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Type de cours: Une leçon de maîtrise et de consolidation des connaissances primaires.
Objectif de la leçon :
- Présentez aux élèves le concept des racines d’un polynôme et apprenez-leur à les trouver.
- Améliorez vos compétences en utilisant le schéma de Horner pour développer un polynôme par des puissances et diviser un polynôme par un binôme.
- Apprenez à trouver les racines d'une équation en utilisant le schéma de Horner.
- Développer la pensée abstraite.
- Favoriser une culture informatique.
Développement de liens interdisciplinaires.
Progression de la leçon
1. Moment organisationnel.
Informez le sujet de la leçon, formulez des objectifs.
2. Vérification des devoirs.
3. Étudier du nouveau matériel. = Soit Fn(x) - une n x n + une n-1 x n-1 +...+ une 1 x + une 0 un polynôme pour x de degré n, où a 0 , a 1 ,...,an sont donnés des nombres, et a 0 n'est pas égal à 0. Si le polynôme F n (x) est divisé avec le reste par binôme x-a , alors le quotient (quotient incomplet) est un polynôme Q n-1 (x) de degré n-1, le reste R est un nombre, et l'égalité est vraie F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) +R.
Le polynôme F n (x) n'est divisible par le binôme (x-a) que dans le cas de R=0. Théorème de Bezout : Reste R lors de la division d'un polynôme F n (x) par un binôme (x-a)égale à la valeur
polynôme F n (x) pour x=a, c'est-à-dire R = Pn(a).
Un peu d'histoire. Le théorème de Bezout, malgré son apparente simplicité et son évidence, est l'un des théorèmes fondamentaux de la théorie des polynômes. Ce théorème relie les propriétés algébriques des polynômes (qui permettent de traiter les polynômes comme des entiers) avec leurs propriétés fonctionnelles (qui permettent de traiter les polynômes comme des fonctions). Une façon de résoudre des équations de degré supérieur consiste à factoriser le polynôme du côté gauche de l’équation. Le calcul des coefficients du polynôme et du reste s'écrit sous la forme d'un tableau appelé schéma de Horner. Le schéma de Horner est un algorithme de division de polynômes, écrit pour le cas particulier où le quotient est égal à un binôme.
x–un équations algébriques. Développement d'une méthode de résolution approximative d'équations de tout degré. En 1819, il introduisit une méthode algèbre importante consistant à diviser un polynôme par un binôme x - a (schéma de Horner).
Conclusion formule générale pour le plan de Horner.
Diviser un polynôme f(x) avec un reste par un binôme (x-c) signifie trouver un polynôme q(x) et un nombre r tel que f(x)=(x-c)q(x)+r
Écrivons cette égalité en détail :
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Égalisons les coefficients aux mêmes degrés :
xn : f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1 : f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2 : f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0 : f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Démonstration du circuit Horner à l'aide d'un exemple.
Tâche 1. En utilisant le schéma de Horner, nous divisons le polynôme f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 avec le reste par le binôme x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, où g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 reste.
Développement d'un polynôme en puissances d'un binôme.
En utilisant le schéma de Horner, nous développons le polynôme f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 en puissances du binôme (x+2).
En conséquence, nous devrions obtenir le développement f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Le schéma de Horner est souvent utilisé lors de la résolution d'équations des troisième, quatrième degrés et supérieurs, lorsqu'il est pratique de développer le polynôme en un binôme x-a. Nombre un appelé racine du polynôme F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, si à x=une la valeur du polynôme F n (x) est égale à zéro : F n (a)=0, soit si le polynôme est divisible par le binôme x-a.
Par exemple, le nombre 2 est la racine du polynôme F 3 (x)=3x 3 -2x-20, puisque F 3 (2)=0. ça veut dire. Que la factorisation de ce polynôme contient un facteur x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Tout polynôme F n(x) de degré n Je ne peux plus en avoir n de vraies racines.
N'importe lequel racine entière l'équation à coefficients entiers est son diviseur membre gratuit.
Si le coefficient dominant de l’équation est 1, alors tout racines rationnelles les équations, si elles existent, sont entières.
Consolidation du matériel étudié.
Pour consolider le nouveau matériel, les élèves sont invités à compléter les numéros du manuel 2.41 et 2.42 (p. 65).
(2 élèves résolvent au tableau, et les autres, après avoir décidé, vérifient les devoirs dans le cahier avec les réponses au tableau).
En résumé.
