La méthode des coordonnées est bien sûr très bonne, mais dans les problèmes réels C2, il n’y a ni coordonnées ni vecteurs. Il faudra donc les introduire. Oui, oui, prenez-le comme ça et saisissez-le : indiquez le début du compte à rebours, segment unitaire et la direction des axes x, y et z.
Le plus magnifique propriété Cette méthode est que la manière exacte dont le système de coordonnées est saisi n'a pas d'importance. Si tous les calculs sont corrects, alors la réponse sera correcte.
Coordonnées du cube
Si le problème C2 contient un cube, considérez-vous chanceux. C'est le polyèdre le plus simple, c'est tout angles dièdres qui sont égaux à 90°.
Le système de coordonnées est également très simple à saisir :
- L'origine des coordonnées est au point A ;
- Le plus souvent, le bord du cube n'est pas indiqué, on le prend donc comme segment unitaire ;
- L'axe x est dirigé le long du bord AB, y - le long du bord AD et l'axe z - le long du bord AA 1.
Attention : l’axe z pointe vers le haut ! Après un système de coordonnées bidimensionnel, c'est quelque peu inhabituel, mais en fait c'est très logique.
Alors maintenant, chaque sommet du cube a des coordonnées. Rassemblons-les dans un tableau - séparément pour le plan inférieur du cube :
Il est facile de remarquer que les points du plan supérieur ne diffèrent des points correspondants du plan inférieur que par la coordonnée z. Par exemple, B = (1 ; 0 ; 0), B 1 = (1 ; 0 ; 1). L'essentiel est de ne pas se tromper !
Prism est déjà bien plus amusant. Avec la bonne approche, il suffit de connaître les coordonnées de la base inférieure uniquement - la base supérieure sera calculée automatiquement.
Dans les problèmes C2, on rencontre exclusivement des prismes trièdres réguliers (prismes droits dont la base repose triangle régulier). Pour eux, le système de coordonnées est introduit presque de la même manière que pour un cube. À propos, si quelqu’un ne le sait pas, un cube est aussi un prisme, uniquement tétraédrique.
Alors, c'est parti ! Nous introduisons le système de coordonnées :
- L'origine des coordonnées est au point A ;
- Nous prenons le côté du prisme comme un seul segment, sauf indication contraire dans l'énoncé du problème ;
- L'axe x est dirigé le long du bord AB, le z - le long du bord AA 1 et l'axe y est positionné de manière à ce que le plan OXY coïncide avec le plan de base ABC.
Quelques éclaircissements s’imposent ici. Le fait est que l’axe y ne coïncide PAS avec le bord AC, comme beaucoup le pensent. Pourquoi ça ne correspond pas ? Pensez par vous-même : le triangle ABC est équilatéral, tous ses angles font 60°. Et les angles entre les axes de coordonnées doivent être de 90°, donc l'image ci-dessus ressemblera à ceci :
J'espère qu'il est maintenant clair pourquoi l'axe y ne suivra pas AC. Traçons la hauteur CH dans ce triangle. Le triangle ACH est un triangle rectangle, et AC = 1, donc AH = 1 · cos A = cos 60° ; CH = 1 péché A = péché 60°. Ces faits sont nécessaires pour calculer les coordonnées du point C.
Jetons maintenant un coup d'œil à l'ensemble du prisme ainsi qu'au système de coordonnées construit :
On obtient les coordonnées suivantes des points :
Comme on peut le voir, les points de la base supérieure du prisme ne diffèrent encore des points correspondants de la base inférieure que par la coordonnée z. Le problème principal concerne les points C et C 1. Ils ont des coordonnées irrationnelles dont il suffit de se souvenir. Eh bien, ou comprenez d'où ils viennent.
Coordonnées du prisme hexagonal
Un prisme hexagonal est un prisme triangulaire « cloné ». Vous pouvez comprendre comment cela se produit si vous regardez la base inférieure - appelons-la ABCDEF. Réalisons constructions supplémentaires: segments AD, BE et CF. Le résultat est six triangles, dont chacun (par exemple, le triangle ABO) constitue la base d'un prisme trièdre.
