Détermination des distances
Distances de point à point et de point à ligne
Distance d'un point à un autre est déterminé par la longueur de la ligne droite reliant ces points. Comme indiqué ci-dessus, ce problème peut être résolu soit par la méthode du triangle rectangle, soit en remplaçant les plans de projection, en déplaçant le segment vers la position de la ligne de niveau.
Distance d'un point à une ligne mesuré par un segment perpendiculaire tracé d'un point à une ligne. Un segment de cette perpendiculaire est représenté en taille réelle sur le plan de projection s'il est tracé sur la droite saillante. Ainsi, la ligne droite doit d'abord être transférée vers la position saillante, puis de point donné abaissez une perpendiculaire dessus. En figue. 1 montre la solution à ce problème. Pour transférer la ligne de position générale AB vers la position de la ligne de niveau, x14 IIA1 B1 est exécuté. Ensuite AB est transféré en position de projection en introduisant un plan de projection supplémentaire P5, pour lequel un nouvel axe de projection x45\A4 B4 est dessiné.
Image 1
A l'instar des points A et B, le point M est projeté sur le plan de projection P5.
La projection K5 de la base K de la perpendiculaire abaissée du point M à la droite AB sur le plan de projection P5 coïncidera avec les projections correspondantes des points
A et B. Projection M5 K5 de la perpendiculaire MK est la valeur naturelle de la distance du point M à la droite AB.
Dans le système de plans de projection P4/P5, la perpendiculaire à MK sera une ligne de niveau, puisqu'elle se situe dans un plan parallèle au plan de projection P5. Sa projection M4 K4 sur le plan P4 est donc parallèle à x45, c'est-à-dire perpendiculaire à la projection A4 B4. Ces conditions déterminent la position de la projection K4 de la base de la perpendiculaire K, que l'on trouve en traçant une droite allant de M4 parallèle à x45 jusqu'à son intersection avec la projection A4 B4. Les projections restantes de la perpendiculaire sont trouvées en projetant le point K sur les plans de projection P1 et P2.
Distance d'un point à l'autre
La solution à ce problème est présentée sur la Fig. 2. La distance du point M au plan (ABC) est mesurée par un segment perpendiculaire tombé du point au plan.
Figure 2
Puisque la perpendiculaire au plan projeté est une ligne de niveau, nous nous déplaçons vers cette position avion donné, ce qui fait que sur le nouveau plan de projection P4 introduit, nous obtenons une projection dégénérée C4 B4 du plan ABC. Ensuite, nous projetons le point M sur P4. La valeur naturelle de la distance du point M au plan est déterminée par le segment perpendiculaire.
[MK]=[M4K4]. Les projections restantes de la perpendiculaire sont construites de la même manière que dans tâche précédente, c'est à dire. en tenant compte du fait que le segment MK dans le système de plans de projection P1/P4 est une ligne de niveau et sa projection M1 K1 est parallèle à l'axe
x14.
Distance entre deux lignes
La distance la plus courte entre les lignes droites qui se croisent est mesurée par la taille du segment de la perpendiculaire commune qui leur est coupé par ces lignes droites. Le problème est résolu en choisissant (suite à deux substitutions successives) un plan de projection perpendiculaire à l'une des droites sécantes. Dans ce cas, le segment perpendiculaire requis sera parallèle au plan de projection sélectionné et y sera représenté sans distorsion. En figue. La figure 3 montre deux lignes sécantes définies par les segments AB et CD.
figure 3
Les lignes sont initialement projetées sur le plan de projection P4, parallèle à l'une (n'importe laquelle) d'entre elles, par exemple AB, et perpendiculaire à P1.
Sur le plan de projection P4, le segment AB sera représenté sans distorsion. Ensuite, les segments sont projetés sur nouvel avion P5 perpendiculaire à la même droite AB et au plan P4. Sur le plan de projection P5, la projection du segment AB perpendiculaire à celui-ci dégénère en le point A5 = B5, et la valeur souhaitée N5 M5 du segment NM est perpendiculaire à C5 D5 et est représentée en taille réelle. A l'aide de lignes de communication appropriées, des projections du segment MN sont construites sur l'original.
dessin. Comme cela a été montré précédemment, la projection N4 M4 du segment recherché sur le plan P4 est parallèle à l'axe de projection x45, puisqu'il s'agit d'une ligne de niveau dans le système de plans de projection P4/P5.
