Hyperboloïde à feuille unique
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
Hyperboloïde à deux feuilles est une surface définie à un certain point système rectangulaire coordonne Oxyz par l'équation canonique
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
Dans les équations (4.48), (4.49) a, b, c sont des paramètres positifs caractérisant les hyperboloïdes, et a\geqslant b .
L'origine des coordonnées est appelée le centre de l'hyperboloïde. Les points d'intersection d'un hyperboloïde avec les axes de coordonnées sont appelés ses sommets. Ce sont quatre points (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) de l'hyperboloïde à une feuille (4.48) et deux points (0,0,\pm c) de l'hyperboloïde à deux feuilles (4.49). Les trois segments des axes de coordonnées reliant les sommets des hyperboloïdes sont appelés axes des hyperboloïdes. Les axes des hyperboloïdes appartenant aux axes de coordonnées Ox,\,Oy sont appelés axes transversaux des hyperboloïdes, et l'axe appartenant à l'axe appliqué Oz est appelé axe longitudinal des hyperboloïdes. Nombres a,\,b,\,c , égal aux moitiés les longueurs des axes sont appelées demi-axes des hyperboloïdes.
Coupes planes d'un hyperboloïde à feuille unique
En substituant z=0 dans l’équation (4.48), nous obtenons l’équation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 la ligne d'intersection d'un hyperboloïde à une feuille avec le plan de coordonnées Oxy. Cette équation dans le plan Oxy définit une ellipse appelée gorge. Les lignes d'intersection d'un hyperboloïde à une feuille avec d'autres plans de coordonnées sont des hyperboles. On les appelle hyperboles principales. Par exemple, pour x=0 on obtient l’hyperbole principale \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, et pour y=0 - l'hyperbole principale \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
Considérons maintenant la section d'un hyperboloïde à une feuille par plans, parallèle au plan Oxy. En remplaçant z=h, où h est une constante arbitraire (paramètre), dans l'équation (4.48), nous obtenons
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
Pour toute valeur du paramètre h, l'équation définit une ellipse à demi-axes a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. Par conséquent, la section d'un hyperboloïde à feuillet unique par le plan z=h est une ellipse dont le centre se trouve sur l'axe appliqué et dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales. Parmi toutes les ellipses obtenues en coupes par plans z=h à différentes significations paramètre h, l'ellipse de la gorge (à h=0) est l'ellipse avec les plus petits demi-axes.
Ainsi, un hyperboloïde à une feuille peut être représenté comme une surface formée d'ellipses dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales (Fig. 4.42, a)
Coupes planes d'un hyperboloïde à deux feuilles
Les sections d'un hyperboloïde à deux feuilles par les plans de coordonnées Oyz et Oxz sont des hyperboles (hyperboles principales).
Considérons maintenant les sections d'un hyperboloïde à deux feuillets par des plans parallèles au plan Oxy. En remplaçant z=h, où h est une constante arbitraire (paramètre), dans l'équation (4.49), nous obtenons
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
Pour |h|
Ainsi, un hyperboloïde à deux feuillets peut être représenté comme une surface formée d'ellipses dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales (Fig. 4.43, a).
Hyperboloïdes de rotation
Un hyperboloïde dont les demi-axes transversaux sont égaux (a=b) est appelé hyperboloïde de révolution. Un tel hyperboloïde est une surface de révolution, et ses sections par plans z=h (pour un hyperboloïde à deux feuilles avec |h|>c) sont des cercles dont les centres sont sur l'axe applicable. Des hyperboloïdes à feuille unique ou double peuvent être obtenus en faisant tourner l'hyperbole autour de l'axe Oz \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(Fig. 4.42, b) ou hyperbole conjuguée \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(Fig. 4.43, b) respectivement. Notez que l’équation de ce dernier peut s’écrire sous la forme -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
Un hyperboloïde dont les axes transversaux sont différents (a\ne b) est dit triaxial (ou général).
Remarques 4.9
1. X avions x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c défini dans l'espace basique cuboïde , à l'extérieur duquel se trouve un hyperboloïde à deux feuilles (Fig. 4.43, c). Deux faces (z=\pm c) du parallélépipède touchent l'hyperboloïde à ses sommets.
