Résolvons le problème. Nous avons deux types de cookies. Certains sont au chocolat et d'autres sont nature. Il y a 48 biscuits au chocolat et 36 simples. Vous devez en préparer autant que possible. numéro possible cadeaux, mais vous devez tous les utiliser.
Tout d'abord, notons tous les diviseurs de chacun de ces deux nombres, puisque ces deux nombres doivent être divisibles par le nombre de cadeaux.
Nous obtenons,
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Trouvons parmi les diviseurs communs que possèdent le premier et le deuxième nombres.
Les facteurs communs seront : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Le plus grand commun diviseur de tous est le nombre 12. Ce nombre est appelé le plus grand commun diviseur des nombres 36 et 48.
Sur la base des résultats obtenus, nous pouvons conclure que 12 cadeaux peuvent être faits à partir de tous les cookies. Un de ces cadeaux contiendra 4 biscuits au chocolat et 3 biscuits ordinaires.
Trouver le plus grand diviseur commun
- Le plus grand nombre naturel qui divise deux nombres a et b sans reste est appelé le plus grand commun diviseur de ces nombres.
Parfois, l'abréviation GCD est utilisée pour raccourcir l'entrée.
Certaines paires de nombres ont un comme plus grand diviseur commun. Ces numéros sont appelés nombres premiers entre eux. Par exemple, les nombres 24 et 35 ont GCD =1.
Comment trouver le plus grand diviseur commun
Afin de trouver le plus grand diviseur commun Il n'est pas nécessaire d'écrire tous les diviseurs de ces nombres.
Vous pouvez le faire différemment. Tout d’abord, factorisez les deux nombres en facteurs premiers.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Maintenant, parmi les facteurs inclus dans le développement du premier nombre, nous allons rayer tous ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre. Dans notre cas, ce sont deux deux.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Les facteurs restants sont 2, 2 et 3. Leur produit est 12. Ce nombre sera le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36.
Cette règle peut être étendue au cas de trois, quatre, etc. Nombres.
Schéma général pour trouver le plus grand diviseur commun
- 1. Divisez les nombres en facteurs premiers.
- 2. Parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayez ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres.
- 3. Calculez le produit des facteurs restants.
Pour apprendre à trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres ou plus, vous devez comprendre ce que sont les nombres naturels, premiers et complexes.
Un nombre naturel est un nombre utilisé pour compter des objets entiers.
Si un nombre naturel ne peut être divisé qu’en lui-même et en un, alors il est appelé premier.
Tous les nombres naturels peuvent être divisés par eux-mêmes et par un, mais le seul nombre premier pair est 2, tous les autres peuvent être divisés par deux. Seuls les nombres impairs peuvent donc être premiers.
Il y a beaucoup de nombres premiers liste complète ils n'existent pas. Pour trouver GCD, il est pratique d'utiliser des tableaux spéciaux avec de tels nombres.
La plupart des nombres naturels peuvent être divisés non seulement par un seul, mais également par d’autres nombres. Ainsi, par exemple, le nombre 15 peut être divisé par 3 et 5. Tous sont appelés diviseurs du nombre 15.
Ainsi, le diviseur de tout A est le nombre par lequel il peut être divisé sans reste. Si un nombre a plus de deux diviseurs naturels, on l'appelle composite.
Le nombre 30 peut avoir des diviseurs tels que 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Vous remarquerez que 15 et 30 ont les mêmes diviseurs 1, 3, 5, 15. Le plus grand diviseur commun de ces deux nombres est 15.
Ainsi, le diviseur commun des nombres A et B est le nombre par lequel ils peuvent être entièrement divisés. Le plus grand peut être considéré comme le maximum nombre total, dans lequel ils peuvent être divisés.
Pour résoudre les problèmes, l'inscription abrégée suivante est utilisée :
PGCD (A ; B).
Par exemple, pgcd (15 ; 30) = 30.
Pour écrire tous les diviseurs d'un nombre naturel, utilisez la notation :
D (15) = (1, 3, 5, 15)
PGCD (9 ; 15) = 1
DANS dans cet exemple Les nombres naturels n'ont qu'un seul facteur commun. On les appelle relativement premiers, l’unité étant donc leur plus grand diviseur commun.
Comment trouver le plus grand diviseur commun des nombres
Pour trouver le pgcd de plusieurs nombres, il vous faut :
Trouver tous les diviseurs de chaque nombre naturel séparément, c'est-à-dire les factoriser en facteurs (nombres premiers) ;
Sélectionnez tous les facteurs identiques de nombres donnés ;
Multipliez-les ensemble.
