Document : c.-à-d. Le rang de la matrice est conservé lors de la réalisation des opérations suivantes :
1. Changer l'ordre des lignes.
2. Multiplier une matrice par un nombre autre que zéro.
3. Transposition.
4. Éliminer une chaîne de zéros.
5. Ajout d'une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.
La première transformation laissera certains mineurs inchangés, mais changera le signe de certains à l'opposé. La deuxième transformation laissera également certains mineurs inchangés, tandis que d'autres seront multipliés par un nombre autre que zéro. La troisième transformation préservera tous les mineurs. Ainsi, lors de l’application de ces transformations, le rang de la matrice sera également conservé (deuxième définition). L'élimination d'une ligne nulle ne peut pas changer le rang de la matrice, car une telle ligne ne peut pas entrer un mineur non nul. Considérons la cinquième transformation.
Nous supposerons que la base mineure Δp est située dans les p premières lignes. Supposons qu'une chaîne arbitraire b soit ajoutée à la chaîne a, qui est l'une de ces chaînes, multipliée par un certain nombre λ. Ceux. à la chaîne a est ajoutée une combinaison linéaire de chaînes contenant la base mineure. Dans ce cas, la base mineure Δp restera inchangée (et différente de 0). Les autres mineurs placés dans les premières lignes p restent également inchangés, il en va de même pour tous les autres mineurs. Que. V dans ce cas le rang (selon la deuxième définition) sera conservé. Considérons maintenant le mineur Ms, qui n'a pas toutes les lignes parmi les premières p lignes (et peut-être n'en a-t-il pas).
En ajoutant une chaîne arbitraire b à la chaîne ai, multipliée par le nombre λ, on obtient un nouveau mineur Ms', et Ms'=Ms+λ Ms, où
Si s>p, alors Ms=Ms=0, car tous les mineurs d'ordre supérieur à p de la matrice d'origine sont égaux à 0. Mais alors Ms'=0, et le rang des transformations matricielles n'augmente pas. Mais il ne pouvait pas non plus diminuer, puisque la mineure de base n'a subi aucune modification. Le rang de la matrice reste donc inchangé.
Vous pouvez également trouver les informations qui vous intéressent dans le moteur de recherche scientifique Otvety.Online. Utilisez le formulaire de recherche :
Notre objectif immédiat est de prouver que toute matrice peut être réduite à une certaine types standards. Le langage des matrices équivalentes est utile dans cette voie.
Qu'il en soit ainsi. On dira qu'une matrice est l_équivalent (n_equivalent ou équivalent) à une matrice et désignera (ou) si la matrice peut être obtenue à partir d'une matrice en utilisant nombre fini transformations élémentaires de ligne (colonne ou ligne et colonne, respectivement). Il est clair que l_équivalent et n_ matrices équivalentes sont équivalents.
Nous allons d’abord montrer que toute matrice peut être réduite à type spécial, dit réduit.
Qu'il en soit ainsi. Une ligne non nulle de cette matrice est dite avoir la forme réduite si elle contient un élément égal à 1 tel que tous les éléments de la colonne autres que soient égaux à zéro, . Nous appellerons l’élément unique marqué de la ligne l’élément principal de cette ligne et l’enfermerons dans un cercle. Autrement dit, une ligne d'une matrice a la forme réduite si cette matrice contient une colonne de la forme
Par exemple, dans la matrice suivante
la ligne a la forme suivante, puisque. Faisons attention au fait que dans cet exemple, un élément prétend également être l'élément principal de la ligne. À l'avenir, si une ligne du type donné contient plusieurs éléments qui ont des propriétés principales, nous n'en sélectionnerons qu'un seul de manière arbitraire.
Une matrice est dite de forme réduite si chacune de ses lignes non nulles a une forme réduite. Par exemple, la matrice
a la forme suivante.
Proposition 1.3 Pour toute matrice il existe une matrice équivalente de forme réduite.
En effet, si la matrice a la forme (1.1) et, alors après y avoir effectué des transformations élémentaires
on obtient la matrice
dans lequel la chaîne a la forme suivante.
Deuxièmement, si la ligne de la matrice a été réduite, alors après avoir effectué les transformations élémentaires (1.20) la ligne de la matrice sera réduite. En effet, puisque donnée, il existe une colonne telle que
mais alors et, par conséquent, après avoir effectué les transformations (1.20) la colonne ne change pas, c'est-à-dire . La ligne a donc la forme suivante.
Il est maintenant clair qu’en transformant tour à tour chaque ligne non nulle de la matrice de la manière ci-dessus, après un nombre fini d’étapes, nous obtiendrons une matrice de forme réduite. Puisque seules des transformations élémentaires de lignes ont été utilisées pour obtenir la matrice, elle est l_équivalente à une matrice. >
Exemple 7. Construire une matrice de forme réduite, l_équivalent à la matrice
Les trois premiers paragraphes de ce chapitre sont consacrés à la doctrine de l'équivalence des matrices polynomiales. Sur cette base, dans les trois paragraphes suivants, nous construisons la théorie analytique des diviseurs élémentaires, c'est-à-dire la théorie de la réduction d'une matrice carrée constante (peu nomiale) à forme normale. Les deux derniers paragraphes du chapitre donnent deux méthodes pour construire une matrice de transformation.
§ 1. Transformations élémentaires d'une matrice polynomiale
Définition 1. Une matrice polynomiale ou -matrice est une matrice rectangulaire dont les éléments sont des polynômes en :
voici le plus grand degré des polynômes.
on peut représenter une matrice polynomiale comme un polynôme matriciel par rapport à , c'est-à-dire comme un polynôme à coefficients matriciels :
Introduisons en considération les opérations élémentaires suivantes sur une matrice polynomiale :
1. Multiplier certaines lignes, par exemple th, par un nombre.
2. Ajouter à certaines, par exemple la ème ligne, une autre, par exemple la ème ligne, préalablement multipliée par un polynôme arbitraire.
3. Échangez deux lignes, par exemple la ième et la ième ligne.
Nous invitons le lecteur à vérifier que les opérations 1, 2, 3 équivalent respectivement à multiplier une matrice polynomiale de gauche par les matrices carrées d'ordre suivantes :
(1)
c'est-à-dire qu'à la suite de l'application des opérations 1, 2, 3, la matrice est transformée respectivement en matrices , , . Par conséquent, les opérations de type 1, 2, 3 sont appelées opérations élémentaires de gauche.
Les bonnes opérations élémentaires sur une matrice polynomiale sont définies de manière tout à fait similaire (ces opérations s'effectuent non pas sur les lignes, mais sur les colonnes de la matrice polynomiale) et les matrices correspondantes (d'ordre ) :
Suite à l'application de la bonne opération élémentaire, la matrice est multipliée à droite par la matrice correspondante.
Nous appellerons les matrices de type (ou, ce qui revient au même, type ) matrices élémentaires.
Le déterminant de toute matrice élémentaire ne dépend pas de zéro et est différent de zéro. Par conséquent, pour chaque opération élémentaire gauche (droite) il y a opération inverse, qui est aussi une opération élémentaire gauche (respectivement droite).
Définition 2. Deux matrices polynomiales sont appelées 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si l'une d'elles est obtenue de l'autre en appliquant respectivement 1) opérations élémentaires gauche, 2) opérations élémentaires droite, 3) gauche et bonnes opérations élémentaires.
Supposons que la matrice soit obtenue en utilisant des opérations élémentaires de gauche correspondant aux matrices. Alors
. (2).
Désignant par le produit , on écrit l'égalité (2) sous la forme
, (3)
où , comme chacune des matrices, a un déterminant constant non nul.
Dans la section suivante, nous prouverons que toute matrice carrée avec un déterminant constant non nul peut être représentée comme un produit de matrices élémentaires. Par conséquent, l’égalité (3) est équivalente à l’égalité (2) et signifie donc l’équivalence gauche des matrices et .
En cas d'équivalence de droit matrices polynomiales et au lieu de l'égalité (3) nous aurons l'égalité
, (3")
et en cas d’équivalence (bilatérale) – égalité
Ici encore et ce sont des matrices à déterminants non nuls et indépendants.
Ainsi, la définition 2 peut être remplacée par une définition équivalente.
Définition 2". Deux matrices rectangulaires et sont appelées 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si, respectivement
1)
, 2) , 3) ,
où et sont des matrices carrées polynomiales avec des déterminants constants et non nuls.
Nous illustrons tous les concepts introduits ci-dessus à l’aide de l’exemple important suivant.
Considérons un système de linéaire homogène équations différentielles-ème ordre avec des fonctions d'argument inconnues à coefficients constants :
(4)
Équation Mu d'une nouvelle fonction inconnue ; la deuxième opération élémentaire signifie l'introduction d'une nouvelle fonction inconnue 
(au lieu de ); la troisième opération consiste à changer de place dans les équations des termes contenant et (c'est-à-dire 
).
1. Soit deux espaces vectoriels et, par conséquent, des mesures sur un corps numérique et un opérateur linéaire mappé dans . Dans cette section nous découvrirons comment la matrice correspondant à un opérateur linéaire donné change lorsque les bases et changent.
Choisissons des bases arbitraires et . Dans ces bases, l'opérateur correspondra à la matrice. Égalité vectorielle
correspond à l'égalité matricielle
où et sont les colonnes de coordonnées des vecteurs et des bases et .
Choisissons maintenant dans et d'autres bases et . Dans les nouvelles bases, au lieu de , , nous aurons : , , . En même temps
Désignons par et les matrices carrées non singulières d'ordres et , respectivement, qui effectuent la transformation des coordonnées dans les espaces et dans le passage des anciennes bases aux nouvelles (voir § 4) :
Alors de (27) et (29) on obtient :
En supposant , à partir de (28) et (30) on trouve :
Définition 8. Deux matrices rectangulaires et mêmes tailles sont dits équivalents s’il existe deux matrices carrées non singulières telles que
De (31) il résulte que deux matrices correspondant au même opérateur linéaire avec des choix de bases différents dans et sont toujours équivalentes entre elles. Il est facile de voir qu'à l'inverse, si une matrice correspond à un opérateur pour certaines bases dans et , la matrice est équivalente à une matrice , alors elle correspond au même opérateur linéaire pour certaines autres bases dans et .
Ainsi, chaque opérateur linéaire mappe et correspond à une classe de matrices équivalentes entre elles avec des éléments du domaine.
2. Le théorème suivant établit un critère d'équivalence de deux matrices :
Théorème 2. Pour que deux matrices rectangulaires de même taille soient équivalentes, il faut et suffisant que ces matrices aient le même rang.
Preuve. La condition est nécessaire. Lors de la multiplication d'une matrice rectangulaire par n'importe quel non singulier matrice carrée(gauche ou droite) le rang de la matrice rectangulaire d'origine ne peut pas changer (voir Chapitre I, page 27). Par conséquent, de (32) il résulte
La condition est suffisante. Soit une matrice rectangulaire de taille . Il définit un opérateur linéaire mappant un espace avec une base dans un espace avec une base. Notons par nombre linéairement vecteurs indépendants parmi les vecteurs 
. Sans perte de généralité, on peut supposer que les vecteurs sont linéairement indépendants 
, et le reste s'exprime linéairement à travers eux :
. (33)
Définissons une nouvelle base comme suit :
(34)
Alors en vertu de (33)
. (35)
Les vecteurs sont linéairement indépendants. Complétons-les avec quelques vecteurs à base de .
Puis la matrice correspondant au même opérateur dans de nouvelles bases ; , d’après (35) et (36) aura la forme
. (37)
Dans la matrice, les uns suivent la diagonale principale de haut en bas ; tous les autres éléments de la matrice sont égaux à zéro. Puisque les matrices et correspondent au même opérateur, elles sont équivalentes entre elles. D'après ce qui a été prouvé, les matrices équivalentes ont le même rang. Par conséquent, le rang de la matrice d'origine est égal à .
Nous avons montré qu'une matrice de rang rectangulaire arbitraire est équivalente à la matrice « canonique ». Mais la matrice est entièrement déterminée en précisant les dimensions et les nombres. Par conséquent, toutes les matrices rectangulaires de tailles et de rang donnés sont équivalentes à la même matrice et donc équivalentes les unes aux autres. Le théorème a été prouvé.
3. Soit étant donné un opérateur linéaire représentant -espace dimensionnel en dimensionnelle. Un ensemble de vecteurs de la forme , où , formes espace vectoriel. Nous désignerons cet espace par ; il fait partie de l'espace ou, comme on dit, est un sous-espace dans l'espace.
Avec le sous-espace dans, nous considérons l'ensemble de tous les vecteurs satisfaisant l'équation
Ces vecteurs forment également un sous-espace dans ; Nous désignerons ce sous-espace par .
Définition 9. Si un opérateur linéaire correspond à , alors le nombre de dimensions de l'espace est appelé le rang de l'opérateur, et le nombre de dimensions de l'espace constitué de tous les vecteurs satisfaisant la condition (38) est appelé le défaut de l'opérateur. .
Parmi tous les équivalents matrices rectangulaires, définissant cet opérateur dans diverses bases, il y a matrice canonique[voir (37)]. Notons par et les bases correspondantes dans et . Alors
, 
.
De la définition et il s'ensuit que les vecteurs forment une base dans , et les vecteurs comparent la base dans . Il en résulte quel est le rang de l'opérateur et
Si est une matrice arbitraire correspondant à l’opérateur, alors elle est équivalente et a donc le même rang. Ainsi, le rang de l’opérateur coïncide avec le rang de la matrice rectangulaire
,
définition de l'opérateur dans certaines bases 
Et 
.
Les colonnes de la matrice contiennent les coordonnées des vecteurs . Puisqu'il s'ensuit que le rang de l'opérateur, c'est-à-dire le nombre de dimensions, est égal à nombre maximum vecteurs linéairement indépendants parmi . Ainsi, le rang de la matrice coïncide avec le nombre de colonnes linéairement indépendantes de la matrice. Puisque lors de la transposition les lignes de la matrice sont transformées en colonnes et que le rang ne change pas, le nombre de lignes linéairement indépendantes de la matrice est également égal au rang de la matrice.
4. Soit deux opérateur linéaire, et leur travail.
Laissez l'opérateur mapper vers , et l'opérateur mapper vers . Ensuite, l'opérateur mappe vers :
Introduisons les matrices , , correspondant aux opérateurs , , pour un certain choix de bases , et . Alors l'opérateur égalité correspondra à l'égalité matricielle ., c'est-à-dire dans, .