La tâche de déterminer la distance D entre deux lignes parallèles AB à CD - cas particulier le précédent (Fig. 4).
Figure 4
En remplaçant doublement les plans de projection, les droites parallèles sont transférées vers la position de projection, de sorte que sur le plan de projection P5 nous aurons deux projections dégénérées A5 = B5 et C5 = D5 des droites AB et CD. La distance entre eux D sera égale à sa valeur naturelle.
La distance d'une ligne droite à un plan parallèle à celle-ci est mesurée par un segment perpendiculaire tracé à partir de n'importe quel point de la ligne droite sur le plan. Il suffit donc de transformer le plan de position générale en position du plan projeté, de prendre un point direct, et la solution du problème se réduira à déterminer la distance du point au plan.
Pour déterminer la distance entre des plans parallèles, il faut les transférer vers la position de projection et construire une perpendiculaire aux projections dégénérées des plans, dont le segment entre eux sera la valeur de distance souhaitée.
Université technique maritime d'État de Saint-Pétersbourg
Département infographie et support informationnel
LECON 3
TÂCHE PRATIQUE N°3
Déterminer la distance d'un point à une ligne droite.
Vous pouvez déterminer la distance entre un point et une ligne droite en effectuant les constructions suivantes (voir Fig. 1) :
· du point AVEC abaisser la perpendiculaire à une ligne droite UN;
· marquer un point À intersection d'une perpendiculaire avec une droite ;
mesurer la longueur du segment KS, dont le début est un point donné et la fin est le point d'intersection marqué.
Fig. 1. Distance d'un point à une ligne.
La base pour résoudre des problèmes de ce type est la règle de projection angle droit: un angle droit est projeté sans distorsion si au moins un de ses côtés est parallèle au plan de projection(c'est-à-dire occupe un poste privé). Commençons par un tel cas et considérons les constructions permettant de déterminer la distance à partir d'un point AVECà un segment de droite UN B.
Il n'y a pas de cas de test dans cette tâche, mais des options d'exécution tâches individuelles montré dans tableau1 et tableau2. La solution au problème est décrite ci-dessous et les constructions correspondantes sont représentées sur la figure 2.
1. Déterminer la distance d'un point à une ligne particulière.
Tout d'abord, des projections d'un point et d'un segment sont construites. Projection A1B1 parallèle à l'axe X. Cela signifie que le segment UN B parallèle au plan P2. Si du point AVEC tracer perpendiculairement à UN B, alors l'angle droit est projeté sans distorsion sur le plan P2. Cela vous permet de tracer une perpendiculaire à partir d'un point C2à projeter A2B2.
Menu déroulant Segment de dessin (Dessiner- Doubler) . Placer le curseur au point C2 et fixez-le comme premier point du segment. Déplacez le curseur dans la direction de la normale au segment A2B2 et fixez le deuxième point dessus au moment où l'indice apparaît Normale (Perpendiculaire) . Marquer le point construit K2. Activer le mode ORTHO(ORTHO) , et du point de vue K2 tracez une ligne de connexion verticale jusqu'à ce qu'elle croise la projection A1B1. Désignez le point d'intersection par K1. Point À, couché sur le segment UN B, est le point d'intersection de la perpendiculaire tirée du point AVEC, avec segment UN B. Ainsi, le segment KS est la distance requise entre le point et la ligne.
D'après les constructions, il est clair que le segment KS prend position générale et donc ses projections sont déformées. Quand on parle de distance, on veut toujours dire vraie valeur du segment, exprimant la distance. Par conséquent, nous devons trouver la vraie valeur du segment KS, en le faisant pivoter dans une position particulière, par exemple, KS|| P1. Le résultat des constructions est présenté sur la figure 2.
Des constructions représentées sur la Fig. 2, on peut conclure : la position particulière de la ligne (le segment est parallèle P1 ou P2) permet de construire rapidement des projections de la distance d'un point à une ligne, mais elles sont déformées.
Figure 2. Déterminer la distance d'un point à une ligne particulière.
