Dans ce sujet, nous parlerons en détail des propriétés de l'intégrale indéfinie et de la recherche des intégrales elles-mêmes en utilisant les propriétés mentionnées. Nous travaillerons également avec le tableau des intégrales indéfinies. Le matériel présenté ici est une continuation du thème « Intégrale indéfinie. Début ». Honnêtement parlant, dans essais Il existe rarement des intégrales qui peuvent être calculées à l’aide de tableaux typiques et/ou de propriétés simples. Ces propriétés peuvent être comparées à l'alphabet, dont la connaissance et la compréhension sont nécessaires pour comprendre le mécanisme de résolution des intégrales dans d'autres sujets. Souvent, l'intégration utilisant des tableaux d'intégrales et de propriétés de l'intégrale indéfinie est appelée intégration directe.

Où je veux en venir : les fonctions changent, mais la formule pour trouver la dérivée reste inchangée, contrairement à l'intégrale, pour laquelle il fallait déjà lister deux méthodes.

Allons plus loin. Pour trouver la dérivée $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ tous les il en va de même pour la même formule $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, dans laquelle vous devrez substituer $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Mais pour trouver l'intégrale $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ nécessitera l'utilisation d'une nouvelle méthode - les substitutions de Chebyshev.

Et enfin : pour trouver la dérivée de la fonction $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, la formule $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ est à nouveau applicable, dans lequel au lieu de $u$ et $v$ nous remplaçons respectivement $\sin x$ et $\frac(1)(x)$ Mais $\int \sin x\cdot\frac(1). )(x) dx$ pris Plus précisément, il ne s'exprime pas à travers. numéro final fonctions élémentaires.

Résumons : là où il fallait une formule pour trouver la dérivée, il en fallait quatre pour l'intégrale (et ce n'est pas la limite), - et dans ce dernier cas l'intégrale refusait du tout d'être localisée. J'ai changé la fonction - j'en avais besoin nouvelle méthode l'intégration. C'est là que nous avons des tableaux de plusieurs pages dans les ouvrages de référence. Absence méthode générale(adapté à la résolution « manuelle ») conduit à une abondance de méthodes privées qui ne sont applicables que pour intégrer leur propre classe de fonctions extrêmement limitée (dans d'autres sujets, nous traiterons de ces méthodes en détail). Bien que je ne puisse m'empêcher de noter la présence de l'algorithme de Risch (je vous conseille de lire la description sur Wikipédia), il ne convient qu'au traitement par programme d'intégrales indéfinies.

Question 3

Mais s’il y a autant de ces propriétés, comment puis-je apprendre à prendre des intégrales ? C'était plus simple avec les produits dérivés !

Pour une personne, il n'y a jusqu'à présent qu'une seule voie : décider comment plus d'exemples utiliser diverses techniques d'intégration afin que lorsqu'une nouvelle intégrale indéfinie apparaît, vous puissiez choisir une méthode de solution en fonction de votre expérience. Je comprends que la réponse n’est pas très rassurante, mais il n’y a pas d’autre solution.

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Propriété n°1

La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, c'est-à-dire $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Cette propriété est tout à fait naturelle, car l'intégrale et la dérivée sont mutuellement opérations inverses. Par exemple, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ et ainsi de suite.

Propriété n°2

Pas Intégrale définie du différentiel d'une fonction est égal à cette fonction, c'est-à-dire $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Généralement cette propriété est perçue comme quelque peu difficile, puisqu'il semble qu'il n'y ait « rien » sous l'intégrale. Pour éviter cela, vous pouvez écrire la propriété indiquée comme suit : $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Un exemple d'utilisation de cette propriété : $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ ou, si vous le souhaitez, sous cette forme : $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Propriété n°3

Le facteur constant peut être retiré du signe intégral, c'est-à-dire $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (nous supposons que $a\neq 0$).

La propriété est assez simple et ne nécessite peut-être pas de commentaires. Exemples : $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Propriété n°4

Intégrale de la somme (différence) de deux fonctions égal à la somme(différences) des intégrales de ces fonctions :

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Exemples : $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Dans les tests standards, les propriétés n°3 et n°4 sont généralement utilisées, nous y reviendrons donc plus en détail.

Exemple n°3

Trouvez $\int 3 e^x dx$.

