Je suis seul, mais je le suis toujours. Je ne peux pas tout faire, mais je peux quand même faire quelque chose. Et je ne refuserai pas de faire le peu que je peux (c)
Nombre et montant diviseurs naturels nombre naturel
Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout nombre naturel n > 1 est soit simple, soit peut être représenté, et de façon unique - à l'ordre des facteurs près, comme un produit de nombres premiers (on peut supposer que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être représenté comme un produit de nombres premiers, si l'on suppose que ce produit ne peut contenir qu'un seul facteur).
Parmi les facteurs simples présents dans le développement `n = p1*p2*...*pk`, il peut y en avoir des identiques. Par exemple, « 24=2*2*2*3 ». Ils peuvent être combinés en utilisant l'opération d'exponentiation. De plus, les facteurs premiers peuvent être classés par grandeur. Le résultat est une décomposition
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, où `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k dans NN`
(1)
Cette représentation d'un nombre s'appelle sa décomposition canonique en facteurs premiers. Par exemple, représentation canonique le nombre 2 520 a la forme 2 520 = 2 3 3 2 5 7.
Depuis expansion canonique nombres, vous pouvez facilement dériver le lemme suivant : Si n a la forme (1), alors tous les diviseurs de ce nombre ont la forme :
`d = p_1^(bêta_1)*p_2^(bêta_2)*......*p_k^(bêta^k)`, où `0<= beta_m <= alpha_m` (`m = 1,2,..., k`)
(2)
En fait, il est évident que tout d de la forme (2) divise a. Inversement, soit d divise a, alors a=cd, où c est un nombre naturel et, par conséquent, tous les diviseurs premiers du nombre d sont inclus dans le développement canonique du nombre a avec des exposants ne dépassant pas les exposants correspondants du nombre a. .
Considérons deux fonctions définies sur l'ensemble des nombres naturels :
a) τ(n) - le nombre de tous les diviseurs naturels de n ;
2) σ(n) la somme de tous les diviseurs naturels du nombre n.
Soit n un développement canonique (1). Dérivons des formules pour un nombre et la somme de ses diviseurs naturels.
Théorème 1. Nombre de diviseurs naturels de n
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
(3)
Preuve.
Exemple. Le nombre 2 520 = 2 3 3 2 5 7. a (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 diviseurs.
Théorème 2. Soit n un développement canonique (1). Alors la somme des diviseurs naturels de n est égale à
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ........* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4)
Preuve.
Exemple. Trouvez la somme de tous les diviseurs du nombre 90.
90=2 3 2 5. Alors σ(90)=[(2 2 -1)/(2-1)] [3 3 -1)/(3-1)] [(5 2 -1)/(5 -1)]=234
La formule (4) peut aider à trouver tous les diviseurs d'un nombre Ainsi, par exemple, pour trouver tous les diviseurs du nombre 90, on ouvre les parenthèses dans le produit suivant (sans effectuer l'opération d'addition) : (1+2) (1+3+3 2)(1+ 5)=(1+1*3+1*Z 2 +1*2+2*3+2*Z 2)(1+5) = 1+3+Z 2 +2+2*3+2*Z 2 + 5+3*5+Z 2 *5+2*5+2*3*5+2*Z 2 *5 = 1+3+9+2+6 +18+5+15+45+10+ 30+90 - les termes sont les diviseurs du nombre 90.
Résolvons plusieurs problèmes sur le thème "Nombre et somme des diviseurs naturels d'un nombre naturel"
Tâche 1. Trouvez un nombre naturel, sachant qu'il n'a que deux facteurs premiers, que le nombre de tous les facteurs est 6 et que la somme de tous les facteurs est 28.
Devoirs de la collection TTZ - Examen d'État unifié 2010. Mathématiques. Tâches de test typiques
Tâche 2. TTZ.С6.2 Trouvez tous les nombres naturels qui sont divisibles par 42 et qui ont exactement 42 diviseurs naturels différents (dont un et le nombre lui-même).
Tâche 3. TTZ.С6.9 Trouver tous les nombres naturels dont le dernier chiffre décimal est 0 et qui ont exactement 15 facteurs naturels différents (dont un et le nombre lui-même).
Tâche 4. SPI.С6.9. L'entier naturel n a exactement 6 diviseurs. La somme de ces diviseurs est 3500. Trouvez n.
Solution VEk :
Missions pour travail indépendant
SR1. Trouvez tous les nombres qui ont exactement 2 facteurs premiers, soit un total de 8 facteurs dont la somme est 60.
SR2. Trouvez des nombres naturels divisibles par 3 et 4 et comportant exactement 21 facteurs naturels.