Présentons maintenant le système de coordonnées lui-même. L'origine des coordonnées - le point O - sera placée au centre de symétrie de l'hexagone ABCDEF. L'axe des x suivra FC et l'axe des y passera par les milieux des segments AB et DE. On obtient cette image :
Attention : l'origine ne coïncide PAS avec le sommet du polyèdre ! En fait, lorsque vous résolvez des problèmes réels, vous constaterez que cela est très pratique car cela peut réduire considérablement la quantité de calculs.
Il ne reste plus qu'à ajouter l'axe z. Selon la tradition, on le dessine perpendiculairement au plan OXY et on le dirige verticalement vers le haut. Nous obtenons l'image finale :
Notons maintenant les coordonnées des points. Supposons que toutes les arêtes de notre prisme hexagonal régulier soient égales à 1. Ainsi, les coordonnées de la base inférieure sont :
Les coordonnées de la base supérieure sont décalées de un le long de l'axe z :
La pyramide est généralement très dure. Nous n'analyserons que le cas le plus simple - une pyramide quadrangulaire régulière dont toutes les arêtes sont égales à un. Cependant, dans les problèmes C2 réels, les longueurs des arêtes peuvent différer, voici donc la régime général coordonner les calculs.
Donc c'est exact pyramide quadrangulaire. C'est le même que Khéops, seulement un peu plus petit. Notons-le SABCD, où S est un sommet. Introduisons un système de coordonnées : l'origine est au point A, le segment unitaire AB = 1, l'axe x est dirigé selon AB, l'axe y est dirigé selon AD, et l'axe z est dirigé vers le haut, perpendiculaire au plan OXY. . Pour d'autres calculs, nous avons besoin de la hauteur SH - nous allons donc la construire. On obtient l'image suivante :
Trouvons maintenant les coordonnées des points. Tout d’abord, regardons l’avion OXY. Tout est simple ici : la base est un carré, ses coordonnées sont connues. Des problèmes surviennent avec le point S. Puisque SH est la hauteur par rapport au plan OXY, les points S et H ne diffèrent que par la coordonnée z. En fait, la longueur du segment SH est la coordonnée z du point S, puisque H = (0,5 ; 0,5 ; 0).
Noter que triangles ABC et ASC sont égaux sur trois côtés (AS = CS = AB = CB = 1, et le côté AC est commun). Donc SH = BH. Mais BH est la moitié de la diagonale du carré ABCD, c'est-à-dire : BH = AB sin 45°. On obtient les coordonnées de tous les points :
C'est tout avec les coordonnées de la pyramide. Mais pas du tout avec des coordonnées. Nous n'avons examiné que les polyèdres les plus courants, mais ces exemples suffisent pour calculer indépendamment les coordonnées de toute autre figure. On peut donc procéder, en fait, aux méthodes de résolution tâches spécifiques C2.
Un système ordonné de deux ou trois axes sécants perpendiculaires les uns aux autres avec début commun référence (origine) et une unité commune de longueur est appelée rectangulaire Système cartésien coordonnées .
Système de coordonnées cartésiennes général (système de coordonnées affines) ne comprend pas nécessairement des axes perpendiculaires. En l'honneur mathématicien français René Descartes (1596-1662) a nommé un tel système de coordonnées dans lequel une unité de longueur commune est mesurée sur tous les axes et les axes sont droits.
Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan a deux axes et système de coordonnées cartésiennes rectangulaires dans l'espace - trois axes. Chaque point sur un plan ou dans l'espace est défini par un ensemble ordonné de coordonnées - des nombres correspondant à l'unité de longueur du système de coordonnées.
A noter que, comme il ressort de la définition, il existe un système de coordonnées cartésiennes sur une ligne droite, c'est-à-dire à une dimension. L'introduction de coordonnées cartésiennes sur une ligne est l'une des façons par lesquelles tout point d'une ligne est associé à un nombre réel bien défini, c'est-à-dire une coordonnée.
La méthode des coordonnées, née dans les travaux de René Descartes, a marqué une restructuration révolutionnaire de toutes les mathématiques. Il est devenu possible d'interpréter équations algébriques(ou inégalités) sous forme d'images géométriques (graphiques) et, à l'inverse, chercher une solution problèmes géométriques en utilisant des formules analytiques et des systèmes d'équations. Oui, les inégalités z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной plan de coordonnées xOy et situé au dessus de ce plan de 3 unités.
