Le code optimal peut être défini comme celui dans lequel chaque symbole binaire transmet un maximum d'informations. Grâce aux formules de Hartley et Shannon, l'entropie maximale est atteinte pour des événements également probables. Par conséquent, le code binaire sera optimal si les symboles 0 et 1 apparaissent aussi souvent dans le message codé.
Considérons, à titre d'exemple, le codage binaire optimal des lettres de l'alphabet russe avec le caractère espace « - ». Nous pensons que les probabilités d'apparition de caractères de l'alphabet russe dans un message sont connues, par exemple celles données dans le tableau 3.
Tableau 3. Fréquence des lettres en langue russe (hypothèse)
K. Shannon et R. Fano ont proposé indépendamment en 1948-1949. une méthode de construction de code basée sur la réalisation d'une condition probabilité égale caractères 0 et 1 dans le message codé.
Tous les caractères codés (lettres) sont divisés en deux groupes de sorte que la somme des probabilités des caractères du premier groupe soit égale à la somme des probabilités des caractères du deuxième groupe (c'est-à-dire la probabilité qu'un caractère de le premier groupe apparaîtra dans un message est égale à la probabilité qu'un personnage du deuxième groupe).
Pour les symboles du premier groupe, la valeur du premier chiffre du code est attribuée égale à « 0 », pour les symboles du deuxième groupe – égale à « 1 ».
Ensuite, chaque groupe est divisé en deux sous-groupes, de sorte que les sommes des probabilités de signes dans chaque sous-groupe soient égales. Pour les symboles du premier sous-groupe de chaque groupe, la valeur du deuxième chiffre du code est attribuée égale à « 0 », pour les symboles du deuxième sous-groupe de chaque groupe – « 1 ». Ce processus de division des symboles en groupes et de codage se poursuit jusqu'à ce qu'un symbole reste dans les sous-groupes.
Un exemple de codage des caractères de l'alphabet russe est donné dans le tableau. 4
Tableau 4. Un exemple de codage des lettres de l'alphabet russe à l'aide du code Shannon-Fano.
L'analyse des codes donnés dans le tableau conduit à la conclusion que les caractères fréquents sont codés avec des séquences binaires plus courtes, et ceux rarement rencontrés avec des séquences plus longues. Cela signifie qu'en moyenne, pour coder un message d'une certaine longueur, il faudra plus petit nombre caractères binaires 0 et 1 qu'avec toute autre méthode de codage.
Dans le même temps, la procédure de construction du code de Shannon-Fano satisfait au critère de distinction de Fano. Le code est préfixé et ne nécessite pas de caractère spécial pour séparer les lettres les unes des autres afin de décoder sans ambiguïté un message binaire.
Ainsi, le problème du codage correcteur d’erreurs représente un vaste domaine théorique et recherche appliquée. Les tâches principales sont les suivantes : trouver des codes qui corrigent efficacement les erreurs du type requis ; trouver des méthodes de codage et de décodage et des moyens simples leur mise en œuvre.
Ces problèmes sont mieux développés en relation avec des codes systématiques. De tels codes sont utilisés avec succès dans technologie informatique, divers appareils numériques automatisés et systèmes de transmission d'informations numériques.
Conclusion
Nous avons examiné une tâche de codage qui comprenait :
1. Assurer la rentabilité du transfert d’informations en éliminant la redondance.
2. Assurer la fiabilité (immunité au bruit) de la transmission des informations
3. Coordination de la vitesse de transmission des informations avec la capacité du canal
La tâche de codage est l'un des concepts principaux de l'informatique, puisque le codage précède le transfert et le stockage des informations et, par conséquent, constitue la base de leur mise en œuvre réussie.
Lors de la transmission de messages sur les canaux de communication, des interférences peuvent survenir et entraîner une distorsion des caractères reçus. Ce problème est résolu à l’aide d’un codage correcteur d’erreurs. Le codage résistant au bruit des informations transmises permet de détecter et de corriger les erreurs dans la partie réception du système. Les codes utilisés dans le codage correcteur d'erreurs sont appelés codes de correction. La première étude sur un codage efficace a été réalisée par Claude Shannon. Pour la théorie de la communication importance vitale avoir deux théorèmes prouvés par Shannon.