SR3. Trouvez le plus petit nombre naturel qui possède exactement 18 diviseurs naturels.
SR4. Trouvez le plus petit nombre qui est un multiple de 5 et possède 18 facteurs naturels.
SR5. Certains nombres naturels ont deux facteurs premiers. Son carré ne comporte que 15 diviseurs. Combien de diviseurs possède le cube de ce nombre ?
SR6. Certains nombres naturels ont deux facteurs premiers. Son carré ne compte que 81 diviseurs. Combien de diviseurs possède le cube de ce nombre ?
SR7. Trouvez un nombre de la forme m = 2 x 3 y 5 z, sachant que la moitié a 30 diviseurs de moins, un tiers a 35 diviseurs et un cinquième a 42 diviseurs de moins que le nombre lui-même.
Instructions
Le plus souvent, vous devez factoriser un nombre en facteurs premiers. Ce sont des nombres qui divisent le nombre d'origine sans reste, et en même temps peuvent eux-mêmes être divisés sans reste uniquement par eux-mêmes et par un (des nombres tels que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.) . De plus, aucun modèle n’a été trouvé dans la série. Prenez-les dans un tableau spécial ou trouvez-les à l'aide d'un algorithme appelé « tamis d'Eratosthène ».
Les nombres qui ont plus de deux diviseurs sont appelés nombres composés. Quoi Nombres peuvent-ils être composés ?
Parce que Nombres sont divisibles par 2, alors tous sont pairs Nombres, sauf Nombres 2 sera composite. En effet, dans la division 2 :2, deux est divisé par lui-même, c'est-à-dire qu'il n'a que deux diviseurs (1 et 2) et est un nombre premier.
Voyons si le même a Nombres d'une autre manière diviseurs. Divisons-le d'abord par 2. De par la nature commutative de l'opération de multiplication, il est évident que le quotient résultant sera aussi un diviseur Nombres. Ensuite, si le quotient obtenu est un nombre entier, on divise à nouveau ce quotient par 2. Ensuite, le nouveau quotient résultant y = (x:2):2 = x:4 sera également un diviseur de l'original Nombres. De même, 4 sera un diviseur de l'original Nombres.
Poursuivant cette chaîne, généralisons la règle : on divise séquentiellement d'abord puis les quotients résultants par 2 jusqu'à ce que le quotient devienne égal à un nombre impair. Dans ce cas, tous les quotients résultants seront des diviseurs de ce Nombres. De plus, les diviseurs de ce Nombres il y aura Nombres 2^k où k = 1...n, où n est le nombre d'étapes de cette chaîne. Exemple : 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 est un nombre impair. Donc 12, 6 et 3 sont diviseurs Nombres 24. Il y a 3 étapes dans cette chaîne, donc les diviseurs Nombres 24 sera également Nombres 2^1 = 2 (déjà connu par parité Nombres 24), 2^2 = 4 et 2^3 = 8. Ainsi, Nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 seront des diviseurs Nombres 24.
Cependant, cela ne peut pas tout donner pour tous les nombres pairs. diviseurs Nombres. Considérons, par exemple, le nombre 42. 42:2 = 21. Cependant, comme on le sait, Nombres 3, 6 et 7 seront aussi des diviseurs Nombres 42.
Il y a une divisibilité en Nombres. Considérons les plus importants d'entre eux :
Test de divisibilité par 3 : lorsque la somme des chiffres Nombres divisible par 3 sans reste.
Test de divisibilité par 5 : quand le dernier chiffre Nombres 5 ou 0.
Test de divisibilité par 7 : lorsque le résultat de la soustraction de deux fois le dernier chiffre de ce Nombres Sans le dernier chiffre, il est divisible par 7.
Test de divisibilité par 9 : lorsque la somme des chiffres Nombres divisible par 9 sans reste.
Test de divisibilité par 11 : lorsque la somme des chiffres occupant les places impaires est soit égale à la somme des chiffres occupant les places paires, soit en découle par un nombre divisible par 11.
Il y a aussi des signes de divisibilité par 13, 17, 19, 23 et autres Nombres.
Pour les nombres pairs et impairs, vous devez utiliser des signes de division par un nombre particulier. En divisant le nombre, vous devez déterminer diviseurs le quotient résultant, etc. (la chaîne est similaire à la chaîne de nombres pairs lorsqu'on les divise par 2, décrite ci-dessus).
Sources :
- Signes de divisibilité
Parmi les quatre opérations mathématiques de base, l’opération la plus gourmande en ressources est la division. Cela peut être fait manuellement (en colonne), sur des calculatrices de différentes conceptions, ainsi qu'à l'aide d'une règle à calcul.