2. Déterminer la distance d'un point à une ligne générale.
Pas toujours dans condition initiale le segment occupe une position particulière. En général position initiale les constructions suivantes sont effectuées pour déterminer la distance d'un point à une ligne :
a) à l'aide de la méthode de transformation de dessin, convertir un segment d'une position générale à une position particulière - cela permettra de construire des projections de distance (déformées) ;
b) en utilisant à nouveau la méthode, convertissez le segment correspondant à la distance requise en une position particulière - nous obtenons une projection de la distance en grandeur égale à la vraie.
Considérons la séquence de constructions pour déterminer la distance à partir d'un point UNà un segment en position générale Soleil(Fig. 3).
Au premier tour il faut obtenir la position particulière du segment DANSC. Pour ce faire dans le calque RMT il faut relier les points À 2 HEURES, C2 Et A2. Utilisation de la commande Changement-Rotation (Modifier – Tourner) Triangle В2С2А2 tourner autour d'un point C2à la position où la nouvelle projection B2*C2 sera situé strictement horizontalement (point AVEC est immobile et, par conséquent, sa nouvelle projection coïncide avec celle d'origine et la désignation C2* Et C1* peut ne pas être représenté sur le dessin). En conséquence, de nouvelles projections du segment seront obtenues B2*C2 et des points : A2*. Suivant à partir des points A2* Et À 2 HEURES* les verticaux sont effectués, et à partir des points EN 1 Et A1 lignes de communication horizontales. L'intersection des lignes correspondantes déterminera la position des points de la nouvelle projection horizontale : le segment B1*C1 et des points A1*.
Dans la position particulière résultante, on peut construire pour cela des projections de distance : à partir du point A1* la normale à B1*C1. Le point de leur intersection mutuelle est K1*. A partir de ce point, on effectue ligne verticale connexions jusqu'à ce qu'elles croisent la projection B2*C2. Un point est marqué K2*. En conséquence, les projections du segment ont été obtenues AK, qui est la distance requise du point UNà un segment de droite Soleil.
Ensuite, il faut construire des projections de distance dans la condition initiale. Pour ce faire à partir du point K1* pratique à réaliser ligne horizontale jusqu'à ce qu'il croise la projection В1С1 et marquez le point d'intersection K1. Alors un point est construit K2 sur la projection frontale du segment et des projections sont réalisées A1K1 Et A2K2. Grâce aux constructions, des projections de la distance ont été obtenues, mais à la fois dans la position initiale et dans la nouvelle position partielle du segment. soleil, segment de ligne AK occupe une position générale, ce qui conduit au fait que toutes ses projections sont déformées.
Lors de la deuxième rotation il faut faire pivoter le segment AKà une position particulière, ce qui nous permettra de déterminer la vraie valeur de la distance - projection A2*K2**. Le résultat de toutes les constructions est présenté sur la figure 3.
TÂCHE N° 3-1. AVEC vers une ligne droite de position particulière spécifiée par un segment UN B. Donnez la réponse en mm (Tableau 1).Retirer les lentilles de projection
Tableau 1
TÂCHE N° 3-2. Trouver la vraie distance d'un point Mà une droite en position générale donnée par le segment ED. Donnez la réponse en mm (Tableau 2).
Tableau 2
Vérification et réussite de la TÂCHE n°3 terminée.
155*. Déterminer la grandeur naturelle d'un segment AB d'une droite en position générale (Fig. 153, a).
Solution. Comme on le sait, la projection d'un segment de droite sur n'importe quel plan est égale au segment lui-même (en tenant compte de l'échelle du dessin), s'il est parallèle à ce plan
(Fig. 153, b). Il s'ensuit qu'en transformant le dessin il faut réaliser le parallélisme ce segment PL. V ou carré H ou compléter le système V, H par un autre plan perpendiculaire au carré. V ou au pl. H et en même temps parallèle à ce segment.
En figue. 153, c montre l'introduction d'un plan supplémentaire S, perpendiculaire au carré. H et parallèle à un segment AB donné.
La projection a s b s est égale à la valeur naturelle du segment AB.
En figue. 153, d montre une autre technique : le segment AB tourne autour d'une droite passant par le point B et perpendiculaire au carré. H, vers une position parallèle
PL. V. Dans ce cas, le point B reste en place, et le point A prend une nouvelle position A 1. L'horizon est dans une nouvelle position. projection une 1 b || axe x La projection a" 1 b" est égale à la taille naturelle du segment AB.