Après avoir compris la structure et le principe de fonctionnement du schéma Horner, il peut également être utilisé dans les cours d'informatique, lorsque la question de la conversion d'entiers du système décimal en système binaire et vice versa est envisagée. La base du transfert d'un système numérique à un autre est le théorème général suivant
Théorème. Pour convertir un nombre entier Ap depuis p-système de numérotation aire vers système de numérotation de base d nécessaire Ap diviser séquentiellement avec le reste par nombre d, écrit de la même manière p-ary système jusqu'à ce que le quotient résultant devienne égal à zéro. Les restes de la division seront d-chiffres numériques Annonce, en commençant par la catégorie la plus jeune jusqu'à la catégorie la plus senior. Toutes les actions doivent être réalisées dans p-système de numérotation aire. Pour l'homme cette règle pratique seulement quand p= 10, soit en traduisant depuis système décimal. Quant à l’ordinateur, au contraire, il est « plus pratique » pour lui d’effectuer des calculs dans le système binaire. Par conséquent, pour convertir « 2 en 10 », une division séquentielle par dix dans le système binaire est utilisée, et « 10 en 2 » est l'addition de puissances de dix. Pour optimiser les calculs de la procédure « 10 en 2 », l'ordinateur utilise le schéma informatique économique de Horner.
Devoirs. Il est proposé d'accomplir deux tâches.
1er. En utilisant le schéma de Horner, divisez le polynôme f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 par le binôme (x-3).
2ème. Trouver les racines entières du polynôme f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (en considérant que toute racine entière d'une équation à coefficients entiers est un diviseur de son terme libre).
Littérature.
- Kurosh A.G. "Cours d'algèbre supérieure."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. et autres. 10e année « L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique ».
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Schéma de Horner - une méthode de division d'un polynôme
$$P_n(x)=\somme\limites_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
sur le binôme $x-a$. Vous devrez travailler avec un tableau dont la première ligne contient les coefficients d'un polynôme donné. Le premier élément de la deuxième ligne sera le nombre $a$, tiré du binôme $x-a$ :
Après avoir divisé un polynôme de nième degré par un binôme $x-a$, on obtient un polynôme dont le degré est inférieur de un à celui d'origine, c'est-à-dire est égal à $n-1$. L’application directe du schéma de Horner est plus facile à démontrer à l’aide d’exemples.
Exemple n°1
Divisez $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$ en utilisant le schéma de Horner.
Faisons un tableau de deux lignes : dans la première ligne nous notons les coefficients du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$, classés par ordre décroissant des puissances de la variable $x$. Notez que ce polynôme ne contient pas $x$ au premier degré, c'est-à-dire le coefficient de $x$ à la première puissance est 0. Puisque nous divisons par $x-1$, nous écrivons un dans la deuxième ligne :
Commençons par remplir les cellules vides de la deuxième ligne. Dans la deuxième cellule de la deuxième ligne, nous écrivons le nombre $5$, en le déplaçant simplement de la cellule correspondante de la première ligne :
Remplissons la cellule suivante selon ce principe : $1\cdot 5+5=10$ :
Remplissons la quatrième cellule de la deuxième ligne de la même manière : $1\cdot 10+1=11$ :
Pour la cinquième cellule on obtient : $1\cdot 11+0=11$ :
Et enfin, pour la dernière, sixième cellule, on a : $1\cdot 11+(-11)=0$ :
Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse :
Comme vous pouvez le constater, les nombres situés sur la deuxième ligne (entre un et zéro) sont les coefficients du polynôme obtenu après avoir divisé $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Naturellement, puisque le degré du polynôme d'origine $5x^4+5x^3+x^2-11$ était égal à quatre, le degré du polynôme résultant $5x^3+10x^2+11x+11$ est un moins, c'est-à-dire . est égal à trois. Le dernier nombre de la deuxième ligne (zéro) signifie le reste lorsque l'on divise le polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Dans notre cas, le reste égal à zéro, c'est-à-dire les polynômes sont également divisibles. Ce résultat peut également être caractérisé comme suit : la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ à $x=1$ est égale à zéro.
La conclusion peut aussi être formulée sous cette forme : puisque la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ à $x=1$ est égale à zéro, alors l'unité est la racine du polynôme 5 $^4+5x^3+ x^2-11 $.
Exemple n°2
Divisez le polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ en utilisant le schéma de Horner.