Instructions
Pour diviser un nombre par un autre à l'aide d'une colonne, notez d'abord le dividende, puis le diviseur. Placez une ligne verticale entre eux. Tracez une ligne horizontale sous le séparateur. De manière cohérente, comme si vous supprimiez les chiffres de poids faible, vous obtiendrez un nombre supérieur au diviseur. En multipliant séquentiellement les nombres de 0 à 9 par le diviseur, trouvez le plus grand des Nombres, inférieur à celui obtenu à l’étape précédente. Écrivez ce chiffre comme premier chiffre du quotient. Écrivez le résultat de la multiplication de ce chiffre par le diviseur sous le dividende avec un décalage d'une place vers la droite. Effectuez la soustraction, et avec son résultat, effectuez les mêmes actions jusqu'à trouver tous les chiffres du quotient. Déterminez l'emplacement de la virgule en soustrayant l'ordre du diviseur de l'ordre du dividende.
Si les nombres ne sont pas divisibles entre eux, deux situations sont possibles. Dans le premier d’entre eux, un chiffre ou une combinaison de plusieurs chiffres sera répété à l’infini. Il ne sert alors à rien de continuer le calcul - il suffit de prendre ce nombre ou une chaîne de nombres dans une période. Dans la seconde situation, aucune régularité dans le particulier ne sera possible. Arrêtez ensuite de diviser, après avoir atteint la précision souhaitée du résultat, et arrondissez le dernier.
Pour diviser un nombre par un autre à l'aide d'une calculatrice arithmétique (de base et technique), appuyez sur le bouton de réinitialisation, entrez le dividende, appuyez sur le bouton de division, entrez le diviseur, puis appuyez sur le bouton du signe égal. Sur une calculatrice avec notation de formule, divisez de la même manière, en tenant compte du fait que la touche avec le signe égal peut être, par exemple, Entrée ou Exe. Les appareils modernes de ce type sont à deux lignes : saisis sur la ligne du haut et le résultat est affiché en bas avec un plus grand nombre. A l'aide de la touche Ans, ce résultat peut être utilisé dans le calcul suivant. Dans tous les cas, le résultat est automatiquement arrondi dans la grille numérique de la calculatrice.
Sur une calculatrice avec notation polonaise inversée, appuyez d'abord sur le bouton de réinitialisation, puis saisissez le dividende et appuyez sur la touche Entrée (au lieu de cette inscription, il peut y avoir une flèche vers le haut). Le numéro finira dans la cellule de pile. Entrez maintenant le diviseur et appuyez sur la touche de division. Le nombre de la pile sera divisé par le nombre précédemment affiché sur l'indicateur.
Utilisez une règle à calcul dans les cas où peu de précision est requise. Supprimer des deux Nombres, puis prenez les deux chiffres les plus significatifs de chacun d’eux. Sur l'échelle A, trouvez le diviseur, puis faites-le correspondre avec le dividende sur l'échelle B. Trouvez ensuite l'unité sur cette dernière - juste au-dessus, sur l'échelle A se trouvera privé. Déterminez l'emplacement de la virgule de la même manière qu'avec une colonne.
Sources :
- Ordre de division des colonnes
- les numéros privés sont
Les écoliers rencontrent souvent la formulation suivante parmi les devoirs de mathématiques : « trouver le plus petit commun multiple de nombres ». Vous devez absolument apprendre à procéder ainsi pour effectuer diverses opérations avec des fractions aux dénominateurs inégaux.
Trouver le plus petit commun multiple : concepts de base
Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».
Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.
Il peut y avoir un nombre limité de diviseurs d’un nombre particulier, mais il existe un nombre infini de multiples.
Un multiple commun d'entiers naturels est un nombre qui est divisible par eux sans laisser de reste.
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.
Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.
Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.
Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :
LCM(4, 6) = 24
Plus grand total diviseur- c'est le nombre maximum par lequel chacun des nombres proposés peut être divisé. Ce terme est souvent utilisé pour réduire des fractions complexes où le numérateur et le dénominateur doivent être divisés par le même nombre. Il est parfois possible de déterminer le plus grand commun diviseurà l'œil nu, mais dans la plupart des cas, pour le trouver, vous devrez effectuer une série d'opérations mathématiques.
Vous aurez besoin
- Pour ce faire, vous aurez besoin d'une feuille de papier ou d'une calculatrice.