2. Section d'un hyperboloïde monofeuillet par un plan parallèle à l'axe appliqué et ayant un point commun avec une ellipse de gorge (c'est-à-dire tangente à celle-ci), représente deux lignes droites se coupant au point de contact. Par exemple, en substituant x=\pm a dans l’équation (4.48), nous obtenons l’équation \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0 deux lignes qui se croisent (voir Fig. 4.42, a).
3. Un hyperboloïde à une feuille est une surface réglée, c'est-à-dire surface formée par le mouvement d'une ligne droite (voir Fig. 4.42, c). Par exemple, un hyperboloïde de révolution à une feuille peut être obtenu en faisant tourner une ligne autour d'une autre ligne qui la coupe (mais qui n'est pas perpendiculaire).
4. L'origine du système de coordonnées canonique est le centre de symétrie de l'hyperboloïde, axes de coordonnées- axes de symétrie de l'hyperboloïde, plans de coordonnées - plans de symétrie de l'hyperboloïde.
En effet, si le point M(x,y,z) appartient à un hyperboloïde, alors les points de coordonnées (\pm x,\pm y,\pm z) car tout choix de signes appartient également à l'hyperboloïde, puisque leurs coordonnées satisfont respectivement à l'équation (4.48) ou (4.49).
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ANNEXE 2
HYPERBOLOÏDE DE ROTATION À GROTTE UNIQUE
(brèves informations)
Si le mouvement de la ligne génératrice est une rotation autour d'une ligne droite (axe) fixe, alors la surface formée dans ce cas est appelée surface de rotation. La ligne génératrice peut être une courbe plate ou spatiale, ainsi qu'une ligne droite.
Chaque point de la droite génératrice, lorsqu'il tourne autour d'un axe, décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Ces cercles sont appelés parallèles. Par conséquent, les plans perpendiculaires à l’axe coupent la surface de révolution le long de parallèles. La ligne où la surface de rotation coupe le plan passant par l’axe est appelée méridien. Tous les méridiens de la surface de révolution sont congrus.
L'ensemble de tous les parallèles ou méridiens représente un cadre continu de la surface de révolution. Par chaque point de la surface passent un parallèle et un méridien. Les projections d'un point sont situées sur les projections correspondantes d'un parallèle ou d'un méridien. Vous pouvez définir un point sur la surface ou construire une deuxième projection d'un point, le cas échéant, en utilisant un parallèle ou un méridien qui passe par ce point. La partie géométrique du déterminant d'une surface de révolution est constituée d'un axe de rotation et d'une génératrice.
Surfaces formées par rotation d'une ligne droite :
1. - un cylindre de rotation est formé en faisant tourner une droite parallèle à l'axe ;
2. - le cône de rotation est formé par la rotation d'une droite coupant l'axe ;
3. - un hyperboloïde de révolution à une feuille est formé par la rotation d'une droite traversant l'axe ;
Les parallèles d'une surface sont des cercles.
Le méridien de la surface est une hyperbole.
Toutes les surfaces de révolution réglées répertoriées sont des surfaces du second ordre.
Surfaces formées par rotation de courbes du second ordre autour de leurs axes
1. Une sphère est formée en faisant tourner un cercle autour de son diamètre.
2. Un ellipsoïde de révolution est formé en faisant tourner une ellipse autour d'un axe majeur ou mineur.
3. Un paraboloïde de révolution est formé en faisant tourner une parabole autour de son axe.
4. Un hyperboloïde de révolution d'une seule feuille est formé en faisant tourner une hyperbole autour de son axe imaginaire (cette surface est également formée par la rotation d'une ligne droite : étape a-1).
Un hyperboloïde à feuille unique est une surface équation canonique qui a la forme :
où a, b, c sont des nombres positifs.
Il possède trois plans de symétrie, trois axes de symétrie et un centre de symétrie. Il s'agit respectivement des plans de coordonnées, des axes de coordonnées et de l'origine des coordonnées. Pour construire un hyperboloïde, on trouve ses sections par différents plans. Trouvons la ligne d'intersection avec le plan xOy. Sur ce plan z = 0, donc
Cette équation sur le plan xOy définit une ellipse de demi-axes a et b (Fig. 1). Trouvons la ligne d'intersection avec le plan yOz. Sur ce plan x = 0, donc
C'est l'équation d'une hyperbole dans le plan yOz, où le demi-axe réel est b et le demi-axe imaginaire est c. Construisons cette hyperbole.
