Site web " tuteur professionnel en mathématiques" continue le cycle articles méthodologiques sur l'enseignement. Je publie des descriptions des méthodes de mon travail sur les sujets les plus complexes et problématiques du programme scolaire. Ce matériel sera utile aux enseignants et tuteurs en mathématiques travaillant avec des élèves de la 8e à la 11e année tant dans le programme régulier que dans le programme des cours de mathématiques.
Un professeur de mathématiques ne peut pas toujours expliquer des éléments mal présentés dans le manuel. Malheureusement, ces sujets sont de plus en plus nombreux et des erreurs de présentation des auteurs de manuels sont commises en masse. Cela s'applique non seulement aux professeurs de mathématiques débutants et aux tuteurs à temps partiel (les tuteurs sont des étudiants et des tuteurs universitaires), mais également aux enseignants expérimentés, aux tuteurs professionnels, aux tuteurs expérimentés et qualifiés. Tous les professeurs de mathématiques n’ont pas le talent nécessaire pour corriger avec compétence les aspérités des manuels scolaires. Tout le monde ne comprend pas non plus que ces corrections (ou ajouts) sont nécessaires. Peu d'enfants participent à l'adaptation du matériel pour sa perception qualitative par les enfants. Malheureusement, le temps est révolu où les professeurs de mathématiques, en collaboration avec les méthodologistes et les auteurs de publications, discutaient en masse de chaque lettre du manuel. Auparavant, avant de diffuser un manuel dans les écoles, des analyses et des études sérieuses sur les résultats d'apprentissage étaient réalisées. Le temps est venu pour les amateurs qui s'efforcent de rendre les manuels universels, en les ajustant aux normes de cours de mathématiques solides.
La course à l'augmentation de la quantité d'informations ne conduit qu'à une diminution de la qualité de son assimilation et, par conséquent, à une diminution du niveau de connaissance réelle en mathématiques. Mais personne n’y prête attention. Et nos enfants sont obligés, dès la 8e, d'étudier ce que nous avons étudié à l'institut : théorie des probabilités, résolution d'équations diplômes élevés et quelque chose d'autre. L'adaptation du matériel contenu dans les livres pour qu'un enfant puisse le percevoir pleinement laisse beaucoup à désirer, et un tuteur en mathématiques est obligé de s'en occuper d'une manière ou d'une autre.
Parlons de la méthodologie pour enseigner un sujet aussi spécifique que « diviser un polynôme par un polynôme par un coin », mieux connu en mathématiques pour adultes sous le nom de « théorème de Bezout et schéma de Horner ». Il y a seulement quelques années, la question n'était pas si pressante pour un professeur de mathématiques, car elle ne faisait pas partie du programme principal. programme scolaire. Maintenant, les auteurs respectés du manuel, édité par Telyakovsky, ont apporté des modifications à la dernière édition de ce qui est, à mon avis, le meilleur manuel et, l'ayant complètement gâché, n'ont fait qu'ajouter des soucis inutiles au tuteur. Les enseignants des écoles et des classes qui n'ont pas le statut de mathématiques, se concentrant sur les innovations des auteurs, ont commencé à inclure plus souvent des paragraphes supplémentaires dans leurs cours, et les enfants curieux, regardant les belles pages de leur manuel de mathématiques, demandent de plus en plus au tuteur : « Qu'est-ce que cette division par un coin ? Allons-nous vivre cela ? Comment partager un coin ? Il n’est plus possible de se cacher de questions aussi directes. Le tuteur devra dire quelque chose à l'enfant.
Mais comme ? Je n'aurais probablement pas décrit la méthode de travail sur le sujet s'il avait été présenté avec compétence dans les manuels. Comment ça se passe chez nous ? Les manuels doivent être imprimés et vendus. Et pour cela, ils doivent être mis à jour régulièrement. Les professeurs d'université se plaignent que les enfants viennent à eux avec têtes vides, sans connaissances ni compétences ? Exigences pour connaissances mathématiques croissance? Super! Supprimons certains exercices et insérons à la place des sujets étudiés dans d'autres programmes. Pourquoi notre manuel est-il pire ? Nous inclurons quelques chapitres supplémentaires. Les écoliers ne connaissent pas la règle de diviser un coin ? Ce sont des mathématiques de base. Ce paragraphe devrait être rendu facultatif, intitulé « pour ceux qui veulent en savoir plus ». Les tuteurs sont-ils contre ? Pourquoi nous soucions-nous des tuteurs en général ? Les méthodologistes et les enseignants des écoles sont également contre ? Nous ne compliquerons pas le matériel et considérerons sa partie la plus simple.
Et c'est là que ça commence. La simplicité du sujet et la qualité de son assimilation résident d'abord dans la compréhension de sa logique, et non dans la réalisation, conformément aux instructions des auteurs du manuel, d'un certain ensemble d'opérations qui ne sont pas clairement liées les unes aux autres. . Sinon, il y aura du brouillard dans la tête de l’élève. Si les auteurs ciblent des étudiants relativement forts (mais qui étudient dans un programme régulier), vous ne devez pas présenter le sujet sous forme de commande. Que voit-on dans le manuel ? Les enfants, nous devons diviser selon cette règle. Obtenez le polynôme sous l'angle. Ainsi, le polynôme original sera factorisé. Cependant, il n'est pas clair de comprendre pourquoi les termes sous le coin sont sélectionnés exactement de cette manière, pourquoi ils doivent être multipliés par le polynôme au-dessus du coin, puis soustraits du reste actuel. Et surtout, on ne sait pas pourquoi les monômes sélectionnés doivent finalement être ajoutés et pourquoi les parenthèses résultantes seront une expansion du polynôme d'origine. Tout mathématicien compétent mettra un point d’interrogation audacieux sur les explications données dans le manuel.
