ª urna;
- se seleccionará la 2ª urna;
- Se seleccionará la 3ª urna.

Dado que la urna se elige al azar, la elección de cualquiera de las tres urnas igualmente posible, por eso:

Tenga en cuenta que las hipótesis anteriores forman grupo completo de eventos, es decir, según la condición, una bola negra sólo puede salir de estas urnas y, por ejemplo, no puede provenir de una mesa de billar. Hagamos una comprobación intermedia sencilla:
Bueno, sigamos adelante:

La primera urna contiene 4 blancas + 7 negras = 11 bolas, cada una. definición clásica:
- probabilidad de sacar una bola negra dado que, que se seleccionará la primera urna.

La segunda urna contiene sólo bolas blancas, por lo que si es elegido la apariencia de la bola negra se vuelve imposible: .

Y finalmente, la tercera urna contiene sólo bolas negras, lo que significa que las correspondientes la probabilidad condicional extraer la bola negra será (el evento es confiable).

- la probabilidad de que se extraiga una bola negra de una urna elegida al azar.

Respuesta:

El ejemplo analizado sugiere nuevamente lo importante que es profundizar en la CONDICIÓN. Tomemos los mismos problemas con urnas y bolas: a pesar de su similitud externa, los métodos de solución pueden ser completamente diferentes: en algún lugar solo es necesario usar definición clásica de probabilidad, en algún lugar eventos independiente, en algún lugar dependiente, y en algún lugar estamos hablando de hipótesis. Al mismo tiempo, no existe un criterio formal claro para elegir una solución; casi siempre es necesario pensar en ello. ¿Cómo mejorar tus habilidades? ¡Decidimos, decidimos y volvemos a decidir!

Problema 2

El campo de tiro cuenta con 5 rifles de diferente precisión. Las probabilidades de dar en el blanco para un tirador determinado son respectivamente iguales y 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si el tirador dispara un tiro con un rifle seleccionado al azar?

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

En la mayoría tareas temáticas Las hipótesis, por supuesto, no son igualmente probables:

Problema 3

Hay 5 rifles en la pirámide, tres de los cuales están equipados con miras ópticas. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco al disparar un rifle con mira telescópica es de 0,95; para un rifle sin mira óptica, esta probabilidad es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado si el tirador dispara un tiro con un rifle tomado al azar.

Solución: en este problema el número de rifles es exactamente el mismo que en el anterior, pero sólo hay dos hipótesis:
- el tirador seleccionará un rifle con mira óptica;
- el tirador seleccionará un rifle sin mira óptica.
Por definición clásica de probabilidad: .
Control:

Considere el evento: - un tirador da en el blanco con un rifle tomado al azar.
Por condición: .

Según la fórmula de probabilidad total:

Respuesta: 0,85

En la práctica, una forma abreviada de formatear una tarea, con la que también está familiarizado, es bastante aceptable:

Solución: Por definición clásica: - la probabilidad de elegir un rifle con mira óptica y sin mira óptica, respectivamente.

Por condición, - la probabilidad de dar en el blanco con los tipos correspondientes de rifles.

Según la fórmula de probabilidad total:
- la probabilidad de que un tirador acierte en el blanco con un rifle seleccionado al azar.

Respuesta: 0,85

La siguiente tarea la debes resolver tú solo:

Problema 4

El motor funciona en tres modos: normal, forzado e inactivo. En modo inactivo, la probabilidad de falla es 0,05, en modo de funcionamiento normal - 0,1 y en modo forzado - 0,7. El 70% del tiempo el motor funciona en modo normal y el 20% en modo forzado. ¿Cuál es la probabilidad de falla del motor durante la operación?

Por si acaso, déjame recordarte que para obtener los valores de probabilidad hay que dividir los porcentajes entre 100. ¡Mucho cuidado! Según mis observaciones, la gente a menudo intenta confundir las condiciones de los problemas que involucran la fórmula de probabilidad total; y elegí específicamente este ejemplo. Te contaré un secreto, casi me confundo =)

Solución al final de la lección (formateada de forma breve)

Problemas al utilizar las fórmulas de Bayes

El material está estrechamente relacionado con el contenido del párrafo anterior. Deje que el evento ocurra como resultado de la implementación de una de las hipótesis. . ¿Cómo determinar la probabilidad de que ocurriera una hipótesis particular?