Instructions
Décomposez chaque nombre complexe en un produit de nombres premiers ou de facteurs. Par exemple, 60 et 80, où 60 est égal à 2*2*3*5 et 80 est 2*2*2*2*5, cela peut être écrit plus simplement en utilisant . DANS dans ce cas ressemblera à deux dans la seconde multiplié par cinq et trois, et la seconde est le produit de deux dans la quatrième et cinq.
Notez maintenant les nombres communs aux deux. Dans notre version, c'est deux et cinq. Cependant, dans d'autres cas, ce numéro peut comporter un, deux ou trois chiffres, voire même . Ensuite, vous devez travailler. Choisissez le plus petit pour chaque multiplicateur. Dans l’exemple, c’est deux à la puissance deux et cinq à la première.
Enfin, il vous suffit de multiplier les nombres obtenus. Dans notre cas, tout est extrêmement simple : deux dans , multiplié par cinq, est égal à 20. Ainsi, le nombre 20 peut être appelé le plus grand diviseur commun de 60 et 80.
Vidéo sur le sujet
Veuillez noter
N'oubliez pas qu'un facteur premier est un nombre qui n'a que 2 diviseurs : un et le nombre lui-même.
Conseils utiles
En plus de cette méthode, vous pouvez également utiliser l’algorithme euclidien. Sa description complète, présentée sous forme géométrique, se trouve dans le livre "Éléments" d'Euclide.
Article connexe
Vous pouvez souvent trouver des équations dans lesquelles . Par exemple, 350 : X = 50, où 350 est le dividende, X est le diviseur et 50 est le quotient. Pour résoudre ces exemples, il est nécessaire d’effectuer un certain ensemble d’actions avec les nombres connus.
Vous aurez besoin
- - un crayon ou un stylo ;
- - une feuille de papier ou un cahier.
Instructions
Composez une équation simple où l'inconnue, c'est-à-dire X est le nombre d'enfants, 5 est le nombre de bonbons que chaque enfant a reçu et 30 est le nombre de bonbons achetés. Vous devriez donc obtenir : 30 : X = 5. Dans cette expression mathématique, 30 est appelé le dividende, X est le diviseur et le quotient résultant est 5.
Maintenant, commencez à résoudre. C'est connu : pour trouver un diviseur, il faut diviser le dividende par le quotient. Il s'avère : X = 30 : 5 ; 30 : 5 = 6 ;
Vérifiez en remplaçant le nombre résultant dans l'équation. Donc, 30 : X = 5, vous avez trouvé le diviseur inconnu, c'est-à-dire X = 6, donc : 30 : 6 = 5. L'expression est correcte, et il s'ensuit que l'équation est résolue. Bien entendu, lors de la résolution d’exemples impliquant des nombres premiers, la vérification n’est pas nécessaire. Mais lorsque les équations de , à trois chiffres, à quatre chiffres, etc. numéros, assurez-vous de vérifier vous-même. Après tout, cela ne prend pas beaucoup de temps, mais donne une confiance absolue dans le résultat obtenu.
Veuillez noter
ARITHMÉTIQUE
L'arithmétique est la reine des mathématiques, et tout le monde y trouvera des problèmes appropriés - d'un élève de première année à un académicien.
Des chiffres merveilleux
Appelons « remarquable » un nombre naturel s’il est le plus petit parmi tous les nombres naturels ayant la même somme de chiffres. Par exemple, le nombre 1 est remarquable car c’est le plus petit des nombres 1, 10, 100, 1000, etc. 1 est le premier nombre remarquable. Trouvez le deuxième nombre remarquable. Décrivez tous les nombres dont la somme des chiffres est la même. De même pour le troisième, dixième et merveilleux numéro de 2010.
Trouvez le plus grand nombre remarquable à deux chiffres. Quel est son numéro ?
Rectangles avec une surface donnée
Sur du papier quadrillé, dessinez tous les rectangles dont l'aire est égale à 24 cellules. (Les côtés doivent suivre les limites des cellules.) Combien y aura-t-il de tels rectangles ?
Pour quelles zones n’existe-t-il qu’un seul rectangle ? Lesquels nécessitent deux rectangles différents ? Trois rectangles différents ? Comment le nombre d’options dépend-il de la zone ?
Parmi tous les rectangles de même aire, trouvez celui qui a le plus petit périmètre.
Extension du nombre
Le nombre 15 peut être représenté de trois manières comme une somme de nombres naturels consécutifs : 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Combien de ces façons existe-t-il pour le nombre 115 ? Comment trouver le nombre de façons d’un nombre arbitraire ?