J'attire l'attention des tuteurs et des professeurs de mathématiques sur ma solution au problème, qui rend pratiquement évident pour l'élève tout ce qui est énoncé dans le manuel. En fait, nous prouverons le théorème de Bezout : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors ce polynôme peut être décomposé en facteurs, dont l'un est x-a, et le second est obtenu à partir de l'original de l'une des trois manières suivantes : en isolant un facteur linéaire par des transformations, en divisant par un coin ou par le schéma de Horner. C'est avec cette formulation qu'il sera plus facile pour un professeur de mathématiques de travailler.
Qu’est-ce que la méthodologie pédagogique ? Tout d'abord, il s'agit d'un ordre clair dans la séquence d'explications et d'exemples sur la base desquels des conclusions mathématiques sont tirées. Ce sujet pas une exception. Il est très important qu’un tuteur en mathématiques initie l’enfant au théorème de Bezout. avant de diviser par un coin. Il est très important! La meilleure façon de parvenir à la compréhension est de exemple spécifique. Prenons un polynôme avec une racine sélectionnée et montrons la technique de sa factorisation en facteurs en utilisant une méthode familière aux écoliers depuis la 7e année transformations identitaires. Avec des explications appropriées, des accents et des conseils d'un tuteur en mathématiques, il est tout à fait possible de transmettre le matériel sans calculs mathématiques généraux, coefficients et puissances arbitraires.
Conseils importants pour un professeur de mathématiques- suivez les instructions du début à la fin et ne modifiez pas cet ordre.
Disons donc que nous avons un polynôme. Si on remplace le nombre 1 par son X, alors la valeur du polynôme sera égale à zéro. Donc x=1 est sa racine. Essayons de le décomposer en deux termes pour que l'un d'eux soit le produit d'une expression linéaire et d'un monôme, et que le second ait un degré inférieur à . Autrement dit, représentons-le sous la forme
Nous sélectionnons le monôme pour le champ rouge de sorte que lorsqu'il est multiplié par le terme principal, il coïncide complètement avec le terme principal du polynôme d'origine. Si l'élève n'est pas le plus faible, alors il sera tout à fait capable de dire au professeur de mathématiques l'expression recherchée : . Il faut immédiatement demander au tuteur de l'insérer dans le champ rouge et de montrer ce qui se passera une fois ouverts. Il est préférable de signer ce polynôme temporaire virtuel sous les flèches (sous la petite photo), en le soulignant avec une certaine couleur, par exemple le bleu. Cela vous aidera à sélectionner un terme pour le champ rouge, appelé reste de la sélection. Je conseillerais aux professeurs de préciser ici que ce reste peut être trouvé par soustraction. En effectuant cette opération on obtient :
Le professeur de mathématiques doit attirer l'attention de l'élève sur le fait qu'en substituant un dans cette égalité, on est assuré d'obtenir zéro à son côté gauche (puisque 1 est la racine du polynôme d'origine), et à droite, évidemment, on mettra également à zéro le premier terme. Cela signifie que sans aucune vérification on peut dire que l’un est la racine du « reste vert ».
Traitons-le de la même manière que nous l'avons fait avec le polynôme original, en isolant le même multiplicateur linéaire. Le professeur de mathématiques dessine deux cadres devant l'élève et lui demande de les remplir de gauche à droite.
L'étudiant sélectionne pour le tuteur un monôme pour le champ rouge de sorte que, multiplié par le terme principal de l'expression linéaire, il donne le terme principal du polynôme expansif. Nous l'insérons dans le cadre, ouvrons immédiatement le support et mettons en évidence en bleu l'expression qui doit être soustraite de celle pliée. En effectuant cette opération on obtient
Et enfin, faire de même avec le dernier reste
nous l'aurons enfin
Retirons maintenant l'expression des parenthèses et nous verrons la décomposition du polynôme d'origine en facteurs, dont l'un est « x moins la racine sélectionnée ».
Pour éviter que l'élève ne pense que le dernier « reste vert » a été accidentellement décomposé en facteurs requis, le professeur de mathématiques doit souligner propriété importante de tous les restes verts - chacun d'eux a la racine 1. Puisque les degrés de ces restes diminuent, quel que soit le degré du polynôme initial qui nous est donné, tôt ou tard nous obtiendrons un « reste vert » linéaire avec la racine 1, et il sera donc nécessairement décomposé en produit en un certain nombre et en une certaine expression.
Après ça travail préparatoire Il ne sera pas difficile pour un professeur de mathématiques d’expliquer à un élève ce qui se passe lors d’une division par un coin. C'est le même processus, mais sous une forme plus courte et plus compacte, sans signes égaux et sans réécrire les mêmes termes mis en évidence. Le polynôme à partir duquel le facteur linéaire est extrait est écrit à gauche du coin, les monômes rouges sélectionnés sont rassemblés sous un angle (il devient maintenant clair pourquoi ils doivent s'additionner), pour obtenir les « polynômes bleus », vous devez multiplier les « rouges » par x-1, puis soustrayez-les de ceux actuellement sélectionnés. Comment cela se fait-il lorsque division ordinaire nombres dans une colonne (voici une analogie avec ce qui a été étudié précédemment). Les « résidus verts » résultants sont soumis à un nouvel isolement et à une nouvelle sélection de « monômes rouges ». Et ainsi de suite jusqu’à obtenir un « solde vert » nul. Le plus important est que l'élève comprenne autre sort polynômes écrits au-dessus et en dessous de l'angle. Évidemment, ce sont des parenthèses dont le produit est égal au polynôme d'origine.