Dado que ese evento ya ha sucedido, probabilidades de hipótesis sobrevalorado según las fórmulas que recibieron el nombre del sacerdote inglés Thomas Bayes:

- la probabilidad de que se cumpliera la hipótesis;
- la probabilidad de que se cumpliera la hipótesis;
…
- la probabilidad de que se cumpliera la hipótesis.

A primera vista parece completamente absurdo: ¿por qué recalcular las probabilidades de las hipótesis si ya se conocen? Pero en realidad hay una diferencia:

Este a priori(estimado antes pruebas) probabilidad.

Este posteriormente(estimado después pruebas) probabilidades de las mismas hipótesis, recalculadas en relación con "circunstancias recién descubiertas", teniendo en cuenta el hecho de que el evento definitivamente sucedió.

Veamos esta diferencia con un ejemplo específico:

Problema 5

Llegaron al almacén 2 lotes de productos: el primero - 4000 piezas, el segundo - 6000 piezas. El porcentaje medio de productos no estándar en el primer lote es del 20% y en el segundo, del 10%. El producto sacado del almacén al azar resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que sea: a) del primer lote, b) del segundo lote.

Primera parte soluciones consiste en utilizar la fórmula de probabilidad total. En otras palabras, los cálculos se llevan a cabo bajo el supuesto de que la prueba aún no producido y evento “el producto resultó ser estándar” aún no.

Consideremos dos hipótesis:
- un producto elegido al azar pertenecerá al 1er lote;
- un producto tomado al azar será del 2º lote.

Total: 4000 + 6000 = 10000 artículos en stock. Según la definición clásica:
.

Control:

Consideremos el evento dependiente: - un producto tomado al azar del almacén será estándar.

En el primer lote 100% - 20% = 80% productos estándar, por lo tanto: dado que que pertenece a la 1ª parte.

De manera similar, en el segundo lote 100% - 10% = 90% de los productos estándar y - la probabilidad de que un producto tomado al azar de un almacén sea estándar dado que que pertenece a la segunda parte.

Según la fórmula de probabilidad total:
- la probabilidad de que un producto tomado al azar de un almacén sea estándar.

La segunda parte. Dejemos que un producto tomado al azar de un almacén resulte ser estándar. Esta frase se establece directamente en la condición y establece el hecho de que el evento sucedió.

Según fórmulas de Bayes:

a) - la probabilidad de que el producto estándar seleccionado pertenezca al 1er lote;

b) - la probabilidad de que el producto estándar seleccionado pertenezca al segundo lote.

Después revalorización Las hipótesis, por supuesto, todavía se forman. grupo completo:
(examen;-))

Respuesta:

Ivan Vasilyevich, quien nuevamente cambió de profesión y se convirtió en director de la planta, nos ayudará a comprender el significado de la reevaluación de hipótesis. Sabe que hoy el primer taller envió 4.000 productos al almacén y el segundo taller, 6.000 productos, y viene a comprobarlo. Supongamos que todos los productos son del mismo tipo y están en el mismo contenedor. Naturalmente, Ivan Vasilyevich calculó preliminarmente que el producto que ahora retiraría para su inspección probablemente sería producido por el primer taller y probablemente por el segundo. Pero cuando el producto elegido resulta ser estándar, exclama: “¡Qué perno tan genial! "Más bien fue lanzado por el segundo taller". Por lo tanto, la probabilidad de la segunda hipótesis está sobreestimada por mejor lado, y se subestima la probabilidad de la primera hipótesis: . Y esta revalorización no es infundada: después de todo, el segundo taller no sólo produjo más productos, ¡sino que también funcionó 2 veces mejor!