Par exemple, pour calculer le plus grand diviseur commun des nombres 30 et 56, vous écrivez ce qui suit :
Pour éviter toute confusion, il est pratique d’écrire les facteurs en colonnes verticales. Sur le côté gauche de la ligne, vous devez placer le dividende et sur le côté droit, le diviseur. Sous le dividende, vous devez indiquer le quotient résultant.
Ainsi, dans la colonne de droite, il y aura tous les facteurs nécessaires à la solution.
Les diviseurs identiques (facteurs trouvés) peuvent être soulignés pour plus de commodité. Ils doivent être réécrits et multipliés et le plus grand diviseur commun noté.
PGCD (30 ; 56) = 2 * 5 = 10
Voilà à quel point il est facile de trouver le plus grand commun diviseur des nombres. Si vous pratiquez un peu, vous pouvez le faire presque automatiquement.
Mots clés du résumé :Nombres naturels. Opérations arithmétiques sur les nombres naturels. Divisibilité des nombres naturels. Nombres premiers et composés. Factoriser un nombre naturel en facteurs premiers. Signes de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Plus grand commun diviseur (PGCD), ainsi que plus petit commun multiple (LCD). Division avec reste.
Nombres naturels- ce sont des nombres qui servent à compter les objets - 1, 2, 3, 4 , ... Mais le numéro 0 ce n'est pas naturel !
L'ensemble des nombres naturels est noté N. Enregistrer "3 ∈N" signifie que le nombre trois appartient à l'ensemble des nombres naturels, et la notation "0 ∉N" signifie que le nombre zéro n’appartient pas à cet ensemble.
Système de nombres décimaux - système de positionnement base 10 .
Opérations arithmétiques sur les nombres naturels
Pour les nombres naturels, les actions suivantes sont définies : addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation, extraction de racine. Les quatre premières actions sont arithmétique.
Soient a, b et c des nombres naturels, alors
1. AJOUT. Durée + Durée = Somme
Propriétés d'addition
1. Communicatif a + b = b + a.
2. Conjonctif a + (b + c) = (a + b) + c.
3. une + 0= 0 + une = une.
2. SOUSTRAIT. Minuend - Subtrahend = Différence
Propriétés de la soustraction
1. Soustraire la somme du nombre a - (b + c) = a - b - c.
2. Soustraire un nombre de la somme (a + b) - c = a + (b - c) ; (une + b) - c = (une - c) + b.
3. une - 0 = une.
4. une - une = 0.
3. MULTIPLICATION. Multiplicateur * Multiplicateur = Produit
Propriétés de multiplication
1. Communicatif a*b = b*a.
2. Conjonctive a*(b*c) = (a*b)*c.
3. 1 * une = une * 1 = une.
4. 0 * une = une * 0 = 0.
5. Distributif (a + b) * c = ac + bc ; (a - b) * c = ac - avant JC.
4. DIVISION. Dividende : Diviseur = Quotient
Propriétés de division
1. une : 1 = une.
2. une : une = 1. On ne peut pas diviser par zéro !
3. 0 : une= 0.
Procédure
1. Tout d’abord, les actions entre parenthèses.
2. Puis multiplication, division.
3. Et seulement à la fin de l'addition et de la soustraction.
Divisibilité des nombres naturels. Nombres premiers et composés.
Diviseur d'un nombre naturel UN est l'entier naturel auquel UN divisé sans reste. Nombre 1 est un diviseur de tout nombre naturel.
Un nombre naturel s'appelle simple, si seulement il a deux diviseur : un et le nombre lui-même. Par exemple, les nombres 2, 3, 11, 23 sont des nombres premiers.
Un nombre qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite. Par exemple, les nombres 4, 8, 15, 27 sont des nombres composés.
Test de divisibilité travaux plusieurs nombres : si au moins un des facteurs est divisible par un certain nombre, alors le produit est également divisible par ce nombre. Travail 24 15 77 divisé par 12 , puisque le multiplicateur de ce nombre 24 divisé par 12 .
Test de divisibilité d'une somme (différence) nombres : si chaque terme est divisible par un certain nombre, alors la somme entière est divisée par ce nombre. Si une : b Et c:b, Que (a + c) :b. Et si une : b, UN c non divisible par b, Que a+c non divisible par un nombre b.
Si une : c Et c:b, Que une : b. Sur la base du fait que 72 :24 et 24 :12, nous concluons que 72 :12.
