Quelle est la nième racine ? Racine carrée

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Dans cet article, nous présenterons concept de racine d'un nombre. Nous procéderons séquentiellement : nous commencerons par la racine carrée, de là nous passerons à la description de la racine cubique, après quoi nous généraliserons la notion de racine, en définissant la nième racine. Parallèlement, nous présenterons des définitions, des notations, donnerons des exemples de racines et donnerons les explications et commentaires nécessaires.

Racine carrée, racine carrée arithmétique

Pour comprendre la définition de la racine d’un nombre, et de la racine carrée en particulier, il faut avoir . À ce stade, nous rencontrerons souvent la deuxième puissance d’un nombre : le carré d’un nombre.

Commençons par définitions de racine carrée.

Définition

Racine carrée d'un est un nombre dont le carré est égal à a.

Diriger exemples racines carrées , prenons plusieurs nombres, par exemple 5, −0,3, 0,3, 0, et mettons-les au carré, nous obtenons les nombres 25, 0,09, 0,09 et 0, respectivement (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 et 0 2 =0·0=0 ). Alors, d'après la définition donnée ci-dessus, le nombre 5 est la racine carrée du nombre 25, les nombres −0,3 et 0,3 sont les racines carrées de 0,09 et 0 est la racine carrée de zéro.

Il convient de noter que pour aucun nombre a, il n’existe a dont le carré est égal à a. À savoir, pour tout nombre négatif a, il n’y a pas nombre réel b, dont le carré serait égal à a. En fait, l'égalité a=b 2 est impossible pour tout a négatif, puisque b 2 est nombre non négatif pour tout b. Ainsi, il n'y a pas de racine carrée d'un nombre négatif sur l'ensemble des nombres réels. Autrement dit, sur l’ensemble des nombres réels, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie et n’a aucune signification.

Cela nous amène à une question logique : « Existe-t-il une racine carrée de a pour tout a non négatif » ? La réponse est oui. La justification de ce fait peut être considérée manière constructive, utilisé pour trouver la valeur de la racine carrée.

Ensuite, la question logique suivante se pose : « Quel est le nombre de toutes les racines carrées d'un nombre non négatif donné a - un, deux, trois ou même plus » ? Voici la réponse : si a vaut zéro, alors la seule racine carrée de zéro est zéro ; si un est quelque chose nombre positif, alors le nombre de racines carrées du nombre a est deux, et les racines sont . Justifions cela.

Commençons par le cas a=0 . Montrons d’abord que zéro est bien la racine carrée de zéro. Cela découle de l'égalité évidente 0 2 =0·0=0 et de la définition de la racine carrée.

Montrons maintenant que 0 est la seule racine carrée de zéro. Utilisons la méthode inverse. Supposons qu’il existe un nombre b non nul qui soit la racine carrée de zéro. Alors la condition b 2 =0 doit être satisfaite, ce qui est impossible, puisque pour tout b non nul la valeur de l'expression b 2 est positive. Nous sommes arrivés à une contradiction. Cela prouve que 0 est la seule racine carrée de zéro.

Passons aux cas où a est un nombre positif. Nous avons dit plus haut qu'il existe toujours une racine carrée de tout nombre non négatif, soit la racine carrée de a le nombre b. Disons qu'il existe un nombre c, qui est aussi la racine carrée de a. Alors, par définition d'une racine carrée, les égalités b 2 =a et c 2 =a sont vraies, d'où il résulte que b 2 −c 2 =a−a=0, mais puisque b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , alors (b−c)·(b+c)=0 . L'égalité résultante est valide propriétés des opérations avec des nombres réels possible uniquement lorsque b−c=0 ou b+c=0 . Ainsi, les nombres b et c sont égaux ou opposés.

Si nous supposons qu'il existe un nombre d, qui est une autre racine carrée du nombre a, alors en raisonnant comme ceux déjà donnés, il est prouvé que d est égal au nombre b ou au nombre c. Ainsi, le nombre de racines carrées d’un nombre positif est deux et les racines carrées sont des nombres opposés.

Pour faciliter le travail avec les racines carrées racine négative« se sépare » du positif. A cet effet, il est introduit définition de la racine carrée arithmétique.

Définition

Racine carrée arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le carré est égal à a.

