Nous avons vu que la dérivée a de nombreuses utilisations : la dérivée est la vitesse du mouvement (ou, plus généralement, la vitesse de tout processus) ; la dérivée est pente tangent au graphe d'une fonction ; en utilisant la dérivée, vous pouvez examiner la fonction pour la monotonie et les extrema ; la dérivée aide à résoudre les problèmes d'optimisation.
Mais en vrai vie il faut décider et problèmes inverses: par exemple, à côté du problème de trouver la vitesse selon une loi du mouvement connue, il y a aussi le problème de restaurer la loi du mouvement selon une vitesse connue. Considérons l'un de ces problèmes.
Exemple 1. Se déplace en ligne droite point matériel, la vitesse de son mouvement au temps t est donnée par la formule u = tg. Trouvez la loi du mouvement.
Solution. Soit s = s(t) la loi du mouvement souhaitée. On sait que s"(t) = u"(t). Cela signifie que pour résoudre le problème, vous devez choisir fonction s = s(t), dont la dérivée est égale à tg. Ce n'est pas difficile à deviner
Notons tout de suite que l'exemple est résolu correctement, mais incomplètement. Nous avons constaté qu’en fait le problème a une infinité de solutions : toute fonction de la forme 
une constante arbitraire peut servir de loi du mouvement, puisque
Pour rendre la tâche plus spécifique, nous devions corriger la situation initiale : indiquer la coordonnée d'un point en mouvement à un instant donné, par exemple à t=0. Si, disons, s(0) = s 0, alors à partir de l'égalité nous obtenons s(0) = 0 + C, c'est-à-dire S 0 = C. Maintenant, la loi du mouvement est définie de manière unique :
En mathématiques, des opérations mutuellement inverses sont attribuées différents noms, proposez des notations spéciales : par exemple, quadrature (x 2) et extraction racine carrée sinus(sinх) et arc sinus(arcsinx), etc. Le processus de recherche de la dérivée par rapport à fonction donnée s'appelle la différenciation, et opération inverse, c'est à dire. le processus de recherche d'une fonction à partir d'une dérivée donnée - intégration.
Le terme « dérivé » lui-même peut être justifié « dans la vie de tous les jours » : la fonction y - f(x) « produit l'existence » nouvelle fonctionnalité y"= f"(x) La fonction y = f(x) agit comme un « parent », mais les mathématiciens, naturellement, ne l'appellent pas un « parent » ou un « producteur », ils disent qu'elle l'est, par rapport à la fonction y"=f"(x), l'image primaire, ou, en bref, la primitive.
Définition 1. La fonction y = F(x) est appelée primitive pour la fonction y = f(x) sur un intervalle donné X si pour tout x de X l'égalité F"(x)=f(x) est vraie.
En pratique, l'intervalle X n'est généralement pas spécifié, mais est implicite (en tant que domaine naturel de définition de la fonction).
Voici quelques exemples:
1) La fonction y = x 2 est primitive pour la fonction y = 2x, puisque pour tout x l'égalité (x 2)" = 2x est vraie.
2) la fonction y - x 3 est primitive pour la fonction y-3x 2, puisque pour tout x l'égalité (x 3)" = 3x 2 est vraie.
3) La fonction y-sinх est primitive pour la fonction y = cosx, puisque pour tout x l'égalité (sinx)" = cosx est vraie.
4) La fonction est primitive pour une fonction sur l'intervalle puisque pour tout x > 0 l'égalité est vraie
En général, connaissant les formules pour trouver des dérivées, il n'est pas difficile de dresser un tableau de formules pour trouver des primitives.
Nous espérons que vous comprenez comment ce tableau est compilé : la dérivée de la fonction, qui est écrite dans la deuxième colonne, est égale à la fonction qui est écrite dans la ligne correspondante de la première colonne (vérifiez-la, ne soyez pas paresseux, c'est très utile). Par exemple, pour la fonction y = x 5, la primitive, comme vous l'établirez, est la fonction (voir la quatrième ligne du tableau).
Remarques: 1. Ci-dessous, nous prouverons le théorème selon lequel si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x), alors la fonction y = f(x) a une infinité de primitives et elles ont toutes la forme y = F(x ) + C. Par conséquent, il serait plus correct d'ajouter le terme C partout dans la deuxième colonne du tableau, où C est un nombre réel arbitraire.
2. Par souci de concision, parfois au lieu de l'expression « la fonction y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x) », ils disent que F(x) est une primitive de f(x) .»
2. Règles de recherche des primitives
Lors de la recherche de primitives, ainsi que lors de la recherche de dérivées, non seulement des formules sont utilisées (elles sont répertoriées dans le tableau de la page 196), mais également certaines règles. Ils sont directement liés aux règles correspondantes de calcul des dérivés.
On sait que la dérivée d'une somme est égale à la somme de ses dérivées. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives.
