Définition: Une ellipse est un ensemble de points sur un plan dont la somme des distances de chacun à deux points donnés est constante.
M est un point arbitraire de l'ellipse. O – milieu F 1 F 2 . F 1 F 2 =2s. La somme des distances est 2a. Nous choisissons le système de coordonnées de telle sorte que Ox passe par F 1, F 2 et Oy divise 2c en deux.
F 1 M+ F 2 M=2a. - ur-e de l'ellipse.
Transformons : ; 2a>2c, a>c,a 2 -c 2 =b 2
Il est évident que chaque point de l’ellipse satisfait à cette équation. Mais parce que Au cours du processus de transformation, nous avons mis au carré les deux côtés deux fois, il est alors nécessaire de vérifier si des points supplémentaires ont été obtenus. Autrement dit, il faut vérifier que chaque point de l’équation (4) appartient à l’ellipse. Faisons d'abord quelques remarques sur la forme de la droite correspondant à l'équation (4). 
. D’après les équations, il ressort clairement que la droite est symétrique par rapport à l’origine. Avec une augmentation 
de 0 à un, 
diminue de b à 0. Les points de la courbe se situent dans le rectangle 
Vérifions maintenant que chaque point de la droite déterminée par l'équation résultante appartient à l'ellipse. Pour ce faire, il faut montrer que si les coordonnées du point M(x 0,y 0) vérifient (4) alors F 1 M+ F 2 M=2a.
Ainsi, aucun point supplémentaire n’est apparu.
Nombres 
Et 
- demi-axes majeurs et mineurs de l'ellipse F 1, F 2 – foyers de l'ellipse.
À 
nous obtenons 
- équation d'un cercle.
Équations paramétriques de l'ellipse: Construisons deux cercles de rayon 
Et 
avec centre à l'origine. A partir du point O on trace un rayon incliné vers Ox selon un angle t. Traçons une ligne horizontale passant par B et une ligne verticale passant par A. En changeant t de 0 à 2 π, le point M décrira une ellipse. 
- paramètres de l'équation de l'ellipse. Pour a=b on obtient 
- équations paramétriques cercles.
Définition. L'excentricité d'une ellipse est le rapport de la moitié de la distance entre les foyers à la longueur de son grand axe : 
.
Parce que 
, ainsi 
< 1.
, ainsi, 
Commentaire: L'excentricité d'une ellipse peut être considérée comme une mesure de son allongement. Plus l'excentricité est grande, plus le rapport (du petit axe de l'ellipse à son demi-grand axe) est petit.
excentricité de l'hyperbole.
Définition: Une hyperbole est le lieu des points d'un plan pour lesquels la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes F 1 et F 2 de ce plan, appelés foyers, est une valeur constante et non égale à 0.
Choisissons à nouveau les axes de coordonnées et l'origine au milieu du segment F 1 F 2 . La distance F 1 F 2 est de 2s. Et nous notons la différence de distances par 2a.
De la définition nous avons : ET Mettons les choses au carré. à nouveau carré. Après des transformations simples on obtient : En divisant les deux parties par Comme dans le cas d’une ellipse, il faut vérifier que même si nous la mettons au carré deux fois, nous n’obtiendrons pas de points supplémentaires. Et donc l’équation (1) est l’équation d’une hyperbole. Notons d'abord quelques propriétés de la droite définie par l'équation (1). De l'équation (1), il résulte que La ligne (1) est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et par rapport à l'origine. Il est clair que Soit M(x 0,y 0) un point arbitraire sur la droite définie par l'équation (1). Ensuite, nous substituons y 0 dans cette formule, ouvrons les parenthèses, en donnons des similaires et en tenant compte de cela À Ainsi . Nous obtenons cela Le nombre a est appelé demi-axe réel de l'hyperbole, le nombre b est appelé demi-axe imaginaire. Les points d'intersection d'une hyperbole avec son axe de symétrie sont appelés sommets de l'hyperbole. Les points F 1 et F 2 sont les points focaux de l'hyperbole. À PROPOS Direct Si a=b alors l'équation de l'hyperbole prend la forme Excentricité d'une hyperbole. Soit c la moitié de la distance entre les foyers de l'hyperbole, et soit le demi-axe réel de l'hyperbole. Définition: L'excentricité d'une hyperbole est la quantité En prenant en compte la connexion entre c,a,b on obtient : Commentaire: L'excentricité d'une hyperbole peut être considérée comme la valeur de l'angle entre ses asymptotes, puisque Définition 7.1. L'ensemble de tous les points du plan pour lesquels la somme des distances à deux points fixes F 1 et F 2 est une valeur constante donnée est appelé ellipse. La définition d'une ellipse donne la méthode suivante pour sa construction géométrique. On fixe deux points F 1 et F 2 sur le plan, et on note une valeur constante non négative par 2a. Soit la distance entre les points F 1 et F 2 être 2c. Imaginons qu'un fil inextensible de longueur 2a soit fixé aux points F 1 et F 2, par exemple, à l'aide de deux aiguilles. Il est clair que cela n’est possible que pour a ≥ c. Après avoir tiré le fil avec un crayon, tracez une ligne qui sera une ellipse (Fig. 7.1). Ainsi, l’ensemble décrit n’est pas vide si a ≥ c. Lorsque a = c, l'ellipse est un segment de extrémités F 1 et F 2, et lorsque c = 0, c'est-à-dire Si les points fixes spécifiés dans la définition d'une ellipse coïncident, c'est un cercle de rayon a. En écartant ces cas dégénérés, nous supposerons en outre, en règle générale, que a > c > 0. Les points fixes F 1 et F 2 dans la définition 7.1 de l'ellipse (voir Fig. 7.1) sont appelés foyers d'ellipse, la distance qui les sépare, indiquée par 2c, - distance focale, et les segments F 1 M et F 2 M reliant point arbitraire M sur une ellipse avec ses foyers, - rayons focaux. La forme de l'ellipse est entièrement déterminée par la distance focale |F 1 F 2 | = 2c et paramètre a, et sa position sur le plan - une