La notation de la racine carrée arithmétique de a est . Le signe s’appelle le signe arithmétique de la racine carrée. On l'appelle aussi le signe radical. Par conséquent, vous pouvez parfois entendre à la fois « racine » et « radical », ce qui signifie le même objet.

Le nombre sous le signe arithmétique de la racine carrée s'appelle nombre radical, et l'expression sous le signe racine est expression radicale, tandis que le terme « nombre radical» est souvent remplacé par « expression radicale ». Par exemple, dans la notation le nombre 151 est un nombre radical, et dans la notation l'expression a est une expression radicale.

Lors de la lecture, le mot « arithmétique » est souvent omis, par exemple, l'entrée est lue comme « la racine carrée de sept virgule vingt-neuf ». Le mot « arithmétique » n’est utilisé que lorsqu’ils veulent souligner que nous parlons de spécifiquement sur la racine carrée positive d’un nombre.

À la lumière de la notation introduite, il résulte de la définition d'une racine carrée arithmétique que pour tout nombre non négatif a .

Les racines carrées d'un nombre positif a s'écrivent en utilisant le signe arithmétique racine carrée comme et . Par exemple, les racines carrées de 13 sont et . Racine carrée arithmétique de zéro égal à zéro, c'est, . Pour les nombres négatifs a, nous n'attacherons pas de sens à la notation tant que nous n'aurons pas étudié nombres complexes . Par exemple, les expressions et n'ont aucun sens.

Sur la base de la définition de la racine carrée, les propriétés des racines carrées sont prouvées, qui sont souvent utilisées dans la pratique.

En conclusion de ce point, notons que les racines carrées du nombre a sont des solutions de la forme x 2 =a par rapport à la variable x.

Racine cubique d'un nombre

Définition de la racine cubique du nombre a est donné de la même manière que la définition de la racine carrée. Seulement, il est basé sur le concept d'un cube composé d'un nombre et non d'un carré.

Définition

Racine cubique d'un est un nombre dont le cube est égal à a.

Donnons exemples racines cubes . Pour ce faire, prenez plusieurs nombres, par exemple 7, 0, −2/3, et cubez-les : 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Ensuite, sur la base de la définition d’une racine cubique, nous pouvons dire que le nombre 7 est la racine cubique de 343, 0 est la racine cubique de zéro et -2/3 est la racine cubique de -8/27.

On peut montrer que la racine cubique d’un nombre, contrairement à la racine carrée, existe toujours, non seulement pour a non négatif, mais aussi pour tout nombre réel a. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la même méthode que celle que nous avons mentionnée lors de l'étude des racines carrées.

De plus, il n’existe qu’une seule racine cubique d’un nombre a donné. Démontrons la dernière affirmation. Pour ce faire, considérons trois cas séparément : a est un nombre positif, a=0 et a est un nombre négatif.

Il est facile de montrer que si a est positif, la racine cubique de a ne peut être ni un nombre négatif ni zéro. En effet, soit b la racine cubique de a, alors par définition on peut écrire l'égalité b 3 =a. Il est clair que cette égalité ne peut pas être vraie pour b négatif et pour b=0, puisque dans ces cas b 3 =b·b·b sera respectivement un nombre négatif ou zéro. Ainsi, la racine cubique d’un nombre positif a est un nombre positif.

Supposons maintenant qu'en plus du nombre b, il existe une autre racine cubique du nombre a, notons-la c. Alors c 3 =a. Par conséquent, b 3 −c 3 =a−a=0, mais b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(c'est la formule de multiplication abrégée différence de cubes), d'où (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. L'égalité résultante n'est possible que lorsque b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. De la première égalité nous avons b=c, et la deuxième égalité n'a pas de solutions, puisque son côté gauche est un nombre positif pour tout nombre positif b et c comme somme de trois termes positifs b 2, b·c et c 2. Cela prouve le caractère unique de la racine cubique d'un nombre positif a.

Lorsque a=0, la racine cubique du nombre a est uniquement le nombre zéro. En effet, si l'on suppose qu'il existe un nombre b, qui est une racine cubique non nulle de zéro, alors l'égalité b 3 =0 doit être vérifiée, ce qui n'est possible que lorsque b=0.