En utilisant le système de coordonnées cartésiennes, l'appartenance d'un point sur une courbe donnée correspond au fait que les nombres x Et oui satisfaire une équation. Ainsi, les coordonnées d'un point sur un cercle de centre en un point donné ( un; b) satisfont l'équation (x - un)² + ( oui - b)² = R.² .
Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan
Deux axes perpendiculaires sur un plan avec une origine commune et la même forme d'unité d'échelle Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur le plan . L'un de ces axes est appelé l'axe Bœuf, ou axe x , l'autre - l'axe Oy, ou axe y . Ces axes sont aussi appelés axes de coordonnées. Notons par M.x Et M.oui respectivement, la projection d'un point arbitraire M. sur l'axe Bœuf Et Oy. Comment obtenir des projections ? Passons par le point M. Bœuf. Cette droite coupe l'axe Bœuf au point M.x. Passons par le point M. droite perpendiculaire à l'axe Oy. Cette droite coupe l'axe Oy au point M.oui. Ceci est montré dans l’image ci-dessous.
x Et oui points M. nous appellerons les valeurs des segments dirigés en conséquence OMx Et OMoui. Les valeurs de ces segments orientés sont calculées en conséquence comme x = x0 - 0 Et oui = oui0 - 0 . Coordonnées cartésiennes x Et oui points M. abscisse Et ordonnée . Le fait que le point M. a des coordonnées x Et oui, est noté comme suit : M.(x, oui) .
Les axes de coordonnées divisent le plan en quatre quadrant , dont la numérotation est indiquée dans la figure ci-dessous. Il montre également la disposition des signes pour les coordonnées des points en fonction de leur emplacement dans un quadrant particulier.
En plus des coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan, le système de coordonnées polaires est également souvent pris en compte. A propos de la méthode de transition d'un système de coordonnées à un autre - dans la leçon système de coordonnées polaires .
Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires dans l'espace
Les coordonnées cartésiennes dans l'espace sont introduites en complète analogie avec les coordonnées cartésiennes dans le plan.
Trois axes mutuellement perpendiculaires dans l'espace (axes de coordonnées) avec une origine commune Ô et avec la même unité d'échelle, ils forment Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans l'espace .
L'un de ces axes est appelé axe Bœuf, ou axe x , l'autre - l'axe Oy, ou axe y , le troisième axe Oz, ou application de l'axe . Laisser M.x, M.oui M.z- projections d'un point arbitraire M. espace sur l'axe Bœuf , Oy Et Oz respectivement.
Passons par le point M. BœufBœuf au point M.x. Passons par le point M. plan perpendiculaire à l'axe Oy. Ce plan coupe l'axe Oy au point M.oui. Passons par le point M. plan perpendiculaire à l'axe Oz. Ce plan coupe l'axe Oz au point M.z.
cartésien coordonnées rectangulaires x , oui Et z points M. nous appellerons les valeurs des segments dirigés en conséquence OMx, OMoui Et OMz. Les valeurs de ces segments orientés sont calculées en conséquence comme x = x0 - 0 , oui = oui0 - 0 Et z = z0 - 0 .
Coordonnées cartésiennes x , oui Et z points M. sont appelés en conséquence abscisse , ordonnée Et postuler .
Les axes de coordonnées pris par paires sont situés dans des plans de coordonnées xOy , yOz Et zox .
Problèmes concernant les points dans un système de coordonnées cartésiennes
Exemple 1.
UN(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Trouvez les coordonnées des projections de ces points sur l'axe des abscisses.
Solution. Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des abscisses se situe sur l'axe des abscisses lui-même, c'est-à-dire l'axe Bœuf, et a donc une abscisse égale à l'abscisse du point lui-même, et une ordonnée (coordonnée sur l'axe Oy, que l'axe des x coupe au point 0), égal à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes de ces points sur l'axe des x :
UNx(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5 ; 0).
Exemple 2. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan
UN(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Trouvez les coordonnées des projections de ces points sur l'axe des ordonnées.