Précisons immédiatement que l'expression $x+3$ doit être représentée sous la forme $x-(-3)$. Le projet de Horner impliquera exactement -3$. Puisque le degré du polynôme d'origine $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ est égal à quatre, alors par division nous obtenons un polynôme du troisième degré :
Le résultat signifie que
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Dans cette situation, le reste en divisant $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ est de 4$. Ou, ce qui revient au même, la valeur du polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pour $x=-3$ est égale à $4$. À propos, il est facile de vérifier en remplaçant directement $x=-3$ dans le polynôme donné :
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Ceux. Le schéma de Horner peut être utilisé s'il est nécessaire de trouver la valeur d'un polynôme à valeur définie variable. Si notre objectif est de trouver toutes les racines d’un polynôme, alors le schéma de Horner peut être appliqué plusieurs fois de suite jusqu’à épuiser toutes les racines, comme discuté dans l’exemple n°3.
Exemple n°3
Trouvez toutes les racines entières du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ en utilisant le schéma de Horner.
Les coefficients du polynôme en question sont des entiers, et le coefficient est avant la puissance la plus élevée de la variable (c'est-à-dire avant $x^6$) égal à un. Dans ce cas, les racines entières du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre, c'est-à-dire parmi les diviseurs du nombre 45. Pour un polynôme donné, ces racines peuvent être les nombres $45 ; \; 15 ; \; 9 ; \; 5 ; \; 3 ; \; 1$ et -45$; \; -15 ; \; -9 ; \; -5 ; \; -3 ; \; -1$. Vérifions, par exemple, le nombre $1$ :
Comme vous pouvez le voir, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ avec $x=1$ est égale à $192$ ( dernier numéro en deuxième ligne), et non $0$, donc l'unité n'est pas la racine de ce polynôme. Puisque la vérification a échoué, vérifions la valeur $x=-1$. Nouveau tableau Pour cela, nous ne compilerons pas, mais continuerons à utiliser le tableau. N° 1, en y ajoutant une nouvelle (troisième) ligne. La deuxième ligne, dans laquelle la valeur de $1$ a été cochée, sera surlignée en rouge et ne sera plus utilisée dans les discussions ultérieures.
Vous pouvez bien sûr simplement réécrire le tableau, mais le remplir manuellement prendra beaucoup de temps. De plus, il peut y avoir plusieurs nombres dont la vérification échouera, et il est difficile d'écrire un nouveau tableau à chaque fois. Lors du calcul « sur papier », les lignes rouges peuvent simplement être barrées.
Ainsi, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ à $x=-1$ est égale à zéro, c'est-à-dire le nombre $-1$ est la racine de ce polynôme. Après avoir divisé le polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ par le binôme $x-(-1)=x+1$ on obtient le polynôme $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, dont les coefficients sont tirés de la troisième ligne du tableau. N°2 (voir exemple n°1). Le résultat des calculs peut également être présenté sous cette forme :
\begin(équation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fin(équation)
Continuons la recherche de racines entières. Nous devons maintenant rechercher les racines du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Là encore, les racines entières de ce polynôme sont recherchées parmi les diviseurs de son terme libre, les nombres $45$. Essayons de vérifier à nouveau le nombre $-1$. Nous ne créerons pas de nouveau tableau, mais continuerons à utiliser le tableau précédent. N ° 2, c'est-à-dire Ajoutons-y une ligne supplémentaire :
Ainsi, le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (2), l'égalité (1) peut être réécrite sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Il faut maintenant chercher les racines du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$ - naturellement, parmi les diviseurs de son terme libre (les nombres $45$). Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (4), on réécrit l'égalité (3) sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Nous recherchons maintenant les racines du polynôme $x^3-x^2-21x+45$. Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le contrôle s'est soldé par un échec. Soulignons la sixième ligne en rouge et essayons de vérifier un autre nombre, par exemple le nombre $3$ :
Le reste est nul, donc le nombre $3$ est la racine du polynôme en question. Donc $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Maintenant, l'égalité (5) peut être réécrite comme suit.
1.1 Description générale de l'algorithme
1.1.1 Problème à résoudre
La première estimation est basée sur la caractéristique daps, qui estime le nombre d'accès mémoire (lectures et écritures) effectués par seconde. Cette caractéristique est un analogue de l'estimation des flops par rapport au travail avec la mémoire et est dans une plus grande mesure une évaluation des performances d’interaction mnésique plutôt qu’une évaluation de la localité. Cependant, cela sert bonne source informations, y compris pour comparaison avec les résultats de la caractéristique suivante cvg.