Supercalculateur
Un supercalculateur ne peut effectuer qu'une seule opération : l'opération de mélange de deux nombres : à partir des nombres m, n, l'ordinateur obtient le nombre (m+n) /2. Si m+n est impair, alors l'ordinateur se bloque. Tous les numéros reçus sont stockés en mémoire. Donnons-nous trois nombres, dont l'un est zéro et les deux autres sont naturels et non égaux entre eux. Pour quels nombres m et n peut-on obtenir sur un supercalculateur ?
Diagonales des rectangles
Un rectangle mesurant 199 x 991 cellules a été tracé sur une feuille de papier. Par combien de nœuds (c'est-à-dire de sommets de cellules) la diagonale passe-t-elle ? Combien de cellules la diagonale de ce rectangle coupe-t-elle ? Essayez de donner une réponse pour un rectangle de taille arbitraire - taille de cellules M x N.
Note. Une diagonale coupe une cellule si elle va « à l’intérieur » de cette cellule, plutôt que de simplement passer par le haut.
Problème d'échange
Quels montants peut-on payer en pièces de 3 et 5 roubles ? Généralisation : quels nombres sont exprimés par la combinaison ax+by, où a et b reçoivent des nombres naturels, x et y sont des entiers arbitraires non négatifs.
7. Skl UN carrés du bas
Skl UN les nombres donnés sont des nombres dont le carré se termine par le même nombre. Par exemple:
5 2 =25 ; 6 2 =36 ; 25 2 = 625 .
"Cinq cinq- vingt cinq", "six six- trente six».
Trouvez autant de numéros pliants que possible ; trouvez un moyen de trouver tous ces nombres.
Trouver des nombres avec un nombre donné de diviseurs
Il n’existe qu’un seul nombre qui possède exactement un diviseur : un. Tous les nombres premiers ont exactement deux diviseurs. Par exemple, les nombres 4 et 9, qui sont des carrés de nombres premiers, ont exactement trois diviseurs. Tous les nombres qui ont exactement trois diviseurs ont-ils cette propriété ? De quel type de nombre peut-il s'agir s'il a exactement 4 diviseurs ? 5 diviseurs ? Pour un nombre naturel donné N décrire tous les nombres naturels ayant exactement N diviseurs.
Expansions de fractions
, 
, 
, …
Pour le nombre 1/7, l'expansion en fraction décimale est périodique et se compose de six chiffres, et pour 2/7, 3/7, ..., 6/7 - à partir des mêmes six chiffres dans un ordre différent (vérifier !). Mais pour le nombre 1/13 et 2/13 les séries de nombres sont différentes. Explorez les développements de ces nombres et des nombres de la forme 1/p, 2/p, ..., (p-1)/p, pour p = 17, 19, 41, 47 et d'autres nombres premiers, et découvrez ce que il y a des cycles.
Une variété de problèmes de nombres entiers utilisent des concepts et des théorèmes de base liés à la divisibilité. Citons-en quelques-uns.
Problèmes avec des solutions
1. Combien y a-t-il d’entiers naturels inférieurs à 1 000 qui ne sont divisibles ni par 5 ni par 7 ?
Sur 999 nombres inférieurs à 1000, on raye les nombres multiples de 5 : il y en a 199. Ensuite, on raye les nombres multiples de 7 : il y en a 142. Mais parmi les nombres multiples de 7, il y a = 28 nombres qui sont aussi des multiples de 5 ; ils seront barrés deux fois. Au total, il faut rayer 199+142–28=313 nombres. Cela laisse 999-313 = 686.
Réponse : 686 numéros.
2. Numéro de ticket de bus – un numéro à six chiffres. Un ticket est dit porte-bonheur si la somme des trois premiers chiffres du numéro est égale à la somme des trois derniers chiffres. Montrer que la somme de tous les numéros de tickets porte-bonheur est divisible par 13.
Si un ticket porte-bonheur porte le numéro A, alors un ticket portant le numéro B = 999999–A est également porte-bonheur, tandis que A et B sont différents. Puisque A+B=999999=1001·999=13·77·99 est divisible par 13, alors la somme des numéros de tous les tickets chanceux est divisible par 13.
3. Montrer que la somme des carrés de trois entiers ne peut pas laisser un reste de 7 lorsqu'elle est divisée par 8.
Tout entier divisé par 8 a un reste d'un des huit nombres suivants 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, donc le carré d'un entier a un reste lorsqu'il est divisé par 8 l'un des trois nombres 0, 1, 4. Pour que la somme des carrés de trois nombres ait un reste de 7 lorsqu'elle est divisée par 8, il faut que l'un des deux cas soit vrai : soit l'un des carrés, soit les trois ont des restes impairs lorsqu'il est divisé par 8.