Nous attirons votre attention sur la quelque « légèreté » de cette formulation. En fait, il faut formuler le théorème : si les fonctions y = f(x) et y = g(x) ont des primitives sur l'intervalle X, respectivement y-F(x) et y-G(x), alors la somme des fonctions y = f(x)+g(x) a une primitive sur l'intervalle X, et cette primitive est la fonction y = F(x)+G(x). Mais généralement, lors de la formulation de règles (et non de théorèmes), ils ne laissent que mots clés- cela rend plus pratique l'application de la règle dans la pratique
Exemple 2. Trouvez la primitive de la fonction y = 2x + cos x.
Solution. La primitive de 2x est x" ; la primitive de cox est sin x. Cela signifie que la primitive de la fonction y = 2x + cos x sera la fonction y = x 2 + sin x (et en général toute fonction de la forme Y = x 1 + sinx + C) .
Nous savons que le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la primitive.
Exemple 3.
Solution. a) La primitive de sin x est -soz x ; Cela signifie que pour la fonction y = 5 sin x la fonction primitive sera la fonction y = -5 cos x.
b) La primitive de cos x est sin x ; Cela signifie que la primitive d'une fonction est la fonction
c) La primitive de x 3 est la primitive de x, la primitive de la fonction y = 1 est la fonction y = x. En utilisant les première et deuxième règles pour trouver des primitives, nous constatons que la primitive de la fonction y = 12x 3 + 8x-1 est la fonction
Commentaire. Comme on le sait, la dérivée d'un produit n'est pas égale au produit des dérivées (la règle de différenciation d'un produit est plus complexe) et la dérivée d'un quotient n'est pas égale au quotient des dérivées. Par conséquent, il n’existe pas de règles pour trouver la primitive du produit ou la primitive du quotient de deux fonctions. Sois prudent!
Obtenons une autre règle pour trouver des primitives. On sait que la dérivée de la fonction y = f(kx+m) est calculée par la formule
Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 3. Si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x), alors la primitive de la fonction y=f(kx+m) est la fonction
En effet,
Cela signifie qu'il s'agit d'une primitive pour la fonction y = f(kx+m).
La signification de la troisième règle est la suivante. Si vous savez que la primitive de la fonction y = f(x) est la fonction y = F(x), et que vous devez trouver la primitive de la fonction y = f(kx+m), alors procédez comme ceci : prenez la même fonction F, mais à la place de l'argument x, substituez l'expression kx+m ; de plus, n'oubliez pas d'écrire « facteur de correction » avant le signe de fonction
Exemple 4. Trouver des primitives pour des fonctions données :
Solution, a) La primitive de sin x est -soz x ; Cela signifie que pour la fonction y = sin2x la primitive sera la fonction
b) La primitive de cos x est sin x ; Cela signifie que la primitive d'une fonction est la fonction
c) La primitive pour x 7 signifie que pour la fonction y = (4-5x) 7 la primitive sera la fonction
3. Intégrale indéfinie
Nous avons déjà noté ci-dessus que le problème de trouver une primitive pour une fonction donnée y = f(x) a plus d'une solution. Discutons de cette question plus en détail.
Preuve. 1. Soit y = F(x) la primitive de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X. Cela signifie que pour tout x de X l'égalité x"(x) = f(x) est vraie. Laissez-nous trouver la dérivée de n'importe quelle fonction de la forme y = F(x)+C :
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Donc, (F(x)+C) = f(x). Cela signifie que y = F(x) + C est une primitive de la fonction y = f(x).
Ainsi, nous avons prouvé que si la fonction y = f(x) a une primitive y=F(x), alors la fonction (f = f(x) a une infinité de primitives, par exemple, toute fonction de la forme y = F(x) +C est une primitive.
2. Montrons maintenant que type spécifié fonctions, l’ensemble des primitives est épuisé.
Soient y=F 1 (x) et y=F(x) deux primitives de la fonction Y = f(x) sur l'intervalle X. Cela signifie que pour tout x de l'intervalle X, les relations suivantes sont vraies : F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Considérons la fonction y = F 1 (x) -.F(x) et trouvons sa dérivée : (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) -f(x) = 0.
On sait que si la dérivée d'une fonction sur un intervalle X est identiquement égale à zéro, alors la fonction est constante sur l'intervalle X (voir Théorème 3 du § 35). Cela signifie que F 1 (x) - F (x) = C, c'est-à-dire Fx) = F(x)+C.
Le théorème a été prouvé.
Exemple 5. La loi de changement de vitesse avec le temps est donnée : v = -5sin2t. Trouvez la loi du mouvement s = s(t), si l'on sait qu'au temps t=0 la coordonnée du point était égale au nombre 1,5 (c'est-à-dire s(t) = 1,5).