paire de points F 1 et F 2. De la définition d'une ellipse il résulte qu'elle est symétrique par rapport à la ligne passant par les foyers F 1 et F 2, ainsi que par rapport à la ligne qui divise le segment F 1 F 2 en deux et lui est perpendiculaire (Fig. 7.2, a). Ces lignes sont appelées axes d'ellipse. Le point O de leur intersection est le centre de symétrie de l'ellipse, et on l'appelle le centre de l'ellipse, et les points d'intersection de l'ellipse avec les axes de symétrie (points A, B, C et D de la Fig. 7.2, a) - sommets de l'ellipse. Le nombre a s'appelle demi-grand axe de l'ellipse, et b = √(a 2 - c 2) - son petit axe. Il est facile de voir que pour c > 0, le demi-grand axe a est égal à la distance du centre de l'ellipse à ceux de ses sommets qui sont sur le même axe que les foyers de l'ellipse (sommets A et B sur la Fig. 7.2, a), et le demi-petit axe b est égal à la distance entre l'ellipse centrale et ses deux autres sommets (sommets C et D sur la Fig. 7.2, a). Équation elliptique. Considérons une ellipse sur le plan avec des foyers aux points F 1 et F 2, grand axe 2a. Soit 2c la distance focale, 2c = |F 1 F 2 | Choisissons un système de coordonnées rectangulaires Oxy sur le plan pour que son origine coïncide avec le centre de l'ellipse, et que ses foyers soient sur axe x(Fig. 7.2, b). Un tel système de coordonnées est appelé canonique pour l'ellipse en question, et les variables correspondantes sont canonique. Dans le système de coordonnées sélectionné, les foyers ont les coordonnées F 1 (c ; 0), F 2 (-c ; 0). En utilisant la formule de la distance entre les points, on écrit la condition |F 1 M| + |F2M| = 2a en coordonnées : √((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2) Cette équation est peu pratique car elle contient deux radicaux carrés. Alors transformons-le. Déplaçons le deuxième radical de l'équation (7.2) vers côté droit et mettez-le au carré : (x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 . Après avoir ouvert les parenthèses et lancé le casting termes similaires nous obtenons √((x + c) 2 + y 2) = une + εx où ε = c/une. On répète l'opération de mise au carré pour supprimer le deuxième radical : (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ou, compte tenu de la valeur du paramètre saisi ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / une 2 + y 2 = une 2 - c 2. Puisque a 2 - c 2 = b 2 > 0, alors x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4) L'équation (7.4) est satisfaite par les coordonnées de tous les points situés sur l'ellipse. Mais lors de la dérivation de cette équation, des transformations non équivalentes ont été utilisées équation originale(7.2) - deux carrés, en supprimant radicaux carrés. La quadrature de l’équation est transformation équivalente, si ses deux parties ont des valeurs c avec le même signe, mais nous n'avons pas vérifié cela dans nos transformations. Nous pouvons éviter de vérifier l’équivalence des transformations si nous prenons en compte les éléments suivants. Une paire de points F 1 et F 2, |F 1 F 2 | = 2c, sur le plan définit une famille d'ellipses avec des foyers en ces points. Chaque point du plan, à l'exception des points du segment F 1 F 2, appartient à une ellipse de la famille indiquée. Dans ce cas, deux ellipses ne se coupent pas, puisque la somme des rayons focaux détermine de manière unique une ellipse spécifique. Ainsi, la famille d'ellipses décrite sans intersections couvre tout le plan, à l'exception des points du segment F 1 F 2. Considérons un ensemble de points dont les coordonnées satisfont à l'équation (7.4) avec une valeur donnée du paramètre a. Cet ensemble peut-il être réparti sur plusieurs ellipses ? Certains points de l’ensemble appartiennent à une ellipse de demi-grand axe a. Soit un point de cet ensemble situé sur une ellipse de demi-grand axe a. Alors les coordonnées de ce point obéissent à l'équation ceux. les équations (7.4) et (7.5) ont solutions générales. Cependant, il est facile de vérifier que le système car ã ≠ a n’a pas de solutions. Pour ce faire, il suffit d'exclure, par exemple, x de la première équation : ce qui après transformations conduit à l'équation qui n'a pas de solutions pour ã ≠ a, puisque . Ainsi, (7.4) est l'équation d'une ellipse de demi-grand axe a > 0 et de demi-petit axe b =√(a 2 - c 2) > 0. On l'appelle équation canonique de l'ellipse. Vue elliptique. Discuté ci-dessus méthode géométrique construire une ellipse donne une idée suffisante de apparence ellipse. Mais la forme de l’ellipse peut aussi être étudiée à l’aide de son équation canonique (7.4). Par exemple, vous pouvez, en supposant y ≥ 0, exprimer y par x : y = b√(1 - x 2 /a 2), et, après avoir étudié cette fonction, construire son graphique. Il existe une autre façon de construire une ellipse. Un cercle de rayon a dont le centre est à l'origine du système de coordonnées canonique de l'ellipse (7.4) est décrit par l'équation x 2 + y 2 = a 2. S'il est compressé avec un coefficient a/b > 1 le long axe y, vous obtenez alors une courbe décrite par l'équation x 2 + (ya/b) 2 = a 2, c'est-à-dire une ellipse. Remarque 7.1. Si le même cercle est compressé par un facteur a/b Excentricité de l'ellipse. Le rapport entre la distance focale d'une ellipse et son grand axe s'appelle excentricité de l'ellipse et noté ε. Pour une ellipse donnée équation canonique (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Si dans (7.4) les paramètres a et b sont liés par l'inégalité a Lorsque c = 0, lorsque l'ellipse se transforme en cercle, et ε = 0. Dans les autres cas, 0 L'équation (7.3) est équivalente à l'équation (7.4), puisque les équations (7.4) et (7.2) sont