Solution. Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des ordonnées se situe sur l'axe des ordonnées lui-même, c'est-à-dire l'axe Oy, et a donc une ordonnée égale à l'ordonnée du point lui-même, et une abscisse (coordonnée sur l'axe Bœuf, que l'axe des ordonnées coupe au point 0), qui est égal à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes de ces points sur l'axe des ordonnées :
UNy(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Exemple 3. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan
UN(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Bœuf .
Bœuf Bœuf Bœuf, aura la même abscisse que point donné, et d'ordonnée égale à valeur absolue ordonnée d'un point donné, et son signe opposé. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Bœuf :
UN"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Résolvez vous-même les problèmes en utilisant le système de coordonnées cartésiennes, puis examinez les solutions
Exemple 4. Déterminer dans quels quadrants (quarts, dessin avec quadrants - à la fin du paragraphe « Système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan ») un point peut être localisé M.(x; oui) , Si
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − oui = 0 ;
4) x + oui = 0 ;
5) x + oui > 0 ;
6) x + oui < 0 ;
7) x − oui > 0 ;
8) x − oui < 0 .
Exemple 5. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan
UN(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(un; b) .
Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy .
Continuons à résoudre les problèmes ensemble
Exemple 6. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan
UN(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy .
Solution. Rotation de 180 degrés autour de l'axe Oy segment directionnel à partir de l'axe Oy jusqu'à présent. Sur la figure, où sont indiqués les quadrants du plan, on voit que le point symétrique à celui donné par rapport à l'axe Oy, aura la même ordonnée que le point donné, et une abscisse égale en valeur absolue à l'abscisse du point donné et opposée en signe. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'axe Oy :
UN"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Exemple 7. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés sur le plan
UN(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Trouvez les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à l'origine.
Solution. Nous faisons pivoter le segment dirigé allant de l'origine au point donné de 180 degrés autour de l'origine. Sur la figure, où sont indiqués les quadrants du plan, on voit qu'un point symétrique au point donné par rapport à l'origine des coordonnées aura une abscisse et une ordonnée égales en valeur absolue à l'abscisse et à l'ordonnée du point donné, mais signe opposé. On obtient donc les coordonnées suivantes des points symétriques à ces points par rapport à l'origine :
UN"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Exemple 8.
UN(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Trouvez les coordonnées des projections de ces points :
1) dans un avion Oxy ;
2) dans un avion Oxz ;
3) à l'avion Oyz ;
4) sur l'axe des abscisses ;
5) sur l'axe des ordonnées ;
6) sur l'axe d'application.
1) Projection d'un point sur un plan Oxy est situé sur ce plan lui-même, et a donc une abscisse et une ordonnée égales à l'abscisse et à l'ordonnée d'un point donné, et une applicative égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oxy :
UNxy (4 ; 3 ; 0);
Bxy (-3 ; 2 ; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projection d'un point sur un plan Oxz est situé sur ce plan lui-même, et a donc une abscisse et une applicative égales à l'abscisse et une applicative d'un point donné, et une ordonnée égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oxz :
UNxz (4 ; 0 ; 5);
Bxz (-3 ; 0 ; 1);
Cxz (2 ; 0 ; 0).
3) Projection d'un point sur un plan Oyz est situé sur ce plan lui-même, et a donc une ordonnée et une applicative égales à l'ordonnée et une applicative d'un point donné, et une abscisse égale à zéro. On obtient donc les coordonnées suivantes des projections de ces points sur Oyz :
UNyz(0 ; 3 ; 5);
Byz (0 ; 2 ; 1);
Cyz (0 ; -3 ; 0).
4) Comme il ressort de la partie théorique de cette leçon, la projection d'un point sur l'axe des abscisses se situe sur l'axe des abscisses lui-même, c'est-à-dire l'axe Bœuf, et a donc une abscisse égale à l'abscisse du point lui-même, et l'ordonnée et l'appliqué de la projection sont égaux à zéro (puisque les axes ordonnée et appliqué coupent l'abscisse au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe des abscisses :
UNx(4;0;0);
Bx (-3 ; 0 ; 0);
Cx(2;0;0).
