Laissez la fonction f(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro xà partir de cet intervalle, vous pouvez faire correspondre le nombre
je(x) = je(x+x) – je(x) =
Comme le montre la figure 23, la valeur de la dernière intégrale dans la formule de l'incrément je(x) est égal à l’aire trapèze courbé, marqué d'un ombrage. Aux petites valeurs x(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons valeurs absolues incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être à la fois positifs et négatifs), cette zone s'avère être d'environ superficie égale rectangle, marqué sur la figure par des doubles hachures. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule f(x)x. De là on obtient la relation
.
Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur est petite x.
De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(x):
.
Dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au pointx
égale à la valeur de l'intégrande au pointx. Il s'ensuit que la fonction 
est une primitive de la fonction f(x), et une telle primitive qui prend au point x = un signification, égal à zéro. Ce fait permet de représenter une intégrale définie sous la forme
. (9)
Laisser F(x) est aussi une primitive de la fonction f(x), puis par le théorème sur vue générale toutes les primitives de la fonction je(x) = F(x) + C, Où C- un certain nombre. En même temps côté droit la formule (9) prend la forme
je(x) – je(un) = F(x) + C– (F(un) +C) = F(x) – F(un). (10)
A partir des formules (9) et (10) après remplacement x sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction f(t) le long de l'intervalle [ un;b]:
,
ce qu'on appelle la formule Newton-Leibniz. Ici F(x)- n'importe lequel primitive de fonction f(x).
Pour calculer l'intégrale définie d'une fonction f(x) le long de l'intervalle [ un;b], vous devez trouver une primitive F(x) fonctions f(x) et calculer la différence entre les valeurs de la primitive aux points b Et un. La différence entre ces valeurs primitives est généralement désignée par le symbole 
.
Donnons des exemples de calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.
Exemples. 1. 
.
2.
.
Calculons d'abord intégrale indéfinie de la fonction f(x) = xe x. En utilisant la méthode d'intégration par parties, on obtient : 
. En tant que fonction primitive f(x) choisissez une fonction e x (x– 1) et appliquer la formule de Newton-Leibniz :
je = e x (x – 1)= 1.
Lors du calcul d'intégrales définies, vous pouvez utiliser formule pour changer une variable dans une intégrale définie:
.
Ici Et sont déterminés, respectivement, à partir des équations ( ) = un; ( ) = b, et les fonctions f, , doit être continu à des intervalles appropriés.
Exemple: 
.
Faisons un remplacement : ln x = t ou x = e t, alors si X = 1, alors t = 0, et si x = e, Que t = 1. En conséquence, nous obtenons :
.
Lors du remplacement d'une variable dans une intégrale définie, vous n'avez pas besoin de revenir à l'original variable d'intégration.
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Laissez la fonction f(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro xà partir de cet intervalle, vous pouvez faire correspondre le nombre 
,
définissant ainsi sur l'intervalle la fonction je(x), qui est généralement appelée une intégrale définie avec une limite supérieure variable. Notez qu'au point x = un cette fonction est égale à zéro. Calculons la dérivée de cette fonction au point x. Pour ce faire, considérons d'abord l'incrément de la fonction au point x lors de l'incrémentation de l'argument D x:
D je(x) = je(x+ D x) – je(x) =
.
Comme le montre la fig. 4, la valeur de la dernière intégrale de la formule de l'incrément D je(x) est égale à l'aire du trapèze curviligne, marquée par des hachures. Aux petites valeurs de D x(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons les grandeurs absolues des incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être à la fois positifs et négatifs) cette zone s'avère être approximativement égale à la zone du rectangle marquée sur la figure en double hachure. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule f(x)D x. De là on obtient la relation
.
Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur de D est petite x.
De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(x):
.
La dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au point x est égale à la valeur de l'intégrande au point x. Il s'ensuit que la fonction 
est une primitive de la fonction f(x), et une telle primitive qui prend au point x = un valeur égale à zéro. Ce fait permet de représenter l'intégrale définie sous la forme
. (1)
Laisser F(x) est aussi une primitive de la fonction f(x), puis par le théorème sur la forme générale de toutes les primitives de la fonction je(x) = F(x) + C, Où C- pas un numéro. Dans ce cas, le côté droit de la formule (1) prend la forme
je(x) – je(un) = F(x) + C– (F(un) +C) = F(x) – F(un). (2)
A partir des formules (1) et (2) après remplacement x sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction f(t) le long de l'intervalle [ un;b]:
,
ce qu'on appelle habituellement la formule Newton-Leibniz. Ici F(x)- toute primitive d'une fonction f(x).
Afin de calculer l'intégrale définie de la fonction f(x) le long de l'intervalle [ un;b], vous devez trouver une primitive F(x) fonctions f(x) et calculer la différence des valeurs de la primitive aux points b Et un. La différence entre ces valeurs primitives est généralement indiquée par le symbole ᴛ.ᴇ. 
.
Donnons des exemples de calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.
Exemple 1. 
.
Lors du calcul d'intégrales définies, vous pouvez utiliser formule de remplacement variable :
.
Ici un Et b sont déterminés, respectivement, à partir des équations j(un) = un; j(b) = b, et les fonctions f,j, j¢ doit être continu à intervalles appropriés.
Exemple 2..
Faisons un remplacement : ln x = t ou x = et, alors si X = 1, alors t = 0, et si x = e, Que t = 1. En conséquence, nous obtenons :
.