Pour un a négatif, des arguments similaires à ceux d’un a positif peuvent être donnés. Tout d’abord, nous montrons que la racine cubique d’un nombre négatif ne peut être égale ni à un nombre positif ni à zéro. Deuxièmement, nous supposons qu’il existe une deuxième racine cubique d’un nombre négatif et montrons qu’elle coïncidera nécessairement avec la première.

Ainsi, il existe toujours une racine cubique de tout nombre réel a donné, et une racine unique.

Donnons définition de la racine cubique arithmétique.

Définition

Racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont le cube est égal à a.

La racine cubique arithmétique d'un nombre non négatif a est notée , le signe est appelé le signe de la racine cubique arithmétique, le nombre 3 dans cette notation est appelé index racine. Le nombre sous le signe racine est nombre radical, l'expression sous le signe racine est expression radicale.

Bien que la racine cubique arithmétique ne soit définie que pour les nombres non négatifs a, il est également pratique d'utiliser des notations dans lesquelles les nombres négatifs se trouvent sous le signe de la racine cubique arithmétique. Nous les comprendrons ainsi : , où a est un nombre positif. Par exemple, .

Nous parlerons des propriétés des racines cubiques dans l'article général Propriétés des racines.

Calculer la valeur d'une racine cubique s'appelle extraire une racine cubique ; cette action est abordée dans l'article extraire des racines : méthodes, exemples, solutions.

Pour conclure ce point, disons que la racine cubique du nombre a est une solution de la forme x 3 =a.

racine nième, racine arithmétique du degré n

Généralisons le concept de racine d'un nombre - nous introduisons définition de la nième racine pour n.

Définition

nième racine d'un est un nombre dont la puissance n est égale à a.

Depuis cette définition il est clair que la racine du premier degré du nombre a est le nombre a lui-même, puisque lors de l'étude du degré c indicateur naturel nous avons accepté un 1 =a .

Ci-dessus, nous avons examiné des cas particuliers de la nième racine pour n=2 et n=3 - racine carrée et racine cubique. Autrement dit, une racine carrée est une racine du deuxième degré et une racine cubique est une racine du troisième degré. Pour étudier les racines du nième degré pour n=4, 5, 6, ..., il convient de les diviser en deux groupes : le premier groupe - les racines de degrés pairs (c'est-à-dire pour n = 4, 6, 8 , ...), le deuxième groupe - les racines des degrés impairs (c'est-à-dire avec n=5, 7, 9, ...). Cela est dû au fait que les racines des puissances paires sont similaires aux racines carrées et que les racines des puissances impaires sont similaires aux racines cubiques. Traitons-les un par un.

Commençons par les racines dont les pouvoirs sont nombres pairs 4, 6, 8, ... Comme nous l'avons dit, ils sont semblables à la racine carrée du nombre a. Autrement dit, la racine de tout degré pair du nombre a n'existe que pour a non négatif. De plus, si a=0, alors la racine de a est unique et égale à zéro, et si a>0, alors il y a deux racines de degré pair du nombre a, et ce sont des nombres opposés.

Justifions la dernière affirmation. Soit b une racine de degré pair (nous la notons 2 m, où m est un nombre naturel) à partir du numéro a . Supposons qu'il existe un nombre c - une autre racine de degré 2·m du nombre a. Alors b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mais on connaît la forme b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), alors (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De cette égalité il résulte que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Les deux premières égalités signifient que les nombres b et c sont égaux ou que b et c sont opposés. Et la dernière égalité n'est valable que pour b=c=0, puisque sur son côté gauche se trouve une expression non négative pour tout b et c comme somme de nombres non négatifs.

Quant aux racines du nième degré pour n impair, elles sont semblables à la racine cubique. Autrement dit, n'importe quelle racine degré étrange du nombre a existe pour tout nombre réel a, et pour un nombre donné a il est unique.

L'unicité d'une racine de degré impair 2·m+1 du nombre a se prouve par analogie avec la preuve de l'unicité de la racine cubique de a. Seulement ici au lieu de l'égalité a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) une égalité de la forme b 2 m+1 −c 2 m+1 = est utilisée (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). L'expression entre parenthèses peut être réécrite comme suit b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Par exemple, avec m=2 on a b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Lorsque a et b sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, leur produit est un nombre positif, alors l'expression b 2 +c 2 +b·c entre parenthèses elle-même haut degré l'imbrication, est positive comme la somme des nombres positifs. Maintenant, en passant séquentiellement aux expressions entre parenthèses des degrés d'imbrication précédents, nous sommes convaincus qu'ils sont également positifs comme somme de nombres positifs. En conséquence, on obtient que l'égalité b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possible uniquement lorsque b−c=0, c'est-à-dire lorsque le nombre b est égal au nombre c.