Solution. Puisque la vitesse est une dérivée de la coordonnée en fonction du temps, nous devons d’abord trouver la primitive de la vitesse, c’est-à-dire : primitive pour la fonction v = -5sin2t. L'une de ces primitives est la fonction , et l'ensemble de toutes les primitives a la forme :
Trouver signification spécifique constante C, on utilise les conditions initiales, selon lesquelles s(0) = 1,5. En substituant les valeurs t=0, S = 1,5 dans la formule (1), on obtient :
En substituant la valeur trouvée de C dans la formule (1), on obtient la loi du mouvement qui nous intéresse :
Définition 2. Si une fonction y = f(x) a une primitive y = F(x) sur un intervalle X, alors l'ensemble de toutes les primitives, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions de la forme y = F(x) + C est appelé l'intégrale indéfinie de la fonction y = f(x) et est noté :
(lire: " intégrale indéfinie ef de x de x").
Dans le paragraphe suivant, nous découvrirons ce qu'est sens caché la désignation indiquée.
A partir du tableau des primitives disponible dans cette section, nous dresserons un tableau des principales intégrales indéfinies :
Sur la base des trois règles ci-dessus pour trouver des primitives, nous pouvons formuler les règles d'intégration correspondantes.
Règle 1. Intégrale de la somme des fonctions égal à la somme intégrales de ces fonctions :
Règle 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
Règle 3. Si
Exemple 6. Trouver des intégrales indéfinies :
Solution, a) En utilisant les première et deuxième règles d'intégration, on obtient :
Utilisons maintenant les 3ème et 4ème formules d'intégration :
En conséquence nous obtenons :
b) En utilisant la troisième règle d'intégration et la formule 8, on obtient :
c) Pour trouver directement l’intégrale donnée, nous n’avons ni formule correspondante, pas de règle correspondante. DANS cas similaires parfois ceux pré-exécutés aident transformations identitaires expression contenue sous le signe intégral.
Profitons formule trigonométrique Réduction de degré :
On trouve alors séquentiellement :
A.G. Mordkovich Algèbre 10e année
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Il existe trois règles de base pour trouver des fonctions primitives. Elles sont très similaires aux règles de différenciation correspondantes.
Règle 1
Si F est une primitive pour une fonction f et G est une primitive pour une fonction g, alors F + G sera une primitive pour f + g.
Par définition d’une primitive, F’ = f. G' = g. Et puisque ces conditions sont remplies, alors selon la règle de calcul de la dérivée de la somme des fonctions nous aurons :
(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.
Règle 2
Si F est une primitive d'une fonction f et k est une constante. Alors k*F est la primitive de la fonction k*f. Cette règle découle de la règle de calcul de la dérivée fonction complexe.
On a : (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Règle 3
Si F(x) est une primitive de la fonction f(x), et k et b sont des constantes, et k n'est pas égal à zéro, alors (1/k)*F*(k*x+b) sera une primitive pour la fonction f (k*x+b).
Cette règle découle de la règle de calcul de la dérivée d'une fonction complexe :
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Examinons quelques exemples de la manière dont ces règles s'appliquent :
Exemple 1. Trouver Forme générale primitives pour la fonction f(x) = x^3 +1/x^2. Pour la fonction x^3 l'une des primitives sera la fonction (x^4)/4, et pour la fonction 1/x^2 l'une des primitives sera la fonction -1/x. En utilisant la première règle, nous avons :
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
Exemple 2. Trouvons la forme générale des primitives pour la fonction f(x) = 5*cos(x). Pour la fonction cos(x), une des primitives sera la fonction sin(x). Si nous utilisons maintenant la deuxième règle, nous aurons :
F(x) = 5*péché(x).
Exemple 3. Trouvez l'une des primitives de la fonction y = sin(3*x-2). Pour la fonction sin(x) l’une des primitives sera la fonction -cos(x). Si nous utilisons maintenant la troisième règle, nous obtenons une expression pour la primitive :
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
Exemple 4. Trouver la primitive de la fonction f(x) = 1/(7-3*x)^5
La primitive de la fonction 1/x^5 sera la fonction (-1/(4*x^4)). Maintenant, en utilisant la troisième règle, nous obtenons.
Sur cette page vous trouverez :
1. En fait, le tableau des primitives - il peut être téléchargé au format PDF et imprimé ;
2. Vidéo sur la façon d'utiliser ce tableau ;
3. Un tas d'exemples de calcul de la primitive à partir de divers manuels et tests.
Dans la vidéo elle-même, nous analyserons de nombreux problèmes où il faut calculer des primitives de fonctions, souvent assez complexes, mais surtout, ce ne sont pas des fonctions puissances. Toutes les fonctions résumées dans le tableau proposé ci-dessus doivent être connues par cœur, comme les dérivées. Sans eux, une étude plus approfondie des intégrales et leur application pour résoudre des problèmes pratiques est impossible.
Aujourd'hui, nous continuons à étudier les primitives et passons à un peu plus sujet complexe. Si dans dernière fois Nous avons considéré les primitives uniquement à partir de fonctions puissance et de constructions légèrement plus complexes, mais aujourd'hui nous analyserons la trigonométrie et bien plus encore.