La figure 4 montre les valeurs daps pour les implémentations d'algorithmes courants, triées par ordre croissant (plus les daps sont élevés, plus cas général productivité plus élevée). Selon cette figure, la mise en œuvre du circuit Horner présente de faibles performances mémoire. Il peut sembler étrange que la valeur daps dans ce cas soit nettement inférieure à celle des tests STREAM, malgré le fait que le profil des appels dans tous les cas est très similaire - plusieurs recherches séquentielles de tableaux effectuées simultanément.
La raison de ce comportement est liée aux caractéristiques structurelles du sous-système mémoire. Dans la mise en œuvre du schéma de Horner, comme indiqué ci-dessus, les éléments de l'un des tableaux sont accessibles deux fois de suite. Cependant, si vous regardez le code source de l'implémentation, vous pouvez voir qu'en fait le deuxième appel est effectué lors de l'itération suivante - il s'agit d'un appel à l'élément précédent :
pour (int je = 1 ; je< size ; i ++ ) { c [ i ] = a [ i ] + c [ i - 1 ] * x ; }
En conséquence, en raison de la dépendance des itérations, le prélecture matériel réussit bien moins bien à extraire les lignes de cache requises, ce qui entraîne un ralentissement notable de l'exécution du programme par rapport à d'autres implémentations basées sur une recherche séquentielle (par exemple, les tests STREAM).
Cet exemple montre une fois de plus à quel point le sous-système mémoire est complexe - complètement petite monnaie la structure du corps de la boucle entraîne un ralentissement important et inattendu du programme.
Figure 4. Comparaison des valeurs du score daps
La deuxième caractéristique, cvg, est destinée à fournir une estimation de localité plus indépendante de la machine. Il détermine la fréquence à laquelle le programme doit extraire les données dans la mémoire cache. En conséquence, que moins de valeur cvg, moins cela doit être fait souvent, meilleure est la localité.
La figure 5 montre les valeurs cvg pour le même ensemble d'implémentations, triées par ordre décroissant (plus le cvg est petit, plus la localité en général est élevée). On peut voir que la mise en œuvre du projet Horner a une localité très élevée selon l'estimation cvg.
Figure 5. Comparaison des valeurs du score cvg
Comme nous l’avons vu précédemment, cela ne correspond pas bien aux performances réelles de la mémoire en raison de la nature de la conception de la mémoire. Cependant, deux points doivent être soulignés ici. Premièrement, cas similaires, lorsque les performances de travail avec la mémoire dépendent si fortement des caractéristiques matérielles spécifiques de la structure du sous-système de mémoire, ne sont pas si courantes dans la pratique. Deuxièmement, cvg est conçu pour fournir une estimation de localité indépendante de la machine ; sur ce niveau Il est difficilement possible de prendre en compte de telles caractéristiques matérielles, du moins sans perdre une partie des propriétés indépendantes de la machine.
2.3 Méthodes et caractéristiques possibles de mise en œuvre parallèle de l'algorithme
L'algorithme décrit n'implique pas une mise en œuvre parallèle.
2.4 Scalabilité de l'algorithme et sa mise en œuvre
Le concept d'évolutivité n'est pas applicable, puisque l'algorithme décrit n'implique pas de mise en œuvre parallèle. Menons une étude de l'évolutivité de la mise en œuvre de l'algorithme selon la méthodologie. La recherche a été réalisée sur le supercalculateur Lomonossov du complexe de supercalculateurs de l'Université de Moscou. L'ensemble et les limites des valeurs des paramètres modifiables pour lancer la mise en œuvre de l'algorithme :
- nombre de processeurs 1 ;
- taille de la zone par incréments de 10 240.
À la suite des expériences, la plage d’efficacité suivante de la mise en œuvre de l’algorithme a été obtenue :
- efficacité minimale de mise en œuvre 0,0324 % ;
- efficacité de mise en œuvre maximale 0,0331%.
Les figures suivantes montrent des graphiques des performances et de l'efficacité de la mise en œuvre sélectionnée de l'algorithme en fonction des paramètres de lancement variables.
Figure 6. Implémentation de l'algorithme. Les performances changent en fonction de la taille du vecteur.
Figure 7. Implémentation de l'algorithme. L’efficacité change en fonction de la taille du vecteur.
La faible efficacité semble être due à la localité excessive décrite dans la section sur .
2.5 Caractéristiques dynamiques et efficacité de la mise en œuvre de l'algorithme
En raison de la cohérence de l'algorithme et de sa localité excessive, l'étude de ses caractéristiques dynamiques a peu d'intérêt.