Il est temps de comprendre la notation des nièmes racines. A cet effet, il est donné définition de la racine arithmétique du nième degré.

Définition

Racine arithmétique du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.

Degré racine nà partir d'un nombre réel un, Où n- nombre naturel, un tel nombre réel s'appelle x, n dont le ième degré est égal à un.

Degré racine n parmi un est indiqué par le symbole . Selon cette définition.

Trouver la racine nème degré parmi un appelé extraction de racine. Nombre UN s'appelle un nombre radical (expression), n- indicateur de racine. Pour bizarre n il y a une racine n-ème puissance pour tout nombre réel un. Quand même n il y a une racine n-ième puissance uniquement pour les nombres non négatifs un. Pour lever l'ambiguïté de la racine nème degré parmi un, le concept de racine arithmétique est introduit nème degré parmi un.

Le concept de racine arithmétique de degré N

Si et n- nombre naturel, plus grand 1 , alors il y a, et un seul, nombre non négatif X, de telle sorte que l'égalité soit satisfaite. Ce numéro X appelé racine arithmétique n puissance d'un nombre non négatif UN et est désigné . Nombre UN s'appelle un nombre radical, n- indicateur de racine.

Ainsi, selon la définition, la notation , où , signifie, d'une part, cela et, d'autre part, cela, c'est-à-dire .

Notion de degré c indicateur rationnel

Degré avec exposant naturel : soit UN est un nombre réel, et n- un nombre naturel supérieur à un, n-ème puissance du nombre UN appeler le travail n facteurs dont chacun est égal UN, c'est-à-dire . Nombre UN- la base du diplôme, n- exposant. Une puissance avec un exposant nul : par définition, si , alors . Puissance nulle d'un nombre 0 cela n'a pas de sens. Un diplôme avec un exposant entier négatif : supposé par définition si et n est un nombre naturel, alors . Degré c indicateur fractionnaire: cru par définition si et n- nombre naturel, m est un entier, alors .

Opérations avec racines.

Dans toutes les formules ci-dessous, le symbole désigne une racine arithmétique (l'expression radicale est positive).

1. Racine du produit de plusieurs facteurs égal au produit racines de ces facteurs :

2. Racine de l'attitude égal au rapport racines du dividende et du diviseur :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de la racine n fois et en même temps augmentez le nombre radical à la nième puissance, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de la racine de n fois et extrayez simultanément la nième racine du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Élargir la notion de diplôme. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les degrés à exposants naturels ; mais les opérations avec des puissances et des racines peuvent également conduire à des exposants négatifs, nuls et fractionnaires. Tous ces exposants nécessitent une définition supplémentaire.

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant négatif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur négatif:

Désormais, la formule a m : a n = a m - n peut être utilisée non seulement pour m supérieur à n, mais aussi pour m inférieur à n.

EXEMPLE un 4 : un 7 = un 4 - 7 = un -3.

Si nous voulons que la formule a m : a n = a m - n soit valable pour m = n, nous avons besoin d'une définition du degré zéro.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est 1.

EXEMPLES. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Afin d'élever un nombre réel a à la puissance m/n, il faut extraire la nième racine de la mième puissance de ce nombre a :

Des expressions qui n’ont aucun sens. Il existe plusieurs expressions de ce type.

Cas 1.

Où a ≠ 0 n’existe pas.

En fait, si nous supposons que x est un certain nombre, alors conformément à la définition de l'opération de division nous avons : a = 0 x, c'est-à-dire a = 0, ce qui contredit la condition : a ≠ 0

Cas 2.

N'importe quel numéro.

En fait, si l'on suppose que cette expression est égale à un certain nombre x, alors selon la définition de l'opération de division on a : 0 = 0 · x. Mais cette égalité vaut pour tout nombre x, c’est ce qu’il fallait prouver.

