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Dans un plan, les droites sont dites parallèles si elles n'ont pas points communs, c'est-à-dire qu'ils ne se croisent pas. Pour indiquer le parallélisme, utilisez une icône spéciale || (lignes parallèles a || b).
Pour les lignes situées dans l'espace, l'exigence qu'il n'y ait pas de points communs ne suffit pas - pour qu'elles soient parallèles dans l'espace, elles doivent appartenir au même plan (sinon elles se couperont).
Il n'est pas nécessaire d'aller bien loin pour trouver des exemples de lignes parallèles ; elles nous accompagnent partout, dans une pièce - ce sont les lignes d'intersection du mur avec le plafond et le sol, sur une feuille de cahier - les bords opposés, etc.
Il est bien évident qu'ayant deux droites parallèles et une troisième droite parallèle à l'une des deux premières, elle sera également parallèle à la seconde.
Les lignes parallèles sur un plan sont liées par une affirmation qui ne peut être prouvée à l'aide des axiomes de la planimétrie. C'est accepté comme un fait, comme un axiome : pour tout point du plan qui ne se trouve pas sur une droite, il existe une unique droite qui le traverse parallèlement à celle donnée. Tous les élèves de sixième connaissent cet axiome.
Sa généralisation spatiale, c'est-à-dire l'affirmation selon laquelle pour tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne, il existe une ligne unique qui le traverse parallèlement à celle donnée, est facilement prouvée en utilisant l'axiome déjà connu du parallélisme sur le avion.
Propriétés des lignes parallèles
- Si l’une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Les lignes parallèles dans le plan et dans l'espace ont cette propriété.
A titre d'exemple, considérons sa justification en stéréométrie.
Supposons que les droites b et la droite a soient parallèles.
Le cas où toutes les lignes droites se trouvent dans le même plan sera laissé à la planimétrie.
Supposons que a et b appartiennent au plan bêta et que gamma soit le plan auquel appartiennent a et c (par la définition du parallélisme dans l'espace, les lignes droites doivent appartenir au même plan).
Si nous supposons que les plans bêta et gamma sont différents et marquons un certain point B sur la ligne b à partir du plan bêta, alors le plan passant par le point B et la ligne c doit couper le plan bêta en ligne droite (notons-le b1) .
Si la droite b1 résultante coupait le plan gamma, alors, d'une part, le point d'intersection devrait se trouver sur a, puisque b1 appartient au plan bêta, et d'autre part, il devrait également appartenir à c, puisque b1 appartient au troisième plan.
Mais les droites parallèles a et c ne doivent pas se croiser.
Ainsi, la ligne b1 doit appartenir au plan betta et en même temps ne pas avoir de points communs avec a, donc, selon l'axiome du parallélisme, elle coïncide avec b.
Nous avons obtenu une droite b1 coïncidant avec la droite b, qui appartient au même plan que la droite c et ne la coupe pas, c'est-à-dire que b et c sont parallèles
- Par un point qui ne se trouve pas sur une droite donnée, une seule droite peut passer parallèlement à cette droite donnée.
- Deux droites situées sur un plan perpendiculaire au troisième sont parallèles.
- Si le plan coupe l’une des deux droites parallèles, la deuxième droite coupe également le même plan.
- Les angles internes correspondants et transversaux formés par l'intersection de deux droites parallèles avec une troisième sont égaux, la somme des angles internes unilatéraux formés est de 180°.
Les affirmations inverses sont également vraies, ce qui peut être considéré comme un signe du parallélisme de deux lignes droites.
Condition pour les lignes parallèles
Les propriétés et caractéristiques formulées ci-dessus représentent les conditions du parallélisme des lignes et peuvent être prouvées à l'aide des méthodes de géométrie. En d’autres termes, pour prouver le parallélisme de deux droites existantes, il suffit de prouver leur parallélisme à une troisième droite ou l’égalité des angles, qu’ils soient correspondants ou transversaux, etc.
Pour preuve, ils utilisent principalement la méthode « par contradiction », c'est-à-dire en faisant l'hypothèse que les droites ne sont pas parallèles. Sur la base de cette hypothèse, on peut facilement montrer que dans ce cas conditions données, par exemple, les angles internes sécants s'avèrent inégaux, ce qui prouve l'inexactitude de l'hypothèse formulée.
