24.1. Concept de fonction différentielle

Soit la fonction y=ƒ(x) avoir une dérivée non nulle au point x.

Alors, d'après le théorème sur le lien entre une fonction, sa limite et une fonction infinitésimale, on peut écrire D у/D x=ƒ"(x)+α, où α→0 à ∆х→0, ou ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Ainsi, l'incrément de la fonction ∆у est la somme de deux termes ƒ"(х) ∆х et а ∆х, qui sont infinitésimaux pour ∆x→0. Dans ce cas, le premier terme est infiniment petite fonction du même ordre que ∆x, puisque et le deuxième terme est une fonction infinitésimale de plus ordre élevé, que ∆x :

Par conséquent, le premier terme ƒ"(x) ∆x est appelé partie principale incréments fonctions ∆у.

Fonction différentielle y=ƒ(x) au point x est appelé partie principale ses incréments, égal au produit dérivée de la fonction par l'incrément de l'argument, et est notée dу (ou dƒ(x)) :

dy=ƒ"(x) ∆х. (24.1)

Le différentiel dу est également appelé différentiel du premier ordre. Trouvons la différentielle de la variable indépendante x, c'est-à-dire la différentielle de la fonction y=x.

Puisque y"=x"=1, alors, d'après la formule (24.1), on a dy=dx=∆x, c'est-à-dire que le différentiel de la variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable : dx=∆x.

Par conséquent, la formule (24.1) peut s’écrire comme suit :

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

autrement dit, la différentielle d'une fonction est égale au produit de la dérivée de cette fonction et de la différentielle de la variable indépendante.

De la formule (24.2) découle l'égalité dy/dx=ƒ"(x). Maintenant la notation

la dérivée dy/dx peut être considérée comme le rapport des différentiels dy et dx.

<< Пример 24.1

Trouver la différentielle de la fonction ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Solution : En utilisant la formule dy=ƒ"(x) dx on trouve

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Trouver la différentielle d'une fonction

Calculez dy pour x=0, dx=0,1.

Solution:

En remplaçant x=0 et dx=0.1, nous obtenons

24.2. Signification géométrique de la fonction différentielle

Découvrons la signification géométrique du différentiel.

Pour ce faire, traçons une tangente MT au graphique de la fonction y=ƒ(x) au point M(x; y) et considérons l'ordonnée de cette tangente pour le point x+∆x (voir Fig. 138). Dans la figure ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Du triangle rectangle MAV on a :

Mais, selon la signification géométrique de la dérivée, tga=ƒ"(x). Donc, AB=ƒ"(x) ∆x.

En comparant le résultat obtenu avec la formule (24.1), on obtient dy=AB, c'est-à-dire que la différentielle de la fonction y=ƒ(x) au point x est égale à l'incrément en ordonnée de la tangente au graphique de la fonction en ce point point, lorsque x reçoit un incrément ∆x.

C'est la signification géométrique du différentiel.

24.3 Théorèmes de base sur les différentielles

Les théorèmes de base sur les différentielles peuvent être facilement obtenus en utilisant la connexion entre la différentielle et la dérivée d'une fonction (dy=f"(x)dx) et les théorèmes correspondants sur les dérivées.

Par exemple, puisque la dérivée de la fonction y=c est égale à zéro, alors la différentielle d'une valeur constante est égale à zéro : dy=с"dx=0 dx=0.

Théorème 24.1. La différentielle de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions différentiables est déterminée par les formules suivantes :

Démontrons, par exemple, la deuxième formule. Par définition du différentiel on a :

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Théorème 24.2. La différentielle d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la différentielle de cet argument intermédiaire.

Soient y=ƒ(u) et u=φ(x) deux fonctions différentiables qui forment une fonction complexe y=ƒ(φ(x)). En utilisant le théorème sur la dérivée d'une fonction complexe, on peut écrire

y" x = y" u u" x.

