Nombres n sur une ligne de coordonnées. Ligne de coordonnées (droite numérique), rayon de coordonnées

Ligne de coordonnées.

Prenons une ligne droite ordinaire. Appelons-la droite x (Fig. 1). Sélectionnons un point de référence O sur cette droite, et indiquons également par une flèche la direction positive de cette droite (Fig. 2). Ainsi, nous aurons des nombres positifs à droite du point O, et des nombres négatifs à gauche. Choisissons une échelle, c'est-à-dire la taille d'un segment de droite, égal à un. Nous l'avons fait ligne de coordonnées(Fig. 3). Chaque numéro correspond à un point spécifique sur cette ligne. De plus, ce nombre est appelé la coordonnée de ce point. C'est pourquoi la ligne est appelée ligne de coordonnées. Et le point de référence O est appelé l’origine.

Par exemple, sur la Fig. 4 le point B est situé à une distance de 2 à droite de l'origine. Le point D est situé à une distance de 4 à gauche de l'origine. En conséquence, le point B a la coordonnée 2 et le point D a la coordonnée -4. Le point O lui-même, étant un point de référence, a la coordonnée 0 (zéro). Ceci s'écrit généralement comme ceci : O(0), B(2), D(-4). Et pour ne pas dire constamment « point D de coordonnée telle ou telle », on dit plus simplement : « point 0, point 2, point -4 ». Et dans ce cas il suffit de désigner le point lui-même par sa coordonnée (Fig. 5).

Connaissant les coordonnées de deux points sur une ligne de coordonnées, nous pouvons toujours calculer la distance qui les sépare. Disons que nous avons deux points A et B avec respectivement les coordonnées a et b. Alors la distance entre eux sera |a - b|. Notations |a - b| se lit comme « a moins b modulo » ou « module de la différence entre les nombres a et b ».

Qu'est-ce qu'un module ?

Algébriquement, le module d'un nombre x n'est pas nombre négatif. Noté par |x|. De plus, si x > 0, alors |x| = X. Si x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Géométriquement, le module d'un nombre x est la distance entre un point et l'origine. Et s'il y a deux points de coordonnées x1 et x2, alors |x1 - x2| est la distance entre ces points.

Le module est également appelé valeur absolue.

Que pouvons-nous dire d'autre quand nous parlons deà propos de la ligne de coordonnées ? Bien sûr, à propos des intervalles numériques.

Types d'intervalles numériques.

Disons que nous avons deux nombres a et b. De plus, b > a (b est supérieur à a). Sur une ligne de coordonnées, cela signifie que le point b est à droite du point a. Remplaçons b dans notre inégalité par la variable x. C'est x > a. Alors x représente tous les nombres supérieurs à a. Sur la ligne de coordonnées, ce sont respectivement tous les points à droite du point a. Cette partie de la ligne est ombrée (Fig. 6). Un tel ensemble de points est appelé faisceau ouvert , et ça intervalle numérique désignent (a; +∞), où le signe +∞ se lit comme « plus l'infini ». Veuillez noter que le point a lui-même n'est pas inclus dans cet intervalle et est indiqué par un cercle lumineux.

Considérons également le cas où x ≥ a. Alors x représente tous les nombres supérieurs ou égaux à a. Sur la ligne de coordonnées, ce sont tous les points à droite de a, ainsi que le point a lui-même (sur la figure 7, le point a est déjà indiqué par un cercle noir). Un tel ensemble de points est appelé poutre fermée (ou simplement un faisceau), et cet intervalle numérique est désigné .

La ligne de coordonnées est également appelée axe de coordonnées . Ou juste l'axe des x.

Sujet : « Coordonnées sur une ligne droite ».

• Donner une compréhension globale des nouveaux nombres.
• Apprenez à lire et à écrire des nombres positifs et négatifs et à les représenter sous forme de points sur une ligne.
• Déterminer les coordonnées des points, trouver la coordonnée d'un point, marquer un point sur une ligne de coordonnées par sa coordonnée.
• Développer des compétences activité mentale, attention, culture de lecture, culture discours mathématique, développer l'activité étudiante.