Utilisons la propriété n°3 et retirons la constante, c'est-à-dire nombre $3$, pour le signe intégral : $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Ouvrons maintenant le tableau des intégrales et en remplaçant $u=x$ dans la formule n° 4, nous obtenons : $\int e^x dx=e^x+C$. Il s'ensuit que $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Je suppose que le lecteur aura immédiatement une question, je formulerai donc cette question séparément :

Question n°4

Si $\int e^x dx=e^x+C$, alors $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$ ! Pourquoi ont-ils simplement écrit $3e^x+C$ au lieu de $3e^x+3C$ ?

La question est tout à fait raisonnable. Le fait est que la constante intégrale (c'est-à-dire ce même nombre $C$) peut être représentée sous la forme de n'importe quelle expression : l'essentiel est que cette expression « parcourt » l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire variait de $-\infty$ à $+\infty$. Par exemple, si $-\infty≤ C ≤ +\infty$, alors $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, donc la constante $C$ peut être représentée sous la forme $\ frac(C)(3)$. On peut écrire que $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ puis $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Comme vous pouvez le voir, il n'y a pas de contradiction ici, mais vous devez être prudent lorsque vous modifiez la forme de la constante intégrale. Par exemple, représenter la constante $C$ par $C^2$ serait une erreur. Le fait est que $C^2 ≥ 0$, c'est-à-dire $C^2$ ne passe pas de $-\infty$ à $+\infty$, ne « parcourt » pas tout nombres réels. De même, ce serait une erreur de représenter une constante par $\sin C$, car $-1≤ \sin C ≤ 1$, c'est-à-dire $\sin C$ ne « parcourt » pas toutes les valeurs axe réel. Dans ce qui suit, nous ne discuterons pas de cette question en détail, mais écrirons simplement la constante $C$ pour chaque intégrale indéfinie.

Exemple n°4

Recherchez $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Utilisons la propriété n°4 :

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Prenons maintenant les constantes (nombres) en dehors des signes intégraux :

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Ensuite, nous travaillerons séparément avec chaque intégrale obtenue. La première intégrale, c'est-à-dire $\int \sin x dx$, se retrouve facilement dans le tableau des intégrales sous le n° 5. En substituant $u=x$ dans la formule n°5 on obtient : $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Pour trouver la deuxième intégrale $\int\frac(dx)(x^2+9)$ vous devez appliquer la formule n°11 du tableau des intégrales. En y remplaçant $u=x$ et $a=3$, nous obtenons : $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) ( 3)+$CAN.

Et enfin, pour trouver $\int x^3dx$, nous utilisons la formule n°1 du tableau, en y remplaçant $u=x$ et $\alpha=3$ : $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Toutes les intégrales incluses dans l'expression $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ ont été trouvées. Il ne reste plus qu'à les remplacer :

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Le problème est résolu, la réponse est : $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. J'ajouterai une petite note à ce problème :

Juste un petit mot

Peut-être que personne n'aura besoin de cet insert, mais je mentionnerai quand même que $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Ceux. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

Regardons un exemple dans lequel nous utilisons la formule n°1 du tableau des intégrales pour interposer des irrationalités (des racines, en d'autres termes).

Exemple n°5

Recherchez $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Pour commencer, nous ferons les mêmes actions que dans l'exemple n°3, à savoir : nous allons décomposer l'intégrale en deux et déplacer les constantes au-delà des signes des intégrales :

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Puisque $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, alors $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Pour trouver cette intégrale, on applique la formule n°1 en y substituant $u=x$ et $\alpha=\frac(4)(7)$ : $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Si vous le souhaitez, vous pouvez représenter $\sqrt(x^(11))$ comme $x\cdot\sqrt(x^(4))$, mais ce n'est pas nécessaire.

Passons maintenant à la deuxième intégrale, c'est-à-dire $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Puisque $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, alors l'intégrale considérée peut être représentée sous la forme suivante : $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Pour trouver l'intégrale résultante, nous appliquons la formule n° 1 du tableau des intégrales, en y remplaçant $u=x$ et $\alpha=-\frac(6)(11)$ : $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

En substituant les résultats obtenus, on obtient la réponse :

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Répondre: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11 )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Et enfin, prenons l’intégrale qui relève de la formule n°9 du tableau des intégrales. L'exemple n°6, auquel nous allons maintenant passer, pourrait être résolu d'une autre manière, mais cela sera abordé dans les sujets suivants. Pour l'instant, nous resterons dans le cadre de l'utilisation du tableau.