Cet article concerne les lignes parallèles et les lignes parallèles. Tout d'abord, la définition des lignes parallèles dans un plan et dans l'espace est donnée, des notations sont introduites, des exemples et des illustrations graphiques de lignes parallèles sont donnés. Ensuite, les signes et les conditions du parallélisme des lignes sont discutés. La conclusion montre des solutions tâches caractéristiques prouver le parallélisme des droites données par certaines équations de droites dans système rectangulaire coordonnées dans l'avion et dans espace tridimensionnel.
Navigation dans les pages.
Lignes parallèles - informations de base.
Définition.
Deux droites dans un plan s'appellent parallèle, s'ils n'ont pas de points communs.
Définition.
Deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées parallèle, s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.
Veuillez noter que la clause « si elles se trouvent dans le même plan » dans la définition des lignes parallèles dans l'espace est très importante. Précisons ce point : deux droites dans l'espace tridimensionnel qui n'ont pas de points communs et ne se situent pas dans le même plan ne sont pas parallèles, mais se coupent.
Voici quelques exemples de lignes parallèles. Les bords opposés de la feuille du cahier se trouvent sur des lignes parallèles. Les lignes droites le long desquelles le plan du mur de la maison coupe les plans du plafond et du sol sont parallèles. Les rails de chemin de fer sur terrain plat peuvent également être considérés comme des lignes parallèles.
Pour désigner des lignes parallèles, utilisez le symbole « ». Autrement dit, si les droites a et b sont parallèles, alors nous pouvons écrire brièvement a b.
Attention : si les lignes a et b sont parallèles, alors on peut dire que la ligne a est parallèle à la ligne b, et aussi que la ligne b est parallèle à la ligne a.
Exprimons la déclaration qui joue rôle important lors de l'étude de droites parallèles sur un plan : par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Cette affirmation est acceptée comme un fait (elle ne peut être prouvée sur la base des axiomes connus de la planimétrie), et elle est appelée l'axiome des lignes parallèles.
Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème est facilement prouvé en utilisant l'axiome ci-dessus des lignes parallèles (vous pouvez trouver sa preuve dans le manuel de géométrie pour les classes 10-11, qui est répertorié à la fin de l'article dans la liste des références).
Pour le cas de l'espace, le théorème est valable : par tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée. Ce théorème peut être facilement prouvé en utilisant l’axiome des lignes parallèles ci-dessus.
Parallélisme des lignes - signes et conditions du parallélisme.
Un signe de parallélisme des lignes est état suffisant parallélisme des lignes, c'est-à-dire une condition dont le respect garantit le parallélisme des lignes. En d’autres termes, la réalisation de cette condition suffit à établir le fait que les droites sont parallèles.
Il existe également des conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites dans un plan et dans un espace tridimensionnel.
Expliquons le sens de l'expression « condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles ».
Nous avons déjà traité de la condition suffisante pour les droites parallèles. Et qu'est-ce que " condition nécessaire parallélisme des lignes" ? Du nom « nécessaire », il ressort clairement que le respect de cette condition est nécessaire pour les lignes parallèles. En d’autres termes, si la condition nécessaire pour que les droites soient parallèles n’est pas remplie, alors les droites ne sont pas parallèles. Ainsi, condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles est une condition dont la réalisation est à la fois nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles. C'est-à-dire que, d'une part, c'est un signe de parallélisme des lignes, et d'autre part, c'est une propriété que possèdent les lignes parallèles.
Avant de formuler une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, il convient de rappeler plusieurs définitions auxiliaires.
Ligne sécante est une ligne qui coupe chacune de deux lignes données non coïncidentes.
Lorsque deux lignes droites coupent une transversale, huit lignes non développées se forment. Dans la formulation de la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites, la soi-disant couché en travers, correspondant Et angles unilatéraux. Montrons-les dans le dessin.
Théorème.
Si deux droites d'un plan sont coupées par une transversale, alors pour qu'elles soient parallèles, il faut et il suffit que les angles qui se coupent soient égaux, ou angles correspondantsétaient égaux, ou la somme des angles unilatéraux était égale à 180 degrés.
Montrons une illustration graphique de cette condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan.
Vous pouvez trouver des preuves de ces conditions pour le parallélisme des droites dans les manuels de géométrie de la 7e à la 9e année.
Notez que ces conditions peuvent également être utilisées dans un espace tridimensionnel - l'essentiel est que les deux droites et la sécante se trouvent dans le même plan.
Voici quelques autres théorèmes souvent utilisés pour prouver le parallélisme des droites.
Théorème.
Si deux droites d’un plan sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère découle de l'axiome des droites parallèles.
Il existe une condition similaire pour les lignes parallèles dans l’espace tridimensionnel.