Vraiment,

Solution. Considérons trois cas principaux :

1) x = 0 – cette valeur ne satisfait pas cette équation

2) pour x > 0 on obtient : x / x = 1, c'est-à-dire 1 = 1, ce qui signifie que x est n'importe quel nombre ; mais en tenant compte du fait que dans notre cas x > 0, la réponse est x > 0 ;

3) à x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

dans ce cas, il n'y a pas de solution. Donc x > 0.

Tutoriel vidéo 2 : Propriétés des racines de degré n > 1

Conférence: Racine de degré n > 1 et ses propriétés

Racine

Supposons que vous ayez une équation de la forme :

Par décision équation donnée il y aura x 1 = 2 et x 2 = (-2). Les deux solutions conviennent comme réponse, puisque les nombres avec modules égaux Elevés à une puissance égale, ils donnent le même résultat.

C'était un exemple simple, mais que pouvons-nous faire si, par exemple,

Essayons de représenter graphiquement la fonction y = x 2 . Son graphique est une parabole :

Sur le graphique vous devez trouver les points qui correspondent à la valeur y = 3. Ces points sont :

Cela signifie que cette valeur ne peut pas être appelée un entier, mais peut être représentée comme une racine carrée.

Toute racine est nombre irrationnel. À nombres irrationnels inclure les racines, les fractions infinies non périodiques.

Racine carrée est un nombre non négatif « a » dont l'expression radicale est égale à numéro donné"a" au carré.

Par exemple,

Autrement dit, nous n'obtiendrons que valeur positive. Cependant, comme solution équation quadratique gentil

La solution est x 1 = 4, x 2 = (-4).

Propriétés de la racine carrée

1. Quelle que soit la valeur que prend x, cette expression vrai en tout cas :

2. Comparer des nombres contenant des racines carrées. Pour comparer ces nombres, vous devez saisir le premier et le deuxième nombre sous le signe racine. Le nombre sera plus grand dont l'expression radicale est plus grande.

Entrez le chiffre 2 sous le signe racine

Mettons maintenant le chiffre 4 sous le signe racine. En conséquence, nous obtenons

Et ce n'est que maintenant que les deux expressions résultantes peuvent être comparées :

3. Suppression du multiplicateur sous la racine.

Si l'expression radicale peut être décomposée en deux facteurs, dont l'un peut être retiré sous le signe racine, alors il est nécessaire d'utiliser cette règle.

4. Il existe une propriété qui est à l'opposé de celle-ci : l'introduction d'un multiplicateur sous la racine. Nous avons évidemment utilisé cette propriété dans la deuxième propriété.

Scénario de cours pour la 11e année sur le sujet :

" Racine nième degréà partir d'un nombre réel. »

Objectif de la leçon : Formation chez les étudiants d'une compréhension holistique de la racine n-ième degré et racine arithmétique nième degré, la formation de compétences informatiques, conscientes et utilisation rationnelle propriétés de la racine lors de la résolution diverses tâches contenant un radical. Vérifiez le niveau de compréhension des élèves des questions du sujet.

Sujet:créer des conditions significatives et organisationnelles pour maîtriser le matériel sur le sujet " Numérique et expressions littérales» au niveau de la perception, de la compréhension et de la mémorisation primaire ; développer la capacité d'utiliser ces informations lors du calcul de la nième racine d'un nombre réel ;

Méta-sujet : favoriser le développement des compétences informatiques ; capacité à analyser, comparer, généraliser, tirer des conclusions ;

Personnel: cultiver la capacité d’exprimer son point de vue, d’écouter les réponses des autres, de prendre part au dialogue et de développer la capacité de coopération positive.

Résultat prévu.

Sujet: pouvoir dans le processus situation réelle appliquer les propriétés de la nième racine d'un nombre réel lors du calcul des racines et de la résolution d'équations.

Personnel: développer l’attention et la précision des calculs, une attitude exigeante envers soi-même et son travail, et cultiver le sens de l’entraide.

Type de cours : cours sur l'étude et la consolidation initiale de nouvelles connaissances

Motivation pour les activités éducatives :

La sagesse orientale dit : « Vous pouvez conduire un cheval à l’eau, mais vous ne pouvez pas le forcer à boire. » Et il est impossible de forcer une personne à bien étudier si elle n'essaie pas elle-même d'en apprendre davantage et n'a pas le désir de travailler sur son développement mental. Après tout, la connaissance n’est une connaissance que lorsqu’elle est acquise grâce aux efforts de la pensée, et non par la seule mémoire.