Pour réaliser les expériences, une implémentation de l'algorithme du schéma de Horner a été utilisée, dans l'implémentation disponible. Tous les résultats ont été obtenus sur le supercalculateur GraphIT ! Des processeurs Intel Xeon X5570 avec des performances maximales de 94 Gflops ont été utilisés, ainsi que le compilateur Gnu 4.4.7. Les figures montrent l'efficacité de la mise en œuvre de l'algorithme de contre-balayage.
Diapositive 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mathématicien anglais. Né à Bristol. Il y étudie et travaille, puis dans les écoles de Bath. Travaux de base sur l'algèbre. En 1819 a publié une méthode de calcul approximatif des racines réelles d'un polynôme, qui s'appelle maintenant la méthode de Ruffini-Horner (cette méthode était connue des Chinois au XIIIe siècle. Le schéma de division d'un polynôme par le binôme x-a est nommé). après Horner.
Diapositive 4
SCHÉMA HORNER
Méthode de division nième polynôme degré sur un binôme linéaire - a, basé sur le fait que les coefficients du quotient incomplet et du reste sont liés aux coefficients du polynôme divisible et aux formules :
Diapositive 5
Les calculs selon le schéma de Horner sont placés dans le tableau :
Exemple 1. Diviser Le quotient partiel est x3-x2+3x - 13 et le reste est 42=f(-3).
Diapositive 6
Le principal avantage de cette méthode est la compacité de l'enregistrement et la capacité division rapide polynôme en binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.
Diapositive 7
Exemple 2.
Montrons que le polynôme P(x)=x4-6x3+7x-392 est divisible par x-7, et trouvons le quotient de la division. Solution. En utilisant le schéma de Horner, nous trouvons P(7) : De là, nous obtenons P(7)=0, c'est-à-dire le reste lors de la division d'un polynôme par x-7 est égal à zéro et, par conséquent, le polynôme P(x) est un multiple de (x-7). De plus, les nombres de la deuxième ligne du tableau sont les coefficients du. Quotient de P(x) divisé par (x-7), donc P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Diapositive 8
Factorisez le polynôme x3 – 5x2 – 2x + 16.
Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), où Q(x) est un polynôme du deuxième degré
Diapositive 9
Les nombres résultants 1, −3, −8 sont les coefficients du polynôme, obtenu en divisant le polynôme d'origine par x – 2. Cela signifie que le résultat de la division est : 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc : x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Horner William George () mathématicien anglais. Les principales recherches concernent la théorie des équations algébriques. Développement d'une méthode de résolution approximative d'équations de tout degré. En 1819, il introduisit une méthode importante en algèbre consistant à diviser un polynôme en un binôme (x – a) (schéma de Horner).
Dérivation de formules pour le schéma de Horner Diviser le polynôme f(x) avec le reste par un binôme (x-c) signifie trouver un polynôme q(x) et un nombre r tel que f(x)=(x-c)q(x)+ r Écrivez cette égalité en détail : f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + …+f n-1 x + f n = =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +…+ q n-2 x + q n-1)+r Égalisons les coefficients pour degrés égaux: x n : f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1 : f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2 : f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 … X 0 : f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1 q 0 = f 0 x n-1 : f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2 : f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 … X 0 : f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1"> 
Démo sur (x-c), puis dans la deuxième ligne en partant de la gauche on écrit c Préparer les cellules vides pour le reste r et les coefficients du quotient incomplet q 0, q 1,q 2 q0q0 q1q1 q2q2 r g 0:=f 0 =1 1 g 1:= c *g 0 + f 1 * + =2 * 1 + (-5)=-3 g 2:= s *g 1 + f 2 =2 * (-3) + 0=-6 * + r:= s *g 2 + f 3 =2 * (-6) + 8= * + -4 Réponse : g(x)=x 2 -3x-6 ; r= -4. f(x)= (x-2)(x 2 -3x-6)-4
Développement d'un polynôme en puissances d'un binôme En utilisant le schéma de Horner, on développe le polynôme f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 en puissances d'un binôme (x+2) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 =(x +2)(x 2 +x-4) f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4= (x+2)((x-1)(x+2) -2) f(x)= x 3 +3x 2 -2x+4= (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2)) f(x) = x 3 +3x 2 -2x+ 4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = = (( (1*(x+2 )-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+ 12
Devoirs a 1. Divisez f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 par x-3 ; 2. À l'aide du schéma de Horner, trouvez les racines entières du polynôme f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (*Remarque : les racines entières d'un polynôme à coefficients entiers doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre ±1;±2;± 3;±6)