La prochaine étape du travail d’un professeur de mathématiques est la formulation du théorème de Bezout. En fait, sa formulation avec cette approche du tuteur devient évidente : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors il peut être factorisé, dont l'un est , et l'autre est obtenu à partir du nombre original de l'une des trois manières suivantes :
- décomposition directe (analogue à la méthode de regroupement)
- diviser par un coin (dans une colonne)
- via le circuit de Horner
Il faut dire que tous les professeurs de mathématiques ne montrent pas le diagramme de Horner aux élèves, et tous ne professeurs d'école(heureusement pour les tuteurs eux-mêmes), ils approfondissent le sujet pendant les cours. Cependant, pour l'étudiant cours de maths Je ne vois aucune raison de m'arrêter à une division longue. De plus, le plus pratique et rapide La technique de décomposition est basée précisément sur le schéma de Horner. Pour expliquer à un enfant d'où il vient, il suffit de retracer, à l'aide de l'exemple de la division par un coin, l'apparition de coefficients plus élevés dans les restes verts. Il devient clair que le coefficient dominant du polynôme initial est reporté dans le coefficient du premier « monôme rouge », et plus loin du deuxième coefficient du polynôme supérieur actuel déduit le résultat de la multiplication du coefficient actuel du « monôme rouge » par . Il est donc possible ajouter le résultat de la multiplication par . Après avoir concentré l'attention de l'élève sur les spécificités des actions avec des coefficients, un tuteur en mathématiques peut montrer comment ces actions sont habituellement effectuées sans enregistrer les variables elles-mêmes. Pour ce faire, il convient de saisir la racine et les coefficients du polynôme d'origine par ordre de priorité dans le tableau suivant :
Si un degré manque dans un polynôme, son coefficient zéro est forcé dans le tableau. Les coefficients des « polynômes rouges » sont écrits tour à tour dans la ligne du bas selon la règle du « crochet » : 
La racine est multipliée par le dernier coefficient rouge, ajouté au coefficient suivant sur la ligne du haut, et le résultat est écrit sur la ligne du bas. Dans la dernière colonne, nous sommes assurés d'obtenir le coefficient le plus élevé du dernier « reste vert », c'est-à-dire zéro. Une fois le processus terminé, les chiffres pris en sandwich entre la racine correspondante et le reste zéro s'avèrent être des coefficients du deuxième facteur (non linéaire).
Puisque la racine a donne un zéro à la fin de la ligne du bas, le schéma de Horner peut être utilisé pour vérifier les nombres pour le titre de la racine d'un polynôme. S'il s'agit d'un théorème spécial sur la sélection d'une racine rationnelle. Tous les candidats à ce titre obtenus grâce à son aide sont simplement insérés tour à tour depuis la gauche dans le diagramme de Horner. Dès que nous obtiendrons zéro, le nombre testé sera une racine, et en même temps nous obtiendrons les coefficients de factorisation du polynôme d'origine sur sa droite. Très confortablement.
En conclusion, je voudrais noter que pour présenter avec précision le schéma de Horner, ainsi que pour consolider pratiquement le sujet, un tuteur en mathématiques devrait avoir à sa disposition quantité suffisante heures. Un tuteur travaillant avec le régime « une fois par semaine » ne devrait pas s'engager dans la division des coins. À l'examen d'État unifié de mathématiques et à l'Académie d'État de mathématiques en mathématiques, il est peu probable que dans la première partie vous rencontriez un jour une équation du troisième degré pouvant être résolue par de tels moyens. Si un tuteur prépare un enfant à un examen de mathématiques à l'Université d'État de Moscou, l'étude du sujet devient obligatoire. Les professeurs d'université, contrairement aux compilateurs de l'examen d'État unifié, aiment vraiment tester la profondeur des connaissances d'un candidat.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, professeur de mathématiques Moscou, Strogino
Etc. est de nature éducative générale et a grande importance pour étudier la totalité du cours mathématiques supérieures. Aujourd'hui, nous allons répéter les équations « scolaires », mais pas seulement celles « scolaires » - mais celles que l'on retrouve partout dans diverses tâches vyshmat. Comme d'habitude, l'histoire sera racontée de manière appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions et les classifications, mais je partagerai avec vous exactement expérience personnelle solutions. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus avancés y trouveront également beaucoup de choses pour eux-mêmes. moments intéressants. Et bien sûr, il y aura nouveau matériel, Aller plus loin lycée.
Donc l'équation…. Beaucoup se souviennent de ce mot avec un frisson. Que valent les équations « sophistiquées » avec racines... ... oubliez-les ! Car alors vous rencontrerez les « représentants » les plus inoffensifs de cette espèce. Ou ennuyeux équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de résolution. Pour être honnête, je ne les aimais pas vraiment moi-même... Ne pas paniquer! – alors ce sont surtout des « pissenlits » qui vous attendent avec une solution évidente en 1 à 2 étapes. Même si la « bardane » s'accroche certainement, il faut ici être objectif.
Curieusement, en mathématiques supérieures, il est beaucoup plus courant de traiter des équations très primitives comme linéaireéquations
Que signifie résoudre cette équation ? Cela signifie trouver TELLE valeur de « x » (racine) qui en fait une véritable égalité. Jetons le « trois » vers la droite avec un changement de signe :
et réinitialisez le «deux» à côté droit (ou, la même chose - multipliez les deux côtés par)
:
Pour vérifier, remplaçons le trophée gagné par équation originale :
L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est bien une racine équation donnée. Ou, comme on dit aussi, satisfait à cette équation.