Matériel : ligne de coordonnées de démonstration, thermomètre de démonstration, tables, outils (règle avec divisions), cartes.

2. Comptage oral."Méthode d'atterrissage en douceur."

Je ne sais pas, a-t-il résolu les exemples correctement ?

Quel rayon est appelé rayon de coordonnées ?

Le rayon de coordonnées a-t-il une fin ? Commencer?

Quels nombres correspondent aux points A, E, C, D sur le rayon de coordonnées ?

Quels points du rayon de coordonnées correspondent aux nombres 2, 4, 5, 8 ?

2. Préparation à l'étude de nouveaux matériaux.

Problème 1. L'écureuil a rampé hors du creux et court de haut en bas du tronc d'arbre.

Que faut-il savoir pour déterminer la position d'un écureuil sur un arbre ? Suffit-il de connaître seulement la distance entre l'écureuil et le creux ?

Problème 2. «Meteor» a quitté le village de Gornopravdinsk et se déplace à une vitesse de 40 km/h.

Où sera Meteor dans 2 heures ?

Suffit-il de connaître seulement la distance ? ( Répondre: non, il faut aussi connaître la direction).

3. Présentation du nouveau matériel.

Travaux pratiques avec la classe. (Travail des élèves au tableau et travail en classe dans un cahier).

Tracez une ligne horizontale.

Marquez dessus le point O (origine).

Sélectionnez un seul segment et déplacez-le vers la droite et la gauche depuis l'origine une, deux fois, trois, etc. une fois.

Sous chaque point, indiquez le numéro correspondant.

Pourquoi cette échelle est-elle peu pratique ? (Le même numéro apparaît sous deux points différents).

Comment sortir de cette difficulté ?

En mathématiques, il est d'usage d'écrire les nombres qui vont à gauche de l'origine avec un signe moins « - ».

Introduction de la notion de nombres positifs et négatifs.

La direction vers la droite depuis l'origine est dite positive, et la direction sur la ligne droite est indiquée par une flèche. Les nombres situés à droite du point O sont appelés positif.

A gauche du point O se trouve nombres négatifs, et la direction à gauche du point O est dite négative (la direction négative n'est pas indiquée).

Les nombres négatifs sont écrits avec le signe « - ».

On y lit : « Moins un », « Moins deux », « Moins trois », etc.

Le chiffre 0 – l’origine n’est ni un nombre positif ni négatif. Il sépare les nombres positifs des nombres négatifs.

Ligne de coordonnées.

Définition : une droite avec un point de référence, un segment unitaire et une direction choisie sur celui-ci est appelée ligne de coordonnées.

Tâche : nommer une ligne parmi ces lignes qui est une ligne de coordonnées.

Coordonnée du point.

Définition : un nombre indiquant la position d'un point sur une droite est appelé la coordonnée de ce point.

Travaillez selon le manuel. Répétez la définition de la ligne de coordonnées ; coordonnées des points.

Présentez le concept de ligne de coordonnées verticales.

Travaillez selon le tableau.

Ils disent : « Le point A a la coordonnée 2 » ; "Le point C a la coordonnée - 4."

Ils écrivent : A (2) ; V (3,5); C(-4); D(-2).

Ils lisent : « Point A de coordonnée 2 » ; « Point C de coordonnée – 4 », etc.

Soulagement psychologique :(La bande sonore « bruit de la mer » retentit).

Sur fond de « bruit des vagues », un fragment de l'œuvre de M. Gorky « Le chant du faucon » résonne :

« … La mer immense, soupirant paresseusement près du rivage, s'endormit et immobile au loin, baignée par l'éclat bleu de la lune. Doux et argenté, il s'y confond avec le ciel bleu et tendre et dort profondément, reflétant le tissu transparent des cirrus, immobile et ne cachant pas les motifs dorés des étoiles. Il semble que le ciel se penche de plus en plus bas au-dessus de la mer, voulant comprendre ce que murmurent les vagues agitées, glissant endormies vers le rivage... »

4. Consolidation du nouveau matériel.

Moment de jeu.(Panneau de démonstration avec une ligne de coordonnées).