La section par le plan xOz est aussi une hyperbole d'équation
Nous dessinerons également cette hyperbole, mais afin de ne pas surcharger le dessin avec des lignes supplémentaires, nous ne représenterons pas ses asymptotes et supprimerons les asymptotes dans la section par le plan yOz.
Trouvons les lignes d'intersection de la surface avec les plans z = ± h, h > 0.
Riz. 1. Section d'un hyperboloïde à feuille unique
Les équations de ces droites sont :
Transformons la première équation sous la forme
Cette équation est l'équation d'une ellipse semblable à une ellipse dans le plan xOy, de coefficient de similarité et de demi-axes a 1 et b 1 . Dessinons les sections résultantes (Fig. 2).
Riz. 2. Image d'un hyperboloïde à feuille unique utilisant des sections
Un hyperboloïde de révolution à feuille unique peut être obtenu en faisant tourner une ligne droite coupant l'axe imaginaire autour duquel la ligne tourne. Dans ce cas, on obtient une figure spatiale (Fig. 3) dont la surface est composée de positions successives de la droite lors de la rotation.
Riz. 3. Hyperboloïde de révolution à feuille unique obtenu par rotation d'une droite traversant l'axe de rotation
Le méridien d’une telle surface est une hyperbole. L’espace à l’intérieur de cette figure de rotation sera réel, et à l’extérieur il sera imaginaire. Le plan perpendiculaire à l'axe imaginaire et disséquant un hyperboloïde à feuillet unique au niveau de sa section minimale est appelé plan focal.
Une image familière d’un hyperboloïde à feuille unique pour l’œil est présentée sur la Fig. 6.4.
Si dans l'équation a=b, alors les sections de l'hyperboloïde par des plans parallèles au plan xOy sont des cercles. Dans ce cas, la surface est appelée hyperboloïde de révolution à feuille unique et peut être obtenue en faisant tourner une hyperbole située dans le plan yOz autour de l'axe Oz (Fig. 4).
Riz. 4. Hyperboloïde de révolution à feuille unique,
hyperboloïde à bande unique x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0 ; Traversé plans d'axes de coordonnées x=0,y=0,z=0 par hyperboles y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 et ellipsoïde x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 respectivement. Dans les sections d'un hyperboloïde monobande par les plans z=h, les ellipses x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 sont toujours obtenues avec des demi-axes et 
.
Équation canonique :
une = b- hyperboloïde de rotation monofeuillet autour d'un axe Oz.
Ellipse du cou :
Cône asymptotique : 
Les sections d'un hyperboloïde à feuille unique par plans sont soit une ellipse, une parabole, une hyperbole ou une paire de lignes droites (génératrices rectilignes).
Générateurs rectilignes
Par un point arbitraire 
passent deux génératrices droites de vecteurs directeurs et où :
En particulier, si un point est choisi sur l'ellipse de la gorge 
alors les équations des génératrices rectilignes seront :
Hyperboloïde à deux feuilles, son équation canonique.
hyperboloïde à deux feuilles x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0 ; x=h le résultat est une ellipse x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 de demi-axes b*Root(h 2 /a 2 -1) et c*Root(h 2/a 2 - 1). Lorsque h=a nous obtenons des points (±a,0,0) dans la section transversale – les sommets des deux feuilles. Dans les sections de coordonnées carrées. z=0 et y=0 nous obtenons les hyperboles x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 et x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1, respectivement.
Équation canonique :
une = b- hyperboloïde de rotation à deux feuillets autour d'un axe Oz.
Cône asymptotique : 
Sections d'un hyperboloïde à deux feuillets par plans : soit une ellipse, soit une hyperbole, soit une parabole, soit un point, ou.
Paraboloïde elliptique, son équation canonique.
paraboloïde elliptique x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0 ;
Équation canonique :
p = q- paraboloïde de rotation autour d'un axe Oz.
Les sections d'un paraboloïde elliptique par plans sont soit une ellipse, une parabole, un point ou. 