Veuillez noter que la racine peut également s'écrire sous la forme décimal:
Et essayez de ne pas vous en tenir à ce mauvais style ! J'ai répété la raison plus d'une fois, notamment lors de la toute première leçon sur algèbre supérieure.
D’ailleurs, l’équation peut aussi être résolue « en arabe » :
Et ce qui est le plus intéressant - cette entrée complètement légal ! Mais si vous n'êtes pas enseignant, alors il vaut mieux ne pas faire ça, car ici l'originalité est punissable =)
Et maintenant un peu sur
méthode de solution graphique
L'équation a la forme et sa racine est Coordonnée "X" points d'intersection graphique de fonction linéaire avec horaire fonction linéaire (axe x):
Il semblerait que l'exemple soit si élémentaire qu'il n'y a plus rien à analyser ici, mais une autre nuance inattendue peut en être « extraite » : présentons la même équation sous la forme et construisons des graphiques des fonctions : 
Où, s'il te plaît, ne confonds pas les deux concepts: une équation est une équation, et fonction– c'est une fonction ! Les fonctions seulement de l'aide trouver les racines de l'équation. Il peut y en avoir deux, trois, quatre, voire une infinité. L'exemple le plus proche en ce sens est le célèbre équation quadratique, l'algorithme de solution pour lequel a reçu un paragraphe séparé des formules scolaires « chaudes ». Et ce n'est pas un hasard ! Si vous pouvez résoudre une équation quadratique et savoir théorème de Pythagore, alors, pourrait-on dire, "la moitié des mathématiques supérieures est déjà dans votre poche" =) Exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité !
Par conséquent, ne soyons pas paresseux et résolvons une équation quadratique en utilisant algorithme standard:
, ce qui signifie que l'équation a deux valeurs différentes valide racine: 
Il est facile de vérifier que les deux valeurs trouvées satisfont réellement à cette équation : 
Que faire si vous avez soudainement oublié l'algorithme de solution et qu'il n'y a aucun moyen/coup de main à portée de main ? Cette situation peut survenir, par exemple, lors d'un contrôle ou d'un examen. Nous utilisons la méthode graphique ! Et il y a deux manières : vous pouvez construire point par point parabole 
, découvrant ainsi où il croise l'axe (si ça traverse du tout). Mais il vaut mieux faire quelque chose de plus astucieux : imaginer l'équation sous la forme, dessiner davantage de graphiques fonctions simples- Et Coordonnées "X" leurs points d'intersection sont bien visibles ! 
S'il s'avère que la ligne droite touche la parabole, alors l'équation a deux racines (multiples) coïncidentes. S'il s'avère que la ligne droite ne coupe pas la parabole, alors il n'y a pas de véritables racines.
Pour ce faire, bien sûr, vous devez être capable de construire graphiques de fonctions élémentaires, mais d'un autre côté, même un écolier peut acquérir ces compétences.
Et encore une fois - une équation est une équation, et les fonctions sont des fonctions qui seulement aidé résous l'équation!
Et ici, d'ailleurs, il conviendrait de rappeler encore une chose : si tous les coefficients d'une équation sont multipliés par un nombre non nul, alors ses racines ne changeront pas.
Ainsi, par exemple, l'équation 
a les mêmes racines. Comme simple « preuve », je vais retirer la constante entre parenthèses : 
et je l'enlèverai sans douleur (Je diviserai les deux parties par « moins deux »):
MAIS! Si l'on considère la fonction 
, alors vous ne pouvez pas vous débarrasser de la constante ici ! Il est uniquement permis de retirer le multiplicateur entre parenthèses : 
.
Beaucoup de gens sous-estiment la méthode de résolution graphique, la considérant comme « indigne », et certains oublient même complètement cette possibilité. Et c’est fondamentalement faux, car tracer des graphiques sauve parfois la situation !
Autre exemple : supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l’équation trigonométrique la plus simple : . Formule générale est dans manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas disponibles pour vous. Cependant, il est essentiel de résoudre l’équation (c’est-à-dire « deux »). Il y a une sortie ! – construire des graphiques de fonctions : 
après quoi on note calmement les coordonnées « X » de leurs points d'intersection : 
Il existe une infinité de racines, et en algèbre leur notation condensée est acceptée :
, Où ( – ensemble d'entiers)
.
Et, sans « s'éloigner », quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités à une variable. Le principe est le même. Ainsi, par exemple, la solution de l’inégalité est n’importe quel « x », car La sinusoïde se situe presque entièrement sous la ligne droite. La solution de l'inégalité est l'ensemble des intervalles dans lesquels les morceaux de la sinusoïde se trouvent strictement au-dessus de la droite (axe des x):
ou, en bref :
Mais voici les nombreuses solutions à l’inégalité : vide, puisqu'aucun point de la sinusoïde ne se trouve au-dessus de la droite.
Y a-t-il quelque chose que vous ne comprenez pas ? Étudiez de toute urgence les leçons sur ensembles Et graphiques de fonctions!
Nous allons réchauffer:
Exercice 1
Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes :
Réponses à la fin de la leçon
Comme vous pouvez le constater, pour étudier sciences exactes Inutile de fourrer des formules et des ouvrages de référence ! De plus, il s’agit d’une approche fondamentalement erronée.