5) La projection d'un point sur l'axe des ordonnées est située sur l'axe des ordonnées lui-même, c'est-à-dire l'axe Oy, et a donc une ordonnée égale à l'ordonnée du point lui-même, et l'abscisse et l'appliqué de la projection sont égaux à zéro (puisque les axes des abscisses et appliqués coupent l'axe des ordonnées au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe des ordonnées :
UNy(0 ; 3 ; 0);
Boui (0 ; 2 ; 0);
Cy(0;-3;0).
6) La projection d'un point sur l'axe applicatif est située sur l'axe applicatif lui-même, c'est-à-dire l'axe Oz, et a donc un applicatif égal à l'appliqué du point lui-même, et l'abscisse et l'ordonnée de la projection sont égales à zéro (puisque les axes des abscisses et des ordonnées coupent l'axe applicatif au point 0). On obtient les coordonnées suivantes des projections de ces points sur l'axe appliqué :
UNz (0 ; 0 ; 5);
Bz (0 ; 0 ; 1);
Cz(0 ; 0 ; 0).
Exemple 9. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les points sont donnés dans l'espace
UN(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Trouver les coordonnées des points symétriques à ces points par rapport à :
1) avion Oxy ;
2) avions Oxz ;
3) avions Oyz ;
4) axes des abscisses ;
5) axes des ordonnées ;
6) appliquer les axes ;
7) origine des coordonnées.
1) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oxy Oxy, aura une abscisse et une ordonnée égales à l'abscisse et à l'ordonnée d'un point donné, et une applicative égale en grandeur à l'aplicate d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oxy :
UN"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oxzà la même distance. A partir de la figure affichant l'espace de coordonnées, on voit qu'un point symétrique à un point donné par rapport à l'axe Oxz, aura une abscisse et une applicative égales à l'abscisse et une applicative d'un point donné, et une ordonnée égale en grandeur à l'ordonnée d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oxz :
UN"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Déplacer" le point de l'autre côté de l'axe Oyzà la même distance. A partir de la figure affichant l'espace de coordonnées, on voit qu'un point symétrique à un point donné par rapport à l'axe Oyz, aura une ordonnée et une aplicate égales à l'ordonnée et une aplicate d'un point donné, et une abscisse égale en valeur à l'abscisse d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives au plan Oyz :
UN"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Par analogie avec points symétriques sur le plan et les points de l'espace symétriques aux données relatives aux plans, on note que dans le cas de symétrie par rapport à un axe du système de coordonnées cartésiennes dans l'espace, la coordonnée sur l'axe par rapport auquel la symétrie est donnée sera conservera son signe, et les coordonnées sur les deux autres axes auront la même valeur absolue que les coordonnées d'un point donné, mais de signe opposé.
4) L'abscisse conservera son signe, mais l'ordonnée et l'appliquée changeront de signe. Ainsi, on obtient les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe des abscisses :
UN"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) L'ordonnée conservera son signe, mais l'abscisse et l'appliqué changeront de signe. Ainsi, on obtient les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe des ordonnées :
UN"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) L'appliqué conservera son signe, mais l'abscisse et l'ordonnée changeront de signe. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données par rapport à l'axe appliqué :
UN"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Par analogie avec la symétrie dans le cas de points sur un plan, dans le cas de symétrie par rapport à l'origine des coordonnées, toutes les coordonnées d'un point symétrique à un point donné seront égales en valeur absolue aux coordonnées d'un point donné, mais de signe opposé. Ainsi, nous obtenons les coordonnées suivantes des points symétriques aux données relatives à l'origine.
Un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est défini par deux lignes droites mutuellement perpendiculaires. Les lignes droites sont appelées axes de coordonnées (ou axes de coordonnées). Le point d'intersection de ces lignes s'appelle l'origine et est désigné par la lettre O.
Habituellement, l'une des lignes est horizontale, l'autre est verticale. La ligne horizontale est désignée comme l'axe des x (ou Ox) et est appelée axe des abscisses, la ligne verticale est l'axe des y (Oy), appelé axe des ordonnées. L'ensemble du système de coordonnées est désigné par xOy.
Le point O divise chacun des axes en deux demi-axes, dont l'un est considéré comme positif (indiqué par une flèche), l'autre - négatif.
Chaque point F du plan se voit attribuer une paire de nombres (x; y) - ses coordonnées.