L’enseignant renforce ce point. Les élèves nomment ses coordonnées.

Le professeur appelle le numéro. Les élèves renforcent un point avec une coordonnée donnée.

Travaux pratiques :(Sur les tables il y a des cartes avec une ligne de coordonnées sur laquelle les points sont marqués).

Écrivez les coordonnées des points A, B, C, D, E, K, O, M.

Moment de jeu :"Trouvez l'erreur."

Les points A, B, C, D sont marqués sur la ligne de coordonnées.

Je ne sais pas a noté les coordonnées des points comme ceci : A (2), B (- 3), C (- 2), D (- 4). L'a-t-il écrit correctement ?

5. Résumé de la leçon.

Les élèves répondent aux questions du professeur :

Quelle ligne est appelée ligne de coordonnées ?

Quels sont les nombres des coordonnées des points sur la ligne de coordonnées à droite de l'origine ? A gauche de l'origine ?

Quelle est la coordonnée de l'origine ?

6. Classement.

7. Devoirs: paragraphe 26, n° 902 - oralement, n° 903, n° 904.

Ainsi un segment unitaire et ses parties dixième, centième, etc. permettent d'accéder aux points de la ligne de coordonnées, qui correspondront aux fractions décimales finales (comme dans l'exemple précédent). Cependant, il y a des points sur la ligne de coordonnées que nous ne pouvons pas atteindre, mais dont nous pouvons nous rapprocher autant que nous le souhaitons, en utilisant des points de plus en plus petits jusqu'à une fraction infinitésimale d'un segment unitaire. Ces points correspondent à des fractions décimales infinies, périodiques et non périodiques. Donnons quelques exemples. L'un de ces points sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 3.711711711...=3,(711) . Pour aborder ce point, il faut réserver 3 segments unitaires, 7 dixièmes, 1 centième, 1 millième, 7 dix millièmes, 1 cent millième, 1 millionième de segment unitaire, etc. Et un autre point sur la ligne de coordonnées correspond à pi (π=3,141592...).

Puisque les éléments de l'ensemble des nombres réels sont tous des nombres pouvant s'écrire sous la forme fini et infini décimales, alors toutes les informations présentées ci-dessus dans ce paragraphe nous permettent d'affirmer que nous avons attribué chaque point de la ligne de coordonnées à un spécifique nombre réel, et il est clair que différents points correspondent à différents nombres réels.

Il est également bien évident que cette correspondance est biunivoque. Autrement dit, nous pouvons attribuer un nombre réel à un point spécifié sur une ligne de coordonnées, mais nous pouvons également indiquer pour un nombre réel donné point précis sur la ligne de coordonnées à laquelle correspond le nombre réel donné. Pour ce faire, nous devrons décaler le début du compte à rebours en dans la bonne direction un certain montant segments simples, ainsi que les dixièmes, centièmes, etc. de fractions d'un segment unitaire. Par exemple, le nombre 703.405 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, accessible depuis l'origine en traçant 703 segments unitaires, 4 segments constituant un dixième d'unité et 5 segments constituant un millième d'unité dans le sens positif. .

Ainsi, à chaque point de la ligne de coordonnées correspond un nombre réel, et chaque nombre réel a sa place sous la forme d'un point sur la ligne de coordonnées. C'est pourquoi la ligne de coordonnées est souvent appelée droite numérique.

Coordonnées des points sur une ligne de coordonnées

Le nombre correspondant à un point sur une ligne de coordonnées est appelé coordonnée de ce point.

Dans le paragraphe précédent, nous avons dit que chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées, donc la coordonnée d'un point détermine de manière unique la position de ce point sur la ligne de coordonnées. En d'autres termes, la coordonnée d'un point définit de manière unique ce point sur la ligne de coordonnées. D'autre part, chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel - la coordonnée de ce point.