Ces théorèmes ont été examinés dans l'ouvrage, et nous pouvons conclure que le premier concerne la situation de codage lors de la transmission d'un message sur une ligne de communication dans laquelle il n'y a pas d'interférence déformant les informations, c'est-à-dire Ce théorème est une norme sur ce que devraient être les codes résistants au bruit. Le deuxième théorème s'applique aux lignes de communication réelles avec du bruit.
Si nous considérons des exemples de codage basés sur le premier théorème de Shannon, nous pouvons conclure que ce codage est assez efficace, puisque le code résultant n'a pratiquement aucune redondance, mais, malheureusement, dans les lignes de communication réelles, il y a beaucoup d'interférences, et un tel résultat est inaccessible. Par conséquent, le code de Shannon n’est pas aussi efficace que, par exemple, le code de Huffman. Malgré cela, il convient de noter que Claude Shannon a été l'un des fondateurs de la théorie du codage et que ses travaux ont grandement contribué au développement de l'informatique.
Références :
1. Radio-revue, numéro 9, 1999.
Sciences, Moscou
2. Klovsky D.D. Théorie de la transmission du signal. -M. : Communication, 1984.
3. Kudryashov B.D. Théorie de l'information. Manuel pour les universités Maison d'édition PITER,
4. Ryabko B.Ya. Fionov A.N. Méthode efficace adaptatif
codage arithmétique pour les sources avec de grands alphabets
// Problèmes de transmission d'informations 1999 T.35, Numéro P.95 - 108.
5. Semenyuk V.V. Codage économique des informations discrètes Saint-Pétersbourg :
SPbGITMO (TU), 2001
6. Dmitriev V.I. Théorie de l'information appliquée. M. : lycée,
7. Nefedov V.N. Osipova V.A. Cours de mathématiques discrètes. M. : MAI,
8. Kolesnik V.D. Poltyrev G.Sh. Cours de théorie de l'information. M. : Sciences,
À la différence qu'au lieu de graphiques « plats », nous considérerons les surfaces spatiales les plus courantes et apprendrons également à les construire avec compétence à la main. J'ai passé beaucoup de temps à sélectionner des outils logiciels pour créer des dessins en trois dimensions et j'ai trouvé quelques bonnes applications, mais malgré toute la facilité d'utilisation, ces programmes ne résolvent pas les problèmes importants. question pratique. Le fait est que dans un avenir historique prévisible, les étudiants seront toujours armés d'une règle et d'un crayon, et même ayant un dessin « machine » de haute qualité, beaucoup ne seront pas en mesure de le transférer correctement vers papier à carreaux. Par conséquent, dans le manuel attention particulière est consacré à la technique de construction manuelle, et une partie importante des illustrations de la page est un produit fait main.
Qu'est-ce qui est différent à ce sujet matériel de référence des analogues ?
Avoir un bon expérience pratique, je sais très bien quelles surfaces je dois traiter le plus souvent de vrais problèmes mathématiques supérieures, et j'espère que cet article vous aidera dès que possible reconstituez vos bagages avec des connaissances pertinentes et des compétences appliquées, ce qui devrait suffire dans 90 à 95 % des cas.
Ce que vous devez savoir à l'heure actuelle?
Le plus basique :
Tout d'abord, vous devez être capable de construire correctement système de coordonnées cartésiennes spatiales (voir le début de l'article Graphiques et propriétés des fonctions) .
Qu’allez-vous gagner après avoir lu cet article ?
Bouteille Après avoir maîtrisé le matériel de cours, vous apprendrez à déterminer rapidement le type de surface par sa fonction et/ou son équation, à imaginer comment elle se situe dans l'espace et, bien sûr, à réaliser des dessins. Ce n'est pas grave si vous n'avez pas tout en tête après la première lecture - vous pouvez toujours revenir à n'importe quel paragraphe plus tard si nécessaire.