La coordonnée x est appelée abscisse. Il est égal à Buffle, pris avec le signe approprié.
La coordonnée y est appelée ordonnée et est égale à la distance du point F à l'axe Oy (avec le signe approprié).
Les distances entre les axes sont généralement (mais pas toujours) mesurées dans la même unité de longueur.
Les points situés à droite de l'axe y ont des abscisses positives. Les points situés à gauche de l’axe des ordonnées ont des abscisses négatives. Pour tout point situé sur l'axe Oy, sa coordonnée x est nulle.
Les points avec une ordonnée positive se trouvent au-dessus de l'axe des x et les points avec une ordonnée négative se trouvent en dessous. Si un point se trouve sur l’axe Ox, sa coordonnée y est nulle.
Les axes de coordonnées divisent le plan en quatre parties, appelées quarts de coordonnées (ou angles de coordonnées ou quadrants).
1 quartier de coordonnées situé à droite coin supérieur plan de coordonnées xOy. Les deux coordonnées des points situés dans le premier quartier sont positives.
Le passage d'un quartier à l'autre s'effectue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
2 coordonnées quart est situé dans le coin supérieur gauche. Les points situés dans le deuxième quart ont une abscisse négative et une ordonnée positive.
3 coordonnées quart se situe dans le quadrant inférieur gauche du plan xOy. Les deux coordonnées des points appartenant à Coordonnée III coin, négatif.
4 coordonnées quart est le coin inférieur droit du plan de coordonnées. Tout point du quartier IV a une première coordonnée positive et une seconde négative.
Un exemple de localisation de points dans un système de coordonnées rectangulaires :
Si à travers le point O dans l'espace nous traçons trois lignes droites perpendiculaires, nous les appelons, vous les amenez vers la droite. Si nous désignons des coupes individuelles, alors nous obtenons. système rectangulaire co-or-di-nat dans l'espace. Les axes co-ou-di-nat sont nommés ainsi : Ox - axe ab-ciss, Oy - axe or-di-nat et Oz - axe up-pli-cat. L'ensemble du système de co-or-di-nat signifie Oxyz. Il apparaît ainsi trois avions co-ou-di-nat: Oxy, Oxz, Oyz.
Voici un exemple de construction du point B(4;3;5) dans un système de coordonnées rectangulaires (voir Fig. 1 ).
Riz. 1. Construction du point B dans l'espace
Le premier co-or-di-to-ta point B est 4, c'est pourquoi de-kla-dy-va-em sur Ox 4, allons tout droit vers l'axe pa-ral-lel-but Oy jusqu'à ce qu'il coupe le droite passant par y = 3. Ainsi, on obtient le point K. Ce point se situe dans le plan Oxy et a pour coordonnées K(4;3;0). Vous devez maintenant créer une parallèle directe à l’axe Oz. Et une ligne droite qui passe par le point avec up-pli-ka-toy 5 et pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma dans le plan Oxy. Sur leur re-se-se-che-nii nous obtenons le point B requis.
Considérons l'emplacement des points pour lesquels un ou deux coefficients sont égaux à 0 (voir Fig. 2).
Par exemple, le point A(3;-1;0). Il faut continuer l'axe Oy vers la gauche jusqu'à la valeur -1, trouver le point 3 sur l'axe Ox, et à l'intersection des droites passant par ces valeurs Trouvons le point A. Ce point a une valeur approximative de 0, ce qui signifie qu'il se trouve dans le plan Oxy.
Le point C(0;2;0) a abs-cis-su et up-pli-ka-tu 0 - pas de-me-cha-em. Or-di-na-ta est égal à 2, ce qui signifie que le point C se trouve uniquement sur l'axe Oy, qui n'est pas plat, Oxy et Oyz.
Pour déplacer le point D(-4;0;3), nous étendons l'axe Ox au-delà du début jusqu'au point -4. Maintenant, nous restaurons à partir de ce point le per-pen-di-ku-lyar - l'axe droit et parallèle Oz au per-re-se-che-niy avec un axe droit et parallèle Ox et passant par la valeur 3 sur l'Oz axe. Nous obtenons le D(-4;0;3) actuel. Puisque l’ordre du point est égal à 0, cela signifie que le point D se situe dans le plan Oxz.