Dans le premier cas, le reste impair est 1 et la somme de deux restes pairs est 0, 2, 4, c'est-à-dire que la somme de tous les restes est 1, 3, 5. Le reste 7 dans ce cas ne peut pas être obtenu. Dans le second cas, trois restes impairs sont trois 1 et le reste de la somme entière est 3. Ainsi, 7 ne peut pas être un reste lorsqu'on divise par 8 la somme des carrés de trois entiers.
4. Montrer que pour tout nombre naturel n :
a) le nombre 5 5n+1 + 4 5n+2 + 3 5n est divisible par 11.
b) le nombre 2 5n+3 + 5 n ·3 n+2 est divisible par 17.
a) Dans un premier temps, nous effectuons la transformation suivante de l'expression donnée :
5 5n+1 +4 5n+2 +3 5n = 5(3125) n + 16(1024) n + (243) n = 5(11 284+1) n + 16(11 93+1) n + (11 ·22+1) n .
En tenant compte du binôme de Newton du nième degré, on peut écrire : (x+1) n = Ax+1, où A est un entier pour l'entier x. L’expression ci-dessus devient alors 11B+5+16+1 = 11C, évidemment divisible par 11, où B et C sont des nombres entiers.
b) Effectuons les transformations suivantes, d'où découle l'énoncé à prouver :
2 5n+3 + 5 n 3 n+2 = 8 32 n + 9 15 n = 8(17+15) n + 9 15 n = 17A + 8 15 n + 9 15 n = 17A + 17·15 n = 17V ,
où A, B sont des entiers positifs.
5. Prouvez que :
a) si x 2 + y 2 est divisible par 3 et que les nombres x et y sont des nombres entiers, alors x et y sont divisibles par 3 ;
b) si la somme de trois nombres entiers est divisible par 6, alors la somme des cubes de ces nombres est divisible par 6 ;
c) si p et q sont des nombres premiers et p>3, q>3, alors p 2 –q 2 est divisible par 24 ;
d) si a, b, c sont des entiers quelconques, alors il existe k et t premiers entre eux tels que ak+bt est divisible par c.
a) Soit x = 3a + r 1, y = 3b + r 2, où r 1 et r 2 sont les restes de la division par 3, c'est-à-dire certains des nombres 0, 1, 2. Alors x 2 + y 2 = 3(3a 2 +3b 2 +2аr 1 +2br 2)+(r 1) 2 +(r 2) 2. Puisque x 2 + y 2 est divisé par 3, le premier terme de la dernière somme est divisé par 3, alors (r 1) 2 + (r 2) 2 est divisé par 3, ce qui est possible, compte tenu de ce qui précède, seulement si r 1 = r 2 = 0.
Ainsi, x = 3a et y = 3b, c'est-à-dire que x et y sont divisibles par 3, ce qu'il fallait prouver.
b) Il suffit de montrer que x 3 +y 3 +z 3 –(x+y+z) est divisible par 6. Cela est vrai, car chacun des termes x 3 –x, y 3 –y et z 3 –z est divisible par 6, puisque a 3 –a=a(a–1)(a+1) – produit de trois entiers consécutifs, nécessairement divisibles par 2, 3 et donc 6.
c) La multiplicité de p 2 –q 2 au nombre 3 peut être prouvée comme suit. Lorsqu'ils sont divisés par 3, les carrés des entiers donnent les restes 0 ou 1. Puisque p et q sont des nombres premiers supérieurs à 3, alors p 2 et q 2 lorsqu'ils sont divisés par 3 ont les mêmes restes - un. Alors p 2 –q 2 est divisible par 3.
D'autre part, p 2 –q 2 =(p+q)(p–q). Puisque p et q sont impairs et que lorsqu'ils sont divisés par 4, ils ont des restes de 1 ou 3, l'expression dans certaines parenthèses est divisible par 4, et dans d'autres par 2, et la différence des carrés de p et q est divisée par 8.
Puisque p 2 –q 2 est divisible par les nombres relativement premiers 3 et 8, alors p 2 –q 2 est divisible par 3·8=24, ce qui devait être prouvé.
d) Laissez le plus grand diviseur commun les nombres b et c–a sont égaux à d, b=k·d et c–a=t·d. Alors les nombres k et t sont premiers entre eux.
Donc a·k+b·t est divisé par c.