Représentation d'un nombre comme produit de puissances nombres premiers appelé factoriser un nombre en facteurs premiers.
Théorème fondamental de l'arithmétique: tout nombre naturel (sauf 1 ) ou est simple, ou il ne peut être factorisé que d'une seule manière.
Lors de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, les signes de divisibilité sont utilisés et la notation « colonne » est utilisée. Dans ce cas, le diviseur est situé à droite de la ligne verticale et le quotient est écrit sous le dividende.
Par exemple, tâche : factoriser un nombre en facteurs premiers 330 . Solution:
Signes de divisibilité en 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 et 11.
Il y a des signes de divisibilité en 6, 15, 45 etc., c'est-à-dire en nombres dont le produit peut être factorisé 2, 3, 5, 9 Et 10 .
Plus grand diviseur commun
Le plus grand nombre naturel par lequel chacun des deux nombres naturels donnés est divisible est appelé plus grand diviseur commun ces chiffres ( PGCD). Par exemple, PGCD (10 ; 25) = 5 ; et PGCD (18 ; 24) = 6 ; PGCD (7 ; 21) = 1.
Si le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels est égal à 1 , alors ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Algorithme pour trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE)
GCD est souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, 155 cahiers et 62 stylos ont été répartis à parts égales entre les élèves d'une classe. Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ?
Solution: Connaître le nombre d'élèves de cette classe revient à trouver le plus grand commun diviseur des nombres 155 et 62, puisque les cahiers et les stylos ont été répartis à parts égales. 155 = 5 31 ; 62 = 2 31. PGCD (155 ; 62) = 31.
Répondre: 31 élèves dans la classe.
Le plus petit commun multiple
Multiples d'un nombre naturel UN est un nombre naturel divisible par UN sans laisser de trace. Par exemple, le numéro 8 a des multiples : 8, 16, 24, 32 , ... Tout nombre naturel a une infinité de multiples.
Le plus petit commun multiple(LCM) est le plus petit nombre naturel multiple de ces nombres.
Algorithme pour trouver le multiple le plus petit commun ( CNP):
LCM est également souvent utilisé dans les problèmes. Par exemple, deux cyclistes ont démarré simultanément sur une piste cyclable dans la même direction. L’un fait un cercle en 1 minute et l’autre en 45 secondes. Dans combien de minutes minimum après le début du mouvement se retrouveront-ils au départ ?
Solution: Le nombre de minutes après lesquelles ils se retrouveront au départ doit être divisé par 1 minute, ainsi que sur 45 s. En 1 min = 60 s. C'est-à-dire qu'il est nécessaire de trouver le LCM (45 ; 60). 45 = 32 5 ; 60 = 22 3 5. LCM (45 ; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Le résultat est que les cyclistes se retrouveront au départ en 180 s = 3 min.
Répondre: 3 minutes.
Division avec reste
Si un nombre naturel UN n'est pas divisible par un nombre naturel b, alors tu peux faire division avec reste. Dans ce cas, le quotient résultant s’appelle incomplet. L'égalité est juste :
une = bn + r,
Où UN- divisible, b- diviseur, n- quotient incomplet, r- le reste. Par exemple, que le dividende soit égal 243 , diviseur - 4 , Alors 243 : 4 = 60 (reste 3). Autrement dit, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, alors 243 = 60 4 + 3 .
Nombres divisibles par 2 sans reste, sont appelés même: une = 2n, n ∈ N.
Les numéros restants sont appelés impair: b = 2n + 1, n ∈ N.
Ceci est un résumé du sujet « Les nombres naturels. Signes de divisibilité". Pour continuer, sélectionnez les étapes suivantes :
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Cet article concerne trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) deux et plus Nombres. Tout d'abord, regardons l'algorithme d'Euclide ; il vous permet de trouver le pgcd de deux nombres. Après cela, nous nous concentrerons sur une méthode qui nous permet de calculer le pgcd des nombres comme le produit de leurs facteurs premiers communs. Ensuite, nous chercherons à trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus, et donnerons également des exemples de calcul du pgcd de nombres négatifs.
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Algorithme euclidien pour trouver GCD
A noter que si nous nous étions tournés dès le début vers le tableau des nombres premiers, nous aurions découvert que les nombres 661 et 113 sont des nombres premiers, à partir desquels nous pourrions immédiatement dire que leur plus grand diviseur commun est 1.
Répondre:
PGCD(661, 113)=1 .