L'information est à la portée de tous - pour la maîtriser, vous n'avez besoin d'aucune super connaissance, d'un talent artistique particulier ou d'une vision spatiale.
Commençons !
En pratique, la surface spatiale est généralement donnée fonction de deux variables ou une équation de la forme (la constante du côté droit est le plus souvent égale à zéro ou un). La première désignation est plus typique pour analyse mathématique, le deuxième – pour géométrie analytique. L'équation est essentiellement implicitement donné une fonction de 2 variables, qui dans des cas typiques peut facilement être réduite à la forme . je te rappelle exemple le plus simple c :
–équation plane gentil .
– fonction plane dans explicitement .
Commençons par ça :
Équations courantes des plans
Options typiques disposition des avions dans système rectangulaire les coordonnées sont discutées en détail au tout début de l'article Équation plane. Cependant, attardons-nous encore une fois sur les équations qui ont grande importance pour la pratique.
Tout d'abord, vous devez reconnaître de manière entièrement automatique les équations des plans parallèles aux plans de coordonnées. Les fragments d'avions sont généralement représentés par des rectangles qui, dans les deux derniers cas, ressemblent à des parallélogrammes. Par défaut, vous pouvez choisir n'importe quelle dimension (dans des limites raisonnables, bien sûr), mais il est souhaitable que le point où l'axe des coordonnées « perce » le plan soit le centre de symétrie : 
À proprement parler, les axes de coordonnées doivent être représentés par des lignes pointillées à certains endroits, mais afin d'éviter toute confusion, nous négligerons cette nuance.
– (dessin de gauche) l'inégalité précise le demi-espace le plus éloigné de nous, excluant le plan lui-même ;
– (dessin du milieu) l'inégalité précise le demi-espace droit, y compris le plan ;
– (dessin de droite) la double inégalité définit une « couche » située entre les plans, incluant les deux plans.
Pour l'auto-échauffement :
Exemple 1
Dessine un corps délimité par des plans
Créer un système d'inégalités qui définissent un corps donné.
Une vieille connaissance devrait émerger sous la mine de votre crayon. cuboïde . N'oubliez pas que les bords et faces invisibles doivent être dessinés avec une ligne pointillée. Dessin terminé à la fin du cours.
S'il te plaît, NE NÉGLIGEZ PAS objectifs d'apprentissage, même s'ils semblent trop simples. Sinon, il se peut que vous en ayez manqué un, puis deux, puis que vous ayez passé une bonne heure à essayer un dessin en trois dimensions dans certains exemple réel. En plus, travail mécanique vous aidera à apprendre la matière beaucoup plus efficacement et à développer votre intelligence ! Ce n'est pas un hasard si maternelle Et école primaire les enfants sont chargés de dessins, de modélisation, de kits de construction et d'autres tâches pour motricité fine doigts. Désolé pour la digression, mais ne gaspillez pas mes deux cahiers psychologie du développement =)
Nous appellerons conditionnellement le prochain groupe de plans « proportionnalité directe » - ce sont des plans passant par les axes de coordonnées :
2) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe ;
3) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe.
Bien que le signe formel soit évident (quelle variable manque dans l'équation – le plan passe par cet axe), il est toujours utile de comprendre l'essence des événements qui se déroulent :
Exemple 2
Construire un avion
Quelle est la meilleure façon de construire ? je suggère prochain algorithme:
Tout d’abord, réécrivons l’équation sous la forme , d’où on voit clairement que le « y » peut prendre n'importe lequel significations. Fixons la valeur, c'est-à-dire que nous considérerons le plan de coordonnées. Ensemble d'équations ligne spatiale, allongé là-dedans plan de coordonnées. Représentons cette ligne dans le dessin. La droite passe par l'origine des coordonnées, il suffit donc pour la construire de trouver un point. Laisser . Mettez de côté un point et tracez une ligne droite.