Il ne reste plus qu'à dire que notations acceptées. La coordonnée du point est écrite en parenthèsesà droite de la lettre qui représente le point. Par exemple, si le point M a la coordonnée -6, alors vous pouvez écrire M(-6), et la notation de la forme signifie que le point M sur la ligne de coordonnées a la coordonnée.

Références.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques : manuel pour la 5e année. établissements d'enseignement.
• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. établissements d'enseignement.

Il est impossible de prétendre connaître les mathématiques si vous ne savez pas construire des graphiques, représenter des inégalités sur une ligne de coordonnées et travailler avec des axes de coordonnées. La composante visuelle en science est vitale, car sans exemples illustratifs Parfois, vous pouvez être très confus dans les formules et les calculs. Dans cet article, nous verrons comment travailler avec les axes de coordonnées et apprendre à créer des graphiques simples de fonctions.

Application

La ligne de coordonnées est à la base des types de graphiques les plus simples qu'un écolier rencontre au cours de son parcours scolaire. Il est utilisé dans presque tous les sujet mathématique: lors du calcul de la vitesse et du temps, de la projection des dimensions des objets et du calcul de leur aire, en trigonométrie lorsque l'on travaille avec les sinus et les cosinus.

La principale valeur d’une ligne aussi directe est la clarté. Puisque les mathématiques sont une science qui nécessite haut niveau pensée abstraite, les graphiques aident à représenter un objet dans monde réel. Comment se comporte-t-il ? À quel point de l’espace serez-vous dans quelques secondes, minutes, heures ? Que peut-on en dire par rapport à d’autres objets ? Quelle vitesse a-t-il à un moment choisi au hasard ? Comment caractériser son mouvement ?

Et nous parlons de vitesse pour une raison : c'est ce que les graphiques de fonctions affichent souvent. Ils peuvent également afficher les changements de température ou de pression à l’intérieur d’un objet, sa taille et son orientation par rapport à l’horizon. Ainsi, la construction d’une ligne de coordonnées est souvent nécessaire en physique.

Graphique unidimensionnel

Il existe un concept de multidimensionnalité. Un seul chiffre suffit pour déterminer l’emplacement d’un point. C'est exactement le cas avec l'utilisation d'une ligne de coordonnées. Si l’espace est bidimensionnel, alors deux nombres sont nécessaires. Les graphiques de ce type sont utilisés beaucoup plus souvent, et nous les examinerons certainement un peu plus loin dans l'article.

Que peut-on voir en utilisant des points sur l’axe s’il n’y en a qu’un ? Vous pouvez voir la taille de l'objet, sa position dans l'espace par rapport à un « zéro », c'est-à-dire le point choisi comme origine.

Il ne sera pas possible de voir les changements des paramètres au fil du temps, puisque toutes les lectures seront affichées à un moment précis. Cependant, il faut bien commencer quelque part ! Alors commençons.

Comment construire un axe de coordonnées

Vous devez d’abord tracer une ligne horizontale - ce sera notre axe. AVEC côté droit"Aiguisez-le" pour qu'il ressemble à une flèche. De cette façon, nous indiquons la direction dans laquelle les chiffres augmenteront. La flèche n'est généralement pas placée dans le sens décroissant. Traditionnellement, l'axe pointe vers la droite, nous suivrons donc simplement cette règle.

Fixons un repère zéro, qui affichera l'origine des coordonnées. C'est de là que s'effectue le compte à rebours, qu'il s'agisse de la taille, du poids, de la vitesse ou autre. En plus de zéro, nous devons indiquer la valeur dite de division, c'est-à-dire introduire une unité standard, selon laquelle nous tracerons certaines quantités sur l'axe. Cela doit être fait afin de pouvoir trouver la longueur d'un segment sur une ligne de coordonnées.