Notre leçon se déroulera sous la devise : « Nous conquérirons n'importe quel sommet si nous nous efforçons de l'atteindre. » Pendant la leçon, vous et moi devons avoir le temps de franchir plusieurs sommets, et chacun de vous doit mettre tous ses efforts pour conquérir ces sommets.

« Aujourd'hui, nous avons une leçon dans laquelle nous devons nous familiariser avec un nouveau concept : « Nième racine » et apprendre à appliquer ce concept à la transformation diverses expressions.

Votre objectif est basé sur diverses formes travailler pour activer les connaissances existantes, contribuer à l'étude de la matière et obtenir de bonnes notes"
Nous avons étudié la racine carrée d'un nombre réel en 8e année. La racine carrée est liée à une fonction de la forme oui=x 2. Les gars, vous souvenez-vous de la façon dont nous avons calculé les racines carrées et quelles propriétés avaient-elles ?
a) enquête individuelle :

quel genre d'expression est-ce

ce qu'on appelle racine carrée

ce qu'on appelle une racine carrée arithmétique

lister les propriétés de la racine carrée

b) travailler en binôme : calculer.

2. Actualiser les connaissances et créer une situation problématique : Résolvez l'équation x 4 =1. Comment pouvons-nous le résoudre ? (Analyse et graphique). Résolvons-le graphiquement. Pour ce faire, dans un système de coordonnées, nous construirons un graphique de la fonction y = x 4 droite y = 1 (Fig. 164 a). Ils se croisent en deux points : A (-1;1) et B(1;1). Abscisses des points A et B, soit x1 = -1,

x 2 = 1 sont les racines de l'équation x 4 = 1.
En raisonnant exactement de la même manière, on trouve les racines de l’équation x 4 =16 : Essayons maintenant de résoudre l’équation x 4 =5 ; une illustration géométrique est présentée sur la Fig. 164 b. Il est clair que l'équation a deux racines x 1 et x 2, et ces nombres, comme dans les deux cas précédents, sont mutuellement opposés. Mais pour les deux premières équations les racines ont été trouvées sans difficulté (elles pouvaient être trouvées sans utiliser de graphiques), mais avec l'équation x 4 = 5 il y a des problèmes : à partir du dessin nous ne pouvons pas indiquer les valeurs des racines, mais nous ne peut établir qu'une racine est située au point gauche -1 et la seconde est à droite du point 1.

x 2 = - (lire : « quatrième racine de cinq »).

Nous avons parlé de l'équation x 4 = a, où a 0. Nous pourrions également parler de l'équation x 4 = a, où a 0 et n est n'importe quel nombre naturel. Par exemple, en résolvant graphiquement l'équation x 5 = 1, nous trouvons x = 1 (Fig. 165) ; en résolvant l'équation x 5 "= 7, nous établissons que l'équation a une racine x 1, qui est située sur l'axe des x légèrement à droite du point 1 (voir Fig. 165). Pour le nombre x 1, nous introduisons le notation.

Définition 1. Racine nième puissances d'un nombre non négatif a (n = 2, 3,4, 5,...) est un nombre non négatif qui, lorsqu'il est élevé à une puissance n, donne le nombre a.

Ce nombre est noté, le nombre a est appelé nombre radical et le nombre n est l'exposant de la racine.
Si n = 2, alors ils ne disent généralement pas « racine seconde », mais disent « racine carrée ». Dans ce cas, ils n’écrivent pas C’est celui-là. cas particulier, que vous avez spécifiquement étudié dans votre cours d'algèbre de 8e année.

Si n = 3, alors au lieu de « troisième racine », ils disent souvent « racine cubique ». Votre première connaissance de la racine cubique a également eu lieu dans le cours d'algèbre de 8e année. Nous avons utilisé des racines cubiques en algèbre de 9e année.

Donc, si a ≥0, n= 2,3,4,5,…, alors 1) ≥ 0 ; 2) () n = une.

En général, =b et b n =a sont la même relation entre les nombres non négatifs a et b, mais seul le second est décrit plus en détail. dans un langage simple(utilise des caractères plus simples) que le premier.