156. Dana Pyramide SABC D (fig. 154). Déterminez la taille réelle des arêtes AS et CS de la pyramide, en utilisant la méthode de changement des plans de projection, et des arêtes BS et DS, en utilisant la méthode de rotation, et prenez l'axe de rotation perpendiculaire au carré. H.
157*. Déterminez la distance du point A à la droite BC (Fig. 155, a).
Solution. La distance d'un point à une ligne est mesurée par un segment perpendiculaire tracé du point à la ligne.
Si la ligne droite est perpendiculaire à n'importe quel plan (Fig. 155.6), alors la distance du point à la ligne droite est mesurée par la distance entre la projection du point et point de projection ligne droite sur ce plan. Si une ligne droite occupe une position générale dans le système V, H, alors pour déterminer la distance d'un point à une ligne droite en changeant les plans de projection, il est nécessaire d'introduire deux plans supplémentaires dans le système V, H.
Tout d'abord (Fig. 155, c), nous entrons dans le carré. S, parallèle au segment BC (le nouvel axe S/H est parallèle à la projection bс), et on construit les projections b s c s et a s. Ensuite (Fig. 155, d) nous introduisons un autre carré. T, perpendiculaire à la droite BC (le nouvel axe T/S est perpendiculaire à b s avec s). Nous construisons des projections d'une ligne droite et d'un point - avec t (b t) et a t. La distance entre les points a t et c t (b t) est égale à la distance l du point A à la droite BC.
En figue. 155, d, la même tâche est accomplie en utilisant la méthode de rotation dans sa forme, appelée méthode de mouvement parallèle. Premièrement, la ligne droite BC et le point A, en gardant leur position relative inchangée, pivotent autour d'une ligne droite (non indiquée sur le dessin) perpendiculaire au carré. H, de sorte que la droite BC est parallèle au carré. V. Cela équivaut à déplacer les points A, B, C dans des plans parallèles au carré. H. En même temps, l'horizon. projection système donné(BC + A) ne change ni en taille ni en configuration, seule sa position par rapport à l'axe x change. Nous plaçons l'horizon. projection de la droite BC parallèle à l'axe des x (position b 1 c 1) et déterminer la projection a 1, en mettant de côté c 1 1 1 = c-1 et a 1 1 1 = a-1, et a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. En traçant des lignes droites b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 parallèles à l'axe des x, on retrouve le devant sur elles. projections b" 1, a" 1, c" 1. Ensuite, nous déplaçons les points B 1, C 1 et A 1 dans des plans parallèles à la zone V (également sans les changer position relative), de manière à obtenir B 2 C 2 ⊥ pl. H. Dans ce cas, la projection de la droite sera perpendiculaire au front axes x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1, et pour construire la projection a" 2 vous devez prendre b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, dessiner 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 et mettre de côté a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Maintenant, après avoir dépensé avec 1 avec 2 et un 1 un 2 || x 1 on obtient les projections b 2 de 2 et a 2 et la distance souhaitée l du point A à la droite BC. La distance de A à BC peut être déterminée en faisant tourner le plan défini par le point A et la droite BC autour de l'horizontale de ce plan jusqu'à la position T || PL. H (Fig. 155, f).
Dans le plan défini par le point A et la droite BC, tracez une ligne horizontale A-1 (Fig. 155, g) et faites pivoter le point B autour d'elle. Le point B se déplace vers un carré. R (précisé sur le dessin à côté de R h), perpendiculaire à A-1 ; au point O se trouve le centre de rotation du point B. Déterminons maintenant la valeur naturelle du rayon de rotation VO (Fig. 155, c). Dans la position requise, c'est-à-dire quand pl. T, déterminé par le point A et la droite BC, deviendra || PL. H, le point B sera sur R h à une distance Ob 1 du point O (il peut y avoir une autre position sur la même trace R h, mais de l'autre côté de O). Le point b 1 est l'horizon. projection du point B après l'avoir déplacé vers la position B 1 dans l'espace, lorsque le plan défini par le point A et la droite BC a pris la position T.