équivalentes. Par conséquent, l’équation de l’ellipse est également (7.3). De plus, la relation (7.3) est intéressante car elle donne une formule simple et sans radical pour la longueur |F 2 M| un des rayons focaux du point M(x; y) de l'ellipse : |F 2 M| = une + εx. Une formule similaire pour le deuxième rayon focal peut être obtenue à partir de considérations de symétrie ou en répétant des calculs dans lesquels, avant de mettre au carré l'équation (7.2), le premier radical est transféré vers la droite, et non le second. Ainsi, pour tout point M(x; y) sur l'ellipse (voir Fig. 7.2) |F 1 M | = une - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6) et chacune de ces équations est une équation d’ellipse. Exemple 7.1. Trouvons l'équation canonique d'une ellipse de demi-grand axe 5 et d'excentricité 0,8 et construisons-la. Connaissant le demi-grand axe de l'ellipse a = 5 et l'excentricité ε = 0,8, on trouvera son demi-petit axe b. Puisque b = √(a 2 - c 2) et c = εa = 4, alors b = √(5 2 - 4 2) = 3. Donc l'équation canonique a la forme x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Pour construire une ellipse, il convient de tracer un rectangle de centre à l'origine du repère canonique dont les côtés sont parallèles aux axes de symétrie de l'ellipse et égaux à ses axes correspondants (Fig. 7.4). Ce rectangle coupe les axes de l'ellipse à ses sommets A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), et l'ellipse elle-même y est inscrite. Sur la fig. 7.4 montre également les foyers F 1.2 (±4 ; 0) de l'ellipse. Propriétés géométriques de l'ellipse. Réécrivons la première équation de (7.6) sous la forme |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Notons que la valeur a/ε - x pour a > c est positive, puisque le foyer F 1 n'appartient pas à l'ellipse. Cette valeur représente la distance à la ligne verticale d : x = a/ε à partir du point M(x ; y) situé à gauche de cette ligne. L'équation de l'ellipse peut s'écrire sous la forme |F 1 M|/(a/ε - x) = ε Cela signifie que cette ellipse est constituée des points M(x; y) du plan pour lesquels le rapport de la longueur du rayon focal F 1 M à la distance à la droite d est une valeur constante égale à ε (Fig. 7.5). La droite d a un « double » - la droite verticale d, symétrique à d par rapport au centre de l'ellipse, qui est donnée par l'équation x = -a/ε Par rapport à d, l'ellipse est décrite dans. de la même manière que pour d. Les deux lignes d et d" sont appelées directrices de l'ellipse. Les directrices de l'ellipse sont perpendiculaires à l'axe de symétrie de l'ellipse sur lequel se trouvent ses foyers, et sont espacées du centre de l'ellipse d'une distance a/ε = a 2 /c (voir Fig. 7.5). La distance p de la directrice au foyer le plus proche est appelée paramètre focal de l'ellipse. Ce paramètre est égal à p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c L'ellipse a un autre aspect important propriété géométrique: les rayons focaux F 1 M et F 2 M sont égaux à la tangente à l'ellipse au point M angles égaux(Fig. 7.6). Cette propriété a un clair signification physique. Si une source lumineuse est placée au foyer F 1, alors le rayon sortant de ce foyer, après réflexion sur l'ellipse, suivra le deuxième rayon focal, puisqu'après réflexion il fera le même angle par rapport à la courbe qu'avant réflexion. Ainsi, tous les rayons issus du foyer F 1 seront concentrés dans le deuxième foyer F 2, et vice versa. D’après cette interprétation, cette propriété est appelée propriété optique de l'ellipse. Avant de dessiner une ellipse, découvrons quelques-unes de ses propriétés. Propriété 33.1.
Une ellipse possède deux axes de symétrie mutuellement perpendiculaires, dont l'un contient ses foyers, et un centre de symétrie. Si une ellipse est donnée par l'équation canonique (33.4), alors ses axes de symétrie sont les axes Ox et Oy, et l'origine est le centre de symétrie. Preuve. Effectuons la preuve basée sur l'équation (33.4). Soit l'ellipse donnée par l'équation (33.4) et M 1 (x 1 ; y 1)–– un point de l'ellipse. Alors Point M 2 (-x 1 ; y 1) est le point pointe symétrique M 1 par rapport à l'axe Oy (Fig. 33.2). Riz. 33.2. Symétrie des points On calcule la valeur du côté gauche de l'équation (33.4) au point M 2 En vertu de l'égalité (33.6), on obtient d'où le point M2 se trouve sur une ellipse. Point M 3 (x 1 ; -y 1) est un point symétrique au point M1 par rapport à l'axe Bœuf(Fig. 33.2). Pour cela, de la même manière, nous sommes convaincus que c'est M3 est un point de l'ellipse. Enfin le point M 4 (-x 1 ; -y 1) est symétrique au point M1 par rapport à l'origine (Fig. 33.2). En répétant les arguments précédents, nous constatons que ce point se trouve également sur l’ellipse. Ainsi, l’affirmation est prouvée si l’ellipse a l’équation (33.4). Et puisque, d’après le théorème 1, toute ellipse dans un système de coordonnées a une telle équation, le lemme est complètement prouvé. Construisons une ellipse, donné par l'équation(33.4). A noter que par symétrie, il suffit de dessiner la partie de l'ellipse située dans le demi-plan supérieur. On obtient l'équation de cette droite en exprimant y à partir de l'équation (33.4) et en prenant le signe « + » devant la racine, Traçons cette fonction. Domaine de définition – segment [-un; une], y(0)=b, avec une variable croissante x depuis 0
à un la fonction diminue de façon monotone. En raison de la symétrie du graphique par rapport à l'axe Oy fonction oui croît de façon monotone à mesure qu'il passe de -unà 0
. Dérivé Le comportement de la courbe près des extrémités du segment [-α; α]. Exprimons la variable de l'équation (33.4) xà travers oui: Riz. 33.3.Ellipses Définition 33.4.