Comme je vous l'ai déjà rassuré au tout début de la leçon, les équations trigonométriques complexes dans un cours standard de mathématiques supérieures doivent être résolues extrêmement rarement. En règle générale, toute complexité se termine par des équations comme , dont la solution est constituée de deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et 
. Ne vous inquiétez pas trop de résoudre ce dernier problème – regardez dans un livre ou trouvez-le sur Internet =)
La méthode de résolution graphique peut également être utile dans des cas moins triviaux. Considérons, par exemple, l’équation « hétéroclite » suivante :
Les perspectives de sa solution semblent... ne ressemblent à rien du tout, mais il suffit d'imaginer l'équation sous la forme , construire graphiques de fonctions et tout s'avérera incroyablement simple. Il y a un dessin au milieu de l'article sur fonctions infinitésimales (s'ouvrira dans l'onglet suivant).
Même méthode graphique vous pouvez découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles égal à zéro, et l'autre, apparemment, irrationnel et appartient au segment . Étant donné la racine peut être calculé approximativement, par exemple, méthode tangente. D'ailleurs, dans certains problèmes, il arrive que vous n'ayez pas besoin de trouver les racines, mais découvrez est-ce qu'ils existent du tout ?. Et ici aussi, un dessin peut aider - si les graphiques ne se croisent pas, alors il n'y a pas de racines.
Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers.
Schéma Horner
Et maintenant je vous invite à tourner votre regard vers le Moyen Âge et à ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour une meilleure compréhension du matériel, je vous recommande de lire au moins un peu nombres complexes.
Ils sont les meilleurs. Polynômes.
L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de la forme avec entier coefficients Entier naturel appelé degré de polynôme, nombre – coefficient du plus haut degré (ou juste le coefficient le plus élevé), et le coefficient est Membre gratuit.
Je désignerai brièvement ce polynôme par .
Racines d'un polynôme appeler les racines de l'équation
J'adore la logique de fer =)
Pour des exemples, allez au tout début de l'article : 
Il n'y a aucun problème pour trouver les racines des polynômes des 1er et 2e degrés, mais à mesure que vous augmentez, cette tâche devient de plus en plus difficile. Même si d'un autre côté, tout est plus intéressant ! Et c’est exactement à cela que sera consacrée la deuxième partie de la leçon.
Tout d’abord, littéralement la moitié de l’écran de la théorie :
1) D'après le corollaire théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme de degré a exactement complexe racines Certaines racines (voire toutes) peuvent être particulièrement valide. De plus, parmi les racines réelles, il peut y avoir des racines identiques (plusieurs) (minimum deux, maximum pièces).
Si un nombre complexe est la racine d’un polynôme, alors conjuguer son nombre est aussi nécessairement la racine de ce polynôme (conjuguer racines complexes ressembler ).
L'exemple le plus simple est une équation quadratique apparue pour la première fois en 8 (comme) classe, et que nous avons finalement « terminé » dans le sujet nombres complexes. Je vous le rappelle : une équation quadratique a soit deux racines réelles différentes, soit des racines multiples, soit des racines complexes conjuguées.
2) De Théorème de Bezout il s'ensuit que si un nombre est la racine d'une équation, alors le polynôme correspondant peut être factorisé :
, où est un polynôme de degré .
Et encore une fois, notre vieil exemple : puisque est la racine de l’équation, alors . Après quoi, il n’est pas difficile d’obtenir la fameuse extension « école ».
Le corollaire du théorème de Bezout a une grande valeur pratique : si l'on connaît la racine d'une équation du 3ème degré, alors on peut la représenter sous la forme 
et de équation quadratique il est facile de reconnaître les racines restantes. Si l’on connaît la racine d’une équation du 4ème degré, alors il est possible de développer le côté gauche en un produit, etc.
Et il y a deux questions ici :
Question une. Comment trouver cette racine ? Tout d'abord, définissons sa nature : dans de nombreux problèmes de mathématiques supérieures il faut trouver rationnel, en particulier entier racines des polynômes, et à cet égard, nous nous intéresserons plus loin à elles principalement.... ...ils sont si bons, si moelleux, qu'on a envie de les retrouver ! =)
La première chose qui vient à l’esprit est la méthode de sélection. Considérons, par exemple, l'équation . Le problème ici est dans le terme libre - s'il était égal à zéro, alors tout irait bien - nous retirons le « x » des parenthèses et les racines elles-mêmes « tombent » à la surface : 
Mais notre terme libre est égal à « trois », et donc nous commençons à substituer dans l'équation différents numéros, prétendant être la « racine ». Tout d'abord, la substitution de valeurs uniques s'impose. Remplaçons : 
Reçu Incorrect l’égalité, donc l’unité « ne correspondait pas ». Bon, d'accord, remplaçons : 
Reçu vraiégalité! Autrement dit, la valeur est la racine de cette équation.
Pour trouver les racines d’un polynôme du 3ème degré, il existe méthode analytique (les formules dites de Cardano), mais maintenant nous nous intéressons à une tâche légèrement différente.
Puisque - est la racine de notre polynôme, le polynôme peut être représenté sous la forme et apparaît Deuxième question: comment trouver un « petit frère » ?
Les considérations algébriques les plus simples suggèrent que pour ce faire, nous devons diviser par . Comment diviser un polynôme par un polynôme ? Même méthode scolaire partagé nombres ordinaires- "dans une colonne" ! Cette méthode J'en ai discuté en détail dans les premiers exemples de la leçon Limites complexes, et maintenant nous allons examiner une autre méthode, appelée Schéma Horner.
Nous écrivons d’abord le polynôme « le plus élevé » avec tout le monde
, y compris les coefficients nuls:
, après quoi nous saisissons ces coefficients (strictement dans l'ordre) dans la ligne supérieure du tableau :
On écrit la racine à gauche :
Je ferai immédiatement une réserve sur le fait que le schéma de Horner fonctionne également si le nombre « rouge » Pas est la racine du polynôme. Cependant, ne précipitons pas les choses.