Comme je l’ai dit dans la leçon précédente, les primitives, contrairement aux dérivées, ne sont jamais résolues « immédiatement » à l’aide de règles standard. De plus, la mauvaise nouvelle est que, contrairement à la dérivée, la primitive peut ne pas être prise en compte du tout. Si on écrit absolument fonction aléatoire et essayez de trouver sa dérivée, alors c'est très haute probabilité nous réussirons, mais la primitive ne sera presque jamais comptée dans ce cas. Mais il y a une bonne nouvelle : il existe une classe assez large de fonctions appelées fonctions élémentaires, dont les primitives sont très faciles à calculer. Et toutes les autres constructions plus complexes qui sont données dans toutes sortes de tests, tests et examens indépendants, sont en fait constituées de ces éléments. fonctions élémentaires par addition, soustraction et autres opérations simples. Les prototypes de telles fonctions sont calculés depuis longtemps et compilés dans des tableaux spéciaux. Ce sont ces fonctions et tables avec lesquelles nous allons travailler aujourd'hui.
Mais commençons, comme toujours, par une répétition : rappelons ce qu’est une primitive, pourquoi il y en a une infinité, et comment déterminer leur apparence générale. Pour ce faire, j'ai identifié deux problèmes simples.
Résoudre des exemples faciles
Exemple 1
Notons tout de suite que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ et en général la présence de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nous laisse immédiatement entendre que la primitive requise de la fonction est liée à la trigonométrie. Et, en effet, si nous regardons le tableau, nous constaterons que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ n'est rien de plus que $\text(arctg)x$. Alors écrivons-le :
Pour trouver, vous devez écrire ce qui suit :
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Exemple n°2
Ici aussi nous parlons deÔ fonctions trigonométriques. Si nous regardons le tableau, voici en effet ce qui se passe :
Il faut trouver parmi l'ensemble des primitives celle qui passe par le point indiqué :
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Écrivons-le enfin :
C'est si simple. Le seul problème c'est compter les primitives fonctions simples, vous devez apprendre le tableau des primitives. Cependant, après avoir étudié pour vous la table des dérivées, je pense que cela ne posera pas de problème.
Résoudre des problèmes contenant une fonction exponentielle
Pour commencer, écrivons les formules suivantes :
\[((e)^(x))\à ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Voyons comment tout cela fonctionne en pratique.
Exemple 1
Si nous regardons le contenu des parenthèses, nous remarquerons que dans le tableau des primitives, il n'existe pas d'expression pour que $((e)^(x))$ soit dans un carré, ce carré doit donc être développé. Pour ce faire, nous utilisons les formules de multiplication abrégées :
Trouvons la primitive pour chacun des termes :
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Rassemblons maintenant tous les termes en une seule expression et obtenons la primitive générale :
Exemple n°2
Cette fois, le degré est plus grand, donc la formule de multiplication abrégée sera assez complexe. Alors ouvrons les parenthèses :
Essayons maintenant de prendre la primitive de notre formule à partir de cette construction :
Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué ou de surnaturel dans les primitives de la fonction exponentielle. Tous sont calculés à l'aide de tableaux, mais les étudiants attentifs remarqueront probablement que la primitive $((e)^(2x))$ est beaucoup plus proche de simplement $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Alors peut-être qu'il y en a d'autres règle spéciale, ce qui permet, connaissant la primitive $((e)^(x))$, de trouver $((e)^(2x))$ ? Oui, une telle règle existe. Et, de plus, cela fait partie intégrante du travail avec la table des primitives. Nous allons maintenant l'analyser en utilisant les mêmes expressions avec lesquelles nous venons de travailler comme exemple.
Règles pour travailler avec la table des primitives
Écrivons à nouveau notre fonction :
Dans le cas précédent, nous avons utilisé la formule suivante pour résoudre :
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Mais maintenant, faisons un peu différemment : rappelons sur quelle base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Comme je l'ai déjà dit, parce que la dérivée $((e)^(x))$ n'est rien de plus que $((e)^(x))$, donc sa primitive sera égale au même $((e) ^ (x))$. Mais le problème est que nous avons $((e)^(2x))$ et $((e)^(-2x))$. Essayons maintenant de trouver la dérivée de $((e)^(2x))$ :
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Réécrivons à nouveau notre construction :
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Cela signifie que lorsque nous trouvons la primitive $((e)^(2x))$, nous obtenons ce qui suit :
\[((e)^(2x))\à \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Comme vous pouvez le voir, nous avons obtenu le même résultat qu'avant, mais nous n'avons pas utilisé la formule pour trouver $((a)^(x))$. Or, cela peut paraître stupide : pourquoi compliquer les calculs quand il existe une formule standard ? Cependant, dans un peu plus expressions complexes vous verrez que cette technique est très efficace, c'est à dire. utiliser des dérivés pour trouver des primitives.