En multipliant les deux côtés de cette égalité par dx, on apprend y" x dx=y" u u" x dx. Mais y" x dx=dy et u" x dx=du. Par conséquent, la dernière égalité peut être réécrite comme suit :

dy=y" tu du.

En comparant les formules dy=y" x dx et dy=y" u du, nous voyons que la première différentielle de la fonction y=ƒ(x) est déterminée par la même formule, que son argument soit une variable indépendante ou une fonction d’un autre argument.

Cette propriété d'un différentiel est appelée invariance (immuabilité) de la forme du premier différentiel.

La formule dy=y" x dx en apparence coïncide avec la formule dy=y" u du, mais il y a une différence fondamentale entre elles : dans la première formule x est une variable indépendante, donc dx=∆x, dans la seconde formule il existe une fonction de x , donc, d'une manière générale, du≠∆u.

En utilisant la définition d'une différentielle et les théorèmes de base sur les différentielles, il est facile de convertir un tableau de dérivées en tableau de différentielles.

Par exemple : d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Tableau différentiel

24.5. Application d'un différentiel pour des calculs approximatifs

Comme on le sait déjà, l'incrément ∆у de la fonction у=ƒ(x) au point x peut être représenté par ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, où α→0 à ∆х→0, ou ∆у= dy+α ∆х En écartant l'infinitésimal α ∆х d'ordre supérieur à ∆х, nous obtenons une égalité approximative.

∆у≈dy, (24.3)

De plus, cette égalité est d’autant plus précise que ∆х est petit.

Cette égalité nous permet de calculer approximativement l'incrément de toute fonction différentiable avec une grande précision.

La différentielle est généralement beaucoup plus simple à trouver que l'incrément d'une fonction, c'est pourquoi la formule (24.3) est largement utilisée dans la pratique informatique.

<< Пример 24.3

Trouvez la valeur approximative de l'incrément de la fonction y=x 3 -2x+1 à x=2 et ∆x=0,001.

Solution : Nous appliquons la formule (24.3) : ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Donc, ∆у» 0,01.

Voyons quelle erreur a été commise en calculant la différentielle d'une fonction au lieu de son incrément. Pour ce faire, on trouve ∆у :

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

L'erreur absolue de l'approximation est

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

En substituant les valeurs de ∆у et dy dans l'égalité (24.3), on obtient

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

La formule (24.4) est utilisée pour calculer les valeurs approximatives des fonctions.

<< Пример 24.4

Calculez approximativement arctan (1,05).

Solution : Considérons la fonction ƒ(x)=arctgx. D'après la formule (24.4) on a :

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

c'est à dire.

Puisque x+∆x=1,05, alors pour x=1 et ∆x=0,05 on obtient :

On peut montrer que l'erreur absolue de la formule (24.4) ne dépasse pas la valeur M (∆x) 2, où M est la plus grande valeur de |ƒ"(x)| sur le segment [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Quelle distance un corps parcourra-t-il lors d'une chute libre sur la Lune en 10,04 s à compter du début de la chute ? Équation de chute libre d'un corps

H = g l t 2 /2, g l = 1,6 m/s 2.

Solution : Nous devons trouver H(10,04). Utilisons la formule approximative (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. À t=10 s et ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, on trouve

Problème (pour solution indépendante). Un corps de masse m=20 kg se déplace avec une vitesse ν=10,02 m/s. Calculer approximativement l'énergie cinétique du corps

24.6. Différentiels d’ordre supérieur

Soit y=ƒ(x) une fonction différentiable, et soit son argument x variable indépendante. Alors sa première différentielle dy=ƒ"(x)dx est aussi fonction de x ; la différentielle de cette fonction peut être trouvée.

Le différentiel du différentiel de la fonction y=ƒ(x) est appelé son deuxième différentiel(ou différentielle du second ordre) et est noté d 2 y ou d 2 ƒ(x).

Donc, par définition, d 2 y=d(dy). Trouvons l'expression de la deuxième différentielle de la fonction y=ƒ(x).