Point suivant E(0;5;-3). Or-di-na-ta points 5, a-pli-ka-ta -3, pro-vo-dim droites passant par ces valeurs sur les axes de correspondance, et à leur intersection on obtient le point E(0 ;5;-3). Ce point a une première coordination de 0, ce qui signifie qu'il se situe dans le plan Oyz.
2. Coordonnées vectorielles
Regardons le système rectangulaire de co-or-di-nat dans l'espace Oxyz. Créons un système rectangulaire dans l'espace co-or-di-nat Oxyz. Sur chacun des axes linéaires, il y a un seul vecteur, c'est-à-dire un vecteur dont la longueur est égale à un. Nous désignons le vecteur unitaire de l'axe ab-ciss, le vecteur unitaire de l'axe or-di-nat et le vecteur unitaire de l'axe up-pli-cat (voir . Fig. 1). Ces paupières sont alignées avec des axes droitiers, ont une seule longueur et sont or-to-go-nal-ny - par paires -mais per-pen-di-ku-lyar-ny. De tels siècles sont appelés ko-or-di-nat-ny-mi siècle à-ra-mi ou ba-zi-som.
Riz. 1. Diviser les paupières en trois paupières co-ou-di-nat
Prenez un vecteur mème, placez-le dans le na-cha-lo co-or-di-nat et divisez ce vecteur en trois non planaires - couchés -chim dans différents plans - siècle en images. Pour ce faire, abaissons la projection du point M sur le plan Oxy, et trouvons la coordination des vecteurs, et. Mangeons : . Nous examinons chacun de ces siècles séparément. Le vecteur se trouve sur l'axe Ox, ce qui signifie que, selon la propriété de multiplier le vecteur par un nombre, il peut être représenté comme un nombre x femme-à-ko-ou-di-nat-ny vecteur-tor. , et la longueur de la paupière est exactement x fois supérieure à la longueur . On fait de même avec les paupières et, et on divise les paupières en trois paupières co-or-di-nat -to-ram :
Les coefficients de cette distribution de x, y et z sont appelés ko-or-di-na-ta-mi siècle-ra dans l'espace.
On regarde les principes primordiaux, qui se posent en-la-yut selon les co-ou-di-on-là des siècles donnés, pour trouver les co-ou-di-na-tu sont leurs sommes et leurs différences, ainsi que co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya du siècle donné pour un nombre donné.
1) Ajout :
2) You-chi-ta-nie :
3) Multiplier par un nombre : 
,
Vecteur, na-cha-lo ko-ro-go coïncide avec na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya rayon-siècle-rhum.(Fig.2). Vecteur - ra-di-us-vecteur, où x, y et z sont les coefficients de distribution de ce vecteur selon le co-ou -di-nat-nym siècle en bélier , , . Dans ce cas, x est la première co-op du point A sur l'axe Ox, y est le co-or du point B sur l'axe Oy, z est co-op -di-na-ta le point C sur l'axe Oz . Il ressort clairement du dessin que ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra à un moment donné -sur-ce-mi pointe M.
Prenez le point A(x1;y1;z1) et le point B(x2;y2;z2) (voir Fig. 3). Nous imaginons un vecteur comme une différence entre un fossé centenaire et, de par sa nature, un fossé centenaire. De plus, et - ra-di-us-vek-ry, et leur co-or-di-na-you coopèrent avec les co-or-di-na-ta-mi con-tsov de ces siècles. On peut alors présenter le siècle co-or-di-na-you comme la différence entre les siècles co-or-di-nat et : . De cette façon, co-or-di-na-you siècle à ra, nous pouvons nous développer à travers co-or-di-na-you fin et na-cha-la siècle à ra.
Regardons des exemples illustrant les propriétés des siècles et leur expression à travers co-or-di-na-you. Prenez un mème d'un siècle, , . On nous demande un siècle. Dans ce cas, trouver cela signifie trouver le co-or-di-na-you du siècle, qui le détermine complètement. Le mettre au même endroit au lieu de cent siècles de coresponsabilité de leur co-or-di-na-you. Mangeons :
Maintenant, nous multiplions le nombre 3 par chaque co-ou-di-sur-cela entre parenthèses, et faisons de même avec 2 :
On a obtenu la somme de trois siècles, on les stocke selon la propriété étudiée ci-dessus :
Répondre: 
Exemple n°2.