Nous supprimons le coefficient dominant d'en haut :
Le processus de remplissage des cellules inférieures rappelle un peu la broderie, où le « moins un » est une sorte d'« aiguille » qui imprègne les étapes suivantes. Nous multiplions le nombre « reporté » par (–1) et ajoutons le nombre de la cellule supérieure au produit :
Nous multiplions la valeur trouvée par « l'aiguille rouge » et ajoutons le coefficient d'équation suivant au produit :
Et enfin, la valeur résultante est à nouveau « traitée » avec « l'aiguille » et le coefficient supérieur :
Le zéro dans la dernière cellule nous indique que le polynôme est divisé en sans laisser de trace (comme cela devrait être), tandis que les coefficients de dilatation sont « supprimés » directement de la ligne du bas du tableau :
Ainsi, on est passé de l'équation à une équation équivalente et tout est clair avec les deux racines restantes (V. dans ce cas nous obtenons des racines complexes conjuguées).
Soit dit en passant, l'équation peut également être résolue graphiquement : tracer "foudre" 
et voyez que le graphique croise l'axe des x ()
au point . Ou le même truc "rusé" - nous réécrivons l'équation sous la forme, dessinons graphiques élémentaires et détectez la coordonnée « X » de leur point d’intersection.
À propos, le graphique de tout polynôme de fonction du 3ème degré coupe l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins un valide racine. Ce fait valable pour toute fonction polynomiale de degré impair.
Et ici, je voudrais aussi m'attarder sur point important qui concerne la terminologie : polynôme Et fonction polynomiale – ce n'est pas la même chose! Mais dans la pratique, on parle souvent, par exemple, du « graphique d'un polynôme », ce qui, bien sûr, est de la négligence.
Cependant, revenons au schéma de Horner. Comme je l'ai mentionné récemment, ce schéma fonctionne pour d'autres numéros, mais si le numéro Pas est la racine de l'équation, alors une addition (reste) non nulle apparaît dans notre formule :
"Exécutons" la valeur "échec" selon le schéma de Horner. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser le même tableau - écrivez une nouvelle "aiguille" à gauche, déplacez le coefficient dominant d'en haut (flèche verte gauche), et c'est parti : 
Pour vérifier, ouvrons les parenthèses et présentons termes similaires:
, D'ACCORD.
Il est facile de remarquer que le reste (« six ») est exactement la valeur du polynôme en . Et en fait, comment ça se passe : 
, et encore plus sympa - comme ceci :
A partir des calculs ci-dessus, il est facile de comprendre que le schéma de Horner permet non seulement de factoriser le polynôme, mais aussi d'effectuer une sélection « civilisée » de la racine. Je vous propose de consolider vous-même l'algorithme de calcul avec une petite tâche :
Tâche 2
En utilisant le schéma de Horner, trouvez racine entièreéquation et factoriser le polynôme correspondant
En d'autres termes, vous devez ici vérifier séquentiellement les nombres 1, –1, 2, –2, ... – jusqu'à ce qu'un reste zéro soit « dessiné » dans la dernière colonne. Cela signifiera que « l’aiguille » de cette droite est la racine du polynôme
Il est pratique de regrouper les calculs dans un seul tableau. Solution détaillée et la réponse à la fin de la leçon.
La méthode de sélection des racines est relativement bonne pour cas simples, mais si les coefficients et/ou le degré du polynôme sont grands, le processus peut prendre plus de temps. Ou peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, –1, 2, –2 et cela ne sert à rien de les considérer ? Et, en plus, les racines peuvent s'avérer fractionnées, ce qui conduira à un piquage totalement non scientifique.
Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui peuvent réduire considérablement la recherche de valeurs « candidates » pour les racines rationnelles :
Théorème 1 Considérons irréductible fraction , où . Si le nombre est la racine de l'équation, alors le terme libre est divisé par et le coefficient principal est divisé par.
En particulier, si le coefficient dominant est , alors cette racine rationnelle est un entier :
Et nous commençons à exploiter le théorème avec juste ce détail savoureux :
Revenons à l'équation. Puisque son coefficient directeur est , alors les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières, et le terme libre doit nécessairement être divisé en ces racines sans reste. Et « trois » ne peut être divisé qu’en 1, –1, 3 et –3. Autrement dit, nous n'avons que 4 « candidats racines ». Et, selon Théorème 1, autre nombres rationnels ne peut pas être les racines de cette équation EN PRINCIPE.
Il y a un peu plus de « prétendants » dans l'équation : le terme libre est divisé en 1, –1, 2, – 2, 4 et –4.
Attention, les chiffres 1, –1 sont des « habitués » de la liste des racines possibles (une conséquence évidente du théorème) et plus meilleur choix pour un contrôle prioritaire.
Passons à des exemples plus significatifs :
Problème 3
Solution: puisque le coefficient dominant est , alors les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être que des nombres entiers, et elles doivent être des diviseurs Membre gratuit. « Moins quarante » est divisé en les paires de nombres suivantes :
– un total de 16 « candidats ».
Et ici apparaît immédiatement une pensée tentante : est-il possible d'éliminer tout ce qui est négatif ou tout racines positives? Dans certains cas, c'est possible ! Je formulerai deux signes :
1) Si Tous Si les coefficients du polynôme sont non négatifs, alors il ne peut pas avoir de racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (Maintenant, si on nous donnait une équation - alors oui, en substituant n'importe quelle valeur du polynôme, la valeur du polynôme est strictement positive, ce qui signifie que tout nombres positifs (et les irrationnels aussi) ne peut pas être la racine de l’équation.