Exemple n°6

Recherchez $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Tout d'abord, faisons la même opération que précédemment : déplacer la constante (le nombre $12$) en dehors du signe intégral :

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

L'intégrale résultante $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ est déjà proche de l'intégrale tabulaire $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formule n°9 tableau des intégrales). La différence dans notre intégrale est qu'avant $x^2$ sous la racine il y a un coefficient $7$, ce que l'intégrale de table ne permet pas. Il faut donc se débarrasser de ce sept en le déplaçant au-delà du signe racine :

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Si l'on compare l'intégrale de table $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ et $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ il devient clair qu'ils ont la même structure. Seulement dans l'intégrale $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ au lieu de $u$ il y a $x$, et au lieu de $a^2$ il y a $\frac (15)(7)$. Eh bien, si $a^2=\frac(15)(7)$, alors $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. En remplaçant $u=x$ et $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ dans la formule $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, on obtient le résultat suivant :

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Si nous prenons en compte que $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, alors le résultat peut être réécrit sans le « trois étages " fractions :

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7 ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Le problème est résolu, la réponse est reçue.

Répondre: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Exemple n°7

Recherchez $\int\tg^2xdx$.

Pour l'intégration fonctions trigonométriques Nous avons nos propres méthodes. Cependant, dans dans ce cas Vous pouvez vous débrouiller avec la connaissance de formules trigonométriques simples. Puisque $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, alors $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ à droite)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. En considérant $\sin^2x=1-\cos^2x$, on obtient :

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Ainsi, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. En développant l'intégrale résultante en la somme des intégrales et en appliquant des formules tabulaires, nous aurons :

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Répondre: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Matériel de cours: notes de lecture.

Critère d'évaluation

Demande de service

Exercice 1.

Lire la conférence n°9

Tâche 2.

Conférence 9.

intégrale indéfinie à partir de cette fonction :

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x)dx

20. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction est égale à cette fonction plus une constante arbitraire :

30. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale indéfinie.

40. L'intégrale indéfinie de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales indéfinies des termes des fonctions :

50. Si a est une constante, alors la formule est valide

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« Technique d'intégration Intégration directe »

Travaux pratiques№ 7

Sujet : Technique d'intégration. Intégration directe

Objectifs:

apprendre les formules et les règles pour calculer l'intégrale indéfinie

apprendre à résoudre des exemples dans intégration directe

Matériel de cours: notes de lecture.

Critère d'évaluation

Une note de « 5 » est attribuée pour l'exécution correcte de toutes les tâches de travail.

une note de « 4 » est attribuée pour avoir accompli la tâche 1 et la bonne décision dix exemples quelconques de la tâche 2.

Une note de « 3 » est attribuée pour avoir terminé la tâche 1 et résolu correctement les sept exemples de la tâche 2.

Demande de service

Exercice 1.

Lire la conférence n°9

À l'aide des cours magistraux, répondez aux questions et notez les réponses dans votre cahier :

1.Quelles propriétés de l'intégrale indéfinie connaissez-vous ?

2. Écrivez dans les formules d'intégration de base

3. Quels cas sont possibles avec l'intégration directe ?

Tâche 2.

Résoudre des exemples pour décision indépendante

Conférence 9.

Sujet : « Intégrale indéfinie. Intégration directe"

Une fonction F(x) est appelée primitive d'une fonction f(x) si F "(x) = f(x).

N'importe lequel fonction continue f(x) a ensemble infini primitives qui diffèrent les unes des autres par un terme constant.

Expression générale F(x) +C l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f(x) est appelé intégrale indéfinie à partir de cette fonction :

dx = F(x) +С, si d(F(x) +С) = dx

Propriétés de base de l'intégrale indéfinie

1 0 .La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande et sa différentielle est égale à l'intégrande :

( dx)" = d ( dx) =f(x)dx

2 0 . L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction est égale à cette fonction plus une constante arbitraire :

3 0 . Le facteur constant peut être soustrait du signe de l’intégrale indéfinie.

4 0 .L'intégrale indéfinie de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des intégrales indéfinies des termes des fonctions :

+dx

5 0 . Si a est une constante, alors la formule est valide

Formules de base intégrations (intégrales tabulaires)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arc sinus + C

Lors de l'application des formules (3), (10). (11) signe valeur absolue n'est écrit que dans les cas où l'expression sous le signe du logarithme peut avoir Sens négatif.