Puisque dx=∆х ne dépend pas de x, alors lors de la différenciation nous considérons dx constant :

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 c'est-à-dire .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24.5)

Ici, dx 2 signifie (dx) 2.

La différentielle du troisième ordre est définie et trouvée de la même manière

ré 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .

Et, en général, une différentielle du nième ordre est une différentielle d'une différentielle du (n-1)ième ordre : d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

De là on constate que, en particulier, pour n=1,2,3

on obtient donc :

c'est-à-dire que la dérivée d'une fonction peut être considérée comme le rapport de sa différentielle d'ordre approprié au degré correspondant de la différentielle de la variable indépendante.

Notez que toutes les formules ci-dessus ne sont valables que si x est une variable indépendante. Si la fonction y=ƒ(x), où x est fonction d'une autre variable indépendante, alors les différentiels du deuxième ordre et des ordres supérieurs n'ont pas la propriété d'invariance de forme et sont calculés à l'aide d'autres formules. Montrons cela en utilisant l'exemple d'une différentielle du second ordre.

En utilisant la formule différentielle des produits (d(uv)=vdu+udv), on obtient :

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , c'est à dire.

ré 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) ré 2 x.

(24.6)

En comparant les formules (24.5) et (24.6), nous sommes convaincus que dans le cas d'une fonction complexe, la formule différentielle du second ordre change : le deuxième terme ƒ"(x) d 2 x apparaît.

Il est clair que si x est une variable indépendante, alors

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

<< Пример 24.6

et la formule (24.6) entre dans la formule (24.5).

Trouvez d 2 y si y = e 3x et x est une variable indépendante.

<< Пример 24.7

Solution : Puisque y"=3e 3x, y"=9e 3x, alors d'après la formule (24.5) nous avons d 2 y=9e 3x dx 2.

Trouvez d 2 y si y=x 2 et x=t 3 +1 et t est une variable indépendante.

Solution : On utilise la formule (24.6) : puisque

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 , Que 2

d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt

Autre solution : y=x 2, x=t 3 +1. Par conséquent, y=(t 3 +1) 2. ¢¢ Alors selon la formule (24.5)

d 2 oui = oui

dt2,
ré 2 oui=(30t 4 +12t)dt 2 .

Dérivées partielles d'une fonction de deux variables. Concept et exemples de solutions Dans cette leçon, nous continuerons notre connaissance de la fonction de deux variables et considérerons peut-être la tâche thématique la plus courante : trouver

dérivées partielles du premier et du deuxième ordre, ainsi que la différentielle totale de la fonction . En règle générale, les étudiants à temps partiel rencontrent des dérivées partielles en 1ère année au 2ème semestre. De plus, selon mes observations, la tâche de trouver des dérivées partielles apparaît presque toujours à l'examen. Pour étudier efficacement le matériel ci-dessous, vous nécessaireêtre capable de trouver avec plus ou moins de confiance des dérivées « ordinaires » de fonctions d'une variable. Vous pouvez apprendre à gérer correctement les dérivés dans les leçons Comment trouver la dérivée ?. Nous aurons également besoin d'un tableau des dérivées des fonctions élémentaires et des règles de différenciation ; il est plus pratique s'il est à portée de main sous forme imprimée. Vous pouvez obtenir du matériel de référence sur la page Formules et tableaux mathématiques.

Reprenons rapidement la notion de fonction à deux variables, je vais essayer de me limiter au strict minimum. Une fonction de deux variables s'écrit généralement sous la forme , les variables étant appelées variables indépendantes ou arguments.

Exemple : – fonction de deux variables.

Parfois, la notation est utilisée. Il existe également des tâches dans lesquelles une lettre est utilisée à la place d'une lettre.

D'un point de vue géométrique, une fonction à deux variables représente le plus souvent une surface dans un espace tridimensionnel (plan, cylindre, sphère, paraboloïde, hyperboloïde, etc.). Mais, en fait, il s’agit plutôt de géométrie analytique, et à notre ordre du jour se trouve l’analyse mathématique, que mon professeur d’université ne m’a jamais laissé écarter et qui constitue mon « point fort ».