Revenons maintenant à l'équation du plan. Puisque le "Y" accepte n'importe lequel valeurs, alors la droite construite dans le plan est continuellement « répliquée » vers la gauche et vers la droite. C'est exactement ainsi que se forme notre plan, passant par l'axe. Pour compléter le dessin, à gauche et à droite de la ligne droite on met deux lignes parallèles et « fermer » le parallélogramme symbolique à segments horizontaux transversaux : 
Étant donné que la condition n'imposait pas de restrictions supplémentaires, un fragment de l'avion pouvait être représenté dans des tailles légèrement plus petites ou légèrement plus grandes.
Répétons encore une fois le sens du spatial inégalité linéaire par exemple. Comment déterminer le demi-espace qu’il définit ? Prenons un point n'appartenant pas à planez, par exemple, un point du demi-espace le plus proche de nous et substituez ses coordonnées dans l'inégalité :
Reçu véritable inégalité, ce qui signifie que l'inégalité spécifie le demi-espace inférieur (par rapport au plan), alors que le plan lui-même n'est pas inclus dans la solution.
Exemple 3
Construire des avions
UN) ;
b) .
Ce sont des tâches pour auto-construction, en cas de difficultés, utiliser un raisonnement similaire. Brèves instructions et dessins à la fin de la leçon.
En pratique, les plans parallèles à l'axe sont particulièrement courants. Un cas particulier, lorsqu'un plan passe par un axe, vient d'être évoqué au point « être », et maintenant nous allons analyser davantage tâche commune:
Exemple 4
Construire un avion
Solution: la variable « z » n'est pas explicitement incluse dans l'équation, ce qui signifie que le plan est parallèle à l'axe appliqué. Utilisons la même technique que dans les exemples précédents.
Réécrivons l'équation du plan sous la forme 
d'où il est clair que « zet » peut prendre n'importe lequel significations. Réparons-le et traçons une ligne droite « plate » régulière dans le plan « natif ». Pour le construire, il convient de prendre des repères.
Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la ligne droite construite « se multiplie » continuellement de haut en bas, formant ainsi le plan souhaité 
. Nous dressons soigneusement un parallélogramme de taille raisonnable : 
Prêt.
Équation d'un plan en segments
La variété appliquée la plus importante. Si Tous chances équation générale du plan non nul, alors il peut être représenté sous la forme 
qui s'appelle équation du plan en segments. Il est évident que le plan coupe les axes de coordonnées en des points , et le grand avantage d'une telle équation est la facilité de construire un dessin :
Exemple 5
Construire un avion
Solution: Tout d'abord, créons une équation du plan en segments. Transférons membre gratuità droite et divisez les deux côtés par 12 : 
Non, il n’y a pas de faute de frappe ici et tout se passe dans l’espace ! Nous examinons la surface proposée en utilisant la même méthode que celle récemment utilisée pour les avions. Réécrivons l'équation sous la forme 
, d'où il résulte que « zet » prend n'importe lequel significations. Fixons et construisons une ellipse dans le plan. Puisque "zet" accepte Tous valeurs, alors l’ellipse construite est continuellement « répliquée » de haut en bas. Il est facile de comprendre que la surface infini:
Cette surface est appelée cylindre elliptique
. Une ellipse (à n'importe quelle hauteur) s'appelle guide cylindre, et les lignes parallèles passant par chaque point de l'ellipse sont appelées formation cylindre (qui sont littéralement les mots le forment). L'axe est axe de symétrie surface (mais pas une partie de celle-ci !).
Les coordonnées de tout point appartenant à une surface donnée satisfont nécessairement à l'équation 
.
Spatial l'inégalité spécifie « l'intérieur » du « tuyau » infini, y compris la surface cylindrique elle-même, et, par conséquent, inégalité opposée définit l'ensemble des points à l'extérieur du cylindre.
DANS problèmes pratiques le plus populaire cas particulier, Quand guide le cylindre est cercle:
Exemple 8
Construire une surface donné par l'équation
Il est impossible de représenter une « pipe » sans fin, c'est pourquoi l'art se limite généralement au « détourage ».