Chacune des formules est facile à vérifier. En différenciant le côté droit, nous obtenons intégrande.

Intégration directe.

L'intégration directe est basée sur utilisation directe tableaux d'intégrales. Les cas suivants peuvent se présenter ici :

1) cette intégrale peut être trouvée directement à partir de l'intégrale de table correspondante ;

2) cette intégrale, après application des propriétés 3 0 et 4 0, est réduite à une ou plusieurs intégrales tabulaires ;

3) cette intégrale après élémentaire transformations identitaires sur l'intégrande et en appliquant les propriétés de 3 0 et 4 0 est réduit à une ou plusieurs intégrales tabulaires.

Exemples.

Basé sur la propriété 3 0 facteur constant 5 est retiré du signe intégral et, en utilisant la formule 1, on obtient

Solution. En utilisant la propriété 3 0 et la formule 2, on obtient

6

Solution. En utilisant les propriétés 3 0 et 4 0 et les formules 1 et 2, nous avons

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

La constante d'intégration C est égale à la somme algébrique de trois constantes d'intégration, puisque chaque intégrale a sa propre constante arbitraire (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Solution. En mettant au carré et en intégrant chaque terme, nous avons

En utilisant formule trigonométrique 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx – x + C

Solution. En soustrayant et en ajoutant le nombre 9 au numérateur de l'intégrande, on obtient

= = + = - =

X + 9 + C = - X +

Exemples d'auto-solution

Évaluez les intégrales à l’aide de l’intégration directe :

Suivi des connaissances des étudiants :

vérifier les travaux pratiques ;

Conditions d'inscription Travaux pratiques:

La tâche doit être réalisée dans un cahier pour les travaux pratiques

Remettre le travail après le cours

Puisque maintenant nous ne parlerons que de l'intégrale indéfinie, par souci de concision nous omettrons le terme « indéfini ».

Pour apprendre à calculer des intégrales (ou, comme on dit, intégrer des fonctions), il faut d'abord apprendre le tableau des intégrales :

Tableau 1. Tableau des intégrales

De plus, vous aurez besoin de pouvoir calculer la dérivée de fonction donnée, ce qui signifie qu'il faut retenir les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires de base :

Tableau 2. Tableau des dérivés et règles de différenciation :

6.a .

(péché Et) = cos Et  Et (parce que toi) = – péché Et Et

Nous avons également besoin de la capacité de trouver la différentielle d’une fonction. Rappelons que la différentielle de la fonction
trouver par formule
, c'est à dire. la différentielle d'une fonction est égale au produit de la dérivée de cette fonction et de la différentielle de son argument. Il est utile de garder à l’esprit les relations connues suivantes :

Tableau 3. Tableau différentiel

De plus, vous pouvez utiliser ces formules soit en les lisant de gauche à droite, soit de droite à gauche.

Considérons séquentiellement les trois principales méthodes de calcul de l'intégrale. Le premier d'entre eux s'appelle par méthode d'intégration directe. Elle repose sur l’utilisation des propriétés de l’intégrale indéfinie et comprend deux techniques principales : expansion de l'intégrale dans somme algébrique plus simple et souscrire au signe différentiel, et ces techniques peuvent être utilisées à la fois indépendamment et en combinaison.

UN) Considérons développement de somme algébrique– cette technique implique l'utilisation de transformations identiques de l'intégrande et des propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie :
Et.

Exemple 1. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solution.

UN)Transformons l'intégrande en divisant le numérateur par le dénominateur terme par terme :

La propriété des puissances est utilisée ici :
.

b) Tout d'abord, on transforme le numérateur de la fraction, puis on divise le numérateur terme par terme par le dénominateur :

La propriété des diplômes est également utilisée ici :
.

La propriété utilisée ici est :
,
.

.

Les formules 2 et 5 du tableau 1 sont utilisées ici.

Exemple 2. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Solution.

UN)Transformons l'intégrande en utilisant l'identité trigonométrique :

.

