Angle entre plans, méthode géométrique.

"Système de coordonnées sur un plan" - Hipparque. Quel est le rôle du sujet dans un cours de mathématiques et disciplines connexes? Ptolémée. Comment s’appelle un système de coordonnées ? Quels types de systèmes de coordonnées connaissez-vous ? Comment tracer un point avec coordonnées données sur avion coordonné? Connaissez-vous l’histoire de l’origine des coordonnées ? Comment déterminer les coordonnées d'un point sur un plan de coordonnées ?

« Coordonnées du plan » - Axe Ox – abscisse x. À l'aide d'une grille de coordonnées, les pilotes et les marins déterminent l'emplacement des objets. L'axe Oy est l'ordonnée y. Lorsque vous jouez aux échecs, la méthode des coordonnées est également utilisée. Tous les élèves de notre classe ont aimé dessiner. La grille rectangulaire était également utilisée par les artistes de la Renaissance.

« Cuba » - Territoire de Cuba - 111 mille km ?. Certaines zones sont occupées par une végétation semblable aux savanes herbeuses. Les collines et les montagnes occupent environ un tiers du territoire. Eaux de surface. Le secteur bancaire se renforce. La température moyenne annuelle est de 25,5 °C. Pénurie aiguë de devises étrangères. Température eaux de surface au large des côtes en hiver il fait 22-24°, en été - 28-30 °C.

"Vecteurs dans un avion" - Géométrie analytique. Problème 2. Un point et un vecteur sont donnés dans l'espace. Considérons le point actuel du vecteur direct sur le plan. Etude de l'équation d'une droite. Équation d'un plan passant par un point parallèle à deux vecteurs. Vecteur normal – vecteur, perpendiculaire au plan. Si l'on exclut le paramètre t de équation paramétrique, alors on obtient équation canonique droit.

"Problèmes d'avion" - Tâche n° 3. Tâche n° 4. Élaboration d'un plan de résolution de problèmes. Propriété de hauteur triangle rectangle, attiré vers l'hypoténuse. Un peu de théorie. Formuler un signe de perpendiculaire de deux plans. Testez la « perpendiculaire ». Résoudre des problèmes à l'aide de dessins prêts à l'emploi. Propriété d'une tangente et d'un rayon tracé au point de contact.

"Sinus cosinus tangente d'un angle aigu" - Considérons un rectangle triangle ABC: ?A=30°, ?B=60°. Identités trigonométriques. Valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle de 30°. Selon le théorème de Pythagore, AB2 = AC2+ BC2 = 2 AC2 = 2 BC2, d'où donc les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle sont de 60°. Considérons un triangle rectangle isocèle ABC : AC=BC, ?A=45°, ?B=45°.

Cet article porte sur l'angle entre les plans et comment le trouver. Tout d'abord, la définition de l'angle entre deux plans est donnée et une illustration graphique est donnée. Après cela, le principe de recherche de l'angle entre deux plans sécants à l'aide de la méthode des coordonnées a été analysé et une formule a été obtenue qui permet de calculer l'angle entre des plans sécants en utilisant les coordonnées connues des vecteurs normaux de ces plans. En conclusion, on montre solutions détaillées tâches caractéristiques.

Navigation dans les pages.

Angle entre les plans - définition.

Présentons des arguments qui permettront d'aborder progressivement la détermination de l'angle entre deux plans sécants.

Soit deux plans sécants et . Ces plans se coupent le long d'une ligne droite, que nous désignons par la lettre c. Construisons un plan passant par le point M de la droite c et perpendiculaire à la droite c. Dans ce cas, l'avion coupera les avions et. Notons la droite le long de laquelle les plans se coupent par a, et la droite le long de laquelle les plans se coupent par b. Évidemment, les droites a et b se coupent au point M.

Il est facile de montrer que l'angle entre les lignes sécantes a et b ne dépend pas de l'emplacement du point M sur la ligne c par laquelle passe le plan.

Construisons un plan perpendiculaire à la droite c et différent du plan. Le plan est coupé par des plans et le long de lignes droites, que nous désignons respectivement par a 1 et b 1.

De la méthode de construction des plans, il s'ensuit que les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne c et que les lignes a 1 et b 1 sont perpendiculaires à la ligne c. Puisque les lignes a et a 1 se trouvent dans le même plan et sont perpendiculaires à la ligne c, alors elles sont parallèles. De même, les lignes b et b 1 se trouvent dans le même plan et sont perpendiculaires à la ligne c, elles sont donc parallèles. Alors tu peux faire transfert parallèle plan à plan, dans lequel la droite a 1 coïncide avec la droite a et la droite b avec la droite b 1. Par conséquent, l'angle entre deux lignes sécantes a 1 et b 1 égal à l'angle entre les lignes sécantes a et b.