Les points d'intersection d'une ellipse avec ses axes de symétrie sont appelés picsellipse, centre de symétrie –– centre ellipse, le segment entre deux sommets contenant les foyers est appelé axe majeur ellipse, la moitié de sa longueur –– arbre semi-majeur ellipse. Un segment entre les sommets sur un axe de symétrie qui ne contient pas de foyers est appelé petit axe ellipse, la moitié de sa longueur –– petit axe. La quantité s'appelle excentricité ellipse
. Une ellipse est le lieu géométrique des points sur un plan, la somme des distances de chacun d'eux à deux points donnés F_1, et F_2 est une valeur constante (2a) supérieure à la distance (2c) entre ces points donnés(Fig. 3.36, a). Cette définition géométrique exprime propriété focale d'une ellipse. Les points F_1 et F_2 sont appelés foyers de l'ellipse, la distance entre eux est 2c=F_1F_2 - distance focale, le milieu O du segment F_1F_2 est le centre de l'ellipse, le nombre 2a est la longueur du grand axe de l'ellipse (en conséquence, le nombre a est le demi-grand axe de l'ellipse). Les segments F_1M et F_2M reliant un point arbitraire M de l'ellipse à ses foyers sont appelés rayons focaux du point M. Le segment reliant deux points d’une ellipse est appelé corde de l’ellipse. Le rapport e=\frac(c)(a) est appelé l’excentricité de l’ellipse. De la définition (2a>2c) il s'ensuit que 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). Définition géométrique de l'ellipse, exprimant sa propriété focale, équivaut à sa définition analytique - la droite donnée par l'équation canonique de l'ellipse : En effet, introduisons un système de coordonnées rectangulaires (Fig. 3.36c). On prend le centre O de l'ellipse comme origine du système de coordonnées ; on prend la droite passant par les foyers (axe focal ou premier axe de l'ellipse) comme axe des abscisses (la direction positive sur celle-ci va du point F_1 au point F_2) ; prenons comme axe des ordonnées une droite perpendiculaire à l'axe focal et passant par le centre de l'ellipse (le deuxième axe de l'ellipse) (la direction sur l'axe des ordonnées est choisie pour que système rectangulaire les coordonnées Oxy se sont avérées exactes). Créons une équation pour l'ellipse en utilisant sa définition géométrique, qui exprime la propriété focale. Dans le système de coordonnées sélectionné, nous déterminons les coordonnées des foyers F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pour un point arbitraire M(x,y) appartenant à l'ellipse, on a : \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. En écrivant cette égalité sous forme de coordonnées, on obtient : \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. Nous déplaçons le deuxième radical vers la droite, mettons au carré les deux côtés de l'équation et apportons des termes similaires : (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx. En divisant par 4, on met au carré les deux côtés de l'équation : A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2 = un ^ 2 (un ^ 2-c ^ 2). Ayant désigné b=\sqrt(a^2-c^2)>0, nous obtenons b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. En divisant les deux côtés par a^2b^2\ne0 , nous arrivons à équation canonique ellipse: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. Le système de coordonnées choisi est donc canonique. Si les foyers de l'ellipse coïncident, alors l'ellipse est un cercle (Fig. 3.36,6), puisque a=b. Dans ce cas, tout système de coordonnées rectangulaires ayant pour origine le point sera canonique. O\équiv F_1\équiv F_2, et l'équation x^2+y^2=a^2 est l'équation d'un cercle dont le centre est au point O et le rayon est égal à a. En raisonnant en ordre inverse, on peut montrer que tous les points dont les coordonnées satisfont à l’équation (3.49), et eux seuls, appartiennent emplacement géométrique points, appelés ellipse. Autrement dit, définition analytique l'ellipse lui est équivalente définition géométrique, exprimant la propriété focale d'une ellipse. Les directrices d'une ellipse sont deux lignes droites parallèles à l'axe des ordonnées du système de coordonnées canonique à la même distance \frac(a^2)(c) de celui-ci. A c=0, lorsque l'ellipse est un cercle, il n'y a pas de directrices (on peut supposer que les directrices sont à l'infini). Ellipse avec excentricité 0 F_1,d_1 ou F_2,d_2 . En fait, par exemple, pour le foyer F_2 et la directrice d_2 (Fig. 3.37,6) la condition\frac(r_2)(\rho_2)=e peut s'écrire sous forme de coordonnées : \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) Se débarrasser de l'irrationalité et remplacer e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , on arrive à l’équation canonique de l’ellipse (3.49). Un raisonnement similaire peut être effectué pour le focus F_1 et le réalisateur. Équation d'une ellipse dans un système de coordonnées polaires L'équation de l'ellipse dans le système de coordonnées polaires F_1r\varphi (Fig. 3.37, c et 3.37 (2)) a la forme R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) où p=\frac(b^2)(a) est le paramètre focal de l'ellipse. En fait, choisissons le foyer gauche F_1 de l'ellipse comme pôle du système de coordonnées polaires, et le rayon F_1F_2 comme axe polaire (Fig. 3.37, c). Alors pour un point arbitraire M(r,\varphi), d'après la définition géométrique (propriété focale) d'une ellipse, on a r+MF_2=2a. On exprime la distance entre les points M(r,\varphi) et F_2(2c,0) (voir paragraphe 2 des remarques 2.8) : \begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligné) Donc, sous forme de coordonnées, l'équation de l'ellipse F_1M+F_2M=2a a la forme R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. Nous isolons le radical, mettons au carré les deux côtés de l'équation, divisons par 4 et présentons des termes similaires : R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. On exprime le rayon polaire r et on effectue le remplacement: e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a) R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), Trouvons les points d'intersection de l'ellipse (voir Fig. 3.37, a) avec les axes de coordonnées (sommets de l'ellipse). En substituant y=0 dans l'équation, on trouve les points d'intersection de