Cependant, lors du calcul d'une intégrale définie à l'aide d'un changement de variables, il n'est pas extrêmement important de revenir à la variable d'intégration précédente. Il suffit simplement d’introduire de nouvelles limites à l’intégration.
Laissez la fonction f(t) est défini et continu sur un intervalle contenant le point un. Puis chaque numéro xà partir de cet intervalle, nous pouvons faire correspondre le nombre,
définissant ainsi sur l'intervalle la fonction je(x), qui est appelée une intégrale définie avec une limite supérieure variable. Notez qu'au point x = un cette fonction est égale à zéro. Calculons la dérivée de cette fonction au point x. Pour ce faire, considérons d'abord l'incrément de la fonction au point x lors de l'incrémentation de l'argument D x:
D je(x) = je(x+ D x) – je(x) = 
.
Comme le montre la fig. 4, la valeur de la dernière intégrale de la formule de l'incrément D je(x) est égale à l'aire du trapèze curviligne, marquée par un ombrage. Aux petites valeurs de D x(ici, comme ailleurs dans ce cours, lorsque nous parlons de petits incréments d'un argument ou d'une fonction, nous entendons les grandeurs absolues des incréments, puisque les incréments eux-mêmes peuvent être à la fois positifs et négatifs) cette zone s'avère être approximativement égale à la zone du rectangle marquée sur le dessin doublement hachuré. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule f(x)D x. De là on obtient la relation
.
Dans la dernière égalité approximative, la précision de l'approximation est d'autant plus élevée que la valeur de D est petite x.
De ce qui précède, il résulte la formule de la dérivée de la fonction je(x):
.
La dérivée de l'intégrale définie par rapport à la limite supérieure au point x est égale à la valeur de l'intégrande au point x. Il s'ensuit que la fonction 
est une primitive de la fonction f(x), et une telle primitive qui prend au point x = un valeur égale à zéro. Ce fait permet de représenter une intégrale définie sous la forme
. (1)
Laisser F(x) est aussi une primitive de la fonction f(x), puis par le théorème sur la forme générale de toutes les primitives de la fonction je(x) = F(x) + C, Où C- un certain nombre. Dans ce cas, le côté droit de la formule (1) prend la forme
je(x) – je(un) = F(x) + C– (F(un) +C) = F(x) – F(un). (2)
A partir des formules (1) et (2) après remplacement x sur b suit la formule de calcul de l'intégrale définie de la fonction f(t) le long de l'intervalle [ un;b]:
,
qui s'appelle Formule de Newton-Leibniz. Ici F(x)- toute primitive d'une fonction f(x).
Pour calculer l'intégrale définie d'une fonction f(x) le long de l'intervalle [ un;b], vous devez trouver une primitive F(x) fonctions f(x) et calculer la différence des valeurs de la primitive aux points b Et un. La différence entre ces valeurs primitives est généralement indiquée par le symbole, c'est-à-dire 
.
Changement de variable dans une intégrale définie. Lors du calcul d'intégrales définies à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, il est préférable de ne pas différencier strictement les étapes de résolution du problème (trouver la primitive de l'intégrande, trouver l'incrément de la primitive). Cette approche, qui utilise notamment des formules de changement de variable et d'intégration par parties pour une intégrale définie, permet généralement de simplifier l'écriture de la solution.
THÉORÈME. Soit la fonction φ(t) une dérivée continue sur l'intervalle [α,β], a=φ(α), β=φ(β) et la fonction f(x) soit continue en chaque point x de la forme x =φ(t), où t [α,β].
Alors l’égalité suivante est vraie :
Cette formule est appelée formule pour changer une variable en une intégrale définie.
Tout comme c'était le cas pour l'intégrale indéfinie, le recours à un changement de variable permet de simplifier l'intégrale en la rapprochant de la ou des intégrales tabulaires. De plus, contrairement à l’intégrale indéfinie dans dans ce cas il n'est pas nécessaire de revenir à la variable d'intégration d'origine. Il suffit juste de trouver les limites d'intégration de α et β sur une nouvelle variable t comme solution de la variable t des équations φ(t)=a et φ(t)=b. En pratique, lors d'un remplacement de variable, ils commencent souvent par indiquer l'expression t=ψ(x) de la nouvelle variable par rapport à l'ancienne. Dans ce cas, trouver les limites d'intégration sur la variable t est simplifié : α=ψ(a), β=ψ(b).
Exemple 19. Calculer 
Mettons t=2-x 2. Alors dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx et xdx=- dt. Si x=0, alors t=2-0 2 =2, et si x=1, alors t=2-1 2 =1. Donc :
Intégration par parties. La méthode d'intégration par parties nous permet de réduire l'intégrale indéfinie originale à plus vue simple ou à une intégrale de table. Cette méthode est le plus souvent utilisée si l'intégrande contient des éléments logarithmiques, exponentiels, trigonométriques inverses, fonctions trigonométriques, ainsi que leurs combinaisons.
La formule d'intégration par parties est la suivante.
C'est, intégrande f(x)dx représente-le comme un produit de la fonction u(x) sur d(v(x))- fonction différentielle v(x). On retrouve ensuite la fonction v(x)(le plus souvent par méthode intégration directe) Et d(u(x))- fonction différentielle u(x). Nous substituons les expressions trouvées dans la formule d'intégration par parties et l'intégrale indéfinie originale est réduite à la différence 
. La dernière intégrale indéfinie peut être obtenue en utilisant n'importe quelle méthode d'intégration, y compris la méthode d'intégration par parties.