Tout d'abord, il est pratique de construire un cercle de rayon dans le plan, puis quelques cercles supplémentaires au-dessus et en dessous. Les cercles résultants ( guides cylindre) connectez-vous soigneusement avec quatre lignes droites parallèles ( formation cylindre): 
N'oubliez pas d'utiliser des lignes pointillées pour les lignes qui nous sont invisibles.
Les coordonnées de tout point appartenant à un cylindre donné satisfont à l'équation 
. Les coordonnées de tout point situé strictement à l’intérieur du « tuyau » satisfont à l’inégalité 
, et l'inégalité 
définit un ensemble de points de la pièce externe. Pour une meilleure compréhension, je recommande d'envisager plusieurs points précis espace et voyez par vous-même.
Exemple 9
Construire une surface et trouver sa projection sur le plan
Réécrivons l'équation sous la forme 
d'où il résulte que "x" prend n'importe lequel significations. Fixons et décrivons dans l'avion cercle– avec centre à l’origine, rayon unité. Puisque "x" accepte continuellement Tous valeurs, alors le cercle construit génère cylindre circulaire avec un axe de symétrie. Dessinez un autre cercle ( guide cylindre) et reliez-les soigneusement avec des lignes droites ( formation cylindre). Il y avait des chevauchements à certains endroits, mais que faire, une telle pente : 
Cette fois, je me suis limité à un morceau de cylindre dans l'interstice, et ce n'est pas un hasard. En pratique, il est souvent nécessaire de représenter seulement un petit fragment de la surface.
Ici, en passant, il y a 6 génératrices - deux lignes droites supplémentaires « couvrent » la surface à partir des coins supérieur gauche et inférieur droit.
Regardons maintenant la projection d'un cylindre sur un plan. De nombreux lecteurs comprennent ce qu’est la projection, mais faisons néanmoins un autre exercice physique de cinq minutes. Veuillez vous lever et incliner la tête au-dessus du dessin de manière à ce que la pointe de l'axe soit perpendiculaire à votre front. Ce qu'un cylindre semble être sous cet angle, c'est sa projection sur un plan. Mais cela semble être une bande sans fin, enserrée entre des lignes droites, y compris les lignes droites elles-mêmes. Cette projection- c'est exactement domaine de définition fonctions (« gouttière » supérieure du cylindre), (« gouttière » inférieure).
Au fait, clarifions la situation avec les projections sur d'autres plans de coordonnées. Laissez les rayons du soleil briller sur le cylindre depuis la pointe et le long de l'axe. L'ombre (projection) d'un cylindre sur un plan est une bande infinie similaire - une partie du plan délimitée par des lignes droites (- n'importe lesquelles), y compris les lignes droites elles-mêmes.
Mais la projection sur l'avion est quelque peu différente. Si vous regardez le cylindre depuis la pointe de l’axe, il sera alors projeté dans un cercle de rayon unité. 
, avec lequel nous avons commencé la construction.
Exemple 10
Construire une surface et trouver ses projections sur des plans de coordonnées
C'est une tâche pour décision indépendante. Si la condition n’est pas très claire, mettez les deux côtés au carré et analysez le résultat ; découvrez quelle partie du cylindre est spécifiée par la fonction. Utilisez la technique de construction utilisée à plusieurs reprises ci-dessus. Solution rapide, dessin et commentaires en fin de cours.
Elliptique et autres surfaces cylindriques peut être déplacé par rapport à axes de coordonnées, Par exemple:
(basé sur les motifs familiers de l'article sur Lignes de 2ème commande)
– un cylindre de rayon unité avec un axe de symétrie passant par un point parallèle à l'axe. Cependant, dans la pratique, de tels cylindres sont assez rares, et il est absolument incroyable de rencontrer une surface cylindrique « oblique » par rapport aux axes de coordonnées.
Cylindres paraboliques
Comme son nom l'indique, guide un tel cylindre est parabole.
Exemple 11
Construisez une surface et trouvez ses projections sur des plans de coordonnées.