l'ellipse avec l'axe des abscisses (avec l'axe focal) : x=\pm a. Par conséquent, la longueur du segment de l'axe focal contenu à l'intérieur de l'ellipse est égale à 2a. Ce segment, comme indiqué ci-dessus, est appelé le grand axe de l'ellipse, et le nombre a est le demi-grand axe de l'ellipse. En remplaçant x=0, nous obtenons y=\pm b. Par conséquent, la longueur du segment du deuxième axe de l’ellipse contenu à l’intérieur de l’ellipse est égale à 2b. Ce segment est appelé le petit axe de l'ellipse et le nombre b est le demi-petit axe de l'ellipse. Vraiment, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, et l'égalité b=a n'est obtenue que dans le cas c=0, lorsque l'ellipse est un cercle. Attitude k=\frac(b)(a)\leqslant1 est appelé le taux de compression de l’ellipse. Remarques 3.9 1. Les droites x=\pm a,~y=\pm b limitent le rectangle principal sur le plan de coordonnées, à l'intérieur duquel se trouve une ellipse (voir Fig. 3.37, a). 2. Une ellipse peut être définie comme le lieu des points obtenu en comprimant un cercle à son diamètre. En effet, soit l'équation d'un cercle dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy ait la forme x^2+y^2=a^2. Lorsqu'il est compressé sur l'axe des x avec un coefficient de 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) En substituant les cercles x=x" et y=\frac(1)(k)y" dans l'équation, on obtient l'équation des coordonnées de l'image M"(x",y") du point M(x, y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} puisque b=k\cdot a . C'est l'équation canonique de l'ellipse. 3. Les axes de coordonnées (du système de coordonnées canonique) sont les axes de symétrie de l'ellipse (appelés axes principaux de l'ellipse), et son centre est le centre de symétrie. En effet, si le point M(x,y) appartient à l'ellipse . alors les points M"(x,-y) et M""(-x,y), symétriques au point M par rapport aux axes de coordonnées, appartiennent également à la même ellipse. 4. De l'équation de l'ellipse dans le système de coordonnées polaires r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(voir Fig. 3.37, c), la signification géométrique du paramètre focal est clarifiée - il s'agit de la moitié de la longueur de la corde de l'ellipse passant par son foyer perpendiculaire à l'axe focal ( r = p à \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. L'excentricité e caractérise la forme de l'ellipse, à savoir la différence entre l'ellipse et le cercle. Plus e est grand, plus l'ellipse est allongée, et plus e est proche de zéro, plus l'ellipse est proche d'un cercle (Fig. 3.38a). En effet, en prenant en compte que e=\frac(c)(a) et c^2=a^2-b^2 , on obtient E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} où k est le taux de compression de l'ellipse, 0 6. Équation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1à un
7. Équation \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b définit une ellipse de centre au point O"(x_0,y_0), dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées (Fig. 3.38, c). Cette équation est réduite à l'équation canonique par translation parallèle (3.36). Quand a=b=R l’équation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 décrit un cercle de rayon R de centre au point O"(x_0,y_0) . Équation paramétrique de l'ellipse dans le système de coordonnées canonique a la forme \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
En effet, en substituant ces expressions dans l'équation (3.49), nous arrivons à l'identité trigonométrique principale \cos^2t+\sin^2t=1 . Exemple 3.20. Dessine une ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dans le système de coordonnées canonique Oxy. Trouvez les demi-axes, la distance focale, l'excentricité, le rapport hauteur/largeur, le paramètre focal, les équations directrice. Solution. En comparant l'équation donnée avec l'équation canonique, nous déterminons les demi-axes : a=2 - demi-grand axe, b=1 - demi-petit axe de l'ellipse. Nous construisons un rectangle de base de côtés 2a=4,~2b=2 avec le centre à l'origine (Fig. 3.39). Compte tenu de la symétrie de l’ellipse, on l’insère dans le rectangle principal. Si nécessaire, déterminez les coordonnées de certains points de l'ellipse. Par exemple, en remplaçant x=1 dans l’équation de l’ellipse, nous obtenons \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Par conséquent, les points de coordonnées \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- appartiennent à l'ellipse. Calcul du taux de compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); distance focale 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricité e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); paramètre focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). On compose les équations directrices : x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Après une étude approfondie lignes droites dans l'avion Nous continuons à étudier la géométrie du monde bidimensionnel. L'enjeu est doublé et je vous invite à visiter une galerie pittoresque d'ellipses, d'hyperboles, de paraboles, qui en sont des représentants typiques. lignes de deuxième commande. L'excursion a déjà commencé, et d'abord une brève information sur l'ensemble de l'exposition aux différents étages du musée : Une ligne sur un avion s'appelle algébrique, si dans système de coordonnées affines son équation a la forme , où est un polynôme constitué de termes de la forme ( – nombre réel, – nombres entiers non négatifs). Comme vous pouvez le constater, l'équation d'une droite algébrique ne contient pas de sinus, cosinus, logarithmes et autres beau monde fonctionnel. Seuls les X et les Y sont présents entiers non négatifs degrés. Ordre de ligneégal à la valeur maximale des termes qui y sont inclus. D'après le théorème correspondant, la notion de droite algébrique, ainsi que son ordre, ne dépendent pas du choix système de coordonnées affines, par conséquent, pour faciliter l'existence, nous supposons que tous les calculs ultérieurs ont lieu dans Coordonnées cartésiennes. Équation générale la deuxième ligne de commande a la forme , où Si , alors l'équation se simplifie en Beaucoup ont compris le sens des nouveaux termes, mais néanmoins, pour