Ici encore, nous utilisons la division terme par terme du numérateur par le dénominateur et les formules 8 et 9 du tableau 1.

b) Nous transformons de la même manière, en utilisant l'identité
:

.

c) Tout d'abord, divisez le numérateur terme par terme par le dénominateur et retirez les constantes du signe intégral, puis utilisez l'identité trigonométrique
:

d) Appliquer la formule de réduction du degré :

,

e) À l'aide d'identités trigonométriques, on transforme :

B) Considérons la technique d'intégration, appelée n en le plaçant sous le signe différentiel. Cette technique est basée sur la propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si
, alors pour toute fonction différentiable Et=Et(X) se produit:
.

Cette propriété nous permet d'élargir considérablement le tableau des intégrales simples, car grâce à cette propriété les formules du tableau 1 sont valables non seulement pour la variable indépendante Et, mais aussi dans le cas où Et– une fonction différentiable d’une autre variable.

Par exemple,
, mais aussi
, Et
, Et
.

Ou
Et
, Et
.

L'essence de la méthode est d'isoler la différentielle d'une certaine fonction dans un intégral donné afin que cette différentielle isolée, avec le reste de l'expression, forme une formule tabulaire pour cette fonction. Si nécessaire, lors d'une telle conversion, des constantes peuvent être ajoutées en conséquence. Par exemple:

(dans le dernier exemple écrit ln(3 + X 2) au lieu de ln|3 + X 2 | , puisque l'expression est 3 + X 2 est toujours positif).

Exemple 3. Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;
;

V)
G)
;
;

d)
;
.

Solution.

UN).

e)

et)
;

.

h)

On utilise ici les formules 2a, 5a et 7a du tableau 1, dont les deux dernières sont obtenues précisément en subsumant le signe différentiel :

.

Intégrer les fonctions d'affichage

V)

.

se produit très souvent dans le cadre du calcul d'intégrales de fonctions plus complexes. Afin de ne pas répéter à chaque fois les étapes décrites ci-dessus, nous vous recommandons de retenir les formules correspondantes données dans le tableau 1.

La formule 3 du tableau 1 est utilisée ici.

.

c) De même, en tenant compte de que , on transforme :

La formule 2c du tableau 1 est utilisée ici.

.

d) ; Trouvez les intégrales :

e)
et) ;

V)
.

Solution.

h)

Exemple 4.

UN)
:

b)

a) Transformons :
,
.

La formule 3 du tableau 1 est également utilisée ici. Trouvez les intégrales :

UN)
; b) On utilise la formule pour réduire le degré

Les formules 2a et 7a du tableau 1 sont utilisées ici.
Ici, avec les formules 2 et 8 du tableau 1, les formules du tableau 3 sont également utilisées :
.

Solution.

Exemple 5.
b)
V) ; G) b un travail
peut être complété (voir formules 4 et 5 du tableau 3) au différentiel de la fonction
.

, Où

.

UN
Et
– des constantes éventuelles,
. En effet, d'où
Ensuite nous avons:

b) En utilisant la formule 6 du tableau 3, nous avons
, et
, ce qui signifie la présence dans l'intégrande du produit

.

signifie un indice : sous le signe différentiel, vous devez saisir l'expression

. On obtient donc Trouvez les intégrales :

UN)
; c) Idem qu'au point b), le produit
;

peut être étendu aux fonctions différentielles
. On obtient alors :
.

Solution.

UN)d) Nous utilisons d'abord les propriétés de linéarité de l'intégrale :
Exemple 6.

b)

V)

; G)

.

Étant donné que Trouvez les intégrales :

UN)
; b)
;

V)
; V)
.

Solution.

UN)Toutes les intégrales présentées dans cet exemple ont une caractéristique commune: L'intégrande contient un trinôme quadratique. Par conséquent, la méthode de calcul de ces intégrales sera basée sur la même transformation - mettant en évidence carré complet dans ce trinôme quadratique.

.

b)

.

V)

G)

La méthode de substitution d'un signe différentiel est une implémentation orale d'une méthode plus générale de calcul d'intégrale, appelée méthode de substitution ou de changement de variable. En effet, chaque fois, en sélectionnant dans le tableau 1 une formule appropriée pour celle obtenue en subsumant la fonction signe différentiel, nous avons mentalement remplacé la lettre Et fonction introduite sous le signe différentiel. Par conséquent, si l’intégration en subsumant le signe différentiel ne fonctionne pas très bien, vous pouvez directement modifier la variable. Plus de détails à ce sujet dans le paragraphe suivant.