Paraboloïde hyperbolique, son équation canonique. Familles de génératrices rectilignes paraboloïde hyperbolique.
paraboloïde hyperbolique x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0 ;
Équation canonique :
Les sections d'un paraboloïde hyperbolique par plans sont soit une hyperbole, une parabole ou une paire de lignes droites (génératrices rectilignes).
Générateurs rectilignes
À travers chaque point deux droites la traversent :
 |
Surfaces de rotation.
Une surface de révolution est une surface formée par la rotation d'une ligne plate autour d'une droite située dans le plan de cette ligne.
Pour dériver l’équation d’une surface de révolution, vous devez sélectionner un système de coordonnées. Pour simplifier l’équation de la surface de révolution, l’axe de rotation est considéré comme l’un des axes de coordonnées.
Laisser entrer plan de coordonnées Oyz est défini par la courbe L par l'équation F(Y, Z)=0 (Fig. 24). On fait pivoter la courbe L autour de l'axe Oy. Faisons un peu de surface. Soit M(x, y, z) - point arbitraire la surface résultante. Alors
, mais parce que si l'on prend le point M 1 avec une application négative, alors
Par conséquent, nous avons Y = y, et les coordonnées du point M(x, y, z) satisfont l'équation
L'équation (62) est l'équation requise pour la surface de révolution.
Ainsi, pour obtenir l’équation de la surface, formé par rotation droite L située dans le plan Oyz autour de l'axe Oy, il faut remplacer z dans l'équation de cette droite par
Des règles similaires s'appliqueront aux équations des surfaces obtenues par rotation lignes plates autour d’autres axes de coordonnées.
Cylindres.
cylindres du deuxième ordre : cylindre elliptique x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0 ; cylindre hyperbolique x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0 ; cylindre parabolique y 2 =2px; une paire de plans sécants a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 une paire de plans parallèles ou coïncidant x-a=0 a>=0 ; droite x 2 +y 2 =0
Cônes.
cône du deuxième ordre x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0 ; Traverser la place z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. Dans la coupe par plans x=0 y=0 nous avons des paires de droites croisées y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 ; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 resp.
Espaces linéaires
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Date de création de la page : 2016-02-12
Et une ligne qui passe par l'origine. Si l'hyperbole commence à tourner autour de cet axe, un corps creux de rotation apparaîtra, qui sera un hyperboloïde. Il existe deux types d'hyperboloïdes : à feuille simple et à feuille double. Un hyperboloïde à une feuille est donné par une équation de la forme : x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Si l'on considère cette figure spatiale par rapport aux plans Oxz et Oyz, on voit que ses sections sont des hyperboles. Cependant, la section d'un hyperboloïde à une feuille par le plan Oxy est une ellipse. La plus petite ellipse d’un hyperboloïde s’appelle l’ellipse de la gorge. Dans ce cas, z=0, et l’ellipse passe par l’origine. L'équation de la gorge à z=0 s'écrit comme suit : x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Les ellipses restantes ont la forme suivante : x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, où h est la hauteur d'un hyperboloïde à une feuille.
Pour construire un hyperboloïde, commencez par représenter une hyperbole dans le plan Xoz. Dessinez un demi-axe réel qui coïncide avec l’axe y et un demi-axe imaginaire qui coïncide avec l’axe z. Construisez une hyperbole puis spécifiez une hauteur h de l'hyperboloïde. Après cela, au niveau d'une hauteur donnée, tracez des droites parallèles à Ox et coupant le graphe de l'hyperbole en ses points inférieur et supérieur. Puis, de la même manière, dans le plan Oyz, construisez une hyperbole, où b est le réel. demi-axe passant par l'axe y, et c est le demi-axe imaginaire, coïncidant également avec c c.Construisez un parallélogramme dans le plan Oxy, qui est obtenu en reliant les points des graphiques des hyperboles. Dessinez l'ellipse de la gorge pour qu'elle s'inscrive dans ce parallélogramme. Construisez les ellipses restantes de la même manière. Le résultat sera un corps de rotation - un hyperboloïde à feuille unique, illustré à la Fig. 1.