En guise d'échauffement, trouvons la primitive de $((e)^(2x))$ de la même manière :
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Lors du calcul, notre construction s'écrira comme suit :
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Nous avons obtenu exactement le même résultat, mais avons emprunté un chemin différent. C'est cette voie, qui nous paraît aujourd'hui un peu plus compliquée, qui s'avérera à l'avenir plus efficace pour calculer des primitives plus complexes et utiliser des tableaux.
Note! C'est très point important: les primitives, comme les dérivés, peuvent être considérées comme un ensemble de diverses façons. Cependant, si tous les calculs et calculs sont égaux, la réponse sera la même. Nous venons de le voir dans l'exemple de $((e)^(-2x))$ - d'une part, nous avons calculé cette primitive « de bout en bout », en utilisant la définition et en la calculant par transformations, d'autre part, nous nous sommes souvenus que $ ((e)^(-2x))$ peut être représenté par $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ et alors seulement nous avons utilisé la primitive de la fonction $( (a)^(x))$. Cependant, après toutes les transformations, le résultat était le même que prévu.
Et maintenant que nous comprenons tout cela, il est temps de passer à quelque chose de plus significatif. Nous allons maintenant analyser deux constructions simples, mais la technique qui sera utilisée pour les résoudre est un outil plus puissant et plus utile que le simple « courir » entre les primitives voisines de la table.
Résolution de problèmes : trouver la primitive d'une fonction
Exemple 1
Décomposons le montant qui figure aux numérateurs en trois fractions distinctes :
Il s'agit d'une transition assez naturelle et compréhensible - la plupart des étudiants n'y rencontrent aucun problème. Réécrivons notre expression comme suit :
Retenons maintenant cette formule :
Dans notre cas, nous obtiendrons ce qui suit :
Pour se débarrasser de toutes ces fractions à trois étages, je suggère de procéder comme suit :
Exemple n°2
Contrairement à la fraction précédente, le dénominateur n’est pas un produit mais une somme. Dans ce cas, on ne peut plus diviser notre fraction en la somme de plusieurs fractions simples, mais vous devez d'une manière ou d'une autre essayer de vous assurer que le numérateur contient à peu près la même expression que le dénominateur. DANS dans ce cas c'est assez simple de faire ceci :
Cette notation, qui en langage mathématique s'appelle « ajouter un zéro », permettra à nouveau de diviser la fraction en deux morceaux :
Trouvons maintenant ce que nous recherchions :
C'est tous les calculs. Malgré l'apparente plus grande complexité que dans tâche précédente, le nombre de calculs s'est avéré encore plus petit.
Nuances de la solution
Et c'est là que réside la principale difficulté du travail avec les primitives tabulaires, cela est particulièrement visible dans la deuxième tâche. Le fait est que pour sélectionner certains éléments facilement calculables à travers le tableau, nous devons savoir exactement ce que nous recherchons, et c'est dans la recherche de ces éléments que consiste tout le calcul des primitives.
En d'autres termes, il ne suffit pas de mémoriser le tableau des primitives - vous devez être capable de voir quelque chose qui n'existe pas encore, mais ce que voulait dire l'auteur et le compilateur de ce problème. C'est pourquoi de nombreux mathématiciens, enseignants et professeurs argumentent constamment : « Qu'est-ce que les primitives ou l'intégration ? Est-ce juste un outil ou est-ce un véritable art ? En fait, à mon avis, l'intégration n'est pas du tout un art - elle n'a rien de sublime, c'est juste de la pratique et encore de la pratique. Et pour nous entraîner, résolvons trois exemples plus sérieux.
Nous formons à l'intégration en pratique
Tâche n°1
Écrivons les formules suivantes :
\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Écrivons ce qui suit :
Problème n°2
Réécrivons-le comme suit :
La primitive totale sera égale à :
Problème n°3
La difficulté de ce problème est que, contrairement aux fonctions précédentes ci-dessus, il n'y a aucune variable $x$, c'est-à-dire Nous ne comprenons pas quoi ajouter ou soustraire pour obtenir au moins quelque chose de similaire à ce qui est ci-dessous. Cependant, en fait, cette expression est considérée comme encore plus simple que n'importe quelle expression des constructions précédentes, car cette fonction peut être réécrit comme suit :
Vous pouvez maintenant vous demander : pourquoi ces fonctions sont-elles égales ? Allons vérifier:
Réécrivons-le à nouveau :
Transformons un peu notre expression :
Et quand j'explique tout cela à mes étudiants, presque toujours le même problème se pose : avec la première fonction tout est plus ou moins clair, avec la seconde on peut aussi le comprendre avec de la chance ou de la pratique, mais quel genre de conscience alternative avez-vous faut-il avoir pour résoudre le troisième exemple ? En fait, n'ayez pas peur. La technique que nous avons utilisée lors du calcul de la dernière primitive est appelée « décomposition d'une fonction en sa forme la plus simple », et c'est une technique très sérieuse, et une leçon vidéo distincte lui sera consacrée.