2) Si les coefficients à degrés impairs sont non négatifs, et pour toutes les puissances paires (y compris membre gratuit) sont négatifs, alors le polynôme ne peut pas avoir racines négatives. C'est notre cas ! En regardant d’un peu plus près, vous pouvez voir que lorsque vous remplacez un « x » négatif dans l’équation côté gauche sera strictement négatif, ce qui signifie racines négatives disparaître
Il reste donc 8 nombres à rechercher :
Nous les « facturons » séquentiellement selon le schéma de Horner. J'espère que vous maîtrisez déjà le calcul mental : 
La chance nous attendait lors du test du « deux ». Ainsi, la racine de l’équation considérée est-elle, et
Reste à étudier l'équation 
. C'est facile à faire grâce au discriminant, mais je vais effectuer un test indicatif en utilisant le même schéma. Notons tout d’abord que le terme libre est égal à 20, ce qui signifie Théorème 1 les nombres 8 et 40 sortent de la liste des racines possibles, laissant les valeurs à la recherche (un a été éliminé selon le schéma de Horner).
Nous écrivons les coefficients du trinôme dans la rangée supérieure du nouveau tableau et On commence à vérifier avec les mêmes "deux". Pourquoi? Et comme les racines peuvent être multiples, s'il vous plaît : - cette équation a 10 racines identiques. Mais ne nous laissons pas distraire : 
Et là, bien sûr, je mentais un peu, sachant que les racines sont rationnelles. Après tout, s’ils étaient irrationnels ou complexes, je serais alors confronté à une vérification infructueuse de tous les nombres restants. Par conséquent, en pratique, soyez guidé par le discriminant.
Répondre: racines rationnelles : 2, 4, 5
Nous avons eu de la chance dans le problème que nous avons analysé, car : a) ils sont tombés tout de suite valeurs négatives, et b) nous avons trouvé la racine très rapidement (et théoriquement nous pourrions vérifier toute la liste).
Mais en réalité, la situation est bien pire. Je vous invite à regarder un jeu passionnant appelé « Dernier héros»:
Problème 4
Trouver les racines rationnelles de l'équation
Solution: Par Théorème 1 numérateurs d'hypothétiques racines rationnelles doit satisfaire à la condition (on lit « douze est divisé par el »), et les dénominateurs correspondent à la condition . Sur cette base, nous obtenons deux listes :
"liste des éléments":
et "liste euh": (heureusement, les chiffres ici sont naturels).
Faisons maintenant une liste de toutes les racines possibles. Tout d’abord, nous divisons la « liste el » par . Il est absolument clair que les mêmes chiffres seront obtenus. Pour plus de commodité, mettons-les dans un tableau :
De nombreuses fractions ont été réduites, ce qui a donné lieu à des valeurs qui figurent déjà dans la « liste des héros ». Nous ajoutons uniquement les « débutants » : 
De même, nous divisons la même « liste » par : 
et enfin sur
Ainsi, l'équipe des participants à notre jeu est complétée : 
Malheureusement, le polynôme de ce problème ne satisfait pas au critère « positif » ou « négatif », et nous ne pouvons donc pas écarter la ligne du haut ou du bas. Vous devrez travailler avec tous les chiffres.
Comment te sens-tu? Allez, relevez la tête - il existe un autre théorème que l'on peut appeler au sens figuré le « théorème du tueur »…. ...des « candidats », bien sûr =)
Mais vous devez d'abord faire défiler le diagramme de Horner pendant au moins un la totalité Nombres. Traditionnellement, prenons-en un. Dans la ligne du haut, nous écrivons les coefficients du polynôme et tout se passe comme d'habitude :
Puisque quatre n’est clairement pas zéro, la valeur n’est pas la racine du polynôme en question. Mais elle nous aidera beaucoup.
Théorème 2 Si pour certains en général la valeur du polynôme est non nulle : , alors ses racines rationnelles (si ils sont) satisfaire la condition
Dans notre cas et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire la condition (appelons-le Condition n°1). Ce quatre sera le « tueur » de nombreux « candidats ». À titre de démonstration, je vais examiner quelques contrôles :
Vérifions le "candidat". Pour ce faire, représentons-le artificiellement sous la forme d'une fraction, d'où on voit clairement que . Calculons la différence de test : . Quatre est divisé par « moins deux » : , ce qui signifie que la racine possible a réussi le test.
Vérifions la valeur. Ici, la différence de test est : 
. Bien entendu, le deuxième « sujet » reste donc également sur la liste.
Schéma de Horner - une méthode de division d'un polynôme
$$P_n(x)=\somme\limites_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
sur le binôme $x-a$. Vous devrez travailler avec un tableau dont la première ligne contient les coefficients d'un polynôme donné. Le premier élément de la deuxième ligne sera le nombre $a$, tiré du binôme $x-a$ :
Après avoir divisé un polynôme de nième degré par un binôme $x-a$, on obtient un polynôme dont le degré est inférieur de un à celui d'origine, c'est-à-dire est égal à $n-1$. L’application directe du schéma de Horner est plus facile à démontrer à l’aide d’exemples.
Exemple n°1
Divisez $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$ en utilisant le schéma de Horner.