L'opération consistant à trouver la racine d'un nombre non négatif est généralement appelée extraction de racine. Cette opération est l’inverse de la montée à la puissance appropriée. Comparer:

Attention encore : seuls les nombres positifs apparaissent dans le tableau, puisque cela est stipulé dans la définition 1. Et bien que par exemple (-6) 6 = 36 soit une égalité correcte, passez-y à la notation utilisant la racine carrée, c'est-à-dire écrivez que c'est impossible. Par définition, un nombre positif signifie = 6 (et non -6). De la même manière, bien que 2 4 =16, t (-2) 4 =16, en passant aux signes des racines, il faut écrire = 2 (et en même temps ≠-2).

Parfois, l'expression est appelée radical (de mot latin gadix - « racine »). En russe, le terme radical est utilisé assez souvent, par exemple « changements radicaux » - cela signifie « changements radicaux ». D'ailleurs, la désignation même de la racine rappelle le mot gadix : le symbole est une lettre stylisée r.

L'opération d'extraction de la racine est également déterminée pour un nombre radical négatif, mais uniquement dans le cas d'un exposant racine impair. En d’autres termes, l’égalité (-2) 5 = -32 peut être réécrite sous forme équivalente sous la forme =-2. Dans ce cas, on utilise définition suivante.

Définition 2. Une racine impaire n d'un nombre négatif a (n = 3,5,...) est un nombre négatif qui, lorsqu'il est élevé à la puissance n, donne le nombre a.

Ce nombre, comme dans la définition 1, est noté , le nombre a est le nombre radical et le nombre n est l'exposant de la racine.
Donc, si a , n=,5,7,…, alors : 1) 0 ; 2) () n = une.

Ainsi, une racine paire n’a de sens (c’est-à-dire est définie) que pour une expression radicale non négative ; une racine étrange a du sens pour toute expression radicale.

5. Consolidation primaire des connaissances :

1. Calculer : n° 33,5 ; 33,6 ; 33,74 33,8 oralement a) ; b) ; V) ; G) .

d) Contrairement aux exemples précédents, nous ne pouvons pas indiquer valeur exacte nombre Il est seulement clair qu'il est supérieur à 2, mais inférieur à 3, puisque 2 4 = 16 (c'est moins de 17) et 3 4 = 81 (c'est plus de 17). On remarque que 24 est beaucoup plus proche de 17 que de 34, il y a donc lieu d'utiliser le signe d'égalité approximative :
2. Trouvez la signification des expressions suivantes.

Placez la lettre correspondante à côté de l'exemple.

Une petite information sur le grand scientifique. René Descartes (1596-1650) noble français, mathématicien, philosophe, physiologiste, penseur. René Descartes a posé les bases géométrie analytique, entré désignations de lettres x 2 , oui 3 . Tout le monde sait Coordonnées cartésiennes, définissant la fonction taille variable.

3 . Résolvez les équations : a) = -2 ; b) = 1 ; c) = -4

Solution: a) Si = -2, alors y = -8. En fait les deux parties équation donnée nous devons cuber. On obtient : 3x+4= - 8 ; 3x= -12 ; x = -4. b) En raisonnant comme dans l'exemple a), on élève les deux membres de l'équation à la puissance quatre. On obtient : x=1.

c) Il n'est pas nécessaire de l'élever à la puissance quatrième ; cette équation n'a pas de solution. Pourquoi? Car, selon la définition 1, une racine paire est un nombre non négatif.
Plusieurs tâches s'offrent à votre attention. Lorsque vous aurez accompli ces tâches, vous apprendrez le nom et le prénom du grand mathématicien. Ce scientifique fut le premier à introduire le signe racine en 1637.

6. Reposons-nous un peu.

La classe lève la main - c'est « un ».

La tête s'est tournée - c'était « deux ».

Sans conteste, attendez avec impatience - c'est "trois".

Les mains se sont élargies sur les côtés jusqu'à « quatre »

Les presser avec force dans vos mains est un « high five ».

Tous les gars doivent s'asseoir - il est « six heures ».

7. Travail indépendant:

option : option 2 :

b) 3-. b)12-6.

2. Résolvez l'équation : a) x 4 = -16 ; b) 0,02x6 -1,28=0 ; une) x 8 = -3 ; b)0,3x9 – 2,4=0 ;

c) = -2 ; c)= 2