Passons à la question de la recherche des dérivées partielles du premier et du second ordre. J'ai une bonne nouvelle pour ceux qui ont bu quelques tasses de café et qui se tournent vers un matériel incroyablement difficile : les dérivées partielles sont presque les mêmes que les dérivées « ordinaires » d’une fonction d’une variable.

Pour les dérivées partielles, toutes les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Il n'y a que quelques petites différences, que nous allons connaître maintenant :

...oui, d'ailleurs, pour ce sujet que j'ai créé petit livre pdf, qui vous permettra de « vous mettre sous la dent » en quelques heures seulement. Mais en utilisant le site, vous obtiendrez certainement le même résultat - juste peut-être un peu plus lentement :

Exemple 1

Trouver les dérivées partielles du premier et du deuxième ordre de la fonction

Commençons par trouver les dérivées partielles du premier ordre. Il y a deux d'entre eux.

Désignations:
ou – dérivée partielle par rapport à « x »
ou – dérivée partielle par rapport à « y »

Commençons avec . Lorsque l'on trouve la dérivée partielle par rapport à « x », la variable est considérée comme une constante (nombre constant).

Commentaires sur les actions réalisées :

(1) La première chose que nous faisons pour trouver la dérivée partielle est de conclure tous fonction entre parenthèses sous le premier avec indice.

Attention, important ! NOUS NE PERDONS PAS d'indices pendant le processus de résolution. Dans ce cas, si vous dessinez un « trait » quelque part sans , alors l'enseignant, au minimum, peut le placer à côté du devoir (mordre immédiatement une partie du point pour inattention).

(2) Nous utilisons les règles de différenciation , . Pour un exemple simple comme celui-ci, les deux règles peuvent facilement être appliquées en une seule étape. Faites attention au premier terme : puisque est considéré comme une constante, et toute constante peut être retirée du signe dérivé, puis nous le mettons entre parenthèses. Autrement dit, dans cette situation, ce n'est pas mieux qu'un numéro ordinaire. Examinons maintenant le troisième terme : ici, au contraire, il n'y a rien à retirer. Puisqu'il s'agit d'une constante, c'est aussi une constante, et en ce sens ce n'est pas mieux que le dernier terme - « sept ».

(3) Nous utilisons des dérivées tabulaires et .

(4) Simplifions ou, comme j’aime le dire, « ajustons » la réponse.

Maintenant . Quand on trouve la dérivée partielle par rapport à « y », alors la variableconsidéré comme une constante (nombre constant).

(1) Nous utilisons les mêmes règles de différenciation , . Dans le premier terme on retire la constante du signe de la dérivée, dans le deuxième terme on ne peut rien retirer puisque c'est déjà une constante.

(2) On utilise la table des dérivées des fonctions élémentaires. Remplaçons mentalement tous les « X » du tableau par des « I ». Autrement dit, ce tableau est également valable pour (et même pour presque toutes les lettres). En particulier, les formules que nous utilisons ressemblent à ceci : et .

Quelle est la signification des dérivées partielles ?

Essentiellement, les dérivées partielles du 1er ordre ressemblent à dérivé "ordinaire":

- Ce les fonctions, qui caractérisent taux de changement fonctionne dans la direction des axes et, respectivement. Ainsi, par exemple, la fonction caractérise la raideur des « montées » et des « pentes » surface dans la direction de l'axe des abscisses, et la fonction nous renseigne sur le « relief » de la même surface dans la direction de l'axe des ordonnées.

! Note : nous entendons ici les directions qui parallèle axes de coordonnées.

Pour une meilleure compréhension, considérons un point spécifique du plan et calculons la valeur de la fonction (« hauteur ») en ce point :
– et imaginez maintenant que vous êtes ici (À LA surface).

Calculons la dérivée partielle par rapport à "x" en un point donné :

Le signe négatif de la dérivée « X » nous renseigne sur décroissant fonctionne en un point dans la direction de l’axe des abscisses. En d’autres termes, si nous faisons un petit, petit (infinitésimal) faire un pas vers la pointe de l'axe (parallèle à cet axe), puis nous descendrons la pente de la surface.