Faisons un tableau de deux lignes : dans la première ligne nous notons les coefficients du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$, classés par ordre décroissant des puissances de la variable $x$. Notez que ce polynôme ne contient pas $x$ au premier degré, c'est-à-dire le coefficient de $x$ à la première puissance est 0. Puisque nous divisons par $x-1$, nous écrivons un dans la deuxième ligne :
Commençons par remplir les cellules vides de la deuxième ligne. Dans la deuxième cellule de la deuxième ligne, nous écrivons le nombre $5$, en le déplaçant simplement de la cellule correspondante de la première ligne :
Remplissons la cellule suivante selon ce principe : $1\cdot 5+5=10$ :
Remplissons la quatrième cellule de la deuxième ligne de la même manière : $1\cdot 10+1=11$ :
Pour la cinquième cellule on obtient : $1\cdot 11+0=11$ :
Et enfin, pour la dernière, sixième cellule, on a : $1\cdot 11+(-11)=0$ :
Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse :
Comme vous pouvez le constater, les nombres situés sur la deuxième ligne (entre un et zéro) sont les coefficients du polynôme obtenu après avoir divisé $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Naturellement, puisque le degré du polynôme d'origine $5x^4+5x^3+x^2-11$ était égal à quatre, le degré du polynôme résultant $5x^3+10x^2+11x+11$ est un moins, c'est-à-dire . est égal à trois. Le dernier nombre de la deuxième ligne (zéro) signifie le reste lorsque l'on divise le polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Dans notre cas, le reste est nul, c'est-à-dire les polynômes sont également divisibles. Ce résultat peut également être caractérisé comme suit : la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ pour $x=1$ est égale à zéro.
La conclusion peut aussi être formulée sous cette forme : puisque la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ à $x=1$ est égale à zéro, alors l'unité est la racine du polynôme 5 $^4+5x^3+ x^2-11 $.
Exemple n°2
Divisez le polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ en utilisant le schéma de Horner.
Précisons immédiatement que l'expression $x+3$ doit être représentée sous la forme $x-(-3)$. Le projet de Horner impliquera exactement -3$. Puisque le degré du polynôme d'origine $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ est égal à quatre, alors par division nous obtenons un polynôme du troisième degré :
Le résultat signifie que
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Dans cette situation, le reste en divisant $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ est de 4$. Ou, ce qui revient au même, la valeur du polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pour $x=-3$ est égale à $4$. À propos, cela est facile à vérifier en remplaçant directement $x=-3$ dans le polynôme donné :
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Ceux. Le schéma de Horner peut être utilisé s'il est nécessaire de trouver la valeur d'un polynôme à valeur définie variable. Si notre objectif est de trouver toutes les racines d’un polynôme, alors le schéma de Horner peut être appliqué plusieurs fois de suite jusqu’à ce que nous ayons épuisé toutes les racines, comme indiqué dans l’exemple n°3.
Exemple n°3
Trouvez toutes les racines entières du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ en utilisant le schéma de Horner.
Les coefficients du polynôme en question sont des entiers, et le coefficient est avant la puissance la plus élevée de la variable (c'est-à-dire avant $x^6$) égal à un. Dans ce cas, les racines entières du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre, c'est-à-dire parmi les diviseurs du nombre 45. Pour un polynôme donné, ces racines peuvent être les nombres $45 ; \; 15 ; \; 9 ; \; 5 ; \; 3 ; \; 1$ et -45$; \; -15 ; \; -9 ; \; -5 ; \; -3 ; \; -1$. Vérifions, par exemple, le nombre $1$ :
Comme vous pouvez le voir, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ avec $x=1$ est égale à $192$ ( dernier numéro en deuxième ligne), et non $0$, donc l'unité n'est pas la racine de ce polynôme. Puisque la vérification a échoué, vérifions la valeur $x=-1$. Nouveau tableau Pour cela, nous ne compilerons pas, mais continuerons à utiliser le tableau. N° 1, en y ajoutant une nouvelle (troisième) ligne. La deuxième ligne, dans laquelle la valeur de $1$ a été cochée, sera surlignée en rouge et ne sera plus utilisée dans les discussions ultérieures.
Vous pouvez bien sûr simplement réécrire le tableau, mais le remplir manuellement prendra beaucoup de temps. De plus, il peut y avoir plusieurs nombres dont la vérification échouera, et il est difficile d'écrire un nouveau tableau à chaque fois. Lors du calcul « sur papier », les lignes rouges peuvent simplement être barrées.
Ainsi, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ à $x=-1$ est égale à zéro, c'est-à-dire le nombre $-1$ est la racine de ce polynôme. Après avoir divisé le polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ par le binôme $x-(-1)=x+1$ on obtient le polynôme $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, dont les coefficients sont tirés de la troisième ligne du tableau. N°2 (voir exemple n°1). Le résultat des calculs peut également être présenté sous cette forme :
\begin(équation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fin(équation)
Continuons la recherche de racines entières. Nous devons maintenant rechercher les racines du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Là encore, les racines entières de ce polynôme sont recherchées parmi les diviseurs de son terme libre, les nombres $45$. Essayons de vérifier à nouveau le nombre $-1$. Nous ne créerons pas de nouveau tableau, mais continuerons à utiliser le tableau précédent. N ° 2, c'est-à-dire Ajoutons-y une ligne supplémentaire :
Ainsi, le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (2), l'égalité (1) peut être réécrite sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Il faut maintenant chercher les racines du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$ - naturellement, parmi les diviseurs de son terme libre (les nombres $45$). Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (4), on réécrit l'égalité (3) sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Nous recherchons maintenant les racines du polynôme $x^3-x^2-21x+45$. Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le contrôle s'est soldé par un échec. Soulignons la sixième ligne en rouge et essayons de vérifier un autre nombre, par exemple le nombre $3$ :
Le reste est nul, donc le nombre $3$ est la racine du polynôme en question. Donc $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Maintenant, l'égalité (5) peut être réécrite comme suit.