Je n'ai pas pu résister à cet exemple =)
Solution: Suivons les sentiers battus. Réécrivons l'équation sous la forme d'où il résulte que « zet » peut prendre n'importe quelle valeur. Fixons et construisons une parabole ordinaire sur le plan, après avoir marqué au préalable les points d'appui triviaux. Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la parabole construite est continuellement « répliquée » de haut en bas jusqu’à l’infini. Nous posons la même parabole, disons, en hauteur (dans le plan) et les connectons soigneusement avec des lignes droites parallèles ( former le cylindre): 
je te rappelle technique utile: si vous n'êtes pas sûr au départ de la qualité du dessin, il est préférable de tracer d'abord les lignes très fines avec un crayon. Ensuite, nous évaluons la qualité du croquis, découvrons les zones où la surface est cachée à nos yeux, puis appliquons ensuite une pression sur le stylet.
Projections.
1) La projection d'un cylindre sur un plan est une parabole. Il convient de noter que dans dans ce cas tu ne peux pas en parler domaine de définition d'une fonction de deux variables– pour la raison que l’équation du cylindre n’est pas réductible à vue fonctionnelle.
2) La projection d'un cylindre sur un plan est un demi-plan, incluant l'axe
3) Et enfin, la projection du cylindre sur le plan est le plan entier.
Exemple 12
Construire cylindres paraboliques:
a) se limiter à un fragment de surface dans le demi-espace proche ;
b) dans l'intervalle
En cas de difficultés, on ne se précipite pas et on raisonne par analogie avec les exemples précédents, heureusement, la technologie est bien développée ; Ce n'est pas critique si les surfaces s'avèrent un peu maladroites - il est important d'afficher correctement l'image fondamentale. Moi-même, je ne me soucie pas vraiment de la beauté des lignes ; si j'obtiens un dessin passable avec une note C, je ne le refais généralement pas. D'ailleurs, l'exemple de solution utilise une autre technique pour améliorer la qualité du dessin ;-)
Cylindres hyperboliques
Guides ces cylindres sont des hyperboles. Ce type de surface, d'après mes observations, est beaucoup moins courant que les types précédents, je me limiterai donc à un seul dessin schématique cylindre hyperbolique :
Le principe de raisonnement ici est exactement le même - l'habituel hyperbole scolaire du plan se « multiplie » continuellement de haut en bas jusqu’à l’infini.
Les cylindres considérés appartiennent à ce qu'on appelle surfaces du 2ème ordre, et maintenant nous allons continuer à faire connaissance avec d'autres représentants de ce groupe :
Ellipsoïde. Sphère et boule
L'équation canonique d'un ellipsoïde dans un système de coordonnées rectangulaires a la forme 
, Où - nombres positifs (arbres d'essieu ellipsoïde), qui dans cas général différent. Un ellipsoïde s'appelle surface, donc corps, limité par une surface donnée. Le corps, comme beaucoup l’ont deviné, est déterminé par l’inégalité 
et les coordonnées de tout point interne(ainsi que tout point de la surface) satisfont nécessairement à cette inégalité. La conception est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et aux plans de coordonnées : 
L'origine du terme « ellipsoïde » est également évidente : si la surface est « coupée » par des plans de coordonnées, alors les sections donneront trois différentes (dans le cas général)
La hauteur d'un paraboloïde peut être déterminée par la formule
Volume d'un paraboloïde touchant le fond égal à la moitié volume d'un cylindre de rayon de base R et de hauteur H, le même volume occupe l'espace W' sous le paraboloïde (Fig. 4.5a)
Figure 4.5. Le rapport des volumes dans un paraboloïde touchant le fond.
Wп – volume du paraboloïde, W’ – volume sous le paraboloïde, Hп – hauteur du paraboloïde
Figure 4.6. Le rapport des volumes dans un paraboloïde touchant les bords du cylindre Hp est la hauteur du paraboloïde., R est le rayon du récipient, Wl est le volume sous la hauteur du liquide dans le récipient avant le début de la rotation, z 0 est la position du sommet du paraboloïde, H est la hauteur du liquide dans le récipient avant le début de la rotation.