Découvrons maintenant la nature du « terrain » dans la direction de l'axe des ordonnées :

La dérivée par rapport au « y » est positive, donc en un point dans la direction de l'axe la fonction augmente. Pour faire simple, nous attendons ici une montée ascendante.

De plus, la dérivée partielle en un point caractérise taux de changement fonctions dans le domaine concerné. Plus la valeur résultante est grande module– plus la surface est raide, et inversement, plus elle est proche de zéro, plus la surface est plate. Ainsi, dans notre exemple, la « pente » dans le sens de l'axe des abscisses est plus raide que la « montagne » dans le sens de l'axe des ordonnées.

Mais c’étaient deux chemins privés. Il est bien clair qu'au point où nous en sommes, (et en général depuis n'importe quel point d'une surface donnée) nous pouvons aller dans une autre direction. Ainsi, il y a un intérêt à créer une « carte de navigation » générale qui nous renseignerait sur le « paysage » de la surface. si possibleà chaque point domaine de définition de cette fonction sur tous les chemins disponibles. J'en parlerai et d'autres choses intéressantes dans l'une des leçons suivantes, mais pour l'instant revenons à l'aspect technique du problème.

Systématisons les règles élémentaires appliquées :

1) Lorsque l'on différencie par rapport à , la variable est considérée comme une constante.

2) Lorsque la différenciation est effectuée selon, alors est considéré comme une constante.

3) Les règles et la table des dérivées des fonctions élémentaires sont valables et applicables pour toute variable (ou toute autre) par laquelle s'effectue la différenciation.

Deuxième étape. Trouver des dérivées partielles du second ordre. Il y en a quatre.

Désignations:
ou – dérivée seconde par rapport à « x »
ou – dérivée seconde par rapport à « y »
ou - mixte dérivé de "x par igr"
ou - mixte dérivé de "Y"

Il n'y a aucun problème avec la dérivée seconde. En termes simples, la dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première.

Pour plus de commodité, je vais réécrire les dérivées partielles du premier ordre déjà trouvées :

Tout d'abord, trouvons les dérivées mixtes :

Comme vous pouvez le voir, tout est simple : nous prenons la dérivée partielle et la différencions à nouveau, mais dans ce cas - cette fois selon le « Y ».

De même:

Dans des exemples pratiques, vous pouvez vous concentrer sur l'égalité suivante:

Ainsi, grâce aux dérivées mixtes du second ordre, il est très pratique de vérifier si nous avons trouvé correctement les dérivées partielles du premier ordre.

Trouvez la dérivée seconde par rapport à « x ».
Pas d'inventions, prenons-le et différenciez-le par « x » à nouveau :

De même:

Il convient de noter que lors de la recherche, vous devez montrer attention accrue, puisqu'il n'y a pas d'égalités miraculeuses pour les vérifier.

Les dérivées secondes trouvent également de nombreuses applications pratiques, en particulier, elles sont utilisées dans le problème de la recherche extrema d'une fonction de deux variables. Mais tout a son heure :

Exemple 2

Calculez les dérivées partielles du premier ordre de la fonction au point. Trouver des dérivées du second ordre.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponses à la fin de la leçon). Si vous avez des difficultés à différencier les racines, retournez à la leçon nécessaire En général, vous apprendrez très bientôt à trouver de tels dérivés « à la volée ».

Améliorons-nous avec des exemples plus complexes :

Exemple 3

Regarde ça . Notez le différentiel total de premier ordre.

Solution : Trouver les dérivées partielles du premier ordre :

Faites attention à l'indice : , à côté du « X » il n'est pas interdit d'écrire entre parenthèses qu'il s'agit d'une constante. Cette note peut être très utile aux débutants pour faciliter la navigation dans la solution.