Théorème.
Si deux droites dans l’espace sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. La preuve de ce critère est discutée dans les cours de géométrie en 10e année.
Illustrons les théorèmes énoncés.
Présentons un autre théorème qui permet de prouver le parallélisme des droites sur un plan.
Théorème.
Si deux droites d’un plan sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles.
Il existe un théorème similaire pour les lignes dans l’espace.
Théorème.
Si deux droites dans un espace tridimensionnel sont perpendiculaires au même plan, alors elles sont parallèles.
Dessinons des images correspondant à ces théorèmes.
Tous les théorèmes, critères et conditions nécessaires et suffisantes formulés ci-dessus sont excellents pour prouver le parallélisme des droites à l'aide des méthodes géométriques. Autrement dit, pour prouver le parallélisme de deux droites données, vous devez montrer qu'elles sont parallèles à une troisième droite, ou montrer l'égalité des angles transversaux, etc. Beaucoup tâches similaires résolu dans les cours de géométrie en lycée. Cependant, il convient de noter que dans de nombreux cas, il est pratique d'utiliser la méthode des coordonnées pour prouver le parallélisme de droites sur un plan ou dans un espace tridimensionnel. Formulons les conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des droites spécifiées dans un système de coordonnées rectangulaires.
Parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaires.
Dans ce paragraphe de l'article nous formulerons conditions nécessaires et suffisantes pour les lignes parallèles dans un système de coordonnées rectangulaires, selon le type d'équations définissant ces droites, et nous présentons également solutions détaillées tâches caractéristiques.
Commençons par la condition de parallélisme de deux droites sur un plan dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy. Sa preuve repose sur la définition du vecteur directeur d'une droite et sur la définition du vecteur normal d'une droite sur un plan.
Théorème.
Pour que deux droites non coïncidentes soient parallèles dans un plan, il faut et suffisant que les vecteurs directeurs de ces droites soient colinéaires, ou que les vecteurs normaux de ces droites soient colinéaires, ou que le vecteur directeur d'une droite soit perpendiculaire à la normale. vecteur de la deuxième ligne.
Évidemment, la condition de parallélisme de deux droites sur un plan se réduit à (vecteurs directeurs des droites ou vecteurs normaux des droites) ou à (vecteur directeur d'une droite et vecteur normal de la deuxième droite). Ainsi, si et sont des vecteurs directeurs des droites a et b, et 
Et 
sont des vecteurs normaux des droites a et b, respectivement, alors la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites a et b s'écrira sous la forme 
, ou 
, ou , où t est un nombre réel. À leur tour, les coordonnées des guides et (ou) des vecteurs normaux des droites a et b sont trouvées par équations connues droit
En particulier, si la droite a dans le système de coordonnées rectangulaires Oxy sur le plan définit une équation générale de droite de la forme 
, et la droite b - 
, alors les vecteurs normaux de ces lignes ont des coordonnées et, respectivement, et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrira .
Si la droite a correspond à l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire de la forme , et la droite b - , alors les vecteurs normaux de ces droites ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme de ces droites prend la forme 
. Par conséquent, si les lignes droites sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires sont parallèles et peuvent être spécifiées par des équations de lignes droites avec des coefficients angulaires, alors pistes les lignes droites seront égales. Et vice versa : si des lignes non coïncidentes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires peuvent être spécifiées par des équations d'une ligne avec des coefficients angulaires égaux, alors ces lignes sont parallèles.
Si une ligne a et une ligne b dans un système de coordonnées rectangulaires sont déterminées par les équations canoniques d'une ligne sur un plan de la forme 
Et 
, ou équations paramétriques d'une droite sur un plan de la forme 
Et 
par conséquent, les vecteurs directeurs de ces lignes ont des coordonnées et , et la condition de parallélisme des lignes a et b s'écrit .
Examinons les solutions de plusieurs exemples.
Exemple.
Les lignes sont-elles parallèles ? 
Et ?
Solution.
Réécrivons l'équation d'une droite en segments sous la forme équation générale direct: 
. Nous pouvons maintenant voir que c'est le vecteur normal de la droite , a est le vecteur normal de la droite. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, puisqu'il n'existe pas de tel nombre réel t pour lequel l'égalité ( 
). Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites sur un plan n’est pas remplie, donc les droites données ne sont pas parallèles.
Répondre:
Non, les lignes ne sont pas parallèles.
Exemple.
Les lignes droites et parallèles sont-elles ?
Solution.