En attendant, je propose de revenir sur ce que nous venons d'étudier, à savoir les fonctions exponentielles et de compliquer quelque peu les problèmes avec leur contenu.
Problèmes plus complexes pour résoudre des fonctions exponentielles primitives
Tâche n°1
Notons ce qui suit :
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Pour trouver la primitive de cette expression, utilisez simplement la formule standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Dans notre cas, la primitive sera comme ceci :
Bien sûr, comparé au modèle que nous venons de résoudre, celui-ci semble plus simple.
Problème n°2
Encore une fois, il est facile de voir que cette fonction peut facilement être divisée en deux termes distincts – deux fractions distinctes. Réécrivons :
Reste à trouver la primitive de chacun de ces termes à l'aide de la formule décrite ci-dessus :
Malgré la grande complexité apparente fonctions exponentielles Par rapport aux calculs de puissance, le volume global des calculs et des calculs s'est avéré beaucoup plus simple.
Bien sûr pour étudiants avertis ce dont nous venons de parler (surtout dans le contexte de ce que nous avons discuté jusqu’à présent) peut sembler des expressions élémentaires. Cependant, en choisissant ces deux problèmes pour la leçon vidéo d'aujourd'hui, je ne me suis pas fixé pour objectif de vous présenter une autre technique complexe et sophistiquée - tout ce que je voulais vous montrer, c'est qu'il ne faut pas avoir peur d'utiliser des techniques d'algèbre standard pour transformer des fonctions originales. .
Utiliser une technique "secrète"
En conclusion, je voudrais aborder une autre technique intéressante, qui, d'une part, dépasse le cadre de ce dont nous avons principalement discuté aujourd'hui, mais, d'autre part, elle n'est, premièrement, pas du tout compliquée, c'est-à-dire même les étudiants débutants peuvent le maîtriser et, deuxièmement, on le retrouve assez souvent dans toutes sortes de tests et de tests. travail indépendant, c'est à dire. sa connaissance sera très utile en complément de la connaissance du tableau des primitives.
Tâche n°1
Évidemment, nous avons quelque chose de très similaire à une fonction puissance. Que devons-nous faire dans ce cas ? Pensons-y : $x-5$ n'est pas si différent de $x$ - ils ont simplement ajouté $-5$. Écrivons-le ainsi :
\[((x)^(4))\à \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Essayons de trouver la dérivée de $((\left(x-5 \right))^(5))$ :
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Cela implique:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ à droite))^(\prime ))\]
Il n'y a pas une telle valeur dans le tableau, nous avons donc maintenant dérivé nous-mêmes cette formule en utilisant formule standard primitive pour fonction de puissance. Écrivons la réponse comme ceci :
Problème n°2
De nombreux étudiants qui examinent la première solution peuvent penser que tout est très simple : il suffit de remplacer $x$ dans la fonction puissance par une expression linéaire et tout se mettra en place. Malheureusement, tout n'est pas si simple, et maintenant nous allons le voir.
Par analogie avec la première expression, on écrit ce qui suit :
\[((x)^(9))\à \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
En revenant à notre dérivée, nous pouvons écrire :
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Cela suit immédiatement :
Nuances de la solution
Attention : si rien n'a essentiellement changé la dernière fois, alors dans le second cas, au lieu de -10$, c'est -30$ qui sont apparus. Quelle est la différence entre -10$ et -30$ ? Évidemment, par un facteur de -3$. Question : d'où vient-il ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir qu'il a été pris à la suite du calcul de la dérivée d'une fonction complexe - le coefficient qui était de $x$ apparaît dans la primitive ci-dessous. C'est très règle importante, dont je n’avais initialement pas prévu de discuter du tout dans le didacticiel vidéo d’aujourd’hui, mais sans cela, la présentation des primitives tabulaires serait incomplète.
Alors recommençons. Soit notre fonction de pouvoir principale :
\[((x)^(n))\à \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Maintenant, au lieu de $x$, remplaçons l'expression $kx+b$. Que se passera-t-il alors ? Nous devons trouver les éléments suivants :
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
Sur quelle base prétendons-nous cela ? Très simple. Trouvons la dérivée de la construction écrite ci-dessus :
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
C'est la même expression qui existait à l'origine. Ainsi, cette formule est également correcte, et elle peut être utilisée pour compléter le tableau des primitives, ou il vaut mieux simplement mémoriser l'intégralité du tableau.
Conclusions du « secret : technique :
- Les deux fonctions que nous venons d'examiner peuvent, en fait, être réduites aux primitives indiquées dans le tableau en élargissant les degrés, mais si nous pouvons plus ou moins faire face au quatrième degré, alors je ne considérerais même pas le neuvième degré comme osé. révéler.
- Si nous devions étendre les pouvoirs, nous obtiendrions un tel volume de calculs que tâche simple nous emprunterait insuffisamment un grand nombre de temps.