maîtriser à 100% la matière, on met les doigts dans la douille. Pour déterminer l'ordre des lignes, vous devez itérer tous les termes ses équations et trouver pour chacune d'elles somme de degrés variables entrantes. Par exemple: le terme contient « x » à la puissance 1 ; Voyons maintenant pourquoi l'équation définit la droite deuxième commande: le terme contient « x » à la puissance 2 ; Valeur maximale : 2 Si nous ajoutons en plus, disons, à notre équation, alors elle déterminera déjà ligne de troisième ordre. Il est évident que la forme générale de l'équation linéaire du 3ème ordre contient un « ensemble complet » de termes, dont la somme des puissances des variables est égale à trois : Dans le cas où vous ajoutez un ou plusieurs termes appropriés contenant Nous devrons rencontrer plus d'une fois des droites algébriques des ordres 3e, 4e et supérieur, notamment lors de la familiarisation avec système de coordonnées polaires. Cependant, revenons à l'équation générale et rappelons ses variantes scolaires les plus simples. A titre d'exemples, on trouve une parabole dont l'équation peut facilement être réduite à une forme générale, et une hyperbole avec une équation équivalente. Cependant, tout ne se passe pas si bien... Un inconvénient majeur de l’équation générale est qu’il n’est presque toujours pas clair quelle ligne elle définit. Même dans le cas le plus simple, vous ne réaliserez pas immédiatement qu’il s’agit d’une hyperbole. De telles dispositions ne sont bonnes que pour une mascarade, c'est pourquoi un problème typique est considéré au cours de la géométrie analytique amener l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique. Il s'agit de la forme standard généralement acceptée d'une équation, lorsqu'en quelques secondes il devient clair quel objet géométrique elle définit. De plus, la forme canonique est très pratique pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Ainsi, par exemple, selon l'équation canonique "plat" droit, d'une part, il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une ligne droite, et d'autre part, le point qui lui appartient et le vecteur directeur sont facilement visibles. Évidemment, n'importe quel 1ère ligne de commande est une ligne droite. Au deuxième étage, ce n'est plus le gardien qui nous attend, mais une compagnie bien plus diversifiée de neuf statues : À l'aide d'un ensemble spécial d'actions, toute équation d'une droite du second ordre est réduite à l'une des formes suivantes : (et sont des nombres réels positifs) 1) 2) – équation canonique d'une hyperbole ; 3) 4) – imaginaire ellipse; 5) – une paire de lignes qui se croisent ; 6) – paire imaginaire lignes sécantes (avec un seul point d'intersection valide à l'origine) ; 7) – une paire de lignes parallèles ; 8) – paire imaginaire lignes parallèles; 9) – une paire de lignes coïncidentes. Certains lecteurs pourront avoir l’impression que la liste est incomplète. Par exemple, au point n°7, l'équation précise le couple direct, parallèle à l'axe, et la question se pose : où est l'équation qui détermine les droites parallèles à l'axe des ordonnées ? Réponse : il pas considéré comme canonique. Les lignes droites représentent le même cas standard, tourné de 90 degrés, et l'entrée supplémentaire dans la classification est redondante, car elle n'apporte rien de fondamentalement nouveau. Ainsi, il existe neuf et seulement neuf types différents de lignes de 2ème ordre, mais en pratique les plus courantes sont ellipse, hyperbole et parabole. Regardons d'abord l'ellipse. Comme d'habitude, je me concentre sur les points qui sont d'une grande importance pour résoudre les problèmes, et si vous avez besoin d'une dérivation détaillée de formules, de preuves de théorèmes, veuillez vous référer, par exemple, au manuel de Bazylev/Atanasyan ou d'Aleksandrov. Orthographe... veuillez ne pas répéter les erreurs de certains utilisateurs de Yandex qui s'intéressent à « comment construire une ellipse », « la différence entre une ellipse et un ovale » et « l'excentricité d'une ellipse ». L'équation canonique d'une ellipse a la forme , où sont des nombres réels positifs, et . Je formulerai la définition même d'une ellipse plus tard, mais pour l'instant, il est temps de faire une pause dans le salon de la discussion et de résoudre un problème courant : Oui, prenez-le et dessinez-le. La tâche est fréquente et une partie importante des étudiants ne gère pas correctement le dessin : Exemple 1 Construire l'ellipse donnée par l'équation Solution: Tout d’abord, mettons l’équation sous forme canonique : Pourquoi apporter ? L'un des avantages de l'équation canonique est qu'elle permet de déterminer instantanément sommets de l'ellipse, qui sont situés en des points. Il est facile de voir que les coordonnées de chacun de ces points satisfont à l’équation. Dans ce cas: Pour imaginer rapidement à quoi ressemble une ellipse particulière, il suffit de regarder les valeurs de « a » et « be » de son équation canonique. Tout va bien, lisse et beau, mais il y a un bémol : j'ai fait le dessin à l'aide du programme. Et vous pouvez réaliser le dessin en utilisant n’importe quelle application. Cependant, dans la dure réalité, il y a un morceau de papier à carreaux sur la table et des souris dansent en rond sur nos mains. Les personnes ayant un talent artistique peuvent bien sûr discuter, mais vous avez aussi des souris (bien que plus petites). Ce n’est pas en vain que l’humanité a inventé la règle, le compas, le rapporteur et d’autres appareils simples pour dessiner. Pour cette raison, il est peu probable que nous soyons capables de dessiner avec précision une ellipse en connaissant uniquement ses sommets. Ce n'est pas grave si l'ellipse est petite, par exemple avec des demi-axes. Alternativement, vous pouvez réduire l'échelle et, par conséquent, les dimensions du dessin. Mais dans le cas général, il est hautement souhaitable de trouver des points supplémentaires. Il existe deux approches pour construire une ellipse : géométrique et algébrique. Je n’aime pas la construction à l’aide d’un compas et d’une règle car l’algorithme n’est pas le plus court et le dessin est très encombré. En cas d'urgence, merci de vous