À travers à égale distanceà part les uns des autres, nous placerons des points ou des « encoches » sur la ligne, et sous eux nous écrirons respectivement 1,2,3, et ainsi de suite. Et maintenant, tout est prêt. Mais vous devez encore apprendre à travailler avec le calendrier obtenu.

Types de points sur une ligne de coordonnées

Au premier coup d'œil sur les dessins proposés dans les manuels, cela devient clair : les points sur l'axe peuvent être ombrés ou non. Pensez-vous que c'est un accident ? Pas du tout! Un point « plein » est utilisé pour une inégalité non stricte – celle qui se lit comme « supérieur ou égal à ». Si nous devons limiter strictement l'intervalle (par exemple, « x » peut prendre des valeurs de zéro à un, mais ne l'inclut pas), nous utiliserons un point « creux », c'est-à-dire en fait un petit cercle sur l'axe. Il convient de noter que les étudiants n'aiment pas vraiment inégalités strictes, car ils sont plus difficiles à travailler.

En fonction des points que vous utilisez sur le graphique, les intervalles construits seront nommés. Si l’inégalité des deux côtés n’est pas stricte, alors nous obtenons un segment. Si d'un côté il s'avère « ouvert », alors on l'appellera un demi-intervalle. Enfin, si une partie d'une ligne est délimitée de part et d'autre par des points creux, on l'appellera un intervalle.

Avion

Lors de la construction de deux lignes, on peut déjà considérer les graphiques de fonctions. Disons ligne horizontale sera l’axe du temps et l’axe vertical sera la distance. Et maintenant, nous sommes en mesure de déterminer la distance parcourue par l'objet en une minute ou une heure de voyage. Ainsi, travailler avec un avion permet de suivre les changements d'état d'un objet. C’est bien plus intéressant que d’étudier un état statique.

Le graphique le plus simple sur un tel plan est une ligne droite ; il reflète la fonction Y(X) = aX + b. La ligne se plie-t-elle ? Cela signifie que l'objet change de caractéristiques au cours du processus de recherche.

Imaginez que vous êtes debout sur le toit d’un immeuble et que vous tenez une pierre dans votre main tendue. Lorsque vous le relâcherez, il volera vers le bas, commençant son mouvement à vitesse nulle. Mais en une seconde, il parcourra 36 kilomètres par heure. La pierre continuera d'accélérer et pour représenter graphiquement son mouvement, vous devrez mesurer sa vitesse à plusieurs moments dans le temps, en plaçant des points sur l'axe aux endroits appropriés.

Les marques sur la ligne de coordonnées horizontales sont nommées X1, X2, X3 par défaut et sur la ligne de coordonnées verticales - Y1, Y2, Y3, respectivement. En les projetant sur un plan et en trouvant des intersections, on retrouve des fragments du dessin obtenu. En les reliant par une seule ligne, nous obtenons un graphique de la fonction. En cas de chute de pierre fonction quadratique aura la forme : Y(X) = aX * X + bX + c.

Échelle

Bien entendu, il n'est pas nécessaire de placer des valeurs entières à côté des divisions sur la ligne. Si vous envisagez le mouvement d'un escargot qui rampe à une vitesse de 0,03 mètre par minute, définissez les valeurs sur la ligne de coordonnées sur des fractions. DANS dans ce cas définissez la valeur de division sur 0,01 mètre.

Il est particulièrement pratique de réaliser de tels dessins dans un cahier à carreaux - ici, vous pouvez immédiatement voir s'il y a suffisamment d'espace sur la feuille pour votre emploi du temps et si vous n'irez pas au-delà des marges. Il n'est pas difficile de calculer votre force, car la largeur de la cellule d'un tel cahier est de 0,5 centimètre. Il a fallu réduire le dessin. Changer l'échelle du graphique n'entraînera pas la perte ou la modification de ses propriétés.

Coordonnées d'un point et d'un segment

Lorsqu'il est donné en classe problème de mathématiques, il peut contenir des paramètres de divers formes géométriquesà la fois sous forme de longueurs de côtés, de périmètre, de surface et sous forme de coordonnées. Dans ce cas, vous devrez peut-être à la fois construire la figure et obtenir certaines données qui lui sont associées. La question se pose : comment trouver les informations recherchées sur la ligne de coordonnées ? Et comment construire une figure ?