L'hyperboloïde à deux feuilles a trouvé son chemin grâce à deux surfaces différentes formées par l'axe Oz. L'équation d'un tel hyperboloïde a la forme suivante : x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Deux cavités sont obtenues en construisant une hyperbole dans les plans Oxz et Oyz . Un hyperboloïde à deux feuilles a des sections qui sont des ellipses : x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Tout comme dans le cas d'un hyperboloïde à une feuille, construisez des hyperboles dans les plans Oxz et Oyz qui seront positionnés comme indiqué en 2. Construisez des parallélogrammes en bas et en haut pour construire des ellipses. Après avoir construit les ellipses, supprimez toutes les constructions, puis dessinez un hyperboloïde à deux feuilles.
Voie unique hyperboloïde représente une figure de rotation. Pour le construire, vous devez suivre une certaine méthodologie. Tout d'abord, les demi-axes sont dessinés, puis les hyperboles et les ellipses. La combinaison de tous ces éléments contribuera à créer la figure spatiale elle-même.
Vous aurez besoin
- - crayon,
- - papier,
- - ouvrage de référence mathématique.
Instructions
Dessinez une hyperbole en Xoz. Pour ce faire, dessinez deux demi-axes coïncidant avec l'axe y (demi-axe réel) et l'axe z (demi-axe imaginaire). Construisez une hyperbole basée sur eux. Après cela, définissez une certaine hauteur h a. Enfin, au niveau de cette droite donnée, tracez des droites qui seront parallèles à Ox et couperont le graphique de l'hyperbole de deux manières : inférieure et supérieure.
Répétez les étapes ci-dessus lors de la construction des ellipses restantes. En fin de compte, un dessin d'une seule cavité sera formé hyperboloïde UN.
Mono-cavité hyperboloïde décrit par la photo
Il est formé par la rotation d’une hyperbole autour de son axe.
Il existe des hyperboloïdes de révolution à une et deux feuilles.
Une feuille simple (Fig. 2-89) est formée en faisant tourner une hyperbole autour d'un axe imaginaire (Fig. 2.90). La surface d'un hyperboloïde à feuille unique peut également être formée en faisant tourner une ligne droite autour d'un axe qui la coupe (Fig. 2-91).
Déterminant d'un hyperboloïde à une feuille S (je,je^P1)
Déterminant d'un hyperboloïde à une feuille (le générateur est une ligne droite). La génératrice et l'axe de croisement sont des droites. Cette surface est également classée comme surface réglée.
S (je, je^P 1, l° je)(Fig. 2-91).
Un hyperboloïde de révolution à deux feuilles est formé en faisant tourner une hyperbole autour de son axe réel.
Une des manières (Fig. 2-92) de construire un hyperboloïde à une feuille : parce que les projections horizontales de toutes les génératrices doivent toucher la projection de la circonférence de la gorge, puis chaque position ultérieure de la génératrice rectiligne peut être créée en traçant des tangentes à la projection de la circonférence de la gorge.
L'ingénieur russe exceptionnel V.G. Choukhov (1921) a proposé d'utiliser un hyperboloïde à feuille unique pour la construction de structures durables et technologiquement avancées (mâts radio, châteaux d'eau, phares).
Algorithme de construction si la surface est donnée par les parallèles et la distance ( je) de l'équateur à la gorge (Fig. 2-92) :
1. Casser la gorge ( A, B, C...) et inférieur ( 1,2,3 ,..) parallèles en 12 parties égales ;
2. D'un point de vue 4 1 dessiner les génératrices de manière à ce qu'elles soient tangentes à la gorge parallèlement (c'est-à-dire passant par B1 Et E1), sur la projection horizontale du parallèle supérieur on obtient un point P1, qui déterminera la position du parallèle supérieur sur projection frontale. Ces générateurs et P2 passera par les mêmes points ( 4 2, B 2, E 2).
3. Pour les points restants, répétez la construction.
Seules trois surfaces de rotation du second ordre ont pour génératrice une droite. Selon l'emplacement de cette droite par rapport à l'axe, trois types peuvent être obtenus surfaces réglées rotations du deuxième ordre :
1. cylindre, si la génératrice est parallèle à l'axe de rotation x 2 + y 2 = R 2 ;
2. cône, si la génératrice coupe l'axe de rotation k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0 ;
3. hyperboloïde de révolution à feuille unique, si l'axe et la génératrice se coupent
(x 2 + y 2) / une 2 – z 2 / ré 2 = 0