6. Recherchez :
a) le plus grand diviseur commun des nombres 2n+3 et n+7 ;
b) toutes les paires d'entiers naturels x, y telles que 2x+1 est divisible par y et 2y+1 est divisible par x ;
c) tous les entiers k pour lesquels k 5 +3 est divisible par k 2 +1 ;
d) au moins un nombre naturel n tel que chacun des nombres n, n+1, n+2, ..., n+20 ait un diviseur commun de nombre 30030=2·3·5·7·11· 13, supérieur à un.
a) Notez que si m > n, alors GCD (m; n) = GCD (m – n; n).
Autrement dit, le plus grand commun diviseur de deux nombres naturels est égal au plus grand commun diviseur du module de leur différence et plus petit nombre. Il est facile de prouver cette propriété.
Soit k le diviseur commun de m u n (m > n). Cela signifie que m = ak, n = bk, où a, b sont des nombres naturels et a > b. Alors m – n = k(a – b), ce qui signifie que k est un diviseur du nombre m – n. Cela signifie que tous les diviseurs communs des nombres m et n sont des diviseurs de leur différence m – n, y compris le plus grand diviseur commun.
Utilisons ce qui précède :
PGCD (2n+3 ; n+7) = PGCD (n+7 ; 2n+3 – (n+7)) = PGCD (n+7 ; n-4) = PGCD (n-4 ; 11).
Puisque 11 est un nombre premier, le plus grand diviseur commun requis est 1 ou 11. Si n–4 = 11d, c'est-à-dire n = 4+11d, alors le plus grand diviseur commun est 11, sinon il est 1.
Réponse : PGCD (2n+3 ; n+7) = 11, avec n égal à 4+11d ; PGCD (2n+3 ; n+7) = 1, lorsque n n'est pas égal à 4+11d.
b) Le nombre 2x+1 est impair et divisible par y, donc y est également impair. De même, x est impair.
Les nombres x et y sont relativement premiers. En effet, soit k un diviseur commun de x et y, alors 2x est divisible par k, et (2x+1) est également divisible par k (k est un diviseur de y, et y est un diviseur de 2x+1). Cela signifie que 1 est divisible par k, c'est-à-dire k=1.
Le nombre 2x+2y+1 est divisible par x et y, ce qui signifie qu'il est divisible par xy. Alors 2x+2y+1 n’est pas inférieur à xy.
Réponse : (1 ; 1), (1 ; 3), (3 ; 1), (3 ; 7), (7 ; 3).
c) Puisque k 5 +3 = (k 3 –k)(k 2 +1) + (k+3), alors k 5 +3 est divisible par k 2 +1 si k+3 est divisible par k 2 +1 . Quand est-ce possible ? Considérons les options :
1) k+3 = 0, ce qui signifie k = –3 ;
2) k+3 = k2 +1 ; en résolvant, nous trouvons k = –1, k = 2 ;
3) vérifier les entiers k pour lesquels k+3 > k 2 +1 ; après vérification : k = 0, k = 1.
Réponse : –3, –1, 0, 1, 2.
d) soit m = 2·3·5·7·k. En sélectionnant k pour que m–1 soit divisible par 11 et m+1 soit divisible par 13, nous obtenons que le nombre n = m–10 satisfait aux conditions du problème.
Réponse : par exemple, 9440.
7. Existe-t-il un nombre à dix chiffres divisible par 11 dans lequel chaque chiffre apparaît une fois ?
Méthode I Lors de l'écriture de nombres à trois chiffres divisibles par 11, vous pouvez trouver parmi eux trois nombres dont l'enregistrement comprend tous les nombres de 0 à 9. Par exemple, 275, 396 418. En les utilisant, vous pouvez créer un nombre à dix chiffres divisible par 11. Par exemple :
2753964180 = 275 10 7 + 396 10 7 + 418 10 = 11 (25 10 7 + 36 10 4 + 38 10).
Méthode II. Pour trouver le nombre recherché, on utilisera le critère de divisibilité par 11, selon lequel les nombres n=a 1 a 2 a 3 ...a 10 (dans ce cas, a i ne sont pas des facteurs, mais des chiffres dans la notation de nombre n) et S(n)=a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 sont simultanément divisibles par 11.
Soit A la somme des chiffres inclus dans S(n) avec un signe « + », B – la somme des chiffres inclus dans S(n) avec un signe « – ». Le nombre A–B, selon les conditions du problème, doit être divisible par 11. Mettons B–A=11, en plus évidemment A+B=1+2+3+…+9=45. En résolvant le système résultant B – A = 11, A + B = 45, nous trouvons A = 17, B = 28. Sélectionnons un groupe de cinq différents numéros avec une somme de 17. Par exemple, 1+2+3+5+6=17. Prenons ces nombres comme des nombres impairs. Comme chiffres pairs, prenons les chiffres restants – 4, 7, 8, 9, 0.