- C'est pourquoi de tels problèmes, qui contiennent des expressions linéaires, n'ont pas besoin d'être résolus « à corps perdu ». Dès que vous rencontrez une primitive qui ne diffère de celle du tableau que par la présence de l'expression $kx+b$ à l'intérieur, souvenez-vous immédiatement de la formule écrite ci-dessus, remplacez-la dans la primitive de votre tableau, et tout se passera bien. plus rapide et plus facile.
Naturellement, en raison de la complexité et du sérieux de cette technique, nous y reviendrons plusieurs fois dans les prochaines leçons vidéo, mais c'est tout pour aujourd'hui. J'espère que cette leçon aidera vraiment les étudiants qui souhaitent comprendre les primitives et l'intégration.
Cours et présentation sur le thème : "Une fonction primitive. Graphique d'une fonction"
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Fonction primitive. Introduction
Les gars, vous savez comment trouver des dérivées de fonctions en utilisant diverses formules et des règles. Aujourd'hui, nous allons étudier l'opération inverse de calcul de la dérivée. La notion de dérivée est souvent utilisée dans la vraie vie. Permettez-moi de vous rappeler : la dérivée est le taux de variation d'une fonction dans point précis. Les processus impliquant le mouvement et la vitesse sont bien décrits en ces termes.Regardons ce problème : « La vitesse d'un objet se déplaçant en ligne droite est décrite par la formule $V=gt$. Elle est nécessaire pour restaurer la loi du mouvement.
Solution.
On connaît bien la formule : $S"=v(t)$, où S est la loi du mouvement.
Notre tâche revient à trouver une fonction $S=S(t)$ dont la dérivée est égale à $gt$. En regardant attentivement, vous pouvez deviner que $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Vérifions l'exactitude de la solution à ce problème : $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Connaissant la dérivée de la fonction, nous avons trouvé la fonction elle-même, c'est-à-dire que nous avons effectué l'opération inverse.
Mais cela vaut la peine de prêter attention à ce moment. La solution à notre problème nécessite des éclaircissements ; si nous ajoutons un nombre (constant) à la fonction trouvée, alors la valeur de la dérivée ne changera pas : $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Les gars, veuillez noter : notre tâche est ensemble infini solutions!
Si le problème ne spécifie pas de condition initiale ou autre, n'oubliez pas d'ajouter une constante à la solution. Par exemple, notre tâche peut préciser la position de notre corps au tout début du mouvement. Ensuite, il n'est pas difficile de calculer la constante ; en substituant zéro dans l'équation résultante, nous obtenons la valeur de la constante.
Comment s’appelle cette opération ?
L’opération inverse de différenciation est appelée intégration.
Trouver une fonction à partir d'une dérivée donnée – intégration.
La fonction elle-même sera appelée primitive, c'est-à-dire l'image à partir de laquelle la dérivée de la fonction a été obtenue.
Il est d'usage d'écrire la primitive lettre capitale$y=F"(x)=f(x)$.
Définition. La fonction $y=F(x)$ est appelée fonction primitive$у=f(x)$ sur l'intervalle X si pour tout $хϵХ$ l'égalité $F'(x)=f(x)$ est vraie.
Faisons un tableau des primitives pour diverses fonctions. Il doit être imprimé à titre de rappel et mémorisé.
Il n'y en a pas dans notre table conditions initiales n'a pas été demandé. Cela signifie qu'une constante doit être ajoutée à chaque expression du côté droit du tableau. Nous clarifierons cette règle plus tard.
Règles pour trouver des primitives
Écrivons quelques règles qui nous aideront à trouver des primitives. Elles sont toutes semblables aux règles de différenciation.Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Exemple.
Trouvez la primitive de la fonction $y=4x^3+cos(x)$.
Solution.
La primitive de la somme est égale à la somme des primitives, il faut alors trouver la primitive pour chacune des fonctions présentées.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Alors la primitive de la fonction d'origine sera : $y=x^4+sin(x)$ ou toute fonction de la forme $y=x^4+sin(x)+C$.
Règle 2. Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors $k*F(x)$ est une primitive de la fonction $k*f(x)$.(On peut facilement prendre le coefficient en fonction).
Exemple.
Trouver des primitives de fonctions :
une) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Solution.
a) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-8cos(x)$.
B) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) La primitive de $x^2$ est $\frac(x^3)(3)$. La primitive de x est $\frac(x^2)(2)$. La primitive de 1 est x. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .
Règle 3. Si $у=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$, alors la primitive de la fonction $y=f(kx+m)$ est la fonction $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.
Exemple.
Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Solution.
a) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=cos(7x)$ sera la fonction $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.
B) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=sin(\frac(x)(2))$ sera la fonction $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) La primitive de $x^3$ est $\frac(x^4)(4)$, puis la primitive de la fonction d'origine $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Simplifiez légèrement l'expression à la puissance $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
La primitive d'une fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. La primitive de la fonction d'origine sera $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Théorème. Si $y=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$ sur l'intervalle X, alors la fonction $y=f(x)$ a une infinité de primitives, et toutes ont la forme $y=F( x)+С$.
Si dans tous les exemples discutés ci-dessus il était nécessaire de trouver l'ensemble de toutes les primitives, alors la constante C devrait être ajoutée partout.
Pour la fonction $y=cos(7x)$ toutes les primitives ont la forme : $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Pour la fonction $y=(-2x+3)^3$ toutes les primitives ont la forme : $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.
Exemple.
Par loi donnée changements dans la vitesse d'un corps au fil du temps $v=-3sin(4t)$ trouver la loi du mouvement $S=S(t)$, si dans moment de départ moment où le corps avait une coordonnée égale à 1,75.
Solution.
Puisque $v=S’(t)$, nous devons trouver la primitive pour une vitesse donnée.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Dans ce problème, il est donné condition supplémentaire- moment initial du temps. Cela signifie que $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Alors la loi du mouvement est décrite par la formule : $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
Problèmes à résoudre de manière autonome
1. Trouver les primitives des fonctions :une) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. D'après la loi donnée du changement de vitesse d'un corps au fil du temps $v=4cos(6t)$, trouvez la loi du mouvement $S=S(t)$ si au moment initial le corps avait un coordonnée égale à 2.
Primitive
Définition d'une fonction primitive
- Fonction y=F(x) est appelée la primitive de la fonction y=f(x)à un intervalle donné X, si pour tout le monde X ∈X l'égalité est valable : F′(x) = f(x)
Peut être lu de deux manières :
- F dérivée d'une fonction F
- F primitive d'une fonction F
Propriété des primitives
- Si F(x)- primitive d'une fonction f(x) sur un intervalle donné, alors la fonction f(x) a une infinité de primitives, et toutes ces primitives peuvent s'écrire sous la forme F(x) + C, où C est une constante arbitraire.
Interprétation géométrique
- Graphiques de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x) sont obtenus à partir du graphique de n'importe quelle primitive transferts parallèles le long de l'axe O à.
Règles de calcul des primitives
- La primitive de la somme est égale à la somme des primitives. Si F(x)- primitive pour f(x), et G(x) est une primitive de g(x), Que F(x) + G(x)- primitive pour f(x) + g(x).
- Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée. Si F(x)- primitive pour f(x), Et k- constant, alors k·F(x)- primitive pour kf(x).
- Si F(x)- primitive pour f(x), Et k, b- constant, et k ≠ 0, Que 1/k F(kx + b)- primitive pour f(kx + b).
Souviens-toi!
N'importe quelle fonction F(x) = x2 + C , où C est une constante arbitraire, et seule une telle fonction est une primitive de la fonction f(x) = 2x.
- Par exemple:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, parce que F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, parce que F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Relation entre les graphiques d'une fonction et sa primitive :
- Si le graphique d'une fonction f(x)>0 F(x) augmente sur cet intervalle.
- Si le graphique d'une fonction f(x)<0 sur l'intervalle, puis le graphique de sa primitive F(x) diminue sur cet intervalle.
- Si f(x)=0, puis le graphique de sa primitive F(x)à ce stade, il passe d'une augmentation à une diminution (ou vice versa).
Pour désigner la primitive, on utilise le signe de l'intégrale indéfinie, c'est-à-dire l'intégrale sans indiquer les limites d'intégration.
Intégrale indéfinie
Définition:
- L'intégrale indéfinie de la fonction f(x) est l'expression F(x) + C, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée f(x). L'intégrale indéfinie est notée comme suit : \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- appelée fonction intégrande ;
- f(x)dx- appelé l'intégrande ;
- X- appelée variable d'intégration ;
- F(x)- une des primitives de la fonction f(x) ;
- AVEC- constante arbitraire.
Propriétés de l'intégrale indéfinie
- La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande : (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Le facteur constant de l'intégrande peut être soustrait du signe intégral : \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- L'intégrale de la somme (différence) des fonctions est égale à la somme (différence) des intégrales de ces fonctions : \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Si k, b sont des constantes, et k ≠ 0, alors \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Tableau des primitives et intégrales indéfinies
| Fonction f(x) | Primitive F(x) + C | Intégrales indéfinies \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)(\sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tgx | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctgx | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cosx) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Formule de Newton – Leibniz
Laisser f(x) cette fonction F sa primitive arbitraire.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(une)
Où F(x)- primitive pour f(x)
C'est-à-dire l'intégrale de la fonction f(x) sur un intervalle est égal à la différence des primitives en points b Et un.
Aire d'un trapèze courbe
Trapèze curviligne est une figure délimitée par le graphique d'une fonction non négative et continue sur un intervalle F, Axe du bœuf et lignes droites x = un Et x = b.
L'aire d'un trapèze courbe se trouve à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