Sur la Fig. 4.6a, le niveau de liquide dans le cylindre avant le début de la rotation est H. Le volume de liquide Wl avant et après la rotation est maintenu et égal à la somme volume Wc d'un cylindre de hauteur z 0 plus le volume de liquide sous le paraboloïde, qui est égal au volume du paraboloïde Wp de hauteur Hp
Si le paraboloïde touche le bord supérieur du cylindre, la hauteur du liquide dans le cylindre avant le début de la rotation H divise la hauteur du paraboloïde Hn en deux parties égales, le point le plus bas (sommet) du paraboloïde se situe par rapport à la base (Fig. 4.6c)
De plus, la hauteur H divise le paraboloïde en deux parties (Fig. 4.6c) dont les volumes sont égaux à W 2 = W 1. De l'égalité des volumes de l'anneau parabolique W 2 et de la coupelle parabolique W 1, Fig. 4.6c
Lorsque la surface du paraboloïde coupe le fond du récipient (Fig. 4.7) W 1 = W 2 = 0,5 W anneau
Fig. 4.7 Volumes et hauteurs lorsque la surface d'un paraboloïde coupe le fond du cylindre
Hauteurs sur la figure 4.6
volumes de la figure 4.6.
Emplacement surface libre dans un vaisseau
Figure 4.8. Trois cas de repos relatif pendant la rotation
1. Si le récipient est ouvert, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Le sommet du paraboloïde descend plus bas à mesure qu'il tourne niveau d'entrée-N, et les arêtes s'élèvent au-dessus du niveau initial, la position du sommet
2. Si le récipient est complètement rempli, recouvert d'un couvercle, n'a pas de surface libre, est sous surpression Po>Patm, avant la rotation la surface (PP) sur laquelle Po=Patm sera au-dessus du niveau du couvercle à une hauteur h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.
3. Si le récipient est complètement rempli, il est sous vide Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,
4.7. Rotation à vitesse angulaire élevée (Fig. 4.9)
Lorsqu'un récipient contenant un liquide tourne à une vitesse angulaire élevée, la force de gravité peut être négligée par rapport aux forces centrifuges. La loi du changement de pression dans un liquide peut être obtenue à partir de la formule
(4.22),
Les surfaces du niveau forment des cylindres avec un axe commun autour duquel le récipient tourne. Si le récipient n'est pas complètement rempli avant le début de la rotation, la pression P 0 agira le long du rayon r = r 0 , au lieu de l’expression (4.22) nous aurons
dans lequel on prend g(z 0 - z) = 0,
Riz. 4.9 Localisation des surfaces de rotation en absence de gravité.
Rayon de la surface intérieure pour H et h connus 
Un ellipsoïde est une surface dont l'équation est rectangulaire. Système cartésien les coordonnées Oxyz ont la forme où a ^ b ^ c > 0. Afin de savoir à quoi ressemble l'ellipsoïde, procédons comme suit. Prenons une ellipse sur le plan Oxz et faisons-la pivoter autour de l'axe Oz (Fig. 46). Fig.46 La surface résultante est un ellipsoïde. Hyperboloïdes. Paraboloïdes. Cylindres et cône du second ordre. - ellipsoïde de rotation - donne déjà une idée de la structure de l'ellipsoïde vue générale . Pour obtenir son équation, il suffit de comprimer l'ellipsoïde de révolution également le long de l'axe Oy avec le coefficient J ^!, t.c. remplacer y dans son équation par Jt/5). 10.2. Hyperboloïdes Rotation de l'hyperbole fl i! = a2 c2 1 autour de l'axe Oz (Fig. 47), on obtient une surface appelée hyperboloïde de révolution à une feuille. Son équation est *2 + y ; s'obtient de la même manière que dans le cas d'un ellipsoïde de révolution. 