Donnons équation canonique droite à l'équation d'une droite à coefficient angulaire : . Évidemment, les équations des lignes et ne sont pas les mêmes (dans ce cas, les lignes données seraient les mêmes) et les coefficients angulaires des lignes sont égaux, donc les lignes originales sont parallèles.
Dans la section sur la question comment prouver que les droites sont parallèles ???? donné par l'auteur Alyonka Yakovleva la meilleure réponse est Propriétés des lignes parallèles
Théorème
Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles.
Preuve.
Soient les lignes a et b parallèles à la ligne c. Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point C. Il s'avère que passant par le point C, il y a deux droites parallèles à la droite c. Mais cela contredit l’axiome « Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, on peut tracer sur le plan au plus une droite parallèle à celle donnée ». Le théorème a été prouvé.
Théorème
Si deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite, alors les angles intérieurs qui se coupent sont égaux.
Preuve.
Soient des droites parallèles a et b coupées par une droite sécante c. La ligne c coupe la ligne a au point A et la ligne b au point B. Traçons la ligne a1 passant par le point A de sorte que les lignes a1 et b avec transversale c forment des angles internes égaux situés transversalement. Selon le critère de parallélisme des droites, les droites a1 et b sont parallèles. Et comme une seule ligne parallèle à b peut être tracée passant par le point A, alors a et a1 coïncident.
Cela signifie que les angles transversaux internes formés par les lignes a et b sont égaux. Le théorème a été prouvé.
Sur la base du théorème, il est prouvé :
Si deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite, alors les angles correspondants sont égaux.
Si deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite, alors la somme des angles intérieurs unilatéraux est de 180º.
Instructions
Avant de commencer la preuve, assurez-vous que les lignes se trouvent dans le même plan et peuvent être tracées dessus. La plupart d'une manière simple La preuve est la méthode de mesure de la règle. Pour ce faire, utilisez une règle pour mesurer la distance entre les lignes droites à plusieurs endroits les plus éloignés possible. Si la distance reste inchangée, les lignes données sont parallèles. Mais cette méthode n’est pas assez précise, il est donc préférable d’utiliser d’autres méthodes.
Tracez une troisième ligne de manière à ce qu'elle coupe les deux lignes parallèles. Il forme avec eux quatre coins extérieurs et quatre coins intérieurs. Considérez les coins intérieurs. Ceux qui passent par la ligne sécante sont appelés couchés croisés. Ceux qui se trouvent d'un côté sont appelés unilatéraux. À l’aide d’un rapporteur, mesurez les deux angles d’intersection internes. Si elles sont égales entre elles, alors les droites seront parallèles. En cas de doute, mesurez les angles internes unilatéraux et additionnez les valeurs résultantes. Les droites seront parallèles si la somme des droites unilatérales coins internes sera égal à 180º.
Si vous n'avez pas de rapporteur, utilisez une équerre à 90º. Utilisez-le pour construire une perpendiculaire à l’une des lignes. Après cela, continuez cette perpendiculaire pour qu'elle coupe une autre ligne. À l’aide du même carré, vérifiez sous quel angle cette perpendiculaire le coupe. Si cet angle est également de 90º, alors les lignes sont parallèles entre elles.
Dans le cas où les lignes sont données en Système cartésien coordonnées, trouver leur direction ou leurs vecteurs normaux. Si ces vecteurs sont respectivement colinéaires les uns aux autres, alors les droites sont parallèles. Réduisez l'équation des droites à une forme générale et trouvez les coordonnées du vecteur normal de chaque droite. Ses coordonnées sont égales aux coefficients A et B. Si le rapport des coordonnées correspondantes des vecteurs normaux est le même, ils sont colinéaires et les droites sont parallèles.
Par exemple, les droites sont données par les équations 4x-2y+1=0 et x/1=(y-4)/2. La première équation est vue générale, le second – canonique. Ramenez la deuxième équation à sa forme générale. Utilisez la règle de conversion de proportion pour cela, le résultat est 2x=y-4. Après réduction à la forme générale, vous obtenez 2x-y+4=0. Puisque l’équation générale pour toute ligne s’écrit Ax+By+C=0, alors pour la première ligne : A=4, B=2, et pour la deuxième ligne A=2, B=1. Pour la première coordonnée directe du vecteur normal (4;2), et pour la seconde – (2;1). Trouvez le rapport des coordonnées correspondantes des vecteurs normaux 4/2=2 et 2/1=2. Ces nombres sont égaux, ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires. Puisque les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.