On voit que, par exemple, le nombre 1427385960 satisfait aux conditions du problème.
8. Deux nombres à deux chiffres écrits l'un après l'autre forment un nombre à quatre chiffres divisé par leur produit. Trouvez ces numéros.
Soient a et b deux nombres à deux chiffres, alors 100a+b est un nombre à quatre chiffres. Par condition, 100a+b = k·ab, donc b = a(kb–100), c'est-à-dire que b est divisé par a.
Donc b = ma, mais a et b sont des nombres à deux chiffres, donc m est à un chiffre.
Puisque 100a+b = 100a+ ma = a(100+m) et 100a+b = kab, alors a(100+m) = kab,
c'est-à-dire 100+m = kb ou 100+m = kma, d'où 100 = m(ka–1).
Ainsi, m est un diviseur du nombre 100, de plus, m est numéro à un chiffre, ce qui signifie m = 1, 2, 4, 5.
Puisque ka = 1+100/m et que a est à deux chiffres, alors pour m les valeurs 1 et 5 disparaissent, car
lorsque m = 1 le nombre 100/1+1 = 101 n'est divisible par aucun numéro à deux chiffres UN;
avec m = 5 le nombre est 100/5+1 = 21 et on a a = 21, pour lequel b = ma = 5·21 est un nombre à trois chiffres.
Pour m = 2 nous avons, ka = 51, a = 17, b = 17 2 = 34 ;
pour m = 4 nous avons, ka = 26, a = 13, b = 13 4 = 52.
Réponse : 17 et 34, 13 et 52.
9. Montrer que pour tout k et n naturels le nombre 1 2k+1 + 2 2k+1 + . . . + n 2k+1 n'est pas divisible par n + 2.
Profitons du fait que la somme de degrés impairs deux nombres est divisé par la somme de ces nombres, qui découle de . Vous pouvez écrire :
2 2k+1 + n 2k+1 = (2 + n) A 1,
3 2k+1 + (n – 1) 2k+1 = (3 + (n – 1)) A 2 = (2 + n) A 2,
4 2k+1 + (n – 2) 2k+1 = (4 + (n – 2)) A 3 = (2 + n) A 3 et ainsi de suite, où A i sont des nombres entiers.
En fonction de la parité de n, il peut y avoir un manque de nombres pour former la dernière paire ; cela peut être évité en multipliant par 2, considéré dans la condition somme. Donc,
2(1 2k+1 + 2 2k+1 +...+n 2k+1) = 2 1 2k+1 + (2 2k+1 + n 2k+1) + (3 2k+1 + (n – 1 ) 2k+1) +...+ (n 2k+1 + 2 2k+1) =
2 + (n + 2) A, où A est un entier.
L'un des termes de la dernière somme est divisible par n + 2, l'autre n'est divisible par aucun n naturel. Ainsi, la somme considérée dans la condition n’est pas divisible par n pour tout n et k naturels.
10. Prouvez que pour tout nombre premier p > 2 numérateur m fraction
est divisible par p.
Notez que le nombre p–1 est pair, et nous transformons la fraction m/n sous la forme
Amener l'expression résultante à un dénominateur commun
on obtient la relation
d'où découle l'égalité m(p–1)!=pqn. Puisqu'aucun des nombres 1, 2, 3, ..., p–1 n'est divisible par un nombre premier p, la dernière égalité n'est possible que si m est divisible par p, ce qui restait à prouver.
Problèmes sans solutions
1. Montrer que pour tout entier naturel n :
a) le nombre 4n + 15n – 1 est divisible par 9 ;
b) le nombre 3 2n+3 + 40n – 27 est divisible par 64 ;
c) le nombre 5 n (5 n + 1) – 6 n (3 n + 2 n) est divisible par 91.
2. Recherchez :
UN) valeurs naturelles n tel que n 5 – n est divisible par 120 ;
b) le plus petit nombre naturel n tel que n soit divisible par 19 et n + 2 soit divisible par 82.
3. Soient m, n des nombres naturels différents et m est impair. Montrer que 2 m –1 et 2 n +1 sont premiers entre eux.
4. Quatre entiers différents nombres à trois chiffres, commençant par le même chiffre, ont la propriété que leur somme soit divisible par trois sans reste. Trouvez ces numéros.
5. Montrer que pour tout nombre naturel n > 1, le nombre n n – n 2 + n – 1 est divisible par (n – 1) 2 .