D'autres commentaires:

(1) Nous prenons toutes les constantes en dehors du signe de la dérivée. Dans ce cas, et , et donc leur produit est considéré comme un nombre constant.

(2) N’oubliez pas comment différencier correctement les racines.

(1) Nous retirons toutes les constantes du signe de la dérivée ; dans ce cas, la constante est .

(2) Sous le nombre premier, il nous reste le produit de deux fonctions, nous devons donc utiliser la règle pour différencier le produit .

(3) N'oubliez pas qu'il s'agit d'une fonction complexe (bien que la plus simple des complexes). Nous utilisons la règle correspondante : .

On trouve maintenant les dérivées mixtes du second ordre :

Cela signifie que tous les calculs ont été effectués correctement.

Écrivons le différentiel total. Dans le contexte de la tâche considérée, cela n'a aucun sens de dire quelle est la différentielle totale d'une fonction de deux variables. Il est important que cette différence très souvent doive être traduite en problèmes pratiques.

Différentiel total du premier ordre la fonction de deux variables a la forme :

Dans ce cas:

Autrement dit, il vous suffit de substituer bêtement les dérivées partielles du premier ordre déjà trouvées dans la formule. Dans cette situation et dans des situations similaires, il est préférable d'écrire les signes différentiels en numérateurs :

Et selon les demandes répétées des lecteurs, différentiel complet du deuxième ordre.

Cela ressemble à ceci :

Trouvons ATTENTIVEMENT les dérivées « à une lettre » du 2ème ordre :

et notez le « monstre », en « attachant » soigneusement les carrés, le produit et sans oublier de doubler la dérivée mixte :

Ce n'est pas grave si quelque chose vous semble difficile ; vous pouvez toujours revenir aux dérivés plus tard, après avoir maîtrisé la technique de différenciation :

Exemple 4

Trouver les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction . Regarde ça . Notez le différentiel total de premier ordre.

Regardons une série d'exemples avec des fonctions complexes :

Exemple 5

Trouvez les dérivées partielles du premier ordre de la fonction.

Solution:

Exemple 6

Trouver les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction .
Notez le différentiel total.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon). Je ne vais pas vous donner une solution complète car c'est assez simple.

Très souvent, toutes les règles ci-dessus sont appliquées en combinaison.

Exemple 7

Trouver les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction .

(1) On utilise la règle de différenciation de la somme

(2) Le premier terme dans ce cas est considéré comme une constante, puisqu'il n'y a rien dans l'expression qui dépend du « x » - seulement « y ». Vous savez, c’est toujours sympa quand une fraction peut être transformée en zéro). Pour le deuxième terme nous appliquons la règle de différenciation des produits. D'ailleurs, en ce sens, rien n'aurait changé si une fonction avait été donnée à la place - l'important est qu'ici produit de deux fonctions, CHACUN d’entre eux dépend de "X", et par conséquent, vous devez utiliser la règle de différenciation des produits. Pour le troisième terme, nous appliquons la règle de différenciation d'une fonction complexe.

(1) Le premier terme du numérateur et du dénominateur contient un « y », vous devez donc utiliser la règle de différenciation des quotients : . Le deuxième terme dépend UNIQUEMENT de « x », ce qui signifie qu’il est considéré comme une constante et tend vers zéro. Pour le troisième terme nous utilisons la règle de différenciation d’une fonction complexe.

Pour les lecteurs qui ont courageusement atteint la fin de la leçon, je vais vous raconter une vieille anecdote de Mekhmatov pour vous détendre :

Un jour, un dérivé maléfique est apparu dans l’espace des fonctions et a commencé à différencier tout le monde. Toutes les fonctions sont dispersées dans tous les sens, personne ne veut se transformer ! Et une seule fonction ne s'enfuit pas. Le dérivé s'approche d'elle et lui demande :

- Pourquoi tu ne me fuis pas ?

- Ha. Mais je m’en fiche, car je suis « e à la puissance X », et tu ne me feras rien !