¿Puro subjetivismo, dices? En parte -sí, además, el propio Bayes interpretó posteriormente probabilidades como nivel de confianza. Sin embargo, no todo es tan sencillo: el enfoque bayesiano también tiene una esencia objetiva. Después de todo, la probabilidad de que el producto sea estándar (0,8 y 0,9 para el 1º y 2º taller, respectivamente) Este preliminar(a priori) y promedio evaluaciones. Pero, hablando filosóficamente, todo fluye, todo cambia, incluidas las probabilidades. Es muy posible que en el momento del estudio El segundo taller más exitoso aumentó el porcentaje de producción de productos estándar. (y/o el 1er taller reducido), y si marca gran cantidad o los 10 mil productos están en stock, entonces los valores sobreestimados estarán mucho más cerca de la verdad.

Por cierto, si Ivan Vasilyevich extrae una pieza no estándar, por el contrario, "sospechará" más del primer taller y menos del segundo. Te sugiero que compruebes esto por ti mismo:

Problema 6

Llegaron al almacén 2 lotes de productos: el primero - 4000 piezas, el segundo - 6000 piezas. El porcentaje medio de productos no estándar en el primer lote es del 20%, en el segundo, del 10%. El producto sacado del almacén al azar resultó ser No estándar. Encuentre la probabilidad de que sea: a) del primer lote, b) del segundo lote.

La condición se distingue por dos letras, que he resaltado en negrita. El problema se puede resolver con " borrón y cuenta nueva", o utilizar los resultados de cálculos anteriores. En la muestra que realicé solución completa, pero para que no haya una superposición formal con la Tarea No. 5, el evento “un producto tomado al azar de un almacén no será estándar” indicado por .

El esquema bayesiano para reestimar probabilidades se encuentra en todas partes y también es explotado activamente por varios tipos de estafadores. Consideremos una sociedad anónima de tres letras que se ha convertido en un nombre muy conocido, que atrae depósitos del público, supuestamente los invierte en alguna parte, paga dividendos regularmente, etc. ¿Lo que está sucediendo? Pasan día tras día, mes tras mes, y cada vez hay más datos nuevos, transmitidos a través de la publicidad y el boca a boca, que sólo aumentan el nivel de confianza en pirámide financiera (¡Reestimación bayesiana posteriori debido a eventos pasados!). Es decir, a los ojos de los inversores hay un aumento constante en la probabilidad de que “esta es una empresa seria”; mientras que la probabilidad de la hipótesis opuesta (“estos son simplemente más estafadores”), por supuesto, disminuye y disminuye. Lo que sigue, creo, está claro. Es de destacar que la reputación ganada les da tiempo a los organizadores para esconderse con éxito de Ivan Vasilyevich, quien se quedó no solo sin un lote de tornillos, sino también sin pantalones.

Volveremos a ejemplos igualmente interesantes un poco más adelante, pero por ahora el siguiente paso es quizás el caso más común con tres hipótesis:

Problema 7

Las lámparas eléctricas se fabrican en tres fábricas. La 1ª planta produce el 30% numero total lámparas, 2º - 55% y 3º - el resto. Los productos de la primera planta contienen un 1% de lámparas defectuosas, la segunda - un 1,5% y la tercera - un 2%. La tienda recibe productos de las tres fábricas. La lámpara comprada resultó defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la planta 2?

Tenga en cuenta que en problemas con fórmulas de Bayes en la condición Necesariamente hay un cierto qué sucedió evento, en en este caso- comprando una lámpara.

Los acontecimientos han aumentado y solución Es más conveniente organizarlo en un estilo "rápido".

El algoritmo es exactamente el mismo: en el primer paso encontramos la probabilidad de que la lámpara comprada resulte defectuosa.

Usando los datos iniciales, convertimos porcentajes en probabilidades:
- la probabilidad de que la lámpara haya sido producida en la primera, segunda y tercera fábrica, respectivamente.
Control:

Asimismo: - la probabilidad de producir una lámpara defectuosa para las fábricas correspondientes.

Según la fórmula de probabilidad total:

- la probabilidad de que la lámpara comprada esté defectuosa.