Donné : Pi-ra-mi-da triangulaire AOBC (voir Fig. 4). Les avions AOB, AOC et OCB sont par paires mais par-pen-di-ku-lyar-ny. OA = 3, OB = 7, OC = 4 ; M - ser.AC; N - ser.OC; P - gris C.B.
Trouver: ,,,,,,,.
Solution : Introduisons un système rectangulaire de co-ordi-nat Oxyz avec un point de départ au point O. Par condition nous connaissons les points A, B et C sur les axes et les arêtes se-re-di-ny du pi- ra-mi-dy - M, P et N. D'après la figure, on passe au co-ou -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy : A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Un système de coordonnées rectangulaire (les autres noms sont plats, bidimensionnels), nommé d'après le scientifique français Descartes (1596-1650) « Système de coordonnées cartésiennes sur un plan », est formé par l'intersection sur un plan à angle droit (perpendiculaire) de deux axes numériques de sorte que le demi-axe positif de l'un est dirigé vers la droite (axe des x ou axe des abscisses) et le second est dirigé vers le haut (axe des y ou axe des ordonnées).
Le point d'intersection des axes coïncide avec le point 0 de chacun d'eux et est appelé origine des coordonnées.
Pour chacun des axes, une échelle arbitraire (un segment de longueur unique) est sélectionnée. Chaque point du plan correspond à une paire de nombres, appelés coordonnées de ce point du plan. A l’inverse, toute paire ordonnée de nombres correspond à un point du plan pour lequel ces nombres sont des coordonnées.
La première coordonnée d’un point est appelée l’abscisse de ce point et la deuxième coordonnée est appelée l’ordonnée.
L'ensemble du plan de coordonnées est divisé en 4 quadrants (quarts). Les quadrants sont situés du premier au quatrième dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (voir figure).
Pour déterminer les coordonnées d'un point, vous devez trouver sa distance à l'axe des abscisses et des ordonnées. Puisque la distance (la plus courte) est déterminée par la perpendiculaire, alors à partir du point deux perpendiculaires (lignes auxiliaires sur le plan de coordonnées) sont abaissées sur l'axe de sorte que le point de leur intersection soit l'emplacement point donné dans le plan de coordonnées. Les points d'intersection des perpendiculaires avec les axes sont appelés projections du point sur les axes de coordonnées.
Le premier quadrant est limité par les demi-axes positifs d'abscisse et d'ordonnée. Donc les coordonnées des points dans ce quart du plan seront positives
(les signes "+" et
Par exemple, le point M (2 ; 4) dans la figure ci-dessus.
Le deuxième quadrant est limité par l’axe x négatif et l’axe y positif. Par conséquent, les coordonnées des points le long de l'axe des abscisses seront négatives (signe « - »), et le long de l'axe des ordonnées elles seront positives (signe « + »).
Par exemple, le point C (-4 ; 1) dans la figure ci-dessus.
Le troisième quadrant est limité par l’axe x négatif et l’axe y négatif. Par conséquent, les coordonnées des points le long de l'axe des abscisses et des ordonnées seront négatives (signes « - » et « - »).
Par exemple, le point D (-6 ; -2) dans la figure ci-dessus.
Le quatrième quadrant est limité par l’axe des x positif et l’axe des y négatif. Par conséquent, les coordonnées des points le long de l’axe des abscisses seront positives (le signe « + »). et le long de l'axe des ordonnées - négatif (signe "-").
Par exemple, le point R (3 ; -3) dans la figure ci-dessus.
Construire un point en utilisant ses coordonnées spécifiées
nous trouverons la première coordonnée du point sur l'axe des x et tracerons une ligne auxiliaire qui la traverse - une perpendiculaire ;
nous trouverons la deuxième coordonnée du point sur l'axe des ordonnées et tracerons une ligne auxiliaire qui la traverse - une perpendiculaire ;
le point d'intersection de deux perpendiculaires (lignes auxiliaires) correspondra au point de coordonnées données.