En traçant (Fig. 155, i) la droite b 1 1, on obtient l'horizon. projection de la droite BC, déjà localisée || PL. H est dans le même plan que A. Dans cette position, la distance de a à b 1 1 est égale à la distance l souhaitée. Le plan P, dans lequel se trouvent les éléments donnés, peut être combiné avec le carré. H (Fig. 155, j), tournant carré. R autour d'elle, c'est l'horizon. tracer. En passant de la spécification du plan par le point A et la droite BC à la spécification des droites BC et A-1 (Fig. 155, l), nous trouvons des traces de ces droites et traçons les traces P ϑ et P h à travers elles. Nous construisons (Fig. 155, m) combiné avec la place. Position H à l'avant. trace - P ϑ0 .
Par le point a, nous dessinons l'horizon. projection frontale; le frontal combiné passe par le point 2 de la trace P h parallèle à P ϑ0. Point A 0 - combiné avec le carré. H est la position du point A. De même, on retrouve le point B 0. Soleil direct combiné avec carré. La position H passe par le point B 0 et le point m (trace horizontale de la droite).
La distance du point A 0 à la droite B 0 C 0 est égale à la distance requise l.
Vous pouvez réaliser la construction indiquée en ne trouvant qu'une seule trace de P h (Fig. 155, n et o). L'ensemble de la construction s'apparente à une rotation autour d'une horizontale (voir Fig. 155, g, c, i) : la trace P h est une des horizontales pl. R.
Parmi les méthodes proposées pour résoudre ce problème, la méthode privilégiée pour transformer un dessin est la méthode de rotation autour de l'horizontale ou frontale.
158. La pyramide SABC est donnée (Fig. 156). Déterminez les distances :
a) du haut B de la base jusqu'à son côté AC par la méthode du mouvement parallèle ;
b) du sommet S de la pyramide jusqu'aux côtés BC et AB de la base en tournant autour de l'horizontale ;
c) du sommet S vers le côté AC de la base en changeant les plans de projection.
159. Un prisme est donné (Fig. 157). Déterminez les distances :
a) entre les nervures AD et CF en changeant les plans de projection ;
b) entre les côtes BE et CF par rotation autour du frontal ;
c) entre les arêtes AD et BE par mouvement parallèle.
160. Déterminez la taille réelle du quadrilatère ABCD (Fig. 158) en l'alignant avec le carré. N. Utilisez uniquement la trace horizontale du plan.
161*. Déterminez la distance entre les droites croisées AB et CD (Fig. 159, a) et construisez des projections de la perpendiculaire commune à celles-ci.
Solution. La distance entre les lignes qui se croisent est mesurée par un segment (MN) perpendiculaire aux deux lignes (Fig. 159, b). Évidemment, si l’une des lignes droites est placée perpendiculairement à n’importe quel carré. T, alors
le segment MN perpendiculaire aux deux droites sera parallèle au carré. Sa projection sur ce plan affichera la distance requise. Projection de l'angle droit de la menade MN n AB sur le carré. T s'avère également être un angle droit entre m t n t et a t b t , puisque l'un des côtés de l'angle droit est AMN, à savoir MN. parallèle au carré T.
En figue. 159, c et d, la distance requise l est déterminée par la méthode de changement des plans de projection. Nous introduisons d’abord un carré supplémentaire. projections S, perpendiculaires au carré. H et parallèle à la droite CD (Fig. 159, c). Ensuite, nous introduisons un autre carré supplémentaire. T, perpendiculaire au carré. S et perpendiculaire à la même droite CD (Fig. 159, d). Vous pouvez maintenant construire une projection de la perpendiculaire générale en traçant m t n t à partir du point c t (d t) perpendiculaire à la projection a t b t. Les points m t et n t sont des projections des points d'intersection de cette perpendiculaire avec les droites AB et CD. En utilisant le point m t (Fig. 159, e), nous trouvons m s sur a s b s : la projection de m s n s doit être parallèle à l'axe T/S. Ensuite, à partir de m s et n s, nous trouvons m et n sur ab et cd, et à partir d'eux m" et n" sur a"b" et c"d".