Segundo paso. Dejar que la lámpara comprada resulte defectuosa (ocurrió el evento)

Según la fórmula de Bayes:
- la probabilidad de que la lámpara defectuosa comprada haya sido fabricada por una segunda planta

Respuesta:

¿Por qué aumentó la probabilidad inicial de la segunda hipótesis después de la revaluación? Después de todo, la segunda planta produce lámparas de calidad media (la primera es mejor, la tercera es peor). Entonces ¿por qué aumentó? posteriormente¿Es posible que la lámpara defectuosa sea de la 2ª planta? Esto ya no se explica por la “reputación”, sino por el tamaño. Dado que la planta No. 2 produjo la mayor cantidad un gran número de lámparas (más de la mitad), entonces el carácter al menos subjetivo de la sobreestimación es lógico (“Lo más probable es que esta lámpara defectuosa sea de allí”).

Es interesante observar que las probabilidades de la primera y tercera hipótesis se sobreestimaron en las direcciones esperadas y se igualaron:

Control: , que era lo que había que comprobar.

Por cierto, sobre estimaciones subestimadas y sobreestimadas:

Problema 8

EN grupo de estudiantes 3 personas tienen nivel alto formación, 19 personas - media y 3 - baja. Probabilidades completar con exito examen para estos estudiantes son respectivamente iguales a: 0,95; 0,7 y 0,4. Se sabe que algún alumno aprobó el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) estaba muy bien preparado;
b) estaba moderadamente preparado;
c) estaba mal preparado.

Realizar cálculos y analizar los resultados de reevaluar las hipótesis.

La tarea se acerca a la realidad y es especialmente plausible para un grupo de estudiantes a tiempo parcial, donde el profesor prácticamente no tiene conocimiento de las habilidades de un estudiante en particular. En este caso, el resultado puede tener consecuencias bastante inesperadas. (especialmente para exámenes del 1er semestre). Si un estudiante mal preparado tiene la suerte de conseguir una entrada, es probable que el profesor lo considere un buen estudiante o incluso estudiante fuerte, que traerá buenos dividendos en el futuro (por supuesto, necesitas “elevar el listón” y mantener tu imagen). Si un estudiante estudió, abarrotó y repitió durante 7 días y 7 noches, pero simplemente no tuvo suerte, entonces más eventos puede desarrollarse de la peor manera posible: con numerosos mulligans y estando al borde de la eliminación.

No hace falta decir que la reputación es el capital más importante; no es casualidad que muchas corporaciones lleven el nombre de sus padres fundadores, quienes dirigieron el negocio hace 100 o 200 años y se hicieron famosos por su impecable reputación.

Sí, enfoque bayesiano en hasta cierto punto subjetivo, pero... ¡así es como funciona la vida!

Consolidemos el material con un ejemplo industrial final, en el que hablaré de las complejidades técnicas de la solución hasta ahora desconocidas:

Problema 9

Tres talleres de la planta producen el mismo tipo de piezas, que se envían a un contenedor común para su montaje. Se sabe que el primer taller produce 2 veces. más detalles que el segundo taller, y 4 veces más que el tercer taller. En el primer taller la tasa de defectos es del 12%, en el segundo del 8% y en el tercero del 4%. Para el control se saca una parte del recipiente. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza defectuosa extraída haya sido producida por el tercer taller?

Ivan Vasilyevich vuelve a montar a caballo =) La película debe tener un final feliz =)

Solución: a diferencia de los problemas 5 a 8, aquí se plantea explícitamente una pregunta que se resuelve utilizando la fórmula de probabilidad total. Pero, por otro lado, la condición está un poco "encriptada", y la habilidad escolar de componer ecuaciones simples nos ayudará a resolver este enigma. Es conveniente tomar el valor más pequeño como “x”:

Sea la proporción de piezas producidas por el tercer taller.

Según la condición, el primer taller produce 4 veces más que el tercer taller, por lo que la participación del primer taller es .

Además, el primer taller produce 2 veces más productos que el segundo taller, lo que significa la participación de este último: .

Creemos y resolvamos la ecuación:

Así: - la probabilidad de que la pieza extraída del contenedor haya sido producida en el 1º, 2º y 3º taller, respectivamente.

Control: . Además, no estaría de más volver a mirar la frase. “Se sabe que el primer taller produce productos 2 veces mas que el segundo taller y 4 veces más grande que el tercer taller" y asegúrese de que los valores de probabilidad obtenidos realmente correspondan a esta condición.