Ce à quoi le dérivé maléfique répond avec un sourire insidieux :

- C'est là que tu te trompes, je vais te différencier par « Y », donc tu devrais être un zéro.

Celui qui a compris la blague maîtrise les dérivés, au moins jusqu'au niveau « C »).

Exemple 8

Trouver les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution complète et un exemple du problème se trouvent à la fin de la leçon.

Eh bien, c'est presque tout. Enfin, je ne peux m’empêcher de plaire aux amateurs de mathématiques avec un exemple supplémentaire. Il ne s'agit même pas d'amateurs, chacun a un niveau de préparation mathématique différent - il y a des gens (et pas si rares) qui aiment rivaliser avec des tâches plus difficiles. Cependant, le dernier exemple de cette leçon n’est pas tant complexe que fastidieux d’un point de vue informatique.

Soit la fonction y = /(x) être dérivable au point x. Il se peut qu'en un point x le différentiel dy = f"(x)dx, considéré comme fonction de x, soit aussi une fonction différentiable. Il existe alors une différentielle du différentiel de cette fonction, qui est appelée la seconde -différentiel d'ordre de la fonction y = f(x) et est noté d2y Ainsi, les différentiels d'ordres supérieurs sont définis de la même manière : le différentiel d'ordre n dny de la fonction y = /(x) est le différentiel du (n - 1) différentielle d'ordre 1 de cette fonction. La différentielle dy est naturellement appelée différentielle d'ordre 1 de la fonction Y. = /(*) Trouvons des formules exprimant des différentielles d'ordres supérieurs. Soit y = /(x) une fonction de l'indépendant. variable x, ayant des différentiels de tout ordre. Alors où dx = Dz est un incrément de la variable indépendante x, qui ne dépend pas de la définition de x Puisque ici f"(x)dx est considéré comme une fonction de x, le facteur dx. est constant et peut être retiré du signe différentiel. Par conséquent, pour calculer d(f"(x)), nous appliquons la formule différentielle du premier ordre à la fonction f"(x). On obtient donc que la différentielle du second ordre d2y de la fonction y = f(x) au point x, correspondant à la même différentielle dx de la variable indépendante x, est déterminée par la formule où dx2 désigne (dx)2. En utilisant la méthode d'induction mathématique, nous obtenons la formule d'une différentielle d'ordre n. Différenciation d'une fonction définie paramétriquement. Limite et continuité d'une fonction vectorielle d'un argument scalaire. Dérivée d'une fonction vectorielle par rapport à son argument scalaire Règles de différenciation où. Soit donc maintenant une fonction dérivable un nombre de fois suffisant. Ensuite, en raison de l'invariance de la forme de la première différentielle, Ici, dans le cas général, il n'y a pas de valeur constante, donc, dans le cas où et est une variable indépendante, En comparant les formules, nous concluons que la deuxième différentielle ne ne pas avoir d'invariance de forme. Notez que si u est une fonction linéaire, c'est-à-dire Autrement dit, l’invariance de forme est préservée. §12. Différenciation d'une fonction définie paramétriquement Introduisons un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur le plan. Soit les fonctions et V(0) continues sur le segment a ^ t ^ (3 changements de paramètre. Si le paramètre t est considéré comme du temps, alors ces fonctions déterminent la loi de mouvement du point M de coordonnées sur le plan Définition. L'ensemble (M) de tous les points du plan, dont les coordonnées (x, y) sont déterminées par les équations (1), sont appelés /Moskomlu>u0ohm. Dans ce cas, on dit que la courbe est donnée sous forme paramétrique.d'une manière générale, il change de longueur et de direction (et dans certains cas, de point d'application, comme le vecteur vitesse). Définition. L'hodographe d'une fonction vectorielle n(t) est un ensemble de points qui trace la fin du vecteur a(t) lorsque l'argument t change, lorsque le début du vecteur a(f) est placé en un point fixe O dans espace. Hodographe a(<) есть вообше некоторая кривая L в пространстве (рис. 16). Годографом радиуса-вектора г движущейся точки будет сама траектория L этой точки. Уравнение или называется векторным уравнением кривой L. Уравнения называются параметрическими уравнениями этой кривой. Пример. Например, уравнения являются параметрическими уравнениями одного витка винтовой линии (рис. 17). Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Пусть вектор-функция а = a(t) определена в некоторой окрестности точки t = tc кроме, быть может, самой этой точки. Определение. Постоянный вектор А называется пределом вектор-функции а(£) при t t0, если для всякого е >0 il existe 6 > 0 tel que pour tout t ^ t0 satisfaisant la condition \t -