La méthode d'intégration directe est basée sur la transformation de la fonction intégrande, en appliquant les propriétés de l'intégrale indéfinie et en réduisant l'expression de l'intégrande sous forme tabulaire.

Par exemple:

Examen

Examen

2. Méthode de substitution (remplacement de variable)

Cette méthode est basée sur l'introduction d'une nouvelle variable. Faisons une substitution dans l'intégrale :

;

On obtient donc :

Par exemple:

1)

Examen:

2)

Examen(basé sur la propriété n°2 de l'intégrale indéfinie) :

Intégré pièce par pièce

Laisser toi Et v - fonctions différenciables. Dévoilons le différentiel du produit de ces fonctions :

,

où

Intégrons l'expression résultante :

Par exemple:

Examen(basé sur la propriété n°1 de l'intégrale indéfinie) :

2)

Décidons

Examen(basé sur la propriété n°1 de l'intégrale indéfinie) :

PARTIE PRATIQUE

Problèmes à résoudre à la maison

Trouver l'intégrale :

UN) ; e) ;

peut être étendu aux fonctions différentielles ; h)

G) ; Et)

d) ; À)

UN) ; e) ;

V) ; h) ;

d) ; À) .

UN) ; V) ; d)

b) ; G) ; e)

Problèmes à résoudre sur exercices pratiques:

I. Méthode d'intégration directe

UN) ; et) ;

b) ; h) ;

peut être étendu aux fonctions différentielles ; Et)

G) ; À)

e) ; m)

II. Méthode de substitution (remplacement de variable)

G) ; À) ;

d) ; l) ;

III. Méthode d'intégration par parties

SUJET N°4

INTÉGRALE DÉFINIE

Dans les calculs mathématiques, il est souvent nécessaire de trouver l'incrément fonction primitive lorsque son argument change dans des limites spécifiées. Ce problème doit être résolu lors du calcul des aires et des volumes de diverses figures, lors de la détermination de la valeur moyenne d'une fonction, lors du calcul du travail force variable. Ces problèmes peuvent être résolus en calculant les intégrales définies correspondantes.

Objectif de la leçon :

1. Apprenez à calculer une intégrale définie en utilisant la formule de Newton-Leibniz.

2. Être capable d'appliquer le concept d'intégrale définie pour résoudre des problèmes appliqués.

PARTIE THÉORIQUE

LE CONCEPT D'INTÉGRALE DÉTERMINÉE ET SA SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE

Considérez le problème de trouver la zone trapèze courbé.

Soit une fonction donnée y=f(x), dont le graphique est représenté sur la figure.

Fig. 1. Signification géométrique Intégrale définie.

Sur l'axe 0x sélectionner des points “un" Et "V" et restaurez les perpendiculaires à partir d'eux jusqu'à ce qu'ils croisent la courbe. Une figure délimitée par une courbe, des perpendiculaires et un axe 0x appelé trapèze courbe. Divisons l'intervalle en un certain nombre de petits segments. Choisissons un segment arbitraire. Construisons un trapèze courbe correspondant à ce segment à un rectangle. L'aire d'un tel rectangle est déterminée comme suit :

Ensuite, l'aire de tous les rectangles complétés dans l'intervalle sera égale à :

;

Si chacun des segments est suffisamment petit et tend vers zéro, alors l'aire totale des rectangles tendra vers l'aire du trapèze courbe :

;

Ainsi, le problème du calcul de l'aire d'un trapèze curviligne se résume à déterminer la limite de la somme.

La somme intégrale est la somme des produits de l'incrément de l'argument et de la valeur de la fonction f(x) , pris à un moment donné dans l'intervalle dans les limites duquel l'argument change. Mathématiquement, le problème de trouver la limite de la somme intégrale si l'incrément de la variable indépendante tend vers zéro conduit au concept d'intégrale définie.

Fonction f(x ) dans un certain intervalle de x=une avant x=b intégrable s'il existe un nombre vers lequel tend la somme intégrale comme Dх®0 . Dans ce cas, le numéro J. appelé Intégrale définie les fonctions f(x) dans l'intervalle :

;

Où ] un, c[ – domaine d’intégration,

;-inférieur limite d'intégration,

V–limite supérieure d’intégration.

Ainsi, du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'aire de la figure, limité par le calendrier fonctionne dans un certain intervalle ] un, c [ et axe x.