Inicialmente, se podría tomar la proporción del primer taller o la del segundo como “X”; las probabilidades serían las mismas. Pero, de una forma u otra, la parte más difícil ya ha sido superada y la solución va por buen camino:

De la condición encontramos:
- la probabilidad de fabricar una pieza defectuosa para los talleres correspondientes.

Según la fórmula de probabilidad total:
- la probabilidad de que una pieza extraída aleatoriamente de un contenedor resulte no estándar.

Segunda pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que la pieza defectuosa extraída haya sido producida por el tercer taller? Esta pregunta Se supone que la pieza ya ha sido retirada y resultó estar defectuosa. Reevaluamos la hipótesis utilizando la fórmula de Bayes:
- la probabilidad deseada. Totalmente esperado: al fin y al cabo, el tercer taller no sólo produce la menor proporción de piezas, sino que también es líder en calidad.

Compilado por el profesor del departamento. Matemáticas avanzadas Ishchanov T.R. Lección número 4. Fórmula de probabilidad total. Probabilidad de hipótesis. Fórmulas de Bayes.

Material teórico
Fórmula de probabilidad total
Teorema. La probabilidad del evento A, que puede ocurrir sólo si ocurre uno de los eventos incompatibles que forman un grupo completo, es igual a la suma de los productos de las probabilidades de cada uno de estos eventos por la correspondiente probabilidad condicional del evento A:

.
Esta fórmula se llama "fórmula de probabilidad total".

Prueba. Según la condición, el evento A puede ocurrir si ocurre uno de los eventos incompatibles. En otras palabras, la ocurrencia del evento A significa la ocurrencia de uno, sin importar cuál, de los eventos incompatibles. Usando el teorema de la suma para calcular la probabilidad del evento A, obtenemos
. (*)
Queda por calcular cada uno de los términos. Por el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos dependientes tenemos
.
Sustituyendo los lados derechos de estas igualdades en la relación (*), obtenemos la fórmula para la probabilidad total

Ejemplo 1. Hay dos conjuntos de piezas. La probabilidad de que la parte del primer conjunto sea estándar es 0,8 y la del segundo es 0,9. Encuentre la probabilidad de que una pieza tomada al azar (de un conjunto tomado al azar) sea estándar.
Solución. Denotemos por A el evento "la parte extraída es estándar".
La pieza se puede recuperar del primer conjunto (evento) o del segundo (evento).
La probabilidad de que se tome una parte del primer conjunto es .
La probabilidad de que se tome una parte del segundo conjunto es .
La probabilidad condicional que se extraerá una pieza estándar del primer juego, .
Probabilidad condicional de que se extraiga una pieza estándar del segundo conjunto .
La probabilidad requerida de que una pieza extraída al azar sea estándar, según la fórmula de probabilidad total, es igual a

Ejemplo 2. La primera caja contiene 20 tubos de radio, de los cuales 18 son estándar; en la segunda caja hay 10 lámparas, de las cuales 9 son estándar. Se toma al azar una lámpara de la segunda caja y se coloca en la primera. Encuentre la probabilidad de que una lámpara extraída al azar de la primera caja sea estándar.
Solución. Denotemos por A el evento "se retira una lámpara estándar de la primera caja".
Desde el segundo cuadro, se podría quitar una lámpara estándar (evento) o una lámpara no estándar (evento).
La probabilidad de que se retire una lámpara estándar de la segunda caja es .
La probabilidad de que se haya retirado una lámpara no estándar de la segunda caja es
La probabilidad condicional de que se retire una lámpara estándar de la primera caja, siempre que se transfiera una lámpara estándar de la segunda caja a la primera, es igual a .
La probabilidad condicional de que se retire una lámpara estándar de la primera caja, siempre que se transfiera una lámpara no estándar de la segunda caja a la primera, es igual a .
La probabilidad requerida de que se retire una lámpara estándar de la primera caja, según la fórmula de probabilidad total, es igual a

Probabilidad de hipótesis. Fórmulas de Bayes

Supongamos que el evento A puede ocurrir sujeto a la ocurrencia de uno de los eventos incompatibles que forman un grupo completo. Como no se sabe de antemano cuál de estos eventos ocurrirá, se les llama hipótesis. La probabilidad de que ocurra el evento A está determinada por la fórmula de probabilidad total:

Supongamos que se realizó una prueba, como resultado de la cual apareció el evento A. Fijemos nuestra tarea para determinar cómo han cambiado las probabilidades de las hipótesis (debido al hecho de que el evento A ya ocurrió). En otras palabras, buscaremos probabilidades condicionales.