Trouver GCD en factorisant les nombres en facteurs premiers
Considérons une autre façon de trouver GCD. Le plus grand diviseur commun peut être trouvé en factorisant les nombres en facteurs premiers. Formulons une règle : PGCD de deux entiers nombres positifs un et b égal au produit tous les facteurs premiers courants trouvés dans les factorisations premières des nombres a et b.
Donnons un exemple pour expliquer la règle permettant de trouver GCD. Connaissons les décompositions des nombres 220 et 600 en facteurs premiers, ils ont la forme 220=2·2·5·11 et 600=2·2·2·3·5·5. Général facteurs simples Les nombres impliqués dans le développement des nombres 220 et 600 sont 2, 2 et 5. Par conséquent, pgcd(220, 600)=2·2·5=20.
Ainsi, si nous factorisons les nombres a et b en facteurs premiers et trouvons le produit de tous facteurs communs, alors cela trouvera le plus grand diviseur commun des nombres a et b.
Considérons un exemple de recherche de GCD selon la règle indiquée.
Exemple.
Trouvez le plus grand diviseur commun des nombres 72 et 96.
Solution.
Factorisons les nombres 72 et 96 en facteurs premiers : 
Autrement dit, 72=2·2·2·3·3 et 96=2·2·2·2·2·3. Les facteurs premiers communs sont 2, 2, 2 et 3. Ainsi, pgcd(72, 96)=2·2·2·3=24.
Répondre:
PGCD(72, 96)=24 .
En conclusion de ce paragraphe, nous notons que la validité de la règle ci-dessus pour trouver GCD découle de la propriété du plus grand commun diviseur, qui stipule que PGCD(m une 1 , m b 1)=m PGCD(une 1 , b 1), où m est un entier positif.
Trouver le pgcd de trois nombres ou plus
Trouver le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus peut être réduit à découverte séquentielle PGCD de deux nombres. Nous l'avons mentionné lors de l'étude des propriétés de GCD. Là nous avons formulé et prouvé le théorème : le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres a 1, a 2, …, a k égal au nombre d k , qui est trouvé en calculant séquentiellement GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1 , une k)=d k .
Voyons à quoi ressemble le processus de recherche du pgcd de plusieurs nombres en regardant la solution de l'exemple.
Exemple.
Trouvez le plus grand commun diviseur de quatre nombres 78, 294, 570 et 36.
Solution.
Dans cet exemple, un 1 =78, un 2 =294, un 3 =570, un 4 =36.
Tout d'abord, à l'aide de l'algorithme euclidien, nous déterminons le plus grand diviseur commun d 2 des deux premiers nombres 78 et 294. En divisant, on obtient les égalités 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 et 18=6·3. Ainsi, d 2 =PGCD(78, 294)=6.
Maintenant calculons ré 3 =PGCD(d 2, une 3)=PGCD(6, 570). Appliquons à nouveau l'algorithme euclidien : 570=6·95, donc d 3 = PGCD(6, 570)=6.
Reste à calculer ré 4 =PGCD(d 3, une 4)=PGCD(6, 36). Puisque 36 est divisible par 6, alors d 4 = PGCD(6, 36) = 6.
Ainsi, le plus grand commun diviseur des quatre nombres donnés est d 4 =6, c'est-à-dire pgcd(78, 294, 570, 36)=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6 .
La factorisation des nombres en facteurs premiers vous permet également de calculer le pgcd de trois nombres ou plus. Dans ce cas, le plus grand diviseur commun est le produit de tous les facteurs premiers communs des nombres donnés.
Exemple.
Calculez le pgcd des nombres de l'exemple précédent en utilisant leurs factorisations premières.
Solution.
Factorisons les nombres 78, 294, 570 et 36 en facteurs premiers, nous obtenons 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Les facteurs premiers communs à ces quatre nombres sont les nombres 2 et 3. Ainsi, PGCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Définition. Le plus grand nombre naturel pouvant être divisé sans reste par les nombres a et b s'appelle plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.
Trouvons le plus grand diviseur commun des nombres 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
Factorisons les nombres 48 et 36 et obtenons :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.
Pour trouver plus grand diviseur commun
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.
Plus petit commun multiple (LCM)
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) Les nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel qui est un multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, factorisons 75 et 60 en facteurs premiers : 75 = 3 * 5 * 5 et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.
Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Nombre, égal à la somme Ils appelaient tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers est dû au fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit de nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance série de nombres, les nombres premiers les moins courants sont. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a écrit tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni premier ni premier. numéro composé, puis barré d'un point tous les nombres venant après 2 (chiffres multiples de 2, soit 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) ont été barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.