5) Un ellipsoïde de rotation peut être obtenu par compression uniforme de la sphère +yJ + *J = l" selon l'axe Oz avec un coefficient ~ ^ 1. Par compression uniforme de cette surface selon l'axe Oy avec un coefficient 2 ^ 1 , nous obtenons un hyperboloïde à feuille unique de forme générale. Son équation est Ellipsoïde. Les paraboloïdes et un cône du second ordre sont obtenus de la même manière que dans le cas de l'ellipsoïde discuté ci-dessus en faisant tourner l'hyperbole conjuguée autour de l'axe O. , on obtient un hyperboloïde de révolution à deux feuillets (Fig. 48). En comprimant uniformément cette surface le long de l'axe Oy avec un coefficient de 2 ^ 1 on arrive à un hyperboloïde à deux feuillets de forme générale. y on obtient son équation. En faisant tourner la parabole autour de l'axe Oz (Fig. 49), on obtient un paraboloïde de révolution de la forme x2 + y2 = 2 pz rotation le long de l'axe Oy avec le coefficient yj* ^ 1, on obtient. un paraboloïde elliptique. Son équation est obtenue à partir de l'équation du paraboloïde de rotation en remplaçant If, alors on obtient un paraboloïde de la forme montrée sur la Fig. 50. 10.4. Paraboloïde hyperbolique Un paraboloïde hyperbolique est une surface dont l'équation dans un certain système de coordonnées cartésiennes rectangulaires Oxyz a la forme où p > 0, q > 0. Nous déterminons le type de cette surface en utilisant la méthode dite de section, qui consiste en ce qui suit : parallèlement aux plans de coordonnées, des plans sont dessinés qui coupent la surface étudiée, et à partir du changement dans la configuration des courbes plates résultantes, une conclusion est tirée sur la structure de la surface elle-même. Commençons par les coupes par plans z = h = const, parallèles au plan de coordonnées Oxy. Pour h > 0, nous obtenons des hyperboles pour h - hyperboles conjuguées, et pour - une paire de droites sécantes. Notez que ces droites sont des asymptotes pour toutes les hyperboles (c'est-à-dire pour tout h Ф 0). Projetons les courbes résultantes sur le plan Oxy. Nous obtenons l'image suivante (Fig. 51). Cette seule considération permet de tirer une conclusion sur la structure en forme de selle de la surface considérée (Fig. 52). Fig.51 Fig.52 Considérons maintenant les sections par plans. En remplaçant les surfaces y par A dans l'équation, nous obtenons les équations des paraboles (Fig. 53). Une image similaire se produit lors de la dissection surface donnée plans Dans ce cas, on obtient également des paraboles dont les branches sont dirigées vers le bas (et non vers le haut, comme pour une coupe par plans y = h) (Fig. 54). Commentaire. En utilisant la méthode des sections, vous pouvez comprendre la structure de toutes les surfaces du second ordre précédemment considérées. Cependant, en faisant pivoter les courbes du deuxième ordre et en les compressant uniformément, on peut comprendre leur structure plus facilement et beaucoup plus rapidement. Les surfaces restantes du second ordre ont déjà été considérées précédemment. Ce sont des cylindres : elliptiques et hyperboliques Fig. 56 et un cône parabolique et de second ordre, dont une idée peut être obtenue soit par rotation d'une paire de lignes sécantes autour de l'axe Oz et compression ultérieure, soit par la méthode des sections. Bien entendu, dans les deux cas, nous constatons que la surface étudiée a la forme montrée sur la Fig. 59. a) calculer les coordonnées des foyers ; , . b) calculer l'excentricité ; . c) écrire les équations des asymptotes et des directrices ; d) écrire l'équation de l'hyperbole conjuguée et calculer son excentricité. 2. Composeréquation canonique paraboles si la distance du foyer au sommet est de 3. 3. Écrivez l'équation de la tangente à l'ellipse ^ + = 1 point de veto M(4, 3). 4. Déterminer le type et l'emplacement de la courbe donnée par l'équation : Réponses ellipse, axe majeur parallèle à l’ellipsoïde. Hyperboloïdes. Paraboloïdes. Cylindres et cône du second ordre. Axe du bœuf ; b) centre de l'hyperbole O (-1,2), pente