Primero encontremos la probabilidad condicional. Por el teorema de la multiplicación tenemos

.

Reemplazando P(A) aquí usando la fórmula (*), obtenemos

De manera similar, se derivan fórmulas que determinan las probabilidades condicionales de las hipótesis restantes, es decir, la probabilidad condicional de cualquier hipótesis se puede calcular usando la fórmula

Las fórmulas resultantes se llaman Fórmulas de Bayes(llamado así por el matemático inglés que los derivó; publicado en 1764). Las fórmulas de Bayes nos permiten reestimar las probabilidades de las hipótesis después de que se conoce el resultado de la prueba que resultó en el evento A.

Ejemplo. Las piezas producidas en el taller de la fábrica se envían a uno de dos inspectores para comprobar su calidad. La probabilidad de que la pieza llegue al primer inspector es de 0,6 y al segundo, de 0,4. La probabilidad de que el primer inspector reconozca una pieza adecuada como estándar es de 0,94 y la del segundo, de 0,98. Tras la inspección se encontró que la pieza válida era estándar. Encuentre la probabilidad de que el primer inspector revisara esta pieza.
Solución. Denotemos por A el evento en el que una pieza adecuada se reconoce como estándar. Se pueden hacer dos suposiciones:
1) la pieza fue comprobada por el primer inspector (hipótesis);
2) la pieza fue comprobada por el segundo inspector (hipótesis). Encontramos la probabilidad deseada de que la pieza haya sido revisada por el primer inspector usando la fórmula de Bayes:

Según las condiciones del problema tenemos:
(probabilidad de que la pieza llegue al primer inspector);
(probabilidad de que la pieza llegue al segundo inspector);
(la probabilidad de que el primer inspector reconozca una pieza adecuada como estándar);
(la probabilidad de que el segundo inspector reconozca una pieza adecuada como estándar).
Probabilidad requerida

Como puede ver, antes de la prueba la probabilidad de la hipótesis era 0,6, después de conocerse el resultado de la prueba, la probabilidad de esta hipótesis (más precisamente, la probabilidad condicional) cambió y pasó a ser igual a 0,59. Así, el uso de la fórmula de Bayes permitió sobreestimar la probabilidad de la hipótesis considerada.

Material práctico.
1. (4) La ensambladora recibió 3 cajas de piezas fabricadas por la Planta No. 1 y 2 cajas de piezas fabricadas por la Planta No. 2. La probabilidad de que una pieza de la Planta No. 1 sea estándar es 0.8, y de la Planta No. 2 es 0.9, el ensamblador sacó al azar la pieza de una caja elegida al azar. Encuentre la probabilidad de que se elimine una pieza estándar.
Reps. 0,84.
2. (5) La primera caja contiene 20 piezas, de las cuales 15 son estándar; en el segundo hay 30 piezas, de las cuales 24 son estándar; en el tercero hay 10 piezas, de las cuales 6 son estándar. Encuentre la probabilidad de que una pieza tomada al azar de una caja tomada al azar sea estándar.
Reps. 43/60.
3. (6) Hay 4 cinescopios en el estudio de televisión. Las probabilidades de que el cinescopio resista la vida útil de la garantía son respectivamente iguales a 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Encuentre la probabilidad de que un cinescopio tomado al azar resista el período de garantía.
Reps. 0,875.
4. (3) El grupo de deportistas está formado por 20 esquiadores, 6 ciclistas y 4 corredores. La probabilidad de cumplir con el estándar de calificación es la siguiente: para un esquiador - 0,9, para un ciclista - 0,8. y para el corredor - 0,75. Encuentre la probabilidad de que un atleta elegido al azar cumpla la norma.
Reps. 0,86.
5. (C) Hay 12 bolas rojas y 6 azules en una caja blanca. En negro hay 15 bolas rojas y 10 azules. Lanzar un dado. Si el número de puntos es múltiplo de 3, se saca una bola al azar de la caja blanca. Si se obtiene cualquier otro número de puntos, se toma una bola al azar de la caja negra. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca una bola roja?
Solución:
Son posibles dos hipótesis:
– al lanzar un dado aparecerá el número de puntos que es múltiplo de 3, es decir o 3 o 6;
– al lanzar los dados aparecerá un número diferente de puntos, es decir o 1 o 2 o 4 o 5.
Según la definición clásica, las probabilidades de hipótesis son iguales a:

Dado que las hipótesis constituyen un grupo completo de eventos, se debe satisfacer la igualdad.

Supongamos que el evento A consiste en la aparición de una bola roja. Las probabilidades condicionales de este evento dependen de qué hipótesis se realizó y, en consecuencia, son:

Entonces, según la fórmula de probabilidad total, la probabilidad del evento A será igual a:

6. (7) Dos cajas contienen tubos de radio. La primera caja contiene 12 lámparas, 1 de las cuales no es estándar; en el segundo hay 10 lámparas, de las cuales 1 no es estándar. Se toma al azar una lámpara de la primera caja y se coloca en la segunda. Encuentre la probabilidad de que una lámpara extraída al azar de la segunda caja no sea estándar.
Reps. 13/132.

7. (89 D) Se deja caer una bola blanca en una urna que contiene dos bolas, después de lo cual se extrae una al azar. Encuentre la probabilidad de que la bola extraída sea blanca si todas las suposiciones posibles sobre la composición inicial de las bolas (según el color) son igualmente posibles.
Solución. Denotemos con A el evento: se extrae una bola blanca. Son posibles las siguientes suposiciones (hipótesis) sobre la composición inicial de las bolas: - ninguna bola blanca, - una bola blanca, - dos bolas blancas.
Dado que hay tres hipótesis en total, y según la condición son igualmente probables, y la suma de las probabilidades de las hipótesis es igual a uno (ya que forman un grupo completo de eventos), entonces la probabilidad de cada una de las hipótesis es igual a 1/3, es decir .
La probabilidad condicional de que se extraiga una bola blanca, dado que inicialmente no había bolas blancas en la urna, .
La probabilidad condicional de que se extraiga una bola blanca, dado que inicialmente había una bola blanca en la urna, .
La probabilidad condicional de que se extraiga una bola blanca dado que inicialmente había dos bolas blancas en la urna.
Encontramos la probabilidad requerida de que se extraiga una bola blanca usando la fórmula de probabilidad total:

8. (10) Se arroja una pieza estándar en una caja que contiene 3 piezas idénticas y luego se extrae una pieza al azar. Encuentre la probabilidad de que se retire una pieza estándar si todas las conjeturas posibles sobre el número de piezas estándar originalmente en la caja son igualmente probables.
Reps. 0,625.

9. (6.5.2L) Para mejorar la calidad de las comunicaciones por radio, se utilizan dos receptores de radio. La probabilidad de que cada receptor reciba una señal es 0,8 y estos eventos (recepción de señal por parte del receptor) son independientes. Determine la probabilidad de recepción de la señal si la probabilidad de funcionamiento sin fallas durante una sesión de comunicación por radio para cada receptor es 0,9.
Solución.
Sea el evento A = (se recibirá la señal). Consideremos cuatro hipótesis:

=(el primer receptor funciona, el segundo no);

=(el segundo funciona, el primero no);

=(ambos receptores están funcionando);

=(ambos receptores no funcionan).

El evento A sólo puede ocurrir bajo una de estas hipótesis. Encontremos la probabilidad de estas hipótesis considerando los siguientes eventos:

=(el primer receptor está funcionando),

=(el segundo receptor está funcionando).

Control:

.