référer au manuel, mais en réalité il est beaucoup plus rationnel d'utiliser les outils de l'algèbre. A partir de l'équation de l'ellipse dans le brouillon on exprime rapidement : L’équation se décompose alors en deux fonctions : L'ellipse définie par l'équation canonique est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, ainsi que par rapport à l'origine. Et c'est génial : la symétrie est presque toujours un signe avant-coureur de cadeaux. Évidemment, il suffit de traiter le 1er quartier de coordonnées, il nous faut donc la fonction Marquons les points sur le dessin (rouge), les points symétriques sur les arcs restants (bleu) et connectons soigneusement toute l'entreprise avec une ligne : Une ellipse est un cas particulier d’ovale. Le mot « ovale » ne doit pas être compris dans le sens philistin (« l'enfant a dessiné un ovale », etc.). Il s'agit d'un terme mathématique qui a une formulation détaillée. Le but de cette leçon n’est pas de considérer la théorie des ovales et de leurs différents types, qui ne reçoivent pratiquement aucune attention dans le cours standard de géométrie analytique. Et, conformément à des besoins plus actuels, on passe immédiatement à la définition stricte d'une ellipse : Ellipse est l'ensemble de tous les points du plan, la somme des distances à chacun d'eux à partir de deux points donnés, appelée astuces ellipse, est une quantité constante, numériquement égale à la longueur du grand axe de cette ellipse : . Maintenant, tout deviendra plus clair : Imaginez que le point bleu « voyage » le long d’une ellipse. Ainsi, quel que soit le point de l’ellipse que l’on prend, la somme des longueurs des segments sera toujours la même : Assurons-nous que dans notre exemple la valeur de la somme est bien égale à huit. Placez mentalement le point « euh » au sommet droit de l'ellipse, puis : , c'est ce qu'il fallait vérifier. Une autre méthode pour le dessiner repose sur la définition d’une ellipse. Les mathématiques supérieures sont parfois la cause de tensions et de stress, il est donc temps de faire une autre séance de déchargement. Veuillez prendre du papier Whatman ou une grande feuille de carton et épinglez-le sur la table avec deux clous. Ce seront des astuces. Attachez un fil vert aux têtes de clous saillantes et tirez-le jusqu'au bout avec un crayon. La mine du crayon finira à un certain point qui appartient à l'ellipse. Commencez maintenant à déplacer le crayon le long de la feuille de papier, en gardant le fil vert bien tendu. Continuez le processus jusqu'à ce que vous reveniez au point de départ... super... le dessin peut être vérifié par le médecin et le professeur =) Dans l'exemple ci-dessus, j'ai représenté des points focaux « prêts à l'emploi », et nous allons maintenant apprendre à les extraire des profondeurs de la géométrie. Si une ellipse est donnée par une équation canonique, alors ses foyers ont des coordonnées Les calculs sont plus simples que simples : ! Les coordonnées spécifiques des foyers ne peuvent pas être identifiées avec la signification de « tse » ! Je répète que c'est DISTANCE de chaque foyer au centre(qui dans le cas général ne doit pas nécessairement être situé exactement à l'origine). L'excentricité d'une ellipse est un rapport qui peut prendre des valeurs comprises dans l'intervalle . Dans notre cas : Voyons comment la forme d'une ellipse dépend de son excentricité. Pour ça fixer les sommets gauche et droit de l'ellipse considérée, c'est-à-dire que la valeur du demi-grand axe restera constante. Alors la formule d'excentricité prendra la forme : . Commençons par rapprocher la valeur d'excentricité de l'unité. Ceci n'est possible que si. Qu'est-ce que ça veut dire? ... souviens-toi des astuces Ainsi, plus la valeur de l'excentricité de l'ellipse est proche de l'unité, plus l'ellipse est allongée. Modélisons maintenant le processus inverse : les foyers de l'ellipse Ainsi, plus la valeur de l'excentricité est proche de zéro, plus l'ellipse est similaire à... regardez le cas limite où les foyers sont réunis avec succès à l'origine : En effet, en cas d'égalité des demi-axes, l'équation canonique de l'ellipse prend la forme , qui se transforme par réflexe en l'équation d'un cercle de centre à l'origine du rayon « a », bien connu de l'école. En pratique, la notation avec la lettre « parlante » « er » est plus souvent utilisée : . Le rayon est la longueur d'un segment, chaque point du cercle étant éloigné du centre d'une distance de rayon. A noter que la définition d'une ellipse reste tout à fait correcte : les foyers coïncident, et la somme des longueurs des segments coïncidents pour chaque point du cercle est une constante. Puisque la distance entre les foyers est , alors l'excentricité de tout cercle est nulle. Construire un cercle est simple et rapide, il suffit d’utiliser une boussole. Cependant, il est parfois nécessaire de connaître les coordonnées de certains de ses points, dans ce cas nous suivons la voie familière - nous amenons l'équation à la forme joyeuse de Matanov : Ensuite, nous trouvons les valeurs requises, différencier, intégrer et faire d'autres bonnes choses. L'article, bien sûr, est uniquement à titre de référence, mais comment pouvez-vous vivre dans un monde sans amour ? Tâche créative pour une solution indépendante Exemple 2 Composez l'équation canonique d'une ellipse si l'un de ses foyers et son demi-petit axe sont connus (le centre est à l'origine). Trouvez des sommets, des points supplémentaires et tracez une ligne sur le dessin. Calculer l'excentricité. Solution et dessin à la fin de la leçon Ajoutons une action : Revenons à l'équation canonique de l'ellipse, c'est-à-dire à la condition dont le mystère tourmente les esprits curieux depuis la première mention de cette courbe. Alors nous avons regardé l'ellipse Ce genre d’équation est rare, mais il existe. Et cela définit en fait une ellipse. Démystifions : 
. 2a<2c,
а
nous voulons dire : 
on obtient : 
.
.
. Alors dans la ruelle 
il n'y a pas de points de courbe. Par conséquent, la courbe est constituée de deux branches distinctes dont l’une est située dans le demi-plan 
(branche droite), et la seconde - dans le demi-plan - 
(branche gauche).