Soit y = f (x) une fonction différentiable et ses arguments une variable indépendante. Alors sa première différentielledy = f ′ (x)dx est aussi une fonction otx ; vous pouvez trouver le différentiel de cette fonction.

Le différentiel du différentiel de la fonction y = f (x) est appelé son deuxième différentiel(ou différentiel du deuxième ordre) et est noté d 2 y ou d 2 f (x) :

d 2 y = f′′ (x) dx2

Ici, dx 2 désigne (dx )2.

La différentielle du troisième ordre est définie et trouvée de la même manière : d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

En général, une différentielle du nième ordre est une différentielle d'une différentielle du (n- 1)ième ordre :d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx)n.

De là, nous trouvons que f (n) (x) = d n y. En particulier, pour n = 1, 2, 3 respectivement, on obtient : dx n

le rapport de son différentiel de l'ordre correspondant au degré correspondant du différentiel de la variable indépendante.

Notez que toutes les formules ci-dessus ne sont valables que si x est une variable indépendante.

Exemple. Trouvez d 2 y si y = e 3 x their est la variable indépendante. Solution : puisque y ′ = 3e 3 x ,y " = 9e 3 x, alors nous avons d 2 y = 9e 3 x dx 2.

Le règlement de L'Hôpital

Les règles de L'Hôpital permettent de révéler des incertitudes de la forme 0 0 et ∞ ∞, dites fondamentales.

Théorème 3. (Règle de L'Hôpital pour la divulgation des incertitudes de la forme 0 0 ).

Soient les fonctions f (x) et g (x) continues et dérivables au voisinage des points 0 et

Théorème 4. (Règle de L'Hôpital pour révéler les incertitudes de la forme ∞ ∞ ).

3 x

Exemple. Trouver lim tg 5 x

x → π 2

Les incertitudes de la forme , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ], sont réduites à deux manières principales par des transformations identiques.

Soit f (x)→ 0, et g (x)→ 0 dans → x 0. Alors les transformations suivantes sont évidentes :

Soit f (x)→ ∞, et g (x)→ ∞ viennent → x 0. Ensuite vous pouvez faire ceci :

Soit f (x)→ 1, et g (x)→ ∞, ou f (x)→ ∞, et g (x)→ 0, ou f (x)→ 0, et g (x)→ 0 à → x 0.

Pour trouver une limite de la forme lim f (x) g (x), rappelons la propriété du logarithme

x → x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Exemple. Trouver lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .

Différentiel... Pour certains c'est un beau mot lointain, mais pour d'autres c'est un mot incompréhensible associé aux mathématiques. Mais si c'est votre dur cadeau, notre article vous aidera à découvrir comment bien « préparer » le différentiel et avec quoi le « servir ».

Un service en ligne peut également vous aider à trouver le différentiel. Naturellement, vous ne l’utiliserez pas lors d’un test ou d’un examen. Mais lors d’une vérification indépendante de l’exactitude d’une décision, il est difficile de surestimer son rôle. En plus du résultat lui-même, il montre également des solutions intermédiaires, des graphiques et l'intégrale indéfinie de la fonction différentielle, ainsi que les racines de l'équation différentielle. Le seul inconvénient est que la fonction est écrite sur une seule ligne au fur et à mesure que vous tapez, mais avec le temps, vous pourrez vous y habituer. Eh bien, bien sûr, un tel service ne peut pas gérer des fonctions complexes, mais tout ce qui est plus simple dépend de lui.