Las probabilidades condicionales son respectivamente iguales a:

;

;

Ahora, usando la fórmula de probabilidad total, encontramos la probabilidad deseada

10. (11) Si la máquina se desvía del modo de funcionamiento normal, la alarma C-1 se activa con una probabilidad de 0,8 y la alarma C-11 se activa con una probabilidad de 1. Las probabilidades de que la máquina esté equipada con un C La alarma -1 o C-11 son respectivamente iguales a 0, 6 y 0,4. Se ha recibido una señal para cortar la ametralladora. ¿Qué es más probable: que la máquina esté equipada con un dispositivo de señalización S-1 o S-11?
Reps. La probabilidad de que la máquina esté equipada con un dispositivo de señalización S-1 es 6/11 y S-11 es 5/11.

11. (12) Para participar en competiciones deportivas de clasificación para estudiantes, se asignaron 4 estudiantes del primer grupo del curso, 6 del segundo y 5 del tercer grupo. Las probabilidades de que un estudiante del primer, segundo y tercer grupo entre en el equipo del instituto son respectivamente iguales a 0,9; 0,7 y 0,8. Como resultado de la competencia, un estudiante seleccionado al azar terminó en el equipo nacional. ¿A qué grupo probablemente pertenecía este estudiante?
Reps. Las probabilidades de que un alumno del primer, segundo y tercer grupo sea seleccionado son respectivamente: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K)V empresa comercial Los televisores llegaron de tres proveedores en una proporción de 1:4:5. La práctica ha demostrado que los televisores del primer, segundo y tercer proveedor no necesitarán reparación durante el período de garantía en el 98, 88 y 92% de los casos, respectivamente.
1) Encuentre la probabilidad de que un televisor recibido por una empresa comercial no requiera reparación durante el período de garantía.
2) El televisor vendido requirió reparaciones durante el período de garantía. ¿De qué proveedor probablemente proviene este televisor?
Solución.
Designemos los eventos: - el televisor llegó a la empresa comercial procedente del i-ésimo proveedor (i=1,2,3);
R: el televisor no requerirá reparaciones durante el período de garantía.
Por condición

Según la fórmula de probabilidad total

Event TV requerirá reparaciones durante el período de garantía; .
Por condición

Según la fórmula de Bayes

;

Así, después de ocurrido el evento, la probabilidad de la hipótesis aumentó con al máximo, y la hipótesis disminuyó del máximo a; si antes (antes de que ocurriera el evento A) la hipótesis más probable era , ahora, a la luz de nueva información(la ocurrencia del evento A), la hipótesis más probable es que este televisor llegue del segundo proveedor.

13. (1.35K) Se sabe que en promedio el 95% de los productos fabricados cumplen con la norma. Un esquema de control simplificado reconoce un producto como adecuado con una probabilidad de 0,98 si es estándar y con una probabilidad de 0,06 si no es estándar. Determine la probabilidad de que:
1) un producto tomado al azar será sometido a un control simplificado;
2) un producto estándar si: a) ha pasado un control simplificado; b) pasó el control simplificado dos veces.
Solución.
1). Denotemos los eventos:
- un producto elegido al azar, estándar o no estándar, respectivamente;
- el producto ha pasado un control simplificado.

Por condición

La probabilidad de que un producto tomado al azar pase el control simplificado, según la fórmula de probabilidad total:

2,a). La probabilidad de que un producto que ha pasado el control simplificado sea estándar, según la fórmula de Bayes:

2,b). Deje que el evento: el producto pase dos veces por un control simplificado. Entonces, por el teorema de la multiplicación de probabilidades:

Según la fórmula de Bayes

es muy pequeño, entonces la hipótesis de que un producto que ha pasado dos veces el control simplificado no es estándar debe descartarse como un evento prácticamente imposible.

14. (1.36K) Dos tiradores disparan a un objetivo de forma independiente, cada uno dispara un tiro. La probabilidad de dar en el blanco para el primer tirador es 0,8; para el segundo – 0,4. Después de disparar, se encontró un agujero en el objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a:
a) 1er tirador;
b) ¿Segundo tirador?
Solución.
Denotemos los eventos:

Ambos tiradores no dieron en el blanco;

Ambos tiradores dieron en el blanco;

El primer tirador dio en el blanco, el segundo no;

El primer tirador falló el objetivo, el segundo sí;

Hay un agujero en el objetivo (un golpe).