Par exemple, nous parlons d'un point. Ensuite, l'énoncé du problème comprendra lettre majuscule, et entre parenthèses il y aura plusieurs nombres, le plus souvent deux (cela signifie que nous compterons dans un espace à deux dimensions). S'il y a trois nombres entre parenthèses, écrits séparés par des points-virgules ou des virgules, alors c'est espace tridimensionnel. Chaque valeur est une coordonnée sur l'axe correspondant : d'abord le long de l'horizontale (X), puis le long de la verticale (Y).

Vous rappelez-vous comment construire un segment ? Vous avez pris cela en géométrie. S'il y a deux points, une ligne droite peut être tracée entre eux. Ce sont leurs coordonnées qui sont indiquées entre parenthèses si un segment apparaît dans le problème. Par exemple : A(15, 13) - B(1, 4). Pour construire une telle ligne droite, il faut plan de coordonnées trouvez et marquez les points, puis connectez-les. C'est ça!

Et comme vous le savez, tous les polygones peuvent être dessinés à l'aide de segments. Le problème est résolu.

Calculs

Disons qu'il y a un objet dont la position le long de l'axe X est caractérisée par deux nombres : il commence à un point de coordonnée (-3) et se termine à (+2). Si l’on veut connaître la longueur de cet objet, il faut soustraire de plus moins. Notez qu’un nombre négatif absorbe le signe de soustraction car « moins fois moins fait plus ». Donc, nous ajoutons (2+3) et obtenons 5. C'est le résultat recherché.

Autre exemple : on nous donne point final et la longueur de l'objet, mais la longueur initiale n'est pas donnée (et vous devez la trouver). Laissons la situation point connu sera (6), et la taille du sujet étudié sera (4). En soustrayant la longueur de la coordonnée finale, nous obtenons la réponse. Total : (6 - 4) = 2.

Nombres négatifs

Il est souvent nécessaire en pratique de travailler avec valeurs négatives. Dans ce cas, nous nous déplacerons le long de l'axe des coordonnées vers la gauche. Par exemple, un objet de 3 centimètres de haut flotte dans l'eau. Un tiers est immergé dans un liquide, les deux tiers dans l'air. Ensuite, après avoir choisi la surface de l'eau comme axe, nous, en utilisant le plus simple calculs arithmétiques nous obtenons deux nombres : le point supérieur de l'objet a une coordonnée (+2) et le point inférieur - (-1) centimètre.

Il est facile de voir que dans le cas d’un plan nous avons quatre quarts de ligne de coordonnées. Chacun d'eux a son propre numéro. Dans la première partie (en haut à droite), il y aura des points qui ont deux coordonnées positives, dans la seconde - en haut à gauche - les valeurs le long de l'axe "x" seront négatives, et sur l'axe "y" - positif. Les troisième et quatrième sont comptés davantage dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Propriété importante

Savez-vous qu'une ligne droite peut être représentée par ensemble infini points. Nous pouvons examiner aussi attentivement que nous le souhaitons n'importe quel nombre de valeurs de chaque côté de l'axe, mais nous ne rencontrerons pas de doublons. Cela semble naïf et compréhensible, mais cette affirmation découle de fait important: chaque nombre correspond à un et un seul point sur la droite de coordonnées.

Conclusion

N'oubliez pas que tous les axes, figures et, si possible, graphiques doivent être construits à l'aide d'une règle. Les unités de mesure n'ont pas été inventées par l'homme par hasard - si vous faites une erreur en dessinant, vous risquez de voir une image qui n'est pas celle qui aurait dû être obtenue.

Soyez prudent et prudent lors de la construction de graphiques et de calculs. Comme toute science étudiée à l’école, les mathématiques aiment la précision. Faites un petit effort et bonnes notes ne vous fera pas attendre longtemps.