. Si nous prouvons que 
, alors nous prouverons que l’équation (1) est une équation hyperbole.
Sélectionnons des carrés complets sous chaque racine. En conséquence nous obtenons : 
. Laisser 
(pour les points de la branche droite), alors.
(pour les points de la branche gauche) alors.
. Cela signifie que l’équation (1) est une équation hyperbole. Il n'y avait pas de points supplémentaires.
Notons une autre caractéristique de la formule de l'hyperbole. Avec l'hyperbole, considérons une paire de droites 
. Au premier quart, de même abscisse, les ordonnées des points de l'hyperbole sont inférieures aux ordonnées correspondantes des points correspondants de la droite, car 
. , parce que . Ceux. les points de l'hyperbole, avec un accroissement illimité de l'abscisse, se rapprochent autant qu'on le souhaite des points correspondants de la droite 
. En raison de la symétrie, les points de l'hyperbole dans les autres quadrants se rapprochent indéfiniment des points des droites lorsque 
.
- asymptotes d'une hyperbole. Les asymptotes de l'hyperbole sont dirigées le long des diagonales d'un rectangle de côtés 2a et 2b, situés symétriquement par rapport aux axes de symétrie de l'hyperbole.
. Une telle hyperbole est dite équilatérale.
.
. L'excentricité de l'hyperbole est supérieure à 1.
, où φ est la valeur de l'angle entre les asymptotes de l'hyperbole.
(33.6)
défini en tous points de l'intervalle (0 ; une) et, par conséquent, le graphique est lisse (ne contient pas de coudes, il y a une tangente en tout point). Dérivée seconde 
négatif en tout point de l'intervalle (une; b), le graphique est donc convexe vers le haut.
. Évidemment, au moment y = 0 cette fonction a une dérivée, c'est-à-dire une tangente à ce graphe au point (une, 0) existe. Il est facile de vérifier qu'il est parallèle à l'axe Oy. De la symétrie de l'ellipse, nous concluons qu'il s'agit d'une courbe lisse et la construisons en tenant compte des données obtenues (Fig. 33.3).
Propriété focale d'une ellipse
Propriété directrice d'une ellipse
d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e
Q.E.D.
Équation paramétrique de l'ellipse
Pour effectuer des calculs, vous devez activer les contrôles ActiveX !
Lignes du second ordre.
Ellipse et son équation canonique. CercleLe concept de droite algébrique et son ordre
– nombres réels arbitraires (Il est d'usage de l'écrire avec un facteur deux), et les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.
, et si les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps, alors c'est exactement équation générale d'une droite "plate", ce qui représente première ligne de commande.
le terme contient « Y » à la puissance 1 ;
Il n’y a pas de variables dans le terme, donc la somme de leurs puissances est nulle.
la somme a la somme des puissances des variables : 1 + 1 = 2 ;
le terme contient « Y » à la puissance 2 ;
tous les autres termes - moins degrés.
, où les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.
, alors nous en parlerons déjà Lignes de 4ème ordre, etc.Quelle est la forme canonique d’une équation ?
Classification des lignes de second ordre
– équation canonique de l'ellipse ;
– équation canonique d'une parabole ;Ellipse et son équation canonique
Comment construire une ellipse ?
Segment appelé axe majeur ellipse;
segment – petit axe;
nombre 
appelé arbre semi-majeur ellipse;
nombre 
– petit axe.
dans notre exemple : .
– définit l'arc supérieur de l'ellipse ; 
– définit l'arc inférieur de l'ellipse.
. Il demande à être trouvé des points supplémentaires avec abscisses 
. Tapons trois messages SMS sur la calculatrice : 
Bien sûr, il est également agréable que si une erreur grave est commise dans les calculs, cela devienne immédiatement évident lors de la construction.
Il est préférable de dessiner le croquis initial très finement, puis d'appliquer ensuite une pression avec un crayon. Le résultat devrait être une ellipse tout à fait correcte. Au fait, aimeriez-vous savoir quelle est cette courbe ?Définition d'une ellipse. Foyers d'ellipse et excentricité d'ellipse
Dans ce cas, les distances entre les foyers sont inférieures à cette valeur : .
Comment trouver les foyers d’une ellipse ?
, où est-ce distance de chaque foyer au centre de symétrie de l'ellipse.
Et, par conséquent, la distance entre les foyers ne peut pas non plus être liée à la position canonique de l’ellipse. En d’autres termes, l’ellipse peut être déplacée vers un autre endroit et la valeur restera inchangée, tandis que les foyers changeront naturellement leurs coordonnées. Veuillez en tenir compte lorsque vous approfondirez le sujet.L'excentricité de l'ellipse et sa signification géométrique
. Cela signifie que les foyers de l'ellipse « s'écarteront » le long de l'axe des abscisses vers les sommets latéraux. Et comme « les segments verts ne sont pas en caoutchouc », l'ellipse commencera inévitablement à s'aplatir, se transformant en une saucisse de plus en plus fine enfilée sur un axe.
se dirigèrent l'un vers l'autre, s'approchant du centre. Cela signifie que la valeur de « ce » devient de plus en plus petite et, par conséquent, l'excentricité tend vers zéro : .
Dans ce cas, les « segments verts » deviendront au contraire « encombrés » et commenceront à « pousser » la ligne d'ellipse de haut en bas.
Un cercle est un cas particulier d'ellipse
– fonction du demi-cercle supérieur ;
– fonction du demi-cercle inférieur.Faire pivoter et traduire parallèlement une ellipse
, mais n’est-il pas possible en pratique de répondre à l’équation 
? Après tout, ici aussi, cela semble être une ellipse !
À la suite de la construction, notre ellipse native a été obtenue, tournée de 90 degrés. C'est, 
- Ce entrée non canonique ellipse 
. Enregistrer!– équation 
ne définit aucune autre ellipse, puisqu'il n'y a pas de points (foyers) sur l'axe qui satisferaient à la définition d'une ellipse.