En figue. 159, c montre la solution à ce problème en utilisant la méthode des mouvements parallèles. Nous plaçons d’abord la droite CD parallèle au carré. V : projection c 1 ré 1 || X. Ensuite, nous déplaçons les droites CD et AB des positions C 1 D 1 et A 1 B 1 vers les positions C 2 B 2 et A 2 B 2 de sorte que C 2 D 2 soit perpendiculaire à H : projection c" 2 d" 2 ⊥ X. Le segment de la perpendiculaire recherchée est situé || PL. H, et donc m 2 n 2 exprime la distance l souhaitée entre AB et CD. On retrouve la position des projections m" 2, et n" 2 sur a" 2 b" 2 et c" 2 d" 2, puis les projections m" 1 et m" 1, n 1 et n" 1, enfin, les projections m" et n", m et n.
162. La pyramide SABC est donnée (Fig. 160). Déterminez la distance entre l'arête SB et le côté AC de la base de la pyramide et construisez des projections d'une perpendiculaire commune à SB et AC, en utilisant la méthode de changement de plan de projection.
163. La pyramide SABC est donnée (Fig. 161). Déterminez la distance entre l'arête SH et le côté BC de la base de la pyramide et construisez des projections de la perpendiculaire commune à SX et BC en utilisant la méthode du déplacement parallèle.
164*. Déterminer la distance du point A au plan dans les cas où le plan est spécifié par : a) le triangle BCD (Fig. 162, a) ; b) traces (Fig. 162, b).
Solution. Comme vous le savez, la distance d'un point à un plan se mesure par la valeur de la perpendiculaire tracée du point au plan. Cette distance est projetée sur n'importe quelle zone. projections grandeur nature, si avion donné perpendiculaire au carré projections (Fig. 162, c). Cette situation peut être obtenue en transformant le dessin, par exemple en changeant la zone. projections. Introduisons pl. S (Fig. 16c, d), perpendiculaire au carré. triangle BCD. Pour ce faire, nous passons sur la place. triangle horizontal B-1 et placez l'axe de projection S perpendiculairement à la projection b-1 horizontale. Nous construisons des projections d'un point et d'un plan - a s et d'un segment c s d s. La distance de a s à c s d s est égale à la distance souhaitée l du point au plan.
À Rio. 162, d la méthode du mouvement parallèle est utilisée. On déplace l'ensemble du système jusqu'à ce que le plan horizontal B-1 devienne perpendiculaire au plan V : la projection b 1 1 1 doit être perpendiculaire à l'axe x. Dans cette position, le plan du triangle deviendra frontal et la distance l du point A à celui-ci sera pl. V sans distorsion.
En figue. 162, b le plan est défini par des traces. Nous introduisons (Fig. 162, e) un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. P : l'axe S/H est perpendiculaire à P h. Le reste ressort clairement du dessin. En figue. 162, g le problème a été résolu en un seul mouvement : pl. P passe en position P1, c'est-à-dire qu'il devient projeté vers l'avant. Piste. P 1h est perpendiculaire à l'axe des x. Nous construisons le front dans cette position de l'avion. la trace horizontale est le point n" 1,n 1. La trace P 1ϑ passera par P 1x et n 1. La distance de a" 1 à P 1ϑ est égale à la distance requise l.
165. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 160). Déterminez la distance entre le point A et le bord de la pyramide SBC en utilisant la méthode du mouvement parallèle.
166. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 161). Déterminez la hauteur de la pyramide en utilisant la méthode du déplacement parallèle.
167*. Déterminez la distance entre les lignes de croisement AB et CD (voir Fig. 159,a) comme la distance entre les plans parallèles passant par ces lignes.
Solution. En figue. 163, et les plans P et Q sont parallèles entre eux, dont pl. Q est tracé par CD parallèlement à AB, et pl. P - passant par AB parallèle au carré. Q. La distance entre ces plans est considérée comme la distance entre les lignes droites AB et CD qui se croisent. Cependant, vous pouvez vous limiter à construire un seul plan, par exemple Q, parallèle à AB, puis déterminer la distance au moins du point A à ce plan.
En figue. 163, c montre le plan Q tracé par CD parallèlement à AB ; dans les projections réalisées avec "e" || a"b" et ce || un B. En utilisant la méthode de changement de pl. projections (Fig. 163, c), nous introduisons un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. V et en même temps
perpendiculaire au carré Q. Pour dessiner l'axe S/V, prenez le frontal D-1 dans ce plan. Dessinons maintenant S/V perpendiculairement à d"1" (Fig. 163, c). PL. Q sera représenté sur le carré. S comme une ligne droite avec s d s. Le reste ressort clairement du dessin.
168. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 160). Déterminez la distance entre les côtes SC et AB Appliquer : 1) méthode de changement de zone. projections, 2) méthode de mouvement parallèle.
169*. Déterminez la distance entre des plans parallèles dont l'un est défini par les droites AB et AC, et l'autre par les droites DE et DF (Fig. 164, a). Effectuez également la construction pour le cas où les plans sont spécifiés par des traces (Fig. 164, b).
Solution. La distance (Fig. 164, c) entre des plans parallèles peut être déterminée en traçant une perpendiculaire de n'importe quel point d'un plan à un autre plan. En figue. 164, g un carré supplémentaire a été introduit. S perpendiculaire au carré. H et aux deux avions donnés. L'axe S.H est perpendiculaire à l'horizontale. projection horizontale dessinée dans l'un des plans. On construit une projection de ce plan et un point dans un autre plan du carré. 5. La distance du point d s à la droite l s a s est égale à la distance requise entre les plans parallèles.
En figue. 164, d une autre construction est donnée (selon la méthode du mouvement parallèle). Pour que le plan exprimé par les droites sécantes AB et AC soit perpendiculaire au carré. V, horizon. Nous fixons la projection horizontale de ce plan perpendiculairement à l'axe des x : 1 1 2 1 ⊥ x. Distance entre l'avant. la projection d" 1 du point D et la droite a" 1 2" 1 (projection frontale du plan) est égale à la distance requise entre les plans.
En figue. 164, e montre l'introduction d'un carré supplémentaire. S, perpendiculaire à l'aire H et aux plans donnés P et Q (l'axe S/H est perpendiculaire aux traces P h et Q h). Nous construisons des traces de P s et Q s. La distance entre eux (voir Fig. 164, c) est égale à la distance souhaitée l entre les plans P et Q.
En figue. 164, g montre le mouvement des avions P 1 n Q 1, vers la position P 1 et Q 1, lorsque l'horizon. les traces s'avèrent perpendiculaires à l'axe des x. Distance entre les nouveaux fronts. les traces P 1ϑ et Q 1ϑ sont égales à la distance requise l.
170. Étant donné le parallélépipède ABCDEFGH (Fig. 165). Déterminer les distances : a) entre les bases du parallélépipède - l 1 ; b) entre les faces ABFE et DCGH - l 2 ; c) entre les faces de l'ADHE et du BCGF-l 3.
La distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne. DANS géométrie descriptive c'est déterminé graphiquement selon l'algorithme ci-dessous.
Algorithme
- La ligne droite est déplacée vers une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. A cet effet, des méthodes de transformation de projections orthogonales sont utilisées.
- À partir d’un point, une perpendiculaire est tracée à une ligne. Au coeur de cette construction réside le théorème sur la projection d'un angle droit.
- La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en transformant ses projections ou en utilisant la méthode du triangle rectangle.
La figure suivante montre dessin complexe point M et ligne b définis par le segment CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.
Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la droite jusqu'à la position parallèle au plan projections. Il est important de comprendre qu'une fois les transformations effectuées, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il convient ici d'utiliser la méthode de remplacement du plan, qui n'implique pas de déplacement de figures dans l'espace.
Les résultats de la première étape de construction sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. DANS nouveau système(P 1, P 4) les points C"" 1, D"" 1, M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.
En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, à partir de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 jusqu'à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en taille réelle. A l'aide de la ligne de communication, on détermine la position du point N" et on réalise la projection M"N" du segment MN.
Sur étape finale vous devez déterminer la taille du segment MN à partir de ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1. Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0, qui a un côté N"" 1 N 0 égal à la différence(Y M 1 – Y N 1) supprimant les points M" et N" de l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.
Deuxième solution
- Parallèlement au CD, nous introduisons un nouveau plan frontal P4. Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C"" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
- Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un supplémentaire plan horizontal P 5 sur laquelle la droite b est projetée jusqu'au point C" 2 = b" 2.
- La distance entre le point M et la ligne b est déterminée par la longueur du segment M" 2 C" 2, indiquée en rouge.
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