Cela prouve que l'angle entre les lignes sécantes a et b se situe dans des plans sécants et ne dépend pas du choix du point M par lequel passe le plan. Par conséquent, il est logique de prendre cet angle comme l’angle entre deux plans sécants.

Vous pouvez maintenant exprimer la définition de l'angle entre deux plans sécants et.

Définition.

L'angle entre deux plans se coupant en ligne droite et- c'est l'angle entre deux lignes sécantes a et b, le long duquel les plans et coupent le plan perpendiculaire à la ligne c.

La définition de l'angle entre deux plans peut être donnée un peu différemment. Si sur la droite c le long de laquelle les plans et se coupent, marquez un point M et tracez des droites a et b à travers lui, perpendiculaires à la droite c et situées dans les plans et, respectivement, l'angle entre les droites a et b est l'angle entre les plans et. Habituellement, dans la pratique, de telles constructions sont réalisées afin d'obtenir l'angle entre les plans.

Puisque l'angle entre les lignes qui se croisent ne dépasse pas , il résulte de la définition énoncée que mesure de degré l'angle entre deux plans sécants est exprimé nombre réel de l'intervalle. Dans ce cas, les plans qui se croisent sont appelés perpendiculaire, si l'angle entre eux est de quatre-vingt-dix degrés. Angle entre plans parallèles soit ils ne le déterminent pas du tout, soit ils le considèrent égal à zéro.

Trouver l'angle entre deux plans sécants.

Habituellement, pour trouver un angle entre deux plans sécants, vous devez d'abord faire constructions supplémentaires pour voir les lignes qui se croisent dont l'angle est égal à l'angle souhaité, puis relier cet angle aux données d'origine en utilisant des signes d'égalité, des signes de similarité, le théorème du cosinus ou les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle. Au cours de la géométrie lycée des problèmes similaires se produisent.

A titre d'exemple, donnons la solution du problème C2 de l'examen d'État unifié de mathématiques de 2012 (la condition a été intentionnellement modifiée, mais cela n'affecte pas le principe de la solution). Dans celui-ci, il suffisait de trouver l'angle entre deux plans sécants.

Exemple.

Solution.

Commençons par faire un dessin.

Réalisons des constructions supplémentaires pour « voir » l'angle entre les plans.

Tout d'abord, définissons une ligne droite le long de laquelle les plans ABC et BED 1 se coupent. Le point B est un de leurs points communs. Trouvons le deuxième point commun de ces avions. Les droites DA et D 1 E se situent dans le même plan ADD 1, et elles ne sont pas parallèles, et donc se coupent. D'autre part, la ligne DA se situe dans le plan ABC et la ligne D 1 E - dans le plan BED 1, donc le point d'intersection des lignes DA et D 1 E sera point commun avions ABC et BED 1. Continuons donc les lignes DA et D 1 E jusqu'à leur intersection, en désignant le point de leur intersection avec la lettre F. Alors BF est la droite le long de laquelle les plans ABC et BED 1 se coupent.

Il reste à construire deux lignes situées respectivement dans les plans ABC et BED 1, passant par un point de la ligne BF et perpendiculaire à la ligne BF - l'angle entre ces lignes, par définition, sera égal à l'angle souhaité entre Avions ABC et LIT 1. Faisons-le.

Point A est la projection du point E sur le plan ABC. Traçons une droite coupant la droite BF à angle droit au point M. Alors la droite AM est la projection de la droite EM sur le plan ABC, et par le théorème des trois perpendiculaires.

Ainsi, l'angle requis entre les plans ABC et BED 1 est égal à .

On peut déterminer le sinus, le cosinus ou la tangente de cet angle (et donc l'angle lui-même) à partir du triangle rectangle AEM si l'on connaît les longueurs de ses deux côtés. A partir de la condition, il est facile de trouver la longueur AE : puisque le point E divise le côté AA 1 dans un rapport de 4 à 3, en comptant à partir du point A, et que la longueur du côté AA 1 est de 7, alors AE = 4. Trouvons la longueur AM.

Pour ce faire, considérons un triangle rectangle ABF d’angle droit A, où AM est la hauteur. Par condition AB = 2. Nous pouvons trouver la longueur du côté AF à partir de la similitude des triangles rectangles DD 1 F et AEF :

En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve à partir du triangle ABF. On trouve la longueur AM passant par l'aire du triangle ABF : d'un côté l'aire du triangle ABF est égale à , d'un autre côté , où .

Ainsi, à partir du triangle rectangle AEM on a .

Alors l'angle requis entre les plans ABC et BED 1 est égal (notez que ).

Répondre:

Dans certains cas, pour trouver l'angle entre deux plans sécants, il est pratique de définir Oxyz et d'utiliser la méthode des coordonnées. Arrêtons-nous là.

Fixons-nous la tâche : trouver l'angle entre deux plans sécants et . Notons l'angle souhaité par .

Nous supposerons que dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz donné, nous connaissons les coordonnées des vecteurs normaux des plans qui se croisent et/ou avons la possibilité de les trouver. Laisser est le vecteur normal du plan, et est le vecteur normal du plan. Nous montrerons comment trouver l'angle entre des plans sécants et à travers les coordonnées des vecteurs normaux de ces plans.

Notons la droite le long de laquelle les plans et se coupent par c. Par le point M sur la ligne c on trace un plan perpendiculaire à la ligne c. Le plan coupe les plans et le long des lignes a et b, respectivement, les lignes a et b se coupent au point M. Par définition, l'angle entre les plans sécants et est égal à l'angle entre les lignes sécantes a et b.

Traçons les vecteurs et plans normaux et à partir du point M dans le plan. Dans ce cas, le vecteur se trouve sur une ligne perpendiculaire à la ligne a et le vecteur se trouve sur une ligne perpendiculaire à la ligne b. Ainsi, dans le plan le vecteur est le vecteur normal de la droite a, est le vecteur normal de la droite b.

Dans l'article sur la recherche de l'angle entre les lignes sécantes, nous avons reçu une formule qui nous permet de calculer le cosinus de l'angle entre les lignes sécantes en utilisant les coordonnées des vecteurs normaux. Ainsi, le cosinus de l'angle entre les droites a et b, et, par conséquent, cosinus de l'angle entre les plans sécants et se trouve par la formule, où Et sont les vecteurs normaux des plans et, respectivement. Ensuite, il est calculé comme .

Résolvons l'exemple précédent en utilisant la méthode des coordonnées.

Exemple.

Étant donné un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, dans lequel AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 et le point E divise le côté AA 1 dans le rapport de 4 à 3, en comptant à partir du point A. Trouvez l'angle entre les plans ABC et BED 1.

Solution.

Puisque les côtés d’un parallélépipède rectangle en un sommet sont perpendiculaires deux à deux, il est pratique d’introduire système rectangulaire coordonne Oxyz comme ceci : le début est aligné avec le sommet C, et axes de coordonnées Ox, Oy et Oz sont dirigés respectivement vers les faces CD, CB et CC 1.

L'angle entre les plans ABC et BED 1 peut être trouvé grâce aux coordonnées des vecteurs normaux de ces plans à l'aide de la formule , où et sont respectivement les vecteurs normaux des plans ABC et BED 1. Déterminons les coordonnées des vecteurs normaux.

1. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points E et F sont respectivement les milieux des arêtes A 1 B 1 et A 1 D 1 . Trouver la tangente de l'angle entre les plans AEF et BDD 1.
   Solution [, 205 Ko].
2. Étant donné un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trouvez l'angle entre les plans AB 1 D 1 et ACD 1.
   Solution [, 150 Ko].
3. Souvent, lors de la construction d'un dessin, je ressens un inconfort ; les triangles ne sont pas visibles. Dans le brouillon, je commence à « retourner » le polyèdre et à sélectionner l'angle le plus réussi. C'est ce qui s'est passé lors de la résolution de ce problème...
   Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, trouvez le sinus de l'angle entre les plans BA 1 C 1 et BAD 1.
   Solution [, 165 Ko].
4. Dans le droit prisme quadrangulaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 de côté de base 12 et de hauteur 21, le point M est pris sur l'arête AA 1 de sorte que AM=8. Le point K est pris sur l'arête BB 1 de telle sorte que KB 1 =8. Trouvez l'angle entre le plan D 1 MK et le plan CC 1 D 1.
   Solution [, 350 Ko].
5. Dans un prisme quadrangulaire régulier ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 de côté de base 4 et de hauteur 7, le point M est pris sur l'arête AA 1 de sorte que AM = 2. Le point K est pris sur l'arête BB 1 de sorte que KB 1 = 2. Trouver l'angle entre le plan D 1 MK et le plan CC 1 D 1.
6. Dans un prisme quadrangulaire régulier ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les côtés de la base sont égaux à 2, et les bords latéraux sont égaux à 5. Le point E est marqué sur le bord AA 1 de telle sorte que AE : EA 1 = 3 : 2. Trouvez l'angle entre les plans ABC et BED 1 .
   Solution [, 304 Ko], méthode de coordonnées [, 180 Ko].
7. La base d'un prisme droit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est un losange de côté 2 et d'angle B égal à 120 0. Trouvez l'angle que forme le plan ABD 1 avec la base du prisme, si l'on sait que la distance entre les droites AC et B 1 D 1 est égale à 4.
   Solution [, 145 Ko].
8. Le côté de base d'un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1 est égal à 2 et la diagonale de la face latérale est égale à . Trouvez l'angle entre le plan A 1 BC et le plan de la base du prisme.
   Dessin [, 18,2 Ko], solution.
9. Dans le droit prisme triangulaire ABCA 1 B 1 C 1 les côtés de la base sont égaux à 3 et les bords latéraux sont égaux à 1. Le point D est le milieu du bord CC 1. Trouvez l'angle entre les plans ABC et ADB 1.
   Solution [, 180 Ko].
10. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez l'angle entre les plans ACB 1 et A 1 C 1 B.
    Solution [, 267 Ko].
    
11. La base d'un prisme droit ABCA 1 B 1 C 1 est un triangle ABC dont l'aire est 12, AB = 5. Le bord latéral du prisme est 36. Trouver la tangente de l'angle entre les plans ABC 1 et ABC.
    Solution [, 162 Ko].
12. La base du prisme droit ABCA 1 B 1 C 1 est triangle isocèle ABC, dans lequel CB=CA=5, BA=6. La hauteur du prisme est de 24. Le point M est le milieu de l'arête AA 1, le point K est le milieu de l'arête BB 1. Trouvez l'angle entre les plans de MKS 1 et le plan de la base du prisme.
    Solution [, 151 Ko].
13. DANS parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pour lequel AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, trouver la tangente de l'angle entre les plans ACD 1 et A 1 B 1 C 1.
    Solution [, 239 Ko].
14. Dans un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D, dans lequel AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, trouvez la tangente de l'angle entre les plans ACD 1 et A 1 B 1 C 1.
15. Dans un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, dans lequel AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, trouvez la tangente de l'angle entre les plans CDD 1 et BDA 1.
    Solution [, 105 Ko].
16. Dans le parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 le point N est le milieu de l'arête CD, AB = 3, BC = 2, BB 1 = 2. Trouvez l'angle entre les plans AB 1 N et ABC.
    Solution [, 256 Ko].
17. Dans le parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 le point M est le milieu de l'arête B 1 C 1, AB = 3, BC = 4, BB 1 = 2. Trouvez l'angle entre les plans BMD et ABC.
    Solution [, 188 Ko].
18. Étant donné un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les longueurs des arêtes AB = 2, AD = AA 1 = 1. Trouvez l'angle entre les plans CD 1 B 1 et CDA 1.
    Solution [, 174 Ko], méthode de coordonnées [, 210 Ko].
19. Dans un parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=AA 1 =4, AD=3. Trouver la tangente de l'angle que forme le plan ACB 1 avec la face CDD 1 C 1.
    Solution [, 168 Ko].
20. Dans le parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les arêtes AB = 8, AD = 6, CC 1 = 5 sont connues. Trouvez l'angle entre les plans BDD 1 et AD 1 B 1.
    Solution [, 185 Ko].
21. Dans le parallélépipède rectangle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 les arêtes AB = 5, AD = 12, CC 1 = 15 Trouvez l'angle entre les plans ABC et A 1 DB.
    Solution [, 190 Ko].
22. Dans le droit prisme hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, un plan est tracé passant par les sommets A, E et D 1. Trouver angle dièdre(en degrés) entre ce plan et le plan de la base du prisme.
    Solution [, 107 Ko].
23. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD de sommet S, toutes les arêtes sont égales les unes aux autres. Le point M est le milieu du bord SC. Trouvez l'angle entre le plan ADM et le plan de base.
    Solution [, 208 Ko], un autre dessin
24. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD de sommet S, les bords latéraux sont deux fois plus longs que les côtés de la base. Le point M est le milieu du bord SC. Trouvez l'angle entre le plan ADM et le plan de base.
    Solution
25. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD de base ABCD, le côté de la base est 3, et côte latérale est 5. Trouvez l'angle entre les plans ABC et ACM où le point M divise l'arête BS de telle sorte que BM : MS = 2:1.
    Solution [, 167 Ko]
26. Dans une pyramide quadrilatère régulière SABCD de base ABCD, le côté de base est 6 et le bord latéral est 10. Trouvez l'angle entre les plans ABC et ACM où le point M divise le bord BS de telle sorte que BM:MS = 2:1.
27. À la base pyramide quadrangulaire SABCD est un carré ABCD de côté . Les longueurs de toutes les arêtes latérales sont égales à 3, le point M est le milieu de l'arête AS. Un plan est tracé par la droite BM parallèle à la diagonale AC. Déterminer la valeur angle aigu(en degrés) entre ce plan et le